2021年新高考数学新题型多项选择题专题17 平面解析几何(3)(解析版)
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(新高考)选择题：平面解析几何
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）选择题：平面解析几何1.若直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m =( ) A.5-或15B.5或15-C.21-或1D.1-或212.已知椭圆22:16439x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为( )A.310B.710C.25 D.353.已知双曲线2221(0)4x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.223144x y -=B.224143x y -= C.22144x y -= D.221412x y -= 4.已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:280l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是( ) 551-C.25D.2515.已知点()2,1A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC 的面积为2，则k 的值为( ) A.3或13B.0C.13D.36.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若圆C 上存在弦AB ，满足||23AB =且AB 的中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是( )A.[25,25]-B.[5,5]-C.(5,5)-D.[5,5]7.已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12120F PF ∠=︒，且122PF PF =，则椭圆的离心率为( )72 C.7978.已知椭圆22182x y +=上一点()2,1A 和该椭圆上两动点,B C ，直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ，且120k k +=，则直线BC 的斜率k 满足( )A.12k >或12k <- B.12k =-C.12k =D.k 的值不确定9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线 l 过点1F ，与双曲线的左支交于,A B 两点，若5AB =，且双曲线的实轴长为8，则2ABF 的周长是( ) A.16B.18C.21D.2610.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( ) 23323 D.211.过抛物线28x y =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，若||1||2AF BF =，则AOB 的面积为( ) A.32 B.122 C.2 D.212.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为12(,0),(,0),F c F c M -是椭圆上的一点，且满足120F M F M ⋅=，则C 的离心率的取值范围为( )A.2⎛ ⎝⎦B.2⎛ ⎝⎭C.2⎫⎪⎪⎝⎭ D.2⎫⎪⎪⎣⎭13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，ABO 的面积为23点坐标为( ) A.1,02⎛⎫⎪⎝⎭B.2⎫⎪⎪⎝⎭C.()1,0D.(2,0)14.已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，12,C C 的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅=( )A.1B.35C.53515.已知抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 重合，且相交于,A B 两点(A 在B 上方)，直线AF 交抛物线于另一点C ，且与双曲线的一条渐近线平行，若12AF FC =，则双曲线的离心率为( ) 232 C.2 D.3答案以及解析1.答案：A解析：222410x y x y +-++=可化为22(1)(2)4x y -++=，则圆的圆心坐标为(1,2)-，半径2r =.22234=+，解得5m =-或15m =.故选A.2.答案：A解析：由椭圆C 的方程可知2264,39a b ==，所以222643925c a b =-=-=，所以12210F F c ==.连接2PF ，由椭圆的定义可知，12216PF PF a +==，因为16PF =，所以21210PF F F ==，所以12PF F 是等腰三角形，11212132cos 10PF PF F F F ∠==.3.答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方程为2b y x =±，圆的方程为224x y +=.不妨设交点A 在第一象限，由22,42b y x x y =+=得2244A A x y b b ==++，故四边形ABCD 的面积为232424A A bx y b b ==+，解得212b =，故所求的双曲线方程为221412x y -=，故选D.4.答案：D解析：根据题意作出图象如图所示，点P 到直线:280l x y -+=的距离为PA ，点P 到y 轴的距离为1PB -.由抛物线的定义知PB PF =，故点P 到直线l 和y 轴的距离之和为1PF PA +-.观察图象知当,,A P F 三点共线时1PF PA +-取到最小值，此时，PF PA +为焦点(1,0)F 到直线l 255=P 到直线:280l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值为251.5.答案：B解析：设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为1(2)y k x -=+，与方程:10l x y +-=联立，解得231,11k k x y k k +=-=++，则231,11k k C k k +⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为直线AB 的方程为3y x =+，且2AB =C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++==+所以12222|1|k ⨯=+，得|1||1|k k -=+，得0k =.故选B. 6.答案：D解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，因此圆心为(1,2)C -，半径2r =，连接CM ，由于弦AB 满足3AB =，所以22||||12AB CM r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此点M 在以(1,2)C -为圆心、1为半径的圆上.又点M 在直线20x y k ++=上，所以直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=15≤，解得55k ≤7.答案：A解析：由椭圆定义可知12||||2PF PF a +=，又1221242,,33a aPF PF PF PF =∴==.在12PF F 中，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222216416149992c a a a ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，即22222874,,99c c a a =∴=∴椭圆的离心率7c e a ==.8.答案：C解析：由12(2,1),0A k k +=，设直线1:(2)1AB y k x =-+，直线()()211122:(2)1(2)1,,,,AC y k x k x B x y C x y =-+=--+.已知点A 在椭圆上，联立直线AB 与椭圆方程得，()()22221111141168161640k x k k x k k +--+--=，由根与系数的关系得21112116164241k k x k --⋅=+，即21112188241k k x k --=+，代入直线AB 的方程得21112144141k k y k --+=+，即2211112211882441,4141k k k k B k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭.同理可得，2211112211882441,4141k k k k C k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭.则直线BC 的斜率221111222111122111121122114414414141818828821624141k k k k y y k k k k k k k k x x k k k -++--+--++====+-----++，故选C.9.答案：D解析：由双曲线的定义可得，212128,28AF AF a BF BF a -==-==，所以2ABF 的周长为2211||16||2||1626AF BF AB AF BF AB AB ++=+++=+=.故选D. 10.答案：A解析：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，不妨设圆A 与渐近线0bx ay +=交于,M N 两点.由60MAN ∠=︒，可得A 到渐近线0bx ay +=的距离为3cos30b ︒223a b=+，即3a c =，可得C 的离心率为23e .故选A. 11.答案：C解析：解法一 依题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+.联立方程得28,2,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得28160x kx --=，所以16A B x x =-.又||1||2AF BF =，所以2B A x x =-，得22,42A B x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或22,4 2.A B x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1||622AOBB A S OF x x =-=.故选C.解法二 由||1,||21121,||||2AF BF AF BF p ⎧=⎪⎪⎨⎪+==⎪⎩解得||3,||6,AF BF =⎧⎨=⎩所以||23,||26,A B AF y BF y =+=⎧⎨=+=⎩由此解得1,4,AB y y =⎧⎨=⎩则22,42A B x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或22,4 2.A Bx x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1||622AOBB A SOF x x =-=.故选C. 12.答案：D解析：设点()00,M x y ，由120F M F M ⋅=，得()()20000x c x c y +⋅-+=，即22200x y c +=①. 又点M 在椭圆C 上，所以2200221x y a b+=②.由①②联立，结合222a b c -=，得()22222a cb x c-=.易知2200x a ≤≤，则()()222222222,0,a c b c a c b a c ⎧-⎪≥⎪⎨-⎪≤⎪⎩即22222,,c b c b c ≤-≥⎧⎨⎩所以22c b ≥. 又222b a c =-，所以222c a c ≥-，即222c a ≥，得212e ≥. 而01e <<，所以212e ≤<.故选D. 13.答案：D解析：依题意知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，抛物线的准线方程为2px =-，代入双曲线渐近线方程得2bp y a =±.由双曲线的离心率为2，212b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3b a =则,A B两点的纵坐标为31,32322ABOpy p S ==⨯=解得22p =所以抛物线的焦点坐标为(2,0).故选D. 14.答案：C解析：由椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，可得2211m n -=+，即222n m =-①.由双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13n m =②.由①②可得31,22m n ==，则2212221111451111493m n e e m n -+⋅==-+=-+=.故选C.15.答案：D解析：由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AC 的斜率b k a =-，设()()1122,,,,A x y C x y ∴直线AC 的方程为2b p y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立得2,22,b p y x a y px ⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2212220,pa pa y y p y y b b +-=∴+=-，2121211,||||,22y y p AF FC y y =-=∴=-，222222222298,9,3c a b a b a e e a a a+∴=∴====∴=，故选D.。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
2021新高考新题型——数学多选题专项练习(1)(含答案解析)
2021新高考新题型——数学多选题专项练习(1)(含答案解析)2021新高考新题型——数学多选题专项练（1）一、多选题1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题，其中正确的命题是() A。
平面MB1P⊥ND1B。
平面MB1P⊥平面ND1A1C。
△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值D。
△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形2.下列说法正确的是()A。
“若a>1，则a^2>1”的否命题是“若a>1，则a<=1”B。
“若a<b，则am^2<bm^2”的逆命题为真命题C。
“若sinα≠1/π，则α≠π/2”是真命题D。
在命题“若p，则q”的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数最多是3个3.设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F。
点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为32，则点M的坐标为()A。
(0,-4)B。
(0,-2)C。
(0,2)D。
(0,4)4.抛物线E:x^2=4y与圆M:x^2+(y-1)^2=16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧AB上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的可能取值是()A。
8B。
8.5C。
9D。
105.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是()A。
B。
C。
D。
6.在空间中，给出下面四个命题，则其中不正确的命题为()A。
过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直B。
若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α//βC。
若直线1与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αD。
两条异面直线在同一平面内的射影可以是两条平行线7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A。
2021年新高考新题型多项选择题专项训练《专题15 平面解析几何(1)》(解析版)
专题15 平面解析几何（1）多项选择题1．（2020春•鼓楼区校级月考）下列说法中，正确的是( ) A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B ．一条直线的倾斜角为30-︒ C ．若直线的倾斜角为α，则sin 0αD ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α【分析】根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，依次分析选项，综合即看的答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，直线的倾斜角为α，当90α=︒时，斜率不存在，A 错误； 对于B ，直线的倾斜角的范围为[0，180)︒，B 错误；对于C ，直线的倾斜角的范围为[0，180)︒，则有sin 0α，C 正确； 对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，D 正确； 故选：CD ．2．（2019秋•青岛期中）若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为()A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可． 【解答】解：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=， 求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．3．下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示【分析】由题意利用直线方程的几种形式，注意特殊情况，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论． 【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0x x =，不能写成00()y y k x x -=-的形式，故A 错误．当直线的斜率等于零时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0y y =，不能写成00()x x m y y -=- 的形式，故B 错误．当直线的斜率不存在时，经过定点(0,)A b 的直线都方程为0x =，不能用方程y kx b =+表示，故C 错误． 不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为(0)x a a =≠的形式，故D 错误．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线，当斜率等于零时，12y y =，12x x ≠，方程为1y y =， 能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；当直线的斜率不存在时，12y y ≠，12x x =，方程为1x x =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示，故E 正确， 故选：ABCD ．4．已知点(,)A a b 与点(0,3)B 在直线3450x y -+=的同侧，给出下列四个命题中正确命题是( ) A ．若1a >，则2b >B 1>C ．函数()sin 344f x x a b =-+-有无数个零点D ．当0b <时，1b a -的取值范围是3(0,)4【分析】点(,)A a b 和点(0,3)B 在直线1:3450x y -+=的同侧，则(345)(30435)0a b -+⨯⨯-⨯+>，即3450a b -+<，作出点(,)A a b 对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可【解答】解：点(,)A a b 和点(0,3)B 在直线1:3450x y -+=的同侧，则(345)(30435)0a b -+⨯⨯-⨯+>，即3450a b -+<，点(,)A a b 的区域如图所示． 若1a >，由3450a b -+<；可得2b >，故A 正确；原点到直线3450a b -+=的距离等于1，∴1>，故B 正确； 函数()sin 344f x x a b =-+-零点，就是sin y x =与344y a b =-+的交点，3441y a b =-+>-，故C 错；当0b <时，1b a -表示过点(,)A a b 与点(0,1)的斜率，根据图象可得其取值范围是3(0,)4，故D 正确． 故选：ABD ．5．平面内与两定点1(0,)A a -，2(0A ，)(0)a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A ，2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的结论为( ) A ．当1m =-时，曲线C 是一个圆 B ．当2m =-时，曲线CC ．当2m =时，曲线C的渐近线方程为y = D ．当(m ∈-∞，1)(0-⋃，)+∞时，曲线C的焦点坐标分别为(0,-和(0,【分析】设动点为(,)M x y ，求出直线1MA 、2MA 的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M 轨迹方程，根据题目所给条件逐一核对四个命题得答案． 【解答】解：设动点为(,)M x y ， 当0x ≠时，由条件可得12MA MA y a y ak k m x x+-==，即222(0)y mx a x -=≠，又1(,0)A a -，2(,0)A a 的坐标满足222y mx a -=．∴当1m =-时，曲线C 的方程为222y x a +=，C 是圆心在原点的圆，故A 正确；当2m =-时，曲线C 的方程为222212y x aa+=，C是焦点在y 轴上的椭圆，c ==，，故B 正确；当2m =时，曲线C 的方程为222212y x aa -=，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y ==，故C 错误；当(,1)m ∈-∞-时，曲线C 的方程为22221y xa am+=-，表示焦点在y 轴上的椭圆，由c =可知焦点坐标分别为(0,-和(0,；当(0,)m ∈+∞时，C 是焦点在y 轴上的双曲线，方程为22221y x a am-=，由c ==可知焦点坐标分别为(0,-和(0,，故D 正确．故选：ABD ．6．在下列四个命题中，错误的有( )A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，]πC ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【分析】A 中，直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在；B 中，直线倾斜角的取值范围是[0，)π；C 中，直线的斜率为tan α时，它的倾斜角不一定为α；D 中，直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在．【解答】解：对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A ∴错误； 对于B ，直线倾斜角的取值范围是[0，)π，B ∴错误；对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α， 如y x =的斜率为5tan4π，它的倾斜角为4π，C ∴错误；对于D ，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D 错误． 故选：ABCD ．7．（2020•临朐县模拟）实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是( ) A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -D ．1yx -的最小值为【分析】1yx -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1yx -的最值． 【解答】解：由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得k =所以[1y x ∈-，即1yx -，最小值为， 故选：CD ．8．（2019秋•菏泽期末）已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( ) A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m >时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点）【分析】设出M 的坐标，利用斜率乘积转化求解轨迹方程，通过m 的范围，判断选项的正误即可． 【解答】解：点M 的坐标为(,)x y ，直线AP 的斜率为(1)1AP y k x x =≠-+，(1)1BM y k x x =≠- 由已知得，(1)11y ym x x x ⨯=≠±+- 化简得点M 的轨迹方程为221(1)y x x m+=≠±-，当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）所以A 正确；当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）．所以B 正确； 当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以C 不正确； 当1m >时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点），所以D 正确； 故选：ABD ．9．（2019秋•日照期末）已知到两定点(2,0)M -，(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．MPN ∆的面积的最大值为45D ．C 在一个面积为64的矩形内22(2)16x -+=．再对四个选项依代入次判断即可．【解答】解：设点P 的坐标为(,)x y 22(2)16x -+．对于A ，将原点坐标代入方程得22416⨯=≠，所以，A 错误； 对于B ，点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为1(,)P x y -、2(,)P x y -，2222222(2)()(2)(2)16x y x y x y -+-=++-+=，2222222(2)(2)(2)16x y x y x y --+=-+++=，则点1P 、2P 都在曲线C 上，所以，曲线C 关于x 轴、y 轴对称，B 正确； 对于C ，设||PM a =，||PN b =，MPN θ∠=，则16ab =，由余弦定理得222216162161cos 232322a b a b ab ab θ+-+--===，当且仅当4a b ==时等号成立，则(0,]3πθ∈，所以3sin θ=，则MPN ∆的面积为11sin 1622MPN S ab θ∆=⨯=，C 正确；对于D ，22222216(2)(2)(2)|4|x y x x x =-++-=-，可得216416x --，得220x ，解得25x -， 由C 知，11||||4||4322MPN S MN y y ∆==⨯⨯，得||23y ，曲线C 在一个面积为64的矩形内，D 正确． 故选：BCD ．10．（2019秋•葫芦岛期末）若P 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的值可以为( )A ．4B ．6C ．1D ．8【分析】由题意最远距离为圆心到在的距离加半径，而当圆心与定点的连线与直线垂直时最大，求出最大值，直线与圆有交点时最小为0，求出距离的范围即可．【解答】解：直线1y kx =-恒过定点(0,1)A -点，当直线与AC 垂直时，点P 到直线1y kx =-距离最大，等于AC r +，圆心坐标为：(3,3)-，16=， 当直线与圆有交点时最小为0，所以点P 到直线1y kx =-距离的范围为：[0，6]， 故选：ABC ．11．（2019秋•润州区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的斜率之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则( ) A ．曲线E 经过坐标原点 B ．曲线E 关于x 轴对称 C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(,)x y 在曲线E 上，则11x - 【分析】设点(P x ，y ，根据条件可得811y yx x =+-，化简可得228(1)y x =-，根据方程，逐一排除即可．【解答】解：设(,)P x y ，则128PF PF k k =， 所以811y yx x =+-，即228(1)y x =-，1x ≠±，所以(0,0)代入方程，不成立，故点P 的轨迹E 不过坐标原点；A 错误；y -代替y ，方程不变，即点P 的轨迹E 关于x 轴对称；故B 正确；x -代替x ，方程不变，即点P 的轨迹E 关于y 轴对称；故C 正确；由于228(1)0y x =->，所以1x >或1x <-，故D 错误； 故选：BC ．12．（2019秋•中山市期末）已知点(3,0)M 和点(3,0)N -，直线PM ，PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C ，下列说法正确的是( )A ．存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离之和为定值B ．存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之和为定值C ．不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离之差的绝对值为定值D ．不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之差的绝对值为定值 【分析】根据斜率公式得出33y y a x x =+-，得22(9)y a x =-，再分类讨论，即可得出结论．【解答】解：设(,)P x y 由33y y a x x =+-，得22(9)y a x =-，若1a =-，则方程为229x y +=，轨迹为圆（除A B 点）；若10a -<<，方程为22199x y a+=-，轨迹为椭圆（除A B 点）99a -<，4c =，79a ∴=，A 不符合；1a <-，99a ->，4c ==，259a ∴=-，B 符合， ∴存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4)-，(0,4)距离之和为定值；若0a >，方程为22199x y a -=，轨迹为双曲线（除A B 点）．4c =，79a =， ∴存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0)-，(4,0)距离差的绝对值为定值．C 不符合D 是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x 轴上．故选：BD ．13．（2019秋•德州期末）已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90︒，则点A 的坐标可以是( )A ．B ．1)C ．D ．1,1)【分析】利用直线与圆的方程画出图图形，利用排除法判断A 的位置即可得到选项．【解答】解：设点A 坐标为()t t -，当AP 、AQ 均为圆切线时，90PAQ ∠=︒，此时四边形PAQO 为正方形，则||OA =22)2t t +=，解得0t =，t =，故A ，B 0)， 故选：AC ．14．（2019秋•葫芦岛月考）已知P ，Q 分别为圆22:(6)(3)4M x y -+-=与圆22:(4)(2)1N x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的值可能是( ) A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，设圆G 与圆N 关于x 轴对称，点Q '与点Q 关于x 轴对称，求出圆G 的方程，分析可得Q '在圆G 上，进而可得||||||||AP AQ AP AQ +=+'，结合圆与圆的位置关系分析可得||||AP AQ +'的最大、最小值，即可得||||AP AQ +的范围，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆G 与圆N 关于x 轴对称，点Q '与点Q 关于x 轴对称， 圆N 的方程22(4)(2)1x y ++-=，其圆心(4,2)-，半径1r =； 则圆G 的圆心为(4,2)--，半径1r '=，则G 的方程为22(4)(2)1x y +++=，又由Q 为圆22:(4)(2)1N x y ++-=上的动点，则Q '在圆G 上， 则有||||||||AP AQ AP AQ +=+'，又由||||AP AQ +'的最大值为||33MG R r ++'==，最小值为||33MG R r --'==，故有3||||53AP AQ ++，分析选项：只有CD 的数值在区间3，3]上； 故选：CD ．15．（2019秋•枣庄期中）已知圆2221:C x y r +=，圆2222:()()(0)C x a y b r r -+-=>交于不同的1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，下列结论正确的有( )A ．1212()()0a x x b y y -+-=B ．221122ax by a b +=+C ．12x x a +=D ．122y y b +=【分析】根据圆的公共弦方程判断B ，根据A 、B 在公共弦上判断A ，根据公共弦与圆心连线互相平分及中点坐标公式判断C ．【解答】解：两圆方程相减可得直线AB 的方程为：22220a b ax by +--=，即2222ax by a b +=+，故B 正确；分别把1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点代入2222ax by a b +=+得：221122ax by a b +=+，222222ax by a b +=+， 两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，故A 正确； 由圆的性质可知：线段AB 与线段12C C 互相平分， 12x x a ∴+=，12y y b +=，故C 正确．故选：ABC ．16．（2019秋•南京期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则( ) A ．曲线E 经过坐标原点 B ．曲线E 关于x 轴对称 C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(,)x y 在曲线E 上，则33x -【分析】设点(P x ，y 22(1)8x -+，化简可得229x y +=，逐一排除即可．【解答】解：设(,)P x y ，则1PF ，2PF 22(1)8x -+，即2222[(1)][(1)]64x y x y ++-+=，经化简可得2222(7)(9)0x y x y +++-=， 所以229x y +=，即点P 的轨迹E 为以(0,0)为圆心，3为半径的圆， 故关于x 、y 轴均对称，且33x -， 故选：BCD ．17．（2019春•思明区校级期中）已知点A 是直线:100l x y +-=上一定点，点P ，Q 是圆22:(4)(2)4C x y -+-=上的动点，若PAQ ∠的最大值为60︒，则点A 的坐标可以是( ) A ．(4,6)B ．(2,8)C ．(6,4)D ．(8,2)【分析】利用直线与圆的方程画出图图形，判断A 的位置即可得到选项．【解答】解：点A 是直线:100l x y +-=上一定点，点P ，Q 是圆22:(4)(2)4C x y -+-=上的动点， 如图：圆的圆的半径为2，所以直线上的A 到圆心的距离为4，结合图形，可知A 的坐标(4,6)与(8,2)满足题意．故选：AD ．18．（2018秋•德州期末）设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( )A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点【分析】对每个选项逐个分析可得ABD 正确．【解答】解：对于A ：存在k ，使圆与x 轴相切2*()k k k N ⇔=∈有正整数解0k ⇔=或1k =，故A 正确； 对于B ：因为圆心(1,)k 恒在直线1x =上，故B 正确；对于C ：当k 取无穷大的正数时，半径2k 也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C 不正确； 对于D ：将(0,0)代入得241k k +=，即221(1)k k =-，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D 正确．故选：ABD ．19．（2018秋•日照期末）已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(,)P a b 是圆222x y r +=外一点，过点P 作直线l OP ⊥，直线m 的方程是2ax by r +=，则下列结论正确的是( )A ．//m lB ．m l ⊥C ．m 与圆相离D ．m 与圆相交 【分析】根据OP 的斜率得l 的斜率和方程，再根据m 和l 的方程可判断两直线平行；根据圆心到直线m 的距离与半径可判断直线m 与圆C 相交．【解答】解：直线OP 的斜率为b a ，直线l 的斜率为a b-，直线l 的方程为：22ax by a b +=+， 又(,)P a b 在圆外，222a b r ∴+>，故//m l ，圆心(0,0)到直线2ax by r +=的距离22||||r d r r =<=，故m 与圆相交， 故选：AD ．20．（2019春•厦门期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯國，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是，( )A ．C 的方程为22(4)9x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得||1||2PD PE =C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA = 【分析】设(,)P x y ，运用两点的距离高富帅，化简可得P 的轨迹方程，可判断A ；假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得||1||2PD PE =，设出D ，E 的坐标，求得轨迹方程，对照P 的轨迹方程可得D ，E ，可判断B ；当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，由角平分线定理的逆定理，可判断C ； 若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，运用两点的距离公式，可得M 的轨迹方程，联立P 的轨迹方程，即可判断D ．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =，设(,)P x y 12=， 化简可得22(4)16x y ++=，故A 错误；假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得||1||2PD PE =，可设(,0)D m ，(,0)E n化简可得222233(82)40x y m n x m n +--+-=， 由P 的轨迹方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=， 解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），即存在(6,0)D -，(12,0)E -，故B 正确； 当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，可得射线PO 是APB ∠的平分线，故C 正确；若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y = 化简可得221616033x y x +++=，联立2280x y x ++=，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误． 故选：BC ．。
2021高考数学平面解析几何
专题11平面解析几何选择填空题
历年考题细目表
题型年份考点试题位置
单选题2019 椭圆2019年新课标1理科10
单选题2018 抛物线2018年新课标1理科08
单选题2018 双曲线2018年新课标1理科11
单选题2017 抛物线2017年新课标1理科10
单选题2016 双曲线2016年新课标1理科05
单选题2016 抛物线2016年新课标1理科10
单选题2015 双曲线2015年新课标1理科05
单选题2014 双曲线2014年新课标1理科04
单选题2014 抛物线2014年新课标1理科10
单选题2013 双曲线2013年新课标1理科04
单选题2013 椭圆2013年新课标1理科10
单选题2012 椭圆2012年新课标1理科04
单选题2012 双曲线2012年新课标1理科08
单选题2011 双曲线2011年新课标1理科07
单选题2010 双曲线2010年新课标1理科12
填空题2019 双曲线2019年新课标1理科16
填空题2017 双曲线2017年新课标1理科15
填空题2015 圆的方程2015年新课标1理科14
填空题2011 椭圆2011年新课标1理科14
填空题2010 圆的方程2010年新课标1理科15
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）
A．y2＝1 B． 1
C． 1 D． 1。
2021年全国新高考卷数学试题含答案
2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。
（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。
（）3. 任何两个实数的和都是实数。
（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。
（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。
3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。
4. 三角形内角和为______。
5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。
2. 什么是排列组合？请举例说明。
3. 请写出余弦定理的公式。
4. 简述概率的基本性质。
5. 举例说明平面向量的线性运算。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。
2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。
(9)平面解析几何-2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
（9）平面解析几何——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅱ卷，3】若抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+则p =( )A.1B.2C. D.42.【2021年新高考Ⅰ卷，5】已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为( ) A.13B.12C.9D.63.【2021年全国甲卷(理)，5】已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=°，123PF PF =，则C 的离心率为( )4.【2021年全国甲卷(文)，5】点(3,0)到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为( ) A.95B.85C.65D.455.【2021年全国乙卷(理)，11】设B 是椭圆22221(0):x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎫⎪⎪⎣⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.⎛ ⎝⎦D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦6.【2021年新高考Ⅱ卷，11】（多选）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点,()A a b ，则下列说法正确的是( )A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切7.【2021年新高考Ⅰ卷，11】（多选）已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( )A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，||PB =D.当PBA ∠最大时，||PB =8.【2021年全国乙卷(理)，13】已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_____________.9.【2021年新高考Ⅱ卷，13】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率2e =，则双曲线C 的渐近线方程为___________.10.【2021年新高考Ⅰ卷，14】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥.若||6FQ =，则C 的准线方程为_____.11.【2021年全国甲卷(理)，15】已知1F ，2F 为椭圆22:1164x y C +=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为___________. 12.【2021年全国甲卷(理)，20】抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥.已知点(2,0)M ，且M 与l 相切. （1）求C ，M 的方程.（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线21A A ，31A A 均与M 相切.判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由.13.【2021年新高考Ⅱ卷，20】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切.证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是MN .14.【2021年新高考Ⅰ卷，21】在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(F ，2F ，点M 满足122MF MF -=，记M 的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.15.【2021年全国乙卷(理)，21】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p .（2）若点P 在M 上，PA 、PB 是C 的两条切线，A 、B 是切点，求PAB 面积的最大值.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标.抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.=2p =. 2.答案：C解析：本题考查椭圆的性质，二次函数的最值.设点M 的坐标为(,)x y ，所以21253399MF MF x ⎛⎫⎛⎫⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为33x -≤≤，所以2125999MF MF x ⋅=-≤，当0x =时，取得最大值9. 3.答案：A解析：本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设122PF PF a -=，由123PF PF =，可知13PF a =，2PF a =，又122F F c =，1260F PF ∠=︒，故222(2)(3)23cos60c a a a a =+-⨯︒，解得2247c a =. 4.答案：A解析：本题考查双曲线的性质与渐近线方程、点到直线的距离公式.由于双曲线221169x y -=的渐近线方程为043x y±=，即340x y ±=，则点(3,0)到该渐近线的距离为95d ==. 5.答案：C解析：本题考查椭圆的方程与几何性质、离心率，二次函数的图象与性质，不等式的求解.由题可得(0,)B b ，设()00,P x y ，0[,]y b b ∈-，则有2200221x y a b +=，可得2220021y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()2222222000002||12y PB x y a y b b y b b ⎛⎫=+=-+-+=⎪⎝⎭-223222222000022222c c b y by a b y y a b b b c ⎛⎫--++=-⋅+++ ⎪⎝⎭，根据题目条件知0y b =-时，2||PB 取得最大值22(2)4b b =，则有32b b c-≤-，整理得22b c ≥，即222a c c -≥，解得a ≥，故椭圆离心率c e a =≤0e <≤. 6.答案：ABD解析：本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系.圆心(0,0)到直线20ax by r +-=的距离222r d a b =+，若点A 在圆上，则222a b r +=，则2222||||r r d r r a b===+，所以直线l 与圆C 相切，故A 项正确；若点A 在圆内，则222a b r +<，则2222||||r r d r r a b=>=+，所以直线l 与圆C 相离，故B 项正确；若点A 在圆外，则222a b r +>，则2222||||r r d r r a b=<=+，所以直线l 与圆C 相交，故C 项错误；若点A 在直线l 上，则2220a b r +-=，即222a b r +=，则点A 也在圆C 上，||d r =，所以直线l 与圆C 相切，故D 项正确. 7.答案：ACD解析：本题考查圆的图象与切线的性质、点到直线的距离及最值问题.由题可知直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，所以圆心(5,5)C 到直线AB 的距离为2|5104|115512+-=+，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为1154105+<，A 项正确；点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，B 项错误；由于直线AB 和圆C 的位置确定，所以PBA ∠取得最值应为切线位置，如图，因为22||5(52)34BC =+-=，半径4r =，所以22||||341632PB BC r =-=-=，C 项，D 项正确.8.答案：4解析：本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线22:1x C y m-=可0y m±=30x my +=3m=，解得3m =，故12c m +，所以C 的焦距为24c =.9.答案：3y x =±解析：本题考查双曲线的几何性质.双曲线C 的离心率2212c b e a a ==+=，所以3ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为3by x x a=±=±.10.答案：32x =-解析：本题考查抛物线的图象与性质.因为PF x ⊥轴，所以点P 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭（假设点P在x 轴上方，点P 在x 轴下方同理）.因为PQ OP ⊥，所以OPF PQF ，所以PF OFFQ PF=，即2PF OF FQ =⋅，所以23p p =，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.11.答案：8解析：本题考查椭圆的定义、焦点，矩形的判定和面积.由题可知四边形12PF QF 是矩形，且222121248PF PF F F +==，1228PF PF a +==，可得128PF PF ⋅=.12.答案：（1）由题意，直线1x =与C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥， 设C 的焦点为F ，P 在第一象限，则根据抛物线的对称性，45POF QOF ∠=∠=︒， 所以(1,1)P ，(1,1)Q -.设C 的方程为22(0)y px p =>，则12p =，得12p =， 所以C 的方程为2y x =.因为圆心(2,0)M 到l 的距离即M 的半径，且距离为1， 所以M 的方程为22(2)1x y -+=.（2）设()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，当1A ，2A ，3A 中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线23A A 与M 相切.当123x x x ≠≠时，直线()121212:0A A x y y y y y -++=，1=，即()222121211230y y y y y -++-=，同理可得()222131311230y y y y y -++-=，所以2y ，3y 是方程()2221111230y y y y y -++-=的两个根， 则1232121y y y y -+=-，21232131y y y y -=-.直线23A A 的方程为()23230x y y y y y -++=，设点M 到直线23A A 的距离为(0)d d >，则()()2212223122223121322111211y y y y d y y y y ⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭===++⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，即1d =， 所以直线23A A 与M 相切. 综上所述，直线23A A 与M 相切. 13.答案：（1）由题意得c =c a =a = 从而222321b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，若MN x ⊥轴，由MN 与221(0)x y x +=>相切可知， 直线MN 的方程为1x =，不过点F ，不合题意，所以MN 的斜率必存在且不为0. 设直线MN 的方程为(0)y kx m k =+≠. 由直线MN 与221(0)x y x+=>1=，即221k m +=.将(0)y kx m k =+≠与椭圆方程2213x y +=联立，消去y ，化简得()()222136310k xkmx m +++-=，()()22222(6)431131212360km m k m k ∆=-⨯-+=-++>.由根与系数的关系得122613kmx x k -+=+，()21223113m x x k -=+，所以||MN ===. 又221m k =+，所以||MN =（*）若点M ，N ，F 共线，则0m +，即m =. 又221k m +=，所以21k =，代入（*）式可得||MN==反之，若||MN =即2|13k k +，整理得21k =，又221k m +=，所以22m =. 又曲线221(0)x y x +=>为右半圆，则m 与k 异号，所以1k =，m =1k =-，m =即MN 的方程为y x =y x =-F ， 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN 14.答案：（1）因为122MF MF -=，所以轨迹C 为双曲线右半支，设C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，所以222217,22,,c a c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得1,4,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为221(1)16y x x -=≥.（2）设1,2T n ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，设直线11:2AB y n k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立1221,21,16y n k x y x ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩整理得()()222221111111621604k x k k n x k n k n -+---+-=，所以2111221216k k n x x k -+=-，22111221116416k n k n x x k +-+⋅=-，11||2TA x ⎫=-⎪⎭，21||2TB x ⎫=-⎪⎭，所以()()()22121122112111||||12216n k TA TB k x x k ++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭. 设直线21:2PQ y n k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，同理可得，()()22222121||||16nk TP TQ k ++⋅=-，因为||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得2212k k =.因为12k k ≠，所以120k k +=，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.15.答案：（1）点0,2p P ⎛⎫⎪⎝⎭到圆M 上的点的距离的最小值为||14142p FM -=+-=，解得2p =.（2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =，即214y x =，则12y x '=， 设切点()11,A x y ，()22,B x y ，直线PA 的方程为1111()2y y x x x -=-，又点()11,A x y 在抛物线上，所以2114x y =，所以211:24PA x x l y x =-，同理可得，222:24PB x x l y x =-，联立211222,24,24x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩从而得到1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭.设:AB l y kx b =+，联立2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理可得2440x kx b --=，所以216160k b ∆=+>，即20k b +>，且124x x k +=，124x x b =-， 所以(2,)P k b -. 因为||AB ，点P 到直线AB 的距离d所以()3221||42PABSAB d k b =⋅=+①， 又点(2,)P k b -在圆22:(4)1M x y ++=上，代入得221(4)4b k --=，代入①得，322121544PABb b S⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，而[5,3]P y b =-∈--，所以当5b =时，()maxPAB S=。
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18 / 18 专题17 平面解析几何（3）
多项选择题
1．（2019秋•潍坊期末）已知P 是椭圆22
:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且△12F PF 的面积为3，则下列说法正确的是( )
A ．P 点纵坐标为3
B ．122F PF π
∠>
C ．△12F PF
的周长为1)
D ．△12F PF
的内切圆半径为31)2
【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，在焦点三角形中由余弦定理、三角形面积公式及椭圆定义求得12tan F PF ∠，然后逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：椭圆22
184
x y +=，
a ∴=2
b =，2
c =．
又P 为椭圆上一点，1F 、2F 为左右焦点，设12F PF θ∠=，
12||||2F P PF a ∴+==12||4F F =，
2212121212||(||||)2||||2||||F F PF PF F P PF F P PF θ∴=+-- 12323||||cos 16F P PF θ=-=，得1216||||cos 3F P PF θ=． 又121||||sin 32F P PF θ=，9tan 8
θ∴=． 对于A ，由等面积法，得14||32P y ⨯⨯=，则32
P y =±，故A 错误； 对于B
，由9tan 8θ=<122F PF π∠<，故B 错误； 对于C ，△12F PF
的周长为221)a c +=，故C 正确；
对于D ，设△12F PF 的内切圆半径为r
，则14)32r =
，得31)2
r =，故D 正确． 故选：CD ．
2．（2019秋•烟台期末）已知1F ，2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若12||2||PF PF =且△12PF F 的最小内角为30︒，则( )。