华东师大版八年级数学下册思想方法专题矩形中的折叠问题
思想方法专题：矩形中的折叠问题人教八年级下册数学
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )A．3 B.245C．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED ＝10°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝1 2 BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝错误!未定义书签。
八年级数学下册思想方法专题矩形中的折叠问题新版华东师大版
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C′,D′处,C′E交AF于点G,若∠CEF＝70°,则∠GFD′＝________．第1题图第2题图2．如图,数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD,使AD和BC重合,得到折痕EF,把纸片展平；(2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长【方法17】3．(黔南州期末)如图,把一张矩形的纸沿对角线BD折叠,若AD＝8,CE＝3,则DE＝________．第3题图第4题图4．如图,矩形ABCD中,AB＝5,BC＝4,将矩形折叠,使得点B落在线段CD上的点F处,则线段BE的长为________．5．(威海中考)如图,在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为________．第5题图第6题图◆类型三折叠中求面积6．(桂林灌阳县期中)如图,在矩形ABCD中,BC＝8,CD＝6,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC交AD于点E,则△BDE的面积为( )A.754B.214C．21 D．247．如图,有一块矩形纸片ABCD,AB＝8,AD＝6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△ADE沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )A.12B.98C．2 D．48．★(福州中考)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM 对折,得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长(提示：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)；(2)连接BN,当DM＝1时,求△ABN的面积．参考答案与解析1．40° 2.B 3.54．2.5 解析：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠D＝90°.∵将矩形折叠,使得点B落在线段CD 上的点F 处,∴AF ＝AB ＝5,AD ＝BC ＝4,EF ＝BF .在Rt△ADF 中,由勾股定理,得DF ＝AF 2－AD 2＝3.在矩形ABCD 中,∵DC ＝AB ＝5,∴CF ＝DC －DF ＝2.设EC ＝x ,则EF ＝BE ＝4－x .在Rt△CEF 中,CE 2＋CF 2＝EF 2,即x 2＋22＝(4－x )2,解得x ＝1.5.∴BE ＝4－1.5＝2.5.5.185解析：连接BF 交AE 于H ,由折叠可知,AB ＝AF ,∠BAE ＝∠FAE ,∴AH ⊥BF ,BH ＝FH .∵BC ＝6,点E 为BC 的中点,∴EC ＝BE ＝3.又∵AB ＝4,∴AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∴BH ＝125,则BF ＝245.∵FE ＝BE ＝EC ,∴∠EBF ＝∠EFB ,∠EFC ＝∠ECF ,∴∠BFC ＝∠BFE ＋∠CFE ＝12×180°＝90°.∴CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝185. 6．A 7.C8．解：(1)由折叠得∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ,∠MAN ＝∠NAB ,∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DAB ＝90°,∴∠DAM ＝13∠DAB ＝30°,∴DM ＝12AM .设DM ＝x ,则AM ＝2x ,在Rt△ADM 中,AD 2＋DM 2＝AM 2,即32＋x 2＝(2x )2,解得x ＝3,∴DM ＝ 3.(2)如图,延长MN 交AB 的延长线于点Q ,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥DC ,∴∠DMA ＝∠MAQ ,由折叠得∠DMA ＝∠AMQ ,AN ＝AD ＝3,MN ＝MD ＝1,∴∠MAQ ＝∠AMQ ,∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ,则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝∠D ＝90°,∴∠ANQ ＝90°.在Rt△ANQ 中,由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2,∴(x ＋1)2＝32＋x 2,解得x ＝4,∴NQ ＝4,AQ ＝5.∵△ANB 与△ANQ 在AB 边上的高相等,AB ＝4,AQ ＝5,∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.。
2020八年级数学下册试题 解题技巧专题：矩形中的折叠问题
解题技巧专题：矩形中的折叠问题——找准方法，快准解题◆类型一 折叠中求角度1．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45°◆类型二 折叠中求线段长【方法9】3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，使B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处，则AB ＝________．第3题图 第4题图4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD 为2cm ，点E 在AB 上，如果沿图中的EC 对折，B 点刚好落在AD 上的B ′处，此时∠BCE ＝15°，则BC 的长为________．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使A 点恰好落在对角线BD 上的点A ′处，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1 B.43 C.32D ．2第5题图 第6题图◆类型三 折叠中求面积6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则△BDE 的面积为( )A.754B.214C ．21D ．247．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△ADE 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98C ．2D ．4 8．★(福州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM .(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；(2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积．参考答案与解析1．B 2.B 3.3 4.4cm 5.C 6.A 7.C8．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ 3.(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ.由(1)知△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN ＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.。
思想方法专题：矩形中的折叠问题人教八年级下册数学
思想方法专题：矩形中的折叠问题大地二中张清泉——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )A．3 B.245C．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若A＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝5°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5. 185 解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝错误!AE ·BH ，∴BH ＝错误!，则BF ＝2BH ＝错误!.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝错误!＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，错误!∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB ∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×1 2×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。
思想方法专题矩形中的折叠问题
思想方法专题矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题是数学中的一个经典问题，涉及到几何形状的变换和计算。
这个问题可以帮助我们锻炼思维能力，培养抽象思维和空间想象能力，同时也有助于解决实际生活中的一些问题。
首先，我们来具体描述一下矩形中的折叠问题。
假设有一张长为a，宽为b的矩形纸，我们可以将其沿着一条边折叠，并将两边粘合在一起，形成一个三维的物体。
那么，这个折叠后的物体的体积是多少呢？要解决这个问题，我们首先需要明确物体的形状。
物体是由两个相同的矩形面围成的，形成一个长方体。
其中，折叠出的两个面作为上下两个底面，长度为a，宽度为b；而另外两个面作为侧面，长度为b，宽度为折叠的厚度。
接下来，我们需要确定物体的厚度。
厚度取决于折叠的方式。
如果将矩形纸沿着长边折叠，那么物体的厚度为a；如果将矩形纸沿着短边折叠，那么物体的厚度为b。
有了这些信息，我们就可以计算物体的体积了。
物体的体积可以通过长方体的体积公式来计算，即V=a*b*h，其中V表示体积，a表示底面的长度，b表示底面的宽度，h表示高度或厚度。
由于问题中给出的是矩形纸的长和宽，我们还需要确定折叠的方式。
不同的折叠方式会得到不同的厚度，从而得到不同的体积。
因此，我们需要分别计算两种折叠方式下的体积，并找出较大的那个作为最终的结果。
那么，如何确定哪种折叠方式下的体积较大呢？我们可以通过比较高度来判断。
在折叠过程中，长边折叠得到的物体的高度为a，短边折叠得到的物体的高度为b。
由于长边折叠得到的物体的高度大于短边折叠得到的物体的高度，所以长边折叠得到的体积必然大于短边折叠得到的体积。
经过上述分析，我们得出结论：在矩形中的折叠问题中，长边折叠得到的体积较大，为a*b*a；短边折叠得到的体积较小，为a*b*b。
总结起来，矩形中的折叠问题可以通过分析物体的形状和厚度，利用长方体的体积公式进行计算。
通过比较两种折叠方式下的体积，我们可以得出哪种方式的折叠会得到更大的物体。
数学八年级下册第19章专题课堂四矩形中的折叠问题作业课件 华东师大版
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一 点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且 • (1)求证：AP＝DG；OE＝OD，BE与CD相交于点G.
• (2)求线段CG的长．
(1)易证△ODP≌△OEG(ASA)，∴OP＝OG， ∴DG＝EP，∵翻折，∴AP＝PE，∴AP＝DG (2)设 AP＝EP＝x，则 PD＝GE＝6－x，DG ＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋ x，由勾股定理得 BC2＋CG2＝BG2，即 62＋ (8－x)2＝(x＋2)2，解得 x＝4.8，∴AP＝ 4.8，∴CG＝8－4.8＝3.2
ADF 中，由勾股定理得 AD＝6 cm
二、沿仅过矩形的一个顶点的直线折叠
• 【例2】如图，将矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D 落在BC上的F点处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求 FE的长．
• 分析：如图，根据题意结合图形，首先求出BF的长度， 进而求出AF的长度；在Rt△CEF中，根据勾股定理列出 关于线段EF的方)易证△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF＝ DF (2)∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD＝BC＝3，
CD＝AB＝ 3，∵△AEF≌△CDF，∴FC＝FA， 设 FA＝x，则 FC＝x，FD＝3－x，在 Rt△ CDF 中，CF2＝CD2＋DF2，即 x2＝( 3)2＋(3 －x)2，解得 x＝2，∴折叠后的重叠部分 的面积为：12·AF·CD＝12×2× 3＝ 3
• (1)求证：△FGC≌△EBC；
• (2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面 积．
(1)由 ASA 可证△FGC≌△EBC (2) 由(1)知，S 四边形 ＝S ECGF 四边形 ＝S EADF 四边形 ＝ EBCF 1 2S 矩形 ABCD.∵AB＝8，AD＝4，∴S ＝8 矩形 ABCD ×4＝32，∴S 阴影＝16
思想方法专题矩形中的折叠问题
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一矩形折叠问题中直接求长度或角度1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝_______°.第1题图第2题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF 折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为______cm.◆类型二矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度3．如图，点O是矩形ABCD 的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A．2 3 B.323 C. 3 D．6第3题图第4题图4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝55cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为__________cm.◆类型三矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y 轴于D点，则D点的坐标为_________．第5题图第6题图6．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为______．7．★如图①，将矩形ABCD 沿DE折叠，使顶点A落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B 恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD 和AB的长．思想方法专题：矩形中的折叠问题答案 1．65 2.6 23．A 解析：由题意可得∠OCE ＝∠BCE ，∠COE ＝∠B ＝90°.又∵OA ＝OC ，∴OE 垂直平分AC ，∴EA ＝EC ，∴∠CAE ＝∠OCE .∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠CAE .∴∠BCE ＝∠OCE ＝∠ACD ＝30°，∴BE ＝12CE .在Rt△BCE 中，CE 2－BE 2＝BC 2，即CE2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12CE 2＝32，∴CE ＝2 3.故选A.4．36 解析：设EC ＝3x cm ，FC ＝4x cm ，则DE ＝EF ＝5x cm ，∴AB ＝DC ＝8x cm.又∵BF ∶AB ＝3∶4，∴BF ＝6x cm ，∴AD ＝BC ＝10x cm.在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，即(10x )2＋(5x )2＝(55)2，解得x ＝1(取正值)．∴AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，∴矩形ABCD 的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．5．(0，2.1) 解析：∵矩形OABC 中，OA ＝2，AB ＝5，∴BC ＝2，OC ＝5.∵把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ′C ，∴B ′C＝BC ，∠B ′＝∠B ＝90°，∴AO ＝CB ′，∠AOD ＝∠B ′.又∵∠ADO ＝∠CDB ′，∴△AOD ≌△CB ′D ，∴AD ＝CD .设OD ＝x ，则AD ＝CD ＝5－x .在Rt △AOD 中，AD 2＝OA 2＋OD 2，∴(5－x )2＝22＋x 2，∴x ＝2.1.∴D 点的坐标为(0，2.1)．6.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2452＝185. 7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，AD ＝BC .由折叠的性质可得∠ADE ＝∠A ′DE ＝12∠ADC ＝45°，AE ＝EG ，BC ＝CH ，∴∠AED ＝90°－∠ADE ＝45°＝∠ADE ，∴AE ＝AD ＝BC ，∴EG ＝CH ；(2)解：由折叠的性质可得∠FGE ＝∠A ＝90°，GF ＝AF ＝2.由(1)可知∠ADE ＝45°，∴∠DFG ＝90°－∠ADE ＝45°＝∠ADE ，∴DG ＝GF ＝2，∴DF ＝DG 2＋FG 2＝2，∴AD ＝AF＋DF ＝2＋2.由折叠的性质可知∠AEF ＝∠GEF ，∠BEC ＝∠HEC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90°.又∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠BEC ＝∠AFE .由(1)可知AE ＝AD ＝BC .在△AEF 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCE (AAS)，∴AF ＝BE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝22＋2. 构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
中考数学解题技巧专题矩形中的折叠问题
解题技巧专题：矩形中的折叠问题——找准方法，快准解题◆类型一折叠中求角度1．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45°◆类型二 折叠中求线段长【方法9】3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，使B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处，则AB ＝________．第3题图 第4题图4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD 为2cm ，点E 在AB 上，如果沿图中的EC 对折，B 点刚好落在AD 上的B ′处，此时∠BCE ＝15°，则BC 的长为________．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使A 点恰好落在对角线BD 上的点A ′处，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1 B.43 C.32D ．2第5题图 第6题图◆类型三 折叠中求面积6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则△BDE 的面积为( ) A.754 B.214C ．21D ．24 7．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△ADE 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98C ．2D ．4 8．★(福州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 2.B 3. 3 4.4cm 5.C 6.A 7.C8．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM ＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ 3.(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ.由(1)知△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan∠OAB ＝12，则AB 的长是( )A ．4B .23C ．8D .43第1题图 第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB 长度的最小值为( )A ．1B . 2C . 3D ．27．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC.若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为________．8．★如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM ·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。
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思想方法专题：矩形中的折叠问题
——体会折叠中的方程思想及数形结合思想
◆类型一折叠中求角度
1．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E 交AF于点G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________．
第1题图第2题图
2．如图，数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
◆类型二折叠中求线段长【方法17】
3．(黔南州期末)如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD＝8，CE＝3，则DE＝________．
第3题图第4题图
4．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD上的点F 处，则线段BE的长为________．
5．(威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为________．
第5题图第6题图
◆类型三折叠中求面积
6．(桂林灌阳县期中)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC交AD于点E，则△BDE的面积为( )
A.75
4
B.
21
4
C．21 D．24
7．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，
折痕为AE，再将△ADE沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为( )
A.1
2
B.
9
8
C．2 D．4
8．★(福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
参考答案与解析
1．40° 2.B 3.5
4．2.5 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°.∵将矩形折叠，使得点B
落在线段CD 上的点F 处，∴AF ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝4，EF ＝BF .在Rt△ADF 中，由勾股定理，得DF ＝AF 2
－AD 2
＝3.在矩形ABCD 中，∵DC ＝AB ＝5，∴CF ＝DC －DF ＝2.设EC ＝x ，则EF ＝BE ＝4－x .在Rt△CEF 中，CE 2＋CF 2＝EF 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝1.5.∴BE ＝4－1.5＝2.5.
5.
18
5
解析：连接BF 交AE 于H ，由折叠可知，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴EC ＝BE ＝3.又∵AB ＝4，∴AE ＝AB 2＋BE 2
＝5.∴BH ＝125，
则BF ＝24
5
.
∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠EBF ＝∠EFB ，∠EFC ＝∠ECF ，∴∠BFC ＝∠BFE ＋∠CFE ＝1
2×180°
＝90°.∴CF ＝BC 2
－BF 2
＝
62
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2452
＝185.
6．A 7.C
8．解：(1)由折叠得∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，
∴∠DAM ＝13∠DAB ＝30°，∴DM ＝12AM .设DM ＝x ，则AM ＝2x ，在Rt△ADM 中，AD 2＋DM
2
＝AM 2
，即32
＋x 2
＝(2x )2
，解得x ＝3，∴DM ＝ 3.
(2)如图，延长MN 交AB 的延长线于点Q ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠得∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝∠D ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt△ANQ 中，
由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，∴(x ＋1)2＝32＋x 2
，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5.∵△ANB 与△ANQ 在AB 边上的高相等，AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12AN ·NQ ＝45×12×3×4＝24
5
.。