2011怀柔区高三一模数学试卷及答案理科

怀柔区2010～2011学年度第二学期高三适应性练习数 学（理科）2011.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x x B ，则=)(B A C UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x2．复数=-+i i11A ．i -B ．1-C ．iD ．13．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为A ．10B ．15C ．20D ．254．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 5．若＝(1,2,－3)，＝(2,a －1,a 2－31)， 则“a ＝1”是“⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0=C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =7．在极坐标系中，定点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在直线cos sinρθρθ+上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是A ．)4,22(π B ．)43,22(π C ．)4,23(π D ．)43,23(π 8．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围 成的几何体的体积为A ．6π B ．6π或636π+C ．366π-D ．6π或366π-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：0,2≥∈∀x R x 的否定是 ．10．函数1cos 2)(2-=x x f 的最小正周期为 ；单调递减区间为 ． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ；若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为 ．甲班 乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 912．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ，则圆O 的半径=R ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ．14注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗=，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离=，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗=．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内 （填上所有正确判断的序号）． ① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos 3C =，求c 的长． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA A D ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE．18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ； （Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{n A =，求证：2)1()(-=n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案及评分标准(理科) 2011.3一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. R x ∈∃,02<x 10.π；)](2,[Z k k k ∈+πππ 11. 169；3112.3 13. 12+ 14. ② ③三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos C =，求c 的长． 解：（Ⅰ） 222+c b a bc -= ， 2221c o s22b c a A bc +-==-------------------------4分 π<<A 03π=∴A -----------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC ∆中，3π=A，a =，cos C =sin 3C ∴=== ------------------------------------------8分 由正弦定理知：,sin sin a C A C= ∴ACa c sin sin===-----------------------------------------------12分∴362=c -------------------------------------------------------------------------------13分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA A D ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴,)2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H ．----------------------------1分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB =- ，(1,0,1)EH =-，∴2PB EH = ,∵⊄PB 平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB //平面EFH ．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD =- ，(1,0,0)AH = ， (0,1,1)AF =，0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯=,PD AF PD AH ∴⊥⊥， 又AF AH A = ，PD ∴⊥平面AHF ． -----------------------------------------------------9分（Ⅲ）设平面HEF 的法向量为),,(z y x =,因为(0,1,0)EF = ，(1,0,1)EH =-，则0,0,n EF y n EH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取).1,0,1(= 又因为平面AEF 的法向量为),0,0,1(=m所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>====-------------------------12分,45,m n ∴<>=所以二面角H EF A --的大小为45．-------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下(Ⅰ(Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数 为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==. ------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2. -----------------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：--------------------------------10分∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=. -------------------------------------------------------13分18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．解：（Ⅰ）因为1,1a b ==-，所以函数2()ln f x x x x =+-，2)1(=f又1()21f x x x'=+-，2)1('=f -------------------------------------------------------------2分 所以)1(22-=-x y即)(x f 在1=x 处的切线方程为02=-y x -------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为2a b =--，所以2()(2)ln f x x b x b x =-++，则 (2)(1)()2(2)b x b x f x xb x x --'=-++= )0(>x令()0f x '=，得12bx =，21x =．----------------------------------------------------------------7分（1）当02b≤，即0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； -------------------------------------------------------------------------------------------------------8分（2）当01b<<，即02b <<时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；-------9分（3）当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；-----------------------------10分（4）当1b>，即2b >时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2+∞，单调递减区间为(1,)2b ；--------------12分综上，当0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；当02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；当2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13分19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．解：（Ⅰ） ace ==22， 12122=+a b ，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴14222=+y x --------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2--------10分（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0----------------------------------------------------------------------------------------------14分20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{n A =，求证：2)1()(-=n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得6)(=Q l .----------------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以.2)1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{n A =，任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122，即l k j i a a a a +≠+.当k i l j ≠=,时，l k j i a a a a +≠+.因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以.2)1()(-=n n A l -----------------------------------------------------------------------------------------9分 （Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质， 当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . --------------------------------------13分。