2.5.2等比数列前n项求和2(新)
最新人教版高中数学必修五 等比数列前n项和公式的推导与应用优质教案
2.5 等比数列的前n2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a aa a a a a a n n n n =====---1223211...再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q qqa a S n n教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导2.等比数列前n 项和公式的应用教学难点 等比数列前n 项和公式的推导教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+q n=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生观察、独立思考、合作交流、自主探究师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+q n+q n+1生每一项就成了它后面相邻的一项师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记S n=1+q+q2+…+q n那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值生 如果q≠1，则有qq S n--=11师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果生 如果q ＝1，那么S n =n师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示： a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n师 再次提醒学生注意q 的取值如果q≠1，则有qq a a S n n --=11师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流生 如果q ＝1，S n =na 1 师 完全正确如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍师 对了，这就是认清了问题的本质师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...再由合比定理，则得qa a a a a a a a n n=++++++++-1321432......即qa S a S nn n =--1从而就有(1-q)S n =a 1-a n(以下从略思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n从而得(1-q)S n =a 1-an(以下从略师 探究中我们们应该发现，S n -S n -=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？ 生 n ＞师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜［合作探究］ 师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了生 写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ，又由q ＜0，可得31-=q 于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n于是得到300001.11)1.11(5000=--n整理得1.1n两边取对数，得n用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年答：大约5年可以使总销售量达到30 000台练习：教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)。
2.5.2等比数列前n项和公式(2)
求该数列前2m项的和。
7
例4. 已知等差数列{an}为等差数列且d≠0， {an }的部分项组成数列 {bn}，其中 bn akn 若 k1
，
1, k2 5, k3 17,
（1）求 kn
（2）若a1=2,求{an. kn}前n项和Sn
8
例5.设数列
an 满足： S
n
2an 1,
2.5.2等比数列前n项和（2）
1
一.复习回顾
1.等比数列前n项公式
当q=1时， S n na1
a1 a n q 当 q 1 时，S n 1 q
① ②
2
a1 (1 q ) 或 Sn 1 q
n
2.分段和的性质
①当q=－1且k为偶数时，
S k , S 2k S k , S 3k S 2k 不是等比数列.
(1)若 a1 a2 a10 2, a11 a12 a30 12
(2)若q 2, S99 77，则a3 a6 a9 ..... a99
(3)若q 2, a1a2a3......a99 2 ，则a3a6a9 .....a99
二.例题讲解
例1.等比数列 an 中：
(1)若Sn 2 q，求q的值
n
(2)若前 n项和与积分别为S和T，
1 数列 的前 n 项和为 an
S
'
S 求证： T ' S
2
n
5
例2.等比数列 an 中：
求 a31 a32 a60 的值。
②当q≠－1或kห้องสมุดไป่ตู้奇数时，
王新敞
奎屯
2.5.2等比数列前n项和的性质及应用
[例1]等比数列{an}中， 则 为______
[例2]等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
[例3]在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，
求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[例4]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，
（1）若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．
（2）在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝.
讨论领悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
2．前n项和的性质：“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列”，有什么条件吗？
年级
高一
学科
数学
课题
编制人
谭金国
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.理解等比数列前n项和的性质，会运用性质解题．2．能等比数列的知识解决一些综合性问题.
自学质疑
1．等比数列前n项和公式
2．等比数列前n项和公式的函数观点
且2，an，Sn成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn<2.
检测巩固
1设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于()
A．2 B.C.D．3
2一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
(1)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝是n的正比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数图象上的一些离散的点．
等比数列的前n项和(2)最新版
1
1
1
8
S8
2 2 1 1
255 256
2
练习
已知等比 an中 数 , 列
1 a 1 2 , S 3 1 . 则 q 4 2或-3
a 3
8或18
2 a 1 1 , a 4 2 则 q 1 -6 , S 4 6 185
sn=a1+a2+a3+ ······+an-1+an
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*)
q n a s 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a n 1 q a 1 q n (*
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
欢迎光临指导
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
(最新修订)新课标初中数学教学课件 2.5.2 等比数列前n项和的性质 _1-5
掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
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1
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n也成_等__比__数__列___．
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6＝___1_4_0__.
即S3n＝70.
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5
”
小狐狸狗长得俊俏，又聪明伶俐，和小狐狸、小狗们处得可融洽了，小狐狸们有义务劳动的时候，他去参加。”
蜜蜂循声音望去，果真是热闹非凡，大大小小的苍蝇乱轰轰地飞舞着，蟑螂在爬行，蛆虫在蠕动;地面上乌七糟八的东西更是应有尽有，脏土废纸菜根烂叶，还有不少鱼骨肉渣— —原来是一个兼收并蓄的大垃圾场，这就是苍蝇吹崇备至的居处。”
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题型1 等比数列前 n 项和性质的应用
例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前
3n 项的和．
自主解答：解法一：设数列为{an}，
依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.
又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，
“玻璃粉屑?”老鹰迟疑了一会。 上海松江注册公司
地主”
那人问：“你怎么了?为什么浑身发抖?” 小老鼠“吱吱”尖叫着说：“我遇见一只猫，吓得要死。最近4年来，我才明白一个人生来不能光为自己，还要为别人服务。， 他家花园里种了一丛樖鳎人们就给他起了个绰号，叫做“樖鞯刂鳌薄 他知道了这个绰号，认为这是对他的嘲弄，便把整个樖鞔匀部砍掉，以为这样一来就不会再有这样一个讨厌的绰号了?可是，树丛砍掉了，还有树桩呢!人们又开始称他为“树桩
2.5等比数列的前n项和
预习测评
1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(
a1－an－1 A．1＋ 1－a an＋1－1 C. a－1 1－an B. 1－a D．以上皆错
)
解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n. 答案：D
2．数列{2n－1}的前99项和为 A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299
15 ＝ .所以 a1＝1. 8
答案：1
要点阐释
1．等比数列前n项和公式的推导 设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和 是Sn＝a1＋a2＋…＋an. 由等比数列的通项公式可将Sn写成 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ① ①式两边同乘以q得， qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ② ①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，
1．若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项 公式？
解：∵S2＝30，S3＝155，∴a3＝S3－S2＝125， 125 即 a1· ＝125.∴a1＝ 2 . q q
2
又∵a1＋a1q＝30， 125 125 ∴ 2 ＋ q ＝30，即 6q2－25q－25＝0. q
a1＝5 解得： q＝5
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)． 即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列． 方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1 结合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2， 特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－ 1)·2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列， a 否则数列{an}不是等比数列．
典例剖析
高中数学第二章数列25等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解课件新人教A版必修
另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷 款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝
a[（1＋1.001.0－1）1 6－1]＝a(1.016－1)×102(元)． 由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 因为 1.016≈1.061，所以 a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
＝12＋121－1－1212n－1－22nn－＋11 ＝32－22nn＋＋13， 所以 Sn＝3－2n2＋n 3. 答案：3－2n2＋n 3
类型 1 等比数列求和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 解：(1)由题意知aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）30＝，155，
[变式训练] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 112＝Βιβλιοθήκη 2－16 1－q2q，
所以 q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1， 所以 n＝5.
又 Sn＝a11－－aqnq＝126， 所以 q 为 2 或12. 归纳升华 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中， 已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想 与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要判断公 比 q 是否等于 1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
2.5.2等比数列的前n项和
2.5.2等比数列的前n 项和学习目的：1.会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题2.提高分析、解决问题能力.学习重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式. 学习难点：灵活使用公式解决问题 课堂过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）2.等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a qa a n n ， )0(11≠⋅⋅=-q a qa a m m n3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;9．等比数列的前n 项和公式： ∴当1≠q 时，qq a S nn --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②. 10．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列二、例题讲解例1 已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n 2项按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式和前项和公式n S解：∵ ⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a , 解得1a ＝5, d ＝3,∴ n a ＝3n ＋2, n b ＝na 2＝3×n 2＋2,n S ＝(3×2＋2)＋ (3×22＋2)＋ (3×32＋2)＋……＋(3×n 2＋2)＝3·12)12(2--n＋2n ＝7·n 2－6.（分组求和法）例2 设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和解：（用错项相消法）1324321-+++++=n n nxx x x S ①()nn n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ②①-②()nn n nx xx x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时， ()nnn nxxxS x ---=-111xnxnxx n nn -+--=+111()xnxx n n n-++-=+1111()()21111x nxx n S n nn -++-=+当1=x 时，()214321n n n S n +=++++=例3等比数列{}n a 前n 项和与积分别为S 和T ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为'S ，求证：nS S T⎪⎭⎫ ⎝⎛='2证：当1=q 时，1na S =，na T 1=，1'a n S =，∴221111T a a n na S S nnn ==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，（成立） 当1≠q 时，∵()()()()1111,,1111111'12111--=--==--=-----q qa q qq a S qa Tqq a S n nn nn n，∴()()221211121'T q a q a S S n n n nn n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎪⎭⎫⎝⎛--，（成立） 综上所述：命题成立例4设首项为正数的等比数列，它的前n 项之和为80，前n 2项之和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列解：由题意 ()()()()81821265601118011211=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⇒=--=--nnnnqqq q a qq a代入（1）， ()()q qa n-=-18011，得：011>-=q a，从而1>q ，∴{}n a 递增，∴前n 项中数值最大的项应为第n 项∴=-11n qa ()=-=---111n n n qq qq ,54811=--n q∴3,27548111===-=--n nn qq q q，∴21311=-=-=q a ，∴此数列为 162,54,18,6,2例5求和：（x +)1()1()122nnyxyx y+++++ （其中x ≠0，x ≠1，y ≠1）分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时， （x +)1()1()122nnyxyx y+++++)111()(22nnyyyx x x +++++++=yy yxx x nn11)11(11)1(--+--=nn nn yyy xxx --+--=++1111三、练习：设数列{}n a 前n 项之和为n S ，若2,121==S S 且()202311≥=+--+n S S S n n n ，问：数列{}n a 成等比数列吗？ 解：∵02311=+--+n n n S S S ，∴()()0211=----+n n n n S S S S ，即021=-+n n a a即：21=+nn a a ()2≥n ，∴{}n a 成等比数列()2≥n又：2,1,11212211≠=-===a a S S a S a ，∴{}n a 不成等比数列，但当()2≥n 时成()2≥n ，即：()()⎩⎨⎧≥==-22111n n a n n四、小结 本节课学习了以下内容：等比数列前n 项和的性质1.mn m n mS S qS -=+⋅{}2. 2, :.n S a n q S =偶奇若等比数列有项则{}3.,0.n n n a n S S ≠若等比数列的前和为且232,,,,.kk k k k k S S S q -- 则:成等比数列且公比为熟练求和公式的应用五、课后作业：课本第68页B 组1—3。
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a 中, a 2 : 等比数列
3： 等 比 数 列 an 中 ， 连 续 四 项 之 积 16 为， 中 间 两 项 之 和 为 5, 求公比 q 4：等比数列 an 中, a3 3s2 2, a4 3s3 2 求公比
an 是 等 比 数 列 5： 数 列 , bn 是 等 差 数 列 , b1 0, 数 列cn 满 足cn
an bn ; 它 的 前 4项 依 次 为 1, a ,2a ,2求 数 列 的 前 n项 的 和 sn
6：等比数列各项均为正 数，前 n项之和为 80，其中 最大项为 54, 后n项之和为 6480 , 求此数列的项数
n是 奇 数 6n 5 7 : 数 列a n 的通项公式 an n 求其前 n项 之 和 n是 偶 数 4
2 2 2 2 a3 a7 ( a4 a6 ) a3 ( 1 q8 q2 q6 ) 2
a3 [ 1 q2 q6 ( 1 q2 )]
2
a3 ( 1 q2 )(1 q6 )
2
a3 ( 1 q ) ( 1 q q ) 0
已知数列{an}是等差数列， 结论：sk，s2k-sk，s3k-s2k成等差数列 已知数列{an}是等比数列， 结论：sk，s2k-sk，s3k-s2k成等比数列？
一课三练87例2
思考：设kN*, Sk 0 , Sk,S2K-SK,S3K-S2K成等 比数列吗？
例 2、
1 1 1 1 求和： (1) 1 3 5 2n 1 n 2 4 8 2
bn 的前 4项为 0，d ,2d ,3d
qd a q2 q 2 2d 2 2 qd q 2d 2a d 2
cn 2n1 ( 2 )( n 1 )
sn 2n n2 n 1
n是 奇 数 6n 5 7 : 数 列a n 的通项公式 an n 求其前 n项 之 和 n是 偶 数 4b4 s40 s30 b1m
3
b1 ( 1 m m2 ) s30 70 m 2, m 3( 舍 )
b2 20, b3 40, b4 80 s40 150
2 2 2 2 2 : 等比数列an 中, an 0, 公比q 1比较a3 a7 与a4 a6 的大小
(2)(a 1) (a 2) (a 3) (a n)
2 3 n
一课三练87例3
例3 : 求数列 1,3a,5a ,7a ,, (2n 1)a
2 3
n 1
的前n项的和 .
1 3 5 2n 1 练： n 2 4 8 2
小结:
1、用错位相减法求数列的和。
n 若n是 偶 数 ， an 中 有 奇 数 项 共 项 : 1,13,25 2 n n
n 2 ( 2 1) 3n2 5n 其和是 s 12 2 2 2 2 n an 中 有 偶 数 项 共 项 : 16,256,4096 2 n 16( 1 162 ) 16( 4 n 1 ) 其和是 s0 1 16 15 3n 2 5n 16( 4 n 1 ) 得s n 2 2 15
2、等比数列前n项的求和公式。
作业：
Sn
na1 （q=1）
a1 (1 q n ) 1 q （q≠1）
习题2.5 P61 —2、3、4、5
作业
1 : 等比数列an 中, s10 10, s30 70, 求s40
n n 2 2 2 2 0, 公比q 1比较a3 a7 与a4 a6 的大小
所以sn
3n 2 n 16( 4 n1 1 ) 1 ; n是 奇 数 2 2 15
3n 2 5n 16( 4 n 1 ) ; n是 偶 数 2 2 15
2 2 2 4
2
3：等比数列 an 中，连续四项之积为 16， 中间两项之和为 5 ,求公比 q
a1a2a3 a4 ( a2a3 ) 16; a2a3 4
2
1 5 41 33 5 41 33 41 q ,4 , , 4 5 41 8 8
5 41 故a2 , a3是 方 程 x 5 x 4 0的 根, 得x 4 ,1, 2
2
an 是 等 比 数 列 5： 数 列 , bn 是 等 差 数 列 , b1 0, 数 列cn 满 足cn
an bn ; 它 的 前 4项 依 次 为 1, a ,2a ,2求 数 列 的 前 n项 的 和 sn
b1 a1 1 a 1;an 的前4项为 1，q , q 2 , q 3
1,16 ,13 ,256 ,25 ,4096 ,
an 中的前 若n是奇数， n 1项是前偶数项 ,其和是
得sn1 3( n 1 )2 5( n 1 ) 16( 4n1 1 ) 2 2 15 3( n 1 )2 5( n 1 ) 16( 4n1 1 ) 故sn sn1 an 6n 5 2 2 15 3n 2 n 16( 4 n1 1 ) 得sn 1 2 2 15
1 : 等比数列an 中, s10 10, s30 70, 求s40
令b1 s10
b2 s20 s10 a11 a12 a20 a1q10 a2q10 a10q10
q10 ( a1a2 a10 ) b1m( m q10 0 )
复习回顾:等比数列的前n项求和
Sn
na1
a1 (1 q ) 1 q
n
（q=1） （q≠1）
练习1：已知数列 a n 为等比数列，且 n Sn 3 t 则 t =
练习2：等比数列各项均为正 数， 前n项之和为 80，其中最大项为 54, 前2n项之和为 6560 , 求此数列的公比