2001年高考数学试题(全国文)

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2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1（B ）2（C ）4（D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21]（C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞）(5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是o（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab （D ）2>ab （9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3（B ）○1○4（C ）○2○3（D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001年高考数学(全国卷)

2001 年普通高等学校招生全国统一考试(02)（ 1）若sin cos0，则在()（ A ）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限（ 2）过点A 1, 1、B1,1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是( )（A ）（C）x 3 2y 1 24x 1 2y 1 24（B）（D）x 3x 122y 142y 1 24（ 3）设a n是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()（A ）1（B）2（ C）4（D） 641，0内的函数f x log 2 a x1满足 f ( x)0 ，则a的取值范围是()（）若定义在区间（A ）（0，1）（B）（0，1]（C）（1，+）（D ）（0， +）222(5) 极坐标方程2sin() 的图形是()4ox ox 1111xo o x （ A ）（ B）（ C）（D ）（ 6）函数y cos x1(x0) 的反函数是()（ A ）y arccos(x 1)(0x2)（ B）y arccos(x1)(0x2)（ C）y arccos(x1)(0x2)（D ）y arccos(x1)(0x2)（ 7）若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2 (3,0) ，则其离心率为 ()（A）3（B）2（C）1（D）1 4324（8）若0， sin cos a ， sin cos b ，则()4（ A ）a b（ B）a b（ C）ab 1（ D）ab 2（ 9）在正三棱柱ABC A1B1C1中，若 AB2BB1，则 AB1与 C1 B 所成的角的大小为()（A ）60°（B ）90°（C） 105°（D ）75°（ 10）设f ( x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：若f (x) 单调递增， g (x)若f (x) 单调递增， g (x)若f (x) 单调递减， g (x)单调递增，则单调递减，则单调递增，则f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)单调递增；单调递增；单调递减；○4 若f ( x)单调递减，g( x) 单调递减，则 f (x)g ( x) 单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3（B）○1○4（C）○2○3（D）○2○4（ 11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 P1、 P2、 P3.①②③若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则( )（A ）P3P2P1（B） P3P2P1（C） P3P2P1（D） P3P2P1（ 12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

【高考数学试题】2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案

【高考数学试题】2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式 ()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21] （C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75°（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x（C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x（3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21] （C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π （7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001年高考试题——数学文(江西卷)及答案

数学 (江西、山西、天津卷)文科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式：正棱锥、圆锥的侧面积公式如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于（A ）0（B ）{0}（C ）φ（D ）{－1，0，1}（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列（B ）等差数列，但不是等比数列（C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（3，2），b =（0，－1），c =（－1，2），则向量2b －a 的坐标是（A ）（3，-4）（B ）（-3，4）（C ）（3，4）（D ）（-3，-4）（6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是（A ）05=-+y x（B ）012=--y xcl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为（A ）43（B ）32 （C ）21 （D ）41 （9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分. 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜. 记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1（B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是．（14）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为．（15）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）（16）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为S n ，S k =2550．（Ⅰ）求a 及k 的值；（Ⅱ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→（18）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？（19）（本小题满分12分）如图，用A、B、C三类不同的无件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2．N1 N2注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分．（20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox//BC ，Oy//AB ．E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（Ⅰ）求;,cos ><DE BE（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求cos ∠BED 的值．（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，SBC⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ， SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．试确定a 、b 的值．并求出 f （x ）的单调区间．（22）（本小题满分14分）设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算（13）2 （14）16 （15）② （16）1 三、解答题（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．解：（I ）设该等差数列为{a n }，则.2550,3,4,321====k S a a a a a由已知有,423⨯=+a a 解得首项,21==a a 公差.22412=-=-=a a d代入公式d k k a k S k ⋅-+⋅=2)1(1得.255022)1(2=⋅-+⋅k k k 即,025502=-+k k 解得k=50，k=－51（舍去） 50,2==∴k a （II ）由),1(2)1(1+=⋅-+⋅=n n S d n n a n S n n 得 )1(132121111121+++⨯+⨯=+++∴n n S S S n,111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力．解：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，则.48402=x λ设纸张面积为S ，有,160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ 将λ1022=x 代入上式得).58(10445000λλ++=S当,58λλ=即)185(85<=λ时，S 取得最小值．此时，高：,884840cm x ==λ宽：.558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小．（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率 P 1=P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N 1正常工作的概率为0.648. （II ）系统N 2正常工作的概率)],()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(=-=-==-=-=C P C P B P B P.792.099.080.0]10.010.01[80.02=⨯=⨯-⨯=∴P故系统N 2正常工作的概率为0.792.（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a h a a =--=,42322)232()223(22h a h h a a a a +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴.1021)2()2()23(||||22222h a h a a +=+-+-==由向量的数量积公式有.10610211021423,cos 2222222222ha h a h a h a h a DE BE ++-=+⋅++-=< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV ⊥，即有CVBE ⋅=0．又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a -=且),2,2,23(h a a BE --=,02223222=++-=⋅∴h a a CV BE 即,2a h =这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE.31cos -=∠∴BED 即（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC∴四棱锥S —ABCD 的体积是 V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯= =41.（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC, BC=2AD, ∴EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∴ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角.∵,,1,222SB BC BC AB SA B S ⊥==+=∴.22tan ==∠SBBC BSC即所求二面角的正切值为.22（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的能力．解：由已知，可得,1231)1(-=+-=b a f ① 又,263)(2b ax x x f +-='.0263)1(=+-='∴b a f ②ES CADB由①、②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,31b a 故函数的解析式为.)(23x x x x f --=由此得.123)(2--='x x x f根据二次函数的性质，当31-<x 或x ＞1时，;0)(>'x f当131<<-x 时，.0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数f （x ）为增函数；在区间)1,31(-内，函数f （x ）为减函数．（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．解：（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθϑθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π （II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r 因为θc os 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4。

2001年全国高考文科数学(江西、山西、天津)卷

2001年全国高考文科数学(江西、山西、天津)卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长.棱锥、圆锥的体积公式sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高. 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于 ( )（A ）0（B ）{0}（C ）φ （D ）{－1，0，1}（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是 ( )（A ）等比数列，但不是等差数列（B ）等差数列，但不是等比数列（C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( )（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是( )（A ）)21,0( （B ）]21,0(（C ）),21(+∞ （D ）),0(+∞（5）若向量a=（3，2），b=（0，－1），c=（－1，2），则向量2b －a 的坐标是 ( )（A ）（3，-4）（B ）（-3，4）（C ）（3，4）（D ）（-3，-4）（6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是 ( ) （A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα ( )（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab （D ）2>ab（8）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为 ( )（A ）43（B ）32 （C ）21 （D ）41 （9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分. 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 ( )（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅( ) （A ）43（B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜, 记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（）（A ）P 3＞P 2＞P 1 （B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是．（14）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为．（15）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）（16）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q= .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为S n ，S k =2550．（Ⅰ）求a 及k 的值；（Ⅱ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→（18）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？（19）（本小题满分12分）如图，用A 、B 、C 三类不同的无件连接成两个系统N 1、N 2．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2．注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分．（20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox//BC ，Oy//AB ．E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（Ⅰ）求;,cos ><（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求cos ∠BED 的值．（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．试确定a 、b 的值．并求出 f （x ）的单调区间．（22）（本小题满分14分）设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算（13）2 （14）16 （15）② （16）1 三、解答题（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．解：（I ）设该等差数列为{a n }，则.2550,3,4,321====k S a a a a a由已知有,423⨯=+a a 解得首项,21==a a 公差.22412=-=-=a a d 代入公式d k k a k S k ⋅-+⋅=2)1(1得.255022)1(2=⋅-+⋅k k k 即,025502=-+k k 解得k=50，k=－51（舍去） 50,2==∴k a （II ）由),1(2)1(1+=⋅-+⋅=n n S d n n a n S n n 得 )1(132121111121+++⨯+⨯=+++∴n n S S S n,111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力．解：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，则.48402=x λ 设纸张面积为S ，有160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ 将λ1022=x 代入上式得).58(10445000λλ++=S当,58λλ=即)185(85<=λ时，S 取得最小值．此时，高：,884840cm x ==λ宽：.558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小．（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率 P 1=P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.80×0.90×0.90=0.648.故系统N 1正常工作的概率为0.648. （II ）系统N 2正常工作的概率)],()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(=-=-==-=-=C P P B P P 792.099.080.0]10.010.01[80.02=⨯=⨯-⨯=P故系统N 2正常工作的概率为0.792.（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a h a a =--=,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴.1021)2()2()23(||||22222h a h a a +=+-+-==由向量的数量积公式有.10610211021423||||,cos 2222222222ha h a h a h a h a DE BE DE BE ++-=+⋅++-=⋅< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⊥，即有CV BE ⋅=0．又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a -=且),2,2,23(h a a --=,02223222=++-=⋅∴h a a 即,2a h =这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE.31cos -=∠∴BED 即（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC∴四棱锥S —ABCD 的体积是 V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯= =41.（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC, BC=2AD, ∴EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∴ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是CS 在ES CADB面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角.∵,,1,222SB BC BC AB SA B S ⊥==+=∴.22tan ==∠SBBC BSC即所求二面角的正切值为.22（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的能力．解：由已知，可得,1231)1(-=+-=b a f ① 又,263)(2b ax x x f +-='.0263)1(=+-='∴b a f ②由①、②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,31b a 故函数的解析式为.)(23x x x x f --=由此得.123)(2--='x x x f根据二次函数的性质，当31-<x 或x ＞1时，;0)(>'x f当131<<-x 时，.0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数f （x ）为增函数；在区间)1,31(-内，函数f （x ）为减函数．（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．解：（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθϑθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4。

2001年春季高考.(北京、内蒙古、安徽卷).文科数学试题及答案

| AB | 5 ，则 | AF1 | | BF1 |
（A）11
（B）10
（C）9
（D）16
（6）设动点 P 在直线 x 1上，O 为坐标原点．以 OP 为直角边、点 O 为直角顶点作等腰
RtOPQ ，则动点 Q 的轨迹是
（A）圆
（B）两条平行直线
（C）抛物线（D）双曲线
（7）已知 f (x6 ) log 2 x ，那么 f (8) 等于
以上四个命题中，正确命题的序号是
（A）①②③
（B）②④
（C）③④
（D）②③④
（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn （万
件）近似地满足
Sn
n (21n n2 90
5)(n
1,2,,12)
按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是
（A）5 月、6 月
球体的体积公式
V球
4 R3 3
sin sin 1 [cos( ) cos2 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
（1）集体 M 1,2,3,4,5的子集个数是
（A）32
（B）31
4
（A）
3
（B）8
（C）18
1
（D）
2
（8）若 A、B 是锐角 ABC 的两个内角，则点 P(cos B sin A, sin B cos A) 在
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）
是
（A） 30

2001年高考数学试题及答案(全国文)

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为( )(A) 31+(B) 31-(C) 3-1+1--(D) 3(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x－3)2＋(y＋1)2 = 4 (B) (x＋3)2＋(y－1)2 = 4(C) (x－1)2＋(y－1)2 = 4 (D) (x＋1)2＋(y＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是()(A)(210，)(B) ⎥⎦⎤⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg 是 () (A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是 ()(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x (D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x (7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 () (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 () (A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B所成的角的大小为()(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：()①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；④若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减．其中，正确的命题是()(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D)②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则()(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ()(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为．(14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为．(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = ．(16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________ ．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA= 4 求四边形ABCD 的面积．(20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) ·f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 及⎪⎭⎫⎝⎛41f ；(Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．16（15）1 （16）（13）15 （14）52n (n－1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝，则a 1 = a ，a 2 = 4，a 3 = 3a ，S k =2550．由已知有a ＋3a = 2×4，解得首项a 1 = a = 2，公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得()25502212=⋅-+⋅k k k ，整理得 k 2＋k －2550 = 0，解得 k = 50，k = －51（舍去）．∴ a = 2，k =50． ——6分（Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1)，∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n ， ——9分∴1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ． ——12分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ，——2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯= 41=．——4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ——6分 ∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC是所求二面角的平面角． ——10分∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ， ∴ tg ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ——12分（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°，∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在△ABD 中，BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cosA ，在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C= 52－48cos C ，——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C∵ cos C = －cos A ， ∴ 64cos A =－32，21cos -=A ，∴ A = 120°， ∴38120sin 16=︒=S ．——12分（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=；——4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ——8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点C 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ——12分（21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λ x 2 = 4840．设纸张面积为S ，有S = (x ＋16) (λ x ＋10) =λx 2＋(16λ＋10)x ＋160，——3分将λ1022=x 代入上式，得)58(10445000λλ++=S ．——6分当λλ58=时，即)185(85<=λ时，S取得最小值． ——8分此时，高：cm 884840==λx ，宽：cm 558885=⨯=x λ．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ——12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，x 1 x 2∈[0，21]知 =)(x f f (2x) · f (2x)≥0，x ∈[0，1]． ——2分∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2， 2)1(=f ，∴ f(21)212=．——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=， f (21)212=，∴ f(41)412=．——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称，故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f(x )=f(2－x )，x∈R ． ——11分又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴f (－x) = f (2－x) ，x∈R，将上式中－x以x代换，得f (x) = f (x＋2)，x∈R．这表明 f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．——14分。

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