2015年高考真题：文科数学(山东卷)试卷(含答案)

第Ⅰ卷（共50分）

一、

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合要求的

1. 已知集合A={x|2

试题分析：因为B =

｛x|1

1z

i

-=i ，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i 【答案】C

考点：1.复数的运算；2.共轭复数.

3. 设a=0.60.6

，b=0.61.5

，c=1.50.6

，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C 【解析】

试题分析：由0.6x

y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.5

0.600.6

0.61<<<，又

0.61.51>，故选C.

考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小. 4. 要得到函数y=sin （4x-

3

π

）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ） （A ）．向左平移

12

π

个单位 （B ）向右平移

12

π

个单位

（C ）.向左平移3π个单位 （D ）向右平移3

π

个单位 【答案】B

考点：三角函数图象的变换.

5. 设m R ∈,命题“若m>0,则方程2

0x x m +-=有实根”的逆否命题是( ) A.若方程2

0x x m +-=有实根，则>0 B.若方程2

0x x m +-=有实根，则

.若方程20x x m +-=没有实根，则>0 .若方程2

0x x m +-=没有实根，则0

【答案】D 【解析】

试题分析：一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.

考点：命题的四种形式.

6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) （A ）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 【答案】

B

考点：1.茎叶图；2.平均数、方差、标准差.

7. 在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“12

1-1log 2

x ≤+≤（）

1”发生的概率为( ) （A ）

34 （B ）23 （C ）13 （D ）14

【答案】A 【解析】

试题分析：由12

1

-1log 2

x ≤+≤（）

1得，111

222

11113

log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，30

3

2204

P -==-，故选A.

考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.

8. 若函数21

()2x x f x a

+=-是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )

（A ）( ) (B)(

) （C ）（0,1） （D ）（1，+）

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意()()f x f x =--，即2121

,22x x x

x

a a --++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21

()321

x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C.

考点：1.函数的奇偶性；2.指数运算.

9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （）（）

（）

22π

（）

42π

【答案】B

考点：1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积. 10. 设函数3,1()2,1

x

x b x f x x -

≥?，若5

(())46f f =，则b=( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)1

2

【答案】D 【解析】

试题分析：由题意，555()3,662f b b =?-=-由5(())46f f =得，5

12

53()42

b b b ?-

5

25

1224

b

b -?-≥???=?，解得1

2b =，故选D. 考点：1.分段函数；2.函数与方程.

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. 执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y

的值是

.

【答案】13

考点：算法与程序框图.

12. 若x,y 满足约束条件13,1y x x y y -≤??

+≤??≥?

则3z x y =+的最大值为 .

【答案】7 【解析】

试题分析：画出可行域及直线30x y +=，平移直线30x y +=，当其经过点(1,2)A 时，直线的纵截距最大，所以3z x y =+最大为1327z =+?=.

考点：简单线性规划. 13. 过点P （1，）作圆

的两条切线，切点分别为A ，B ，则

=

.

【答案】

3

2

考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.

14. 定义运算“?”： 22

x y x y xy

-?=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，

(2)x y y x ?+?的最小值是 .

2 【解析】

试题分析：由新定义运算知，

2222

(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy --?==，因为，00x y >>，，

所以，2222224222(2)2222x y y x x y xy

x y y x xy xy xy xy

--+?+?=+=≥=2x =时，(2)x y y x ?+?2.

考点：1.新定义运算；2.基本不等式.

15. 过双曲线C ：22

221x y a a

-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于

点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 . 【答案】23+

考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16. （本小题满分12分）

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团

未参加书法社团

参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2

30

（1） 从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）

在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，

A 3，A 4，A 5,3名女同学

B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.

【答案】(1) 13；(2)2

15

. 【解析】

试题分析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，利用公式计算即得.

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B ，共15个.

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}A B A B ，共2个. 应用公式计算即得.

试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151

.453

P =

= (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B ，共15个.

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}A B A B ，共2个. 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215

P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率. 17. (本小题满分12分)

ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知

cos ()B A B ac =

+==求sin A 和c 的值.

【答案】

3

由正弦定理可得23a c =，结合23ac =即得.

试题解析：在ABC ?中，由3cos B =

6sin B =因为A B C π++=，所以6

sin sin()9

C A B =+=

， 因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，3

cos 9

C =

， 因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+653362239393

=

?+?=. 由,sin sin a c A C =可得2

sin 33sin 6

c

c A a c C =

==，又23ac =1c =. 考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.

18. 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

【答案】证明见解析

思路二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得HBEF 为平行四边形， //.BE HF 在ABC ?中，G H ，分别为AC BC ，的中点， 得到//,GH AB 又GH HF H ?=， 得到平面//FGH 平面ABED .

(II)证明：连接HE .根据 G H ，分别为AC BC ，的中点，得到 //,GH AB 由,AB BC ⊥得

GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，得到四边形EFCH 是平行四边形，从而 //.CF HE

又CF BC ⊥，得到 HE BC ⊥.

试题解析：（I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ?=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ?平面FGH ，BD ?平面FGH ，所以//BD 平面FGH .

证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点，

可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ?中，G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ?=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ?平面ABED ， 所以//BD 平面FGH

.

(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得

GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四

边形，所以//.CF HE 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.

又,HE GH ?平面EGH ，HE GH H ?=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ?平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 考点：1.平行关系；2.垂直关系. 19. （本小题满分12分）

已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +?

??????

的前n 项和为

21n

n +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设()12n a

n n b a =+?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 1

4(31)4.9

n n n T ++-?=

【解析】

试题分析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，

令1,n =得

1211

3

a a =，得到 123a a =. 令2,n =得

12231125

a a a a +=，得到 2315a a =. 解得11,2a d ==即得解.

（II ）由（I ）知24

22

4,n n n b n n -=?=?得到 121424......4,n n T n =?+?++? 从而231

41424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+?利用“错位相减法”求和.

试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得

1211

3

a a =，所以123a a =. 令2,n =得

12231125

a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-

（II ）由（I ）知24

22

4,n n n b n n -=?=?所以121424......4,n n T n =?+?++? 所以231

41424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+? 两式相减，得121

344......44n n n T n +-=+++-?

114(14)13444,1433n n n n n ++--=-?=?--

所以1

13144(31)44.999

n n n n n T ++-+-?=?+= 考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”. 20. (本小题满分13分)

设函数

. 已知曲线

在点(1,(1))f 处的切线

与直线平行.

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（min{p ，q}表示，p ，q 中的较小值），求m(x)的最大值.

【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 2

4

e . 【解析】

试题分析：（I ）由题意知， '(1)2f =，根据'()ln 1,a

f x x x

=++即可求得. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.

设2

()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e

=-=+-

通过研究(0,1]x ∈时，()0h x <.又2244(2)3ln 2ln8110,h e e

=-=->-= 得知存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =.

应用导数研究函数()h x 的单调性，当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增. 作出结论：1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.

（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，

()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，得到02

0(1)ln ,(0,]

(),(,)x

x x x x m x x x x e

+∈??

=?∈+∞??. 当0(0,)x x ∈时，研究得到0()().m x m x ≤

当0(,)x x ∈+∞时，应用导数研究得到2

4

()(2),m x m e ≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e

. 试题解析：（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，

又'()ln 1,a

f x x x

=+

+所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.

设2

()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e

=-=+-

当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又22

44(2)3ln 2ln8110,h e e =-

=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x

x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1

'()10h x e

>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，

所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.

所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.

（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，

()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以02

0(1)ln ,(0,]

(),(,)x

x x x x m x x x x e

+∈??

=?∈+∞??. 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤

若0(1,),x x ∈由1

'()ln 10,m x x x

=+

+>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)

'(),x

x x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；

(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；

可知24

()(2),m x m e

≤=

且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24

e

.

考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值. 21. (本小题满分14分)

平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

22+=1(>>0)x y b b

αα

的离心率为2，且点

1

2

）在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆E ：22

22+=144x y a b

，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m

交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （i ）求

||

||

OQ OP 的值； (ii)求ABQ ?面积的最大值.

【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||

OQ OP =；（ii ） 【解析】

试题分析：（I ）由题意知22311,4a b

+=又2a =，解得22

4,1a b ==. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为

22

1164

x y +=. （i ）

设00||

(,),

,||

OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--. 根据22

00 1.4x y +=及 2200()()1164

x y λλ--+=，知2λ=. （ii ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得

222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,?>可得22416m k <+……………………①

应用韦达定理计算12||x x -=

及OAB ?的面积

122

12|||||214m S m x x k =-==+

=

设

2

2

.14m t k =+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得

由①②可知01,t S <≤==

当且仅当1t =，即22

14m k =+时取得最大值

由（i ）知，ABQ ?的面积为3S 即得ABQ ?面积的最大值为

试题解析：（I ）由题意知22311,4a b

+==，解得22

4,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2

2 1.4

x y += （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为

22

1164

x y +=. （ii ）

设00||

(,),

,||

OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--. 因为22

00 1.4x y +=又2200()()1164x y λλ--+=，即22200() 1.44

x y λ+= 所以2λ=，即

||

2.||

OQ OP = （ii ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得

222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,?>可得22416m k <+……………………①

则有2121222

8416

,.1414km m x x x x k k -+=-

=++所以12||x x -=因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ?的面积

121||||2S m x x =-==

=

设

2

2

.14m t k =+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得

由①②可知01,t S <≤==故S ≤

当且仅当1t =，即22

14m k =+时取得最大值

由（i ）知，ABQ ?的面积为3S ，所以ABQ ?面积的最大值为

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.