2001年春季高考数学试题(上海)

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2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）
数学
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．
1．函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f ______．
2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z =________．
3．函数x
x y cos 1sin -=的最小正周期为________． 4．二项式6)1(x
x +的展开式中常数项的值为________． 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．
6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．
7．计算：n n n n )1
3(
lim ++∞→=________． 8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________． 9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）
10．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2
b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、
c 都能成立的一个等式可以是_______。

11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题：
（1）对任意的φ，)(x f 都是非奇非偶函数；
（2）不存在φ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在φ，使)(x f 是奇函数；
（4）对任意的φ，)(x f 都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_______。

因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。

12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%。

乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。

按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元。

（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13．若a 、b 为实数，则0>>b a 是22b a >的（ ）
（A ）充分不必要条件．
（B ）必要不充分条件．
（C ）充要条件．
（D ）既非充分条件也非必要条件．
14．若直线1=x 的倾斜角为α，则α（ ）
（A ）等于0 （B ）等于
4π （C ）等于2
π （D ）不存在 15．若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为（ ）
（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β．
（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β．
（C ）过点P 且垂直于β的直线在α内． （D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内．
16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（ ）
（A ）}{12+k a （B ）}{13+k a （C ）}{14+k a （D ）}{16+k a
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
已知R 为全集，}12
5|
{},2)3(log |{21≥+=-≥-=x x B x x A ，求B A 18．（本题满分12分） 已知)2
4(12sin sin 22π<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．
（1）求a 关于h 的函数解析式；
（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分。

在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥。

（1）求证：AEF C A 平面⊥1； （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。

试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小。

（用反三角函数值表示）
21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分。

已知椭圆C 的方程为1222
=+y x ，点),(b a P 的坐标满足12
22≤+b a 。

过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：
（1）点Q 的轨迹方程；
（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数． 22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．
已知}{n a 是首项为2，公比为
2
1的等比数列，n S 为它的前n 项和． （1）用n S 表示1+n S ；
（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立．。