广东省中山市高一数学上学期期末试题
广东省高一上学期期末数学试题(解析版) (2)
高一数学（试题）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校，班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，（ ）{}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A. B.C.D.{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2. 下列函数为增函数的是（ ） A. B.()f x x =()2xf x =C.D.()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B 【解析】【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3. 设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件，0a b <<11a b>故选:A.4. 已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A. B. a b c <<a c b <<C. D.c a b <<b c a <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以.a cb <<故选：B5. 已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B.C. D. 7177-17-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角， ()3sin π5θ+=3sin 5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan()π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6. 已知，则的最小值为（） 0x <21xx--A.B. 4C.D.11-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答. 【详解】因为，则，，0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥=---当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1故选：D7. 已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A. B.C. D.1372-13725972-5972【答案】C 【解析】【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案. 【详解】，()2221cos cos cos2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C .8. 已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ） A.B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出范围()y f x =1234x x x x 作答.【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，， 0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的图()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得， 12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)((0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为. 1234x x x x 1(0,)4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、选择题：本题共45分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B.()21f x x=()3f x x =C. D. ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD 【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答.【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x=(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln()1x f x x +=-101xx+>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 所有的素数都是奇数 C. ， D. ，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC 【解析】【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，A 正60 确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确； R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误. R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11. 记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B. π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭C. 为奇函数 D. 为奇函数 π12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解析式π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误； ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：， πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：，π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1， Z k ∈0k =当时，，当时，， 0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或， ()πsin 22f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，， ()πsin 22f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin22f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭3ππsin 022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误；1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确.()f x 故选：BD12. 已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A. B. x y z +=xz yz xy +=C.D.3515x y z>>24xy z >【答案】BCD 【解析】【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z===对于A ，，A错误；ln ln ln ln15ln 5ln 3)(2)(24ln 3ln 5ln15ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确； 111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确；3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1 【解析】【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14. 计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】 5【解析】【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.515.已知函数，分别由下表给出，()f x ()g x x 0 1 2()f x 121x 0 1 2()g x 21则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 ①. 2②. 1【解析】【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答.[()]f g x [()]g f x【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，， [(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；116. 已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________．[]22,4x ∈()()12f x g x <【答案】 (1,2)【解析】【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得， 1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． α()3,4P -（1）求的值；tan α（2）求的值． 2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】（1）； 43-（2）.11-【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.（2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答.【小问1详解】角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，α()3,4P -所以. 4tan 3α=-【小问2详解】 由（1）知，， 4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18. 已知函数，且，． ()x b f x x a -=-()124f =()235f =（1）求函数的解析式；()f x （2）根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】（1） ()12x f x x -=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【小问1详解】 由已知，解得， ()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+【小问2详解】任取，122x x >>-则， ()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即，()()120f x f x ∴->()()12f x f x >函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19. 已知函数． ππ()sin()sin()sin cos 44f x x x x x =+-+（1）求函数的最小正周期；()f x （2）在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sin B C +【答案】（1）；π（2【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.【小问1详解】 依题意，πππ1ππ1())sin[()]sin 2sin()cos()sin 24242442f x x x x x x x =+-++=+++，π11πsin(2)sin 2sin 22sin(22223x x x x x =++=+=+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==【小问2详解】 由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+==+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以.sin sin B C +20. 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，圆心角()100m OP =，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的面积为π4POQ ∠=POC α∠=． ()2m S（1）将面积S 表示为角的函数；α（2）当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】（1）； ππ)5000,044S αα=+-<<（2），. π8α=2max 5000(m )S =-【解析】【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此，100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21))50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<【小问2详解】由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=max π[sin(2)]14α+=，所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =-21. 已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-（1）求a 的值：（2）当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】（1）1a =-（2）最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【小问1详解】()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意；max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a -<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()(21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-【小问2详解】由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22. 已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-（1）解不等式；()()26f x f x +≤（2）若存在，使得成立，求实数k 的取值范围． (00,ln x ∈()()20021g x k gx =⋅-【答案】（1）；(,ln 2]-∞（2）37(,]49【解析】【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【小问1详解】函数，则不等式化为：，即， ()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞【小问2详解】依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0(0,ln x ∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e)e e 1e e )1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t -+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()(()(1h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t -<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()ht (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+≤00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是．37(,]49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。
广东高一上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。
广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b23．函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．已知定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，则不等式（x+3）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，3）5．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（）A．B．C．2D．36．已知函数的值域是（）A．（﹣∞，2〗B．（0，2〗C．〖2，+∞）D．7．已知函数f（x）与g（x）的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A．y＝f（g（x））B．y＝f（x）g（x）C．y＝g（f（x））D．y＝8．设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A．（∁U A）∩B B．∁B（A∩B）C．∁U（A∩（∁U B））D．∁A∪B A10．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，则（）A．a＜0B．a﹣b+c＞0C．c＞0D．a+b＝011．已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在上单调递减12．若0＜x1＜x2＜……＜x n＜1，则下列结论正确的有（）A．log（log x2）＜log（log x2）B．log（log x2）＞log（log x2）C．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＞0 D．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＜0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，则m＝．14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为π，则该勒洛三角形的面积为．15．写出一个值域为（﹣∞，1），在区间（﹣∞，+∞）上单调递增的函数f（x）＝．16．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：．（2）已知tanα＝2，求的值．18．（12分）对于等式a b＝c（a＞0，a），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a （即x）的函数，记为y，那么y＝x b，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c 为关于b（即x）的函数，记为y，那么y＝a x，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么y＝log a x，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y．（1）试将y表示成x的函数f（x）；（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数f（x）的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．19．（12分）中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）⋅e﹣kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从98℃下降到90℃所用时间1分58秒从98℃下降到85℃所用时间3分24秒从98℃下降到80℃所用时间4分57秒（Ⅰ）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值（精确到0.01）．（Ⅱ）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，200ml水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．（A）5（B）7（C）10（参考数据：ln79＝4.369，ln71＝4.263，ln66＝4.190，ln61＝4.111，ln56＝4.025）20．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin x+a．（1）f（x）＝0有解时，求实数a的取值范围；（2）当x∈R时，总有，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若，则当x为何值时，g（x）取得最小值？并求出其最小值．22．（12分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C〖解析〗∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．故选：C．2．C〖解析〗对于A选项，若a＞b，c＝0时，ac＝bc，故A选项错误，对于B选项，当a＞0，b＜0时，，故B选项错误，对于C选项，∵ac2＞bc2，即（a﹣b）c2＞0且c2＞0，∴a﹣b＞0，即a＞b，故C选项正确，对于D选项，当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D选项错误．故选：C．3．A〖解析〗∵函数f（x）＝e x+x﹣2，∴f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0，故有f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（0，1），故选：A．4．D〖解析〗定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，可得f（x）在〖0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）＝f（3）＝0，所以f（x）＜0的解集为（﹣3，3），f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），则（x+3）f（x）＜0等价为或，即为或，解得﹣3＜x＜3或x＜﹣3，即所求解集为（﹣3，3）∪（﹣∞，﹣3）．故选：D．5．B〖解析〗由题意可知函数在x＝时取得最大值，就是，k∈Z，所以ω＝6k+；只有k＝0时，ω＝满足选项．故选：B．6．B〖解析〗函数，因为x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，又函数y＝在R上为单调递减函数，所以，则函数的值域是（0，2〗．故选：B．7．B〖解析〗由图1知，函数f（x）为偶函数，函数g（x）为奇函数，图2中的函数为奇函数，选项A，令h（x）＝f（g（x）），则h（﹣x）＝f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝f（g（x））＝h（x），所以函数y＝f（g（x））为偶函数，不符合题意；选项C，令F（x）＝g（h（x）），则F（﹣x）＝g（f（﹣x））＝g（f（x））＝F（x），所以函数y＝g（f（x））为偶函数，不符合题意；选项D，g（x）作为分母，不能为0，与图1不符，故选：B．8．D〖解析〗∵b＝log34＝＝，c＝log58＝＝，∴b﹣c＝﹣＝＝＝＜0，∴b＜c，∵log55＜log58，∴1，∵a＝，∴a，∴b＜c＜a，故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABD〖解析〗由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，所以阴影部分所表示的集合是B∩（∁U A），∁A∪B A，∁B（A∩B），故选：ABD．10．ABC〖解析〗∵不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，∴﹣2，1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，∴﹣2+1＝﹣，﹣2×1＝，∴a＝b，c＝﹣2a＞0，∴a﹣b+c＝﹣2a＞0，a+b＝2a＜0，因此ABC正确，D不正确．故选：ABC．11．BC〖解析〗由题意知，函数f（x）的最小正周期T＝4×＝π，即选项A错误；∴＝π，即ω＝2，∴f（x）＝3sin（2x+），∵f（﹣）＝3sin〖2•（﹣）+〗＝3sin0＝0，∴选项B正确；∵f（）＝3sin（2•+）＝3sin＝﹣3，∴选项C正确；令2x+∈〖2kπ﹣，2kπ+〗，则x∈〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，当k＝0时，递增区间为〖﹣，〗，即选项D错误．故选：BC．12．AD〖解析〗先证明：对任意0＜a＜b＜1，0＜c＜d＜1有log c（log a b）＜log d（log a b），证明如下：因为0＜a＜b＜1，所以f（x）＝log a x单调递减（此时是定值），故f（a）＞f（b）＞f（1），即0＜log a b＜1，记t＝log a b，则0＜t＜1，g（x）＝log t x单调递减，故g（c）＞g（d）＞g（1），即0＜log t d＜log t c，故0＜log c t＜log d t，代入t＝log a b，即log c（log a b）＜log d（log a b），取a＝c＝x1，b＝d＝x2时，可得选项A正确，B错误；应用上述证明可得++⋯⋯+＜++⋯⋯+＝•⋯⋯〗＝log1＝0，故选项D正确，选项C错误．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．-1〖解析〗∵幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣3m﹣3＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．〖解析〗设等边三角形ABC的边长为a，则，解得a＝3，所以弧AB与AC，BC围成的扇形的面积为×πa2＝，所以该勒洛三角形的面积．故答案为：．15．1﹣〖解析〗f（x）＝1﹣，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，∴f（x）＝1﹣为R上的增函数，且f（x）＝1﹣＜1，∴f（x）＝1﹣∈（﹣∞，1），故答案为：1﹣．16．〖解析〗因为xy≠0，所以＝，又x＞0，y＞0，x+2y＝1，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）＝×+﹣1＝1+3﹣1＝3．（2）∵tanα＝2，∴＝＝＝2．18．解：（1）若x y＝e，则f（x）＝ln x，（2）函数定义域（0，+∞），值域R，在（0，+∞）上单调递增，非奇非偶函数，函数图象如图所示，19．解：（Ⅰ）由，得，即，．在环境温度为θ0＝19℃，选取从θ1＝98℃下降到θ＝90℃所用时间约为2分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝85℃所用时间约为3.4分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝80℃所用时间约为5分钟这组数据，有，即．故k≈0.05；（Ⅱ）200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．理由如下：由（Ⅰ）得，当θ＝75℃时，有t＝20×（ln79﹣ln56）≈6.88．所以200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．故选：B．20．解：（1）由已知得，f（x）＝cos2x﹣sin x+a＝0所以a＝sin x﹣cos2x＝sin2x+sin x﹣1＝（sin x+）2﹣∈〖﹣，1〗；（2）由已知得恒成立，则，另a≤sin x﹣cos2x+＝sin2x+sin x+＝〖（sin x+）2+3〗min＝3，所以实数a的取值范围为〖2，3〗．21．（1）证明：在区间（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（2x1﹣）﹣（2x2﹣）＝2（x1﹣x2）﹣（﹣）＝2（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（2+），因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：因为＝﹣2（log2x+），由f（x）的定义域为（0，+∞）得：﹣log2x＞0，即0＜x＜1，令log2x＝t，0＜x＜1，则t＜0，当t＜0时，y＝2〖（﹣t）+〗≥4＝4，当且仅当﹣t＝，即t＝﹣1时，等号成立，即log2x＝﹣1，即x＝时，函数取得最小值4．22．解：（Ⅰ）当a＝﹣2，b＝3时，由题意知：﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：．∴f（x）的定义域为；（Ⅱ）当a＝1时，，（1）当，即b≥0时，f（x）的定义域为〖0，+∞），值域为，∴b≥0时，f（x）不是“同域函数”．（2）当，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”．∴．综上所述，b的值为．（Ⅲ）设f（x）的定义域为A，值域为B．（1）当a＜﹣1时，a+1＜0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，∴f（x）不是“同域函数”．（2）当﹣1＜a＜0，即a+1＞0，设，则f（x）的定义域A＝〖0，x0〗．①当，即b≤0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，，又∵﹣1＜a＜0，∴b的取值范围为（﹣1，0）．②当，即b＞0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，（*）此时，由，b＞0可知（*）不成立．综上所述，b的取值范围为（﹣1，0）．广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b23．函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．已知定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，则不等式（x+3）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，3）5．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（）A．B．C．2D．36．已知函数的值域是（）A．（﹣∞，2〗B．（0，2〗C．〖2，+∞）D．7．已知函数f（x）与g（x）的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A．y＝f（g（x））B．y＝f（x）g（x）C．y＝g（f（x））D．y＝8．设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A．（∁U A）∩B B．∁B（A∩B）C．∁U（A∩（∁U B））D．∁A∪B A10．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，则（）A．a＜0B．a﹣b+c＞0C．c＞0D．a+b＝011．已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在上单调递减12．若0＜x1＜x2＜……＜x n＜1，则下列结论正确的有（）A．log（log x2）＜log（log x2）B．log（log x2）＞log（log x2）C．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＞0 D．log（log x2）+log（log x3）+…+log（log x n）+log（log x1）＜0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，则m＝．14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为π，则该勒洛三角形的面积为．15．写出一个值域为（﹣∞，1），在区间（﹣∞，+∞）上单调递增的函数f（x）＝．16．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：．（2）已知tanα＝2，求的值．18．（12分）对于等式a b＝c（a＞0，a），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a （即x）的函数，记为y，那么y＝x b，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c 为关于b（即x）的函数，记为y，那么y＝a x，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么y＝log a x，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y．（1）试将y表示成x的函数f（x）；（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数f（x）的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．19．（12分）中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）⋅e﹣kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从98℃下降到90℃所用时间1分58秒从98℃下降到85℃所用时间3分24秒从98℃下降到80℃所用时间4分57秒（Ⅰ）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值（精确到0.01）．（Ⅱ）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，200ml水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．（A）5（B）7（C）10（参考数据：ln79＝4.369，ln71＝4.263，ln66＝4.190，ln61＝4.111，ln56＝4.025）20．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin x+a．（1）f（x）＝0有解时，求实数a的取值范围；（2）当x∈R时，总有，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若，则当x为何值时，g（x）取得最小值？并求出其最小值．22．（12分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C〖解析〗∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．故选：C．2．C〖解析〗对于A选项，若a＞b，c＝0时，ac＝bc，故A选项错误，对于B选项，当a＞0，b＜0时，，故B选项错误，对于C选项，∵ac2＞bc2，即（a﹣b）c2＞0且c2＞0，∴a﹣b＞0，即a＞b，故C选项正确，对于D选项，当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D选项错误．故选：C．3．A〖解析〗∵函数f（x）＝e x+x﹣2，∴f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0，故有f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在区间是（0，1），故选：A．4．D〖解析〗定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0〗上为减函数，且f（3）＝0，可得f（x）在〖0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）＝f（3）＝0，所以f（x）＜0的解集为（﹣3，3），f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），则（x+3）f（x）＜0等价为或，即为或，解得﹣3＜x＜3或x＜﹣3，即所求解集为（﹣3，3）∪（﹣∞，﹣3）．故选：D．5．B〖解析〗由题意可知函数在x＝时取得最大值，就是，k∈Z，所以ω＝6k+；只有k＝0时，ω＝满足选项．故选：B．6．B〖解析〗函数，因为x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，又函数y＝在R上为单调递减函数，所以，则函数的值域是（0，2〗．故选：B．7．B〖解析〗由图1知，函数f（x）为偶函数，函数g（x）为奇函数，图2中的函数为奇函数，选项A，令h（x）＝f（g（x）），则h（﹣x）＝f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝f（g（x））＝h（x），所以函数y＝f（g（x））为偶函数，不符合题意；选项C，令F（x）＝g（h（x）），则F（﹣x）＝g（f（﹣x））＝g（f（x））＝F（x），所以函数y＝g（f（x））为偶函数，不符合题意；选项D，g（x）作为分母，不能为0，与图1不符，故选：B．8．D〖解析〗∵b＝log34＝＝，c＝log58＝＝，∴b﹣c＝﹣＝＝＝＜0，∴b＜c，∵log55＜log58，∴1，∵a＝，∴a，∴b＜c＜a，故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABD〖解析〗由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，所以阴影部分所表示的集合是B∩（∁U A），∁A∪B A，∁B（A∩B），故选：ABD．10．ABC〖解析〗∵不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，∴﹣2，1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，∴﹣2+1＝﹣，﹣2×1＝，∴a＝b，c＝﹣2a＞0，∴a﹣b+c＝﹣2a＞0，a+b＝2a＜0，因此ABC正确，D不正确．故选：ABC．11．BC〖解析〗由题意知，函数f（x）的最小正周期T＝4×＝π，即选项A错误；∴＝π，即ω＝2，∴f（x）＝3sin（2x+），∵f（﹣）＝3sin〖2•（﹣）+〗＝3sin0＝0，∴选项B正确；∵f（）＝3sin（2•+）＝3sin＝﹣3，∴选项C正确；令2x+∈〖2kπ﹣，2kπ+〗，则x∈〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为〖kπ﹣，kπ+〗，k∈Z，当k＝0时，递增区间为〖﹣，〗，即选项D错误．故选：BC．12．AD〖解析〗先证明：对任意0＜a＜b＜1，0＜c＜d＜1有log c（log a b）＜log d（log a b），证明如下：因为0＜a＜b＜1，所以f（x）＝log a x单调递减（此时是定值），故f（a）＞f（b）＞f（1），即0＜log a b＜1，记t＝log a b，则0＜t＜1，g（x）＝log t x单调递减，故g（c）＞g（d）＞g（1），即0＜log t d＜log t c，故0＜log c t＜log d t，代入t＝log a b，即log c（log a b）＜log d（log a b），取a＝c＝x1，b＝d＝x2时，可得选项A正确，B错误；应用上述证明可得++⋯⋯+＜++⋯⋯+＝•⋯⋯〗＝log1＝0，故选项D正确，选项C错误．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．-1〖解析〗∵幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣3m﹣3＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．〖解析〗设等边三角形ABC的边长为a，则，解得a＝3，所以弧AB与AC，BC围成的扇形的面积为×πa2＝，所以该勒洛三角形的面积．故答案为：．15．1﹣〖解析〗f（x）＝1﹣，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，∴f（x）＝1﹣为R上的增函数，且f（x）＝1﹣＜1，∴f（x）＝1﹣∈（﹣∞，1），故答案为：1﹣．16．〖解析〗因为xy≠0，所以＝，又x＞0，y＞0，x+2y＝1，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）＝×+﹣1＝1+3﹣1＝3．（2）∵tanα＝2，∴＝＝＝2．18．解：（1）若x y＝e，则f（x）＝ln x，（2）函数定义域（0，+∞），值域R，在（0，+∞）上单调递增，非奇非偶函数，函数图象如图所示，19．解：（Ⅰ）由，得，即，．在环境温度为θ0＝19℃，选取从θ1＝98℃下降到θ＝90℃所用时间约为2分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝85℃所用时间约为3.4分钟这组数据，有，即；选取从θ1＝98℃下降到θ＝80℃所用时间约为5分钟这组数据，有，即．故k≈0.05；（Ⅱ）200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．理由如下：由（Ⅰ）得，当θ＝75℃时，有t＝20×（ln79﹣ln56）≈6.88．所以200ml水煮沸后在19℃室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．故选：B．20．解：（1）由已知得，f（x）＝cos2x﹣sin x+a＝0所以a＝sin x﹣cos2x＝sin2x+sin x﹣1＝（sin x+）2﹣∈〖﹣，1〗；（2）由已知得恒成立，则，另a≤sin x﹣cos2x+＝sin2x+sin x+＝〖（sin x+）2+3〗min＝3，所以实数a的取值范围为〖2，3〗．21．（1）证明：在区间（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（2x1﹣）﹣（2x2﹣）＝2（x1﹣x2）﹣（﹣）＝2（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（2+），因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：因为＝﹣2（log2x+），由f（x）的定义域为（0，+∞）得：﹣log2x＞0，即0＜x＜1，令log2x＝t，0＜x＜1，则t＜0，当t＜0时，y＝2〖（﹣t）+〗≥4＝4，当且仅当﹣t＝，即t＝﹣1时，等号成立，即log2x＝﹣1，即x＝时，函数取得最小值4．22．解：（Ⅰ）当a＝﹣2，b＝3时，由题意知：﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：．∴f（x）的定义域为；（Ⅱ）当a＝1时，，（1）当，即b≥0时，f（x）的定义域为〖0，+∞），值域为，∴b≥0时，f（x）不是“同域函数”．（2）当，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”．∴．综上所述，b的值为．（Ⅲ）设f（x）的定义域为A，值域为B．（1）当a＜﹣1时，a+1＜0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，∴f（x）不是“同域函数”．（2）当﹣1＜a＜0，即a+1＞0，设，则f（x）的定义域A＝〖0，x0〗．①当，即b≤0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，，又∵﹣1＜a＜0，∴b的取值范围为（﹣1，0）．②当，即b＞0时，f（x）的值域．若f（x）为“同域函数”，则，从而，（*）此时，由，b＞0可知（*）不成立．综上所述，b的取值范围为（﹣1，0）．。
广东省中山市中山纪念中学2022年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
【小问1详解】
解：由图知， ，最小正周期 ，
因为 ，所以 ，
将点 ， 代入函数的解析式中，得 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
故函数 的解析式为 ；
【小问2详解】
解：因为 ， ，所以 ， ，
令 ，则 ， ，
因为函数 在 ， 上单调递减，在 ， 和 ， 上单调递增，
A. B.
C. D.
3．集合 ， ，则 间的关系是（）
A. B.
C. D.
4．若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
A. B.
C. D.
5．已知集合 ， ，则
A. B.
C. D.
6．已知 均为 上连续不断的曲线，根据下表能判断方程 有实数解的区间是（）
x
0
1
2
3
3.011
5.432
A.72B.144
C.180D.216
9．已知函数 ，则 的值为
A. B.
C. D.
10．若集合 中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 的值为__________
（2）可判断 在 上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；
（3）由 ，换元令 ， ，由（2）得 ， ，根据条件转化为 在 最小值为-2，对二次函数 配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解
最新广东省中山市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省中山市高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．15D ．16【答案】B【解析】直接枚举求解即可. 【详解】易得()(){}1,2,3,4的子集有∅,(){}1,2,(){}3,4,()(){}1,2,3,4.故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题.2．如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的图是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用异面直线的定义和正方体的性质 ,逐一分析各个图形中的2条直线的是否相交与平行，即可把满足条件的图形找出来. 【详解】①中的PQ 与RS 是两条平行且相等的线段，故选项①不满足条件； ②中的PQ 与RS 是两条平行且相等的线段，故选项②也不满足条件； ④中，由于PR 平行且等于12SQ ，故四边形SRPQ 为梯形；故PQ 与RS 是两条相交直线，它们和棱交于同一个点，故选项④不满足条件；③中的PQ 与RS 是两条既不平行，又不相交的直线，故选项③满足条件，故答案为③. 【点睛】本题主要考查空间两条直线的位置关系以及异面直线的定义，意在考查空间想象能力以及对基础知识掌握的熟程度，属于中档题.3．设函数()f x =(]0,10，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．10C ．1D ．110【答案】C【解析】先带参数求函数的定义域，与已知条件比较可得a 的关系．求得a 值． 【详解】由lg 0a x -…得lg ,010ax a x ≤∴<≤.∵函数()f x =(]0,10，1010,1a a ∴=∴=，故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，掌握对数函数的性质是解题关键．4．已知经过两点（5，m ）和（m ，8）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A ．5 B ．8C ．132D ．7【答案】C【解析】根据斜率的公式直接求解即可. 【详解】 由题可知,815m m -=-,解得132m =.故选：C 【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.5．如图，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．()213cm +D ．()212cm +【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【详解】解：将直观图还原为平面图形，如图所示.2OB O B ''=＝22，1OA O A ''==，所以221(22)3AB =+=，所以原图形的周长为8cm ， 故选：A. 【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨>⎩„，若对于函数()f x =的定义域内的任意实数x ，恒有()()k f x f x =，则（ ） A ．k的最大值为B ．k的最小值为 C ．k 的最大值为1 D ．k 的最小值为1【答案】B【解析】先根据()()k f x f x =得到k 与()f x 最值的关系，然后利用换元法求解函数()f x 的值域，即可确定k 的取值范围，则k 的最值可确定.【详解】因为()()k f x f x =，所以由定义知max ()k f x …， 因为220x x -++≥，所以[]1,2x ∈-，则函数()f x 的定义域为[]1,2-，令t 30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2[1,t ∈，所以max ()f x =，因此k …故选：B. 【点睛】指数型函数()()g x f x a=值域的求解方法：利用换元法令()t x g =，求解出()g x 的值域即为t 的取值范围，根据指数函数ty a =的单调性即可求解出()f x 的值域.8．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x ax a-+=∈R有8个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．1 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,33⎛⎫⎪⎝⎭C．(1,2)D．92,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数()12,021,0xe xf xx x x-⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t=，由题意可知，方程230t t a-+=在区间()1,2上有两个不同的实数根，令()()2312g t t t a t=-+<<，由题意可知：()()11302460399242g ag ag a⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+<⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924a<<.即a的取值范围是92,4⎛⎫⎪⎝⎭.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多选题9．下列说法中，正确的有（）A ．直线y ＝ax ﹣3a +2 （a ∈R ）必过定点（3，2）B ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2C ．直线x y +1＝0 的倾斜角为30°D ．点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为7 【答案】ACD【解析】对A,化简方程令a 的系数为0求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横坐标的差求解即可. 【详解】对A,化简得直线()32y a x =-+,故定点为()3,2.故A 正确. 对B, 32y x =-在y 轴上的截距为2-.故B 错误.对C,直线10x +=的斜率为3,故倾斜角θ满足[)tan 0180θθ=∈︒，, 即30θ=︒.故C 正确.对D, 因为直线2x =-垂直于x 轴,故()5,3-到2x =-的距离为()527--=.故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了直线的基础知识点,属于基础题.10．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c C ．若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b D ．若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b【答案】AD【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质辨析即可. 【详解】对A,根据平行的传递性可知A 正确. 对B,因为垂直不具有传递性可知B 错误.对C,当a b I 且,a b α⊂,//αγ时也满足//,//a b γγ但不满足//a b ,故C 错误. 对D,根据线面垂直的性质可知,D 正确. 故选：AD【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题.11．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数()11xf x lgx-=+为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（ ）A ．同学甲发现：函数的定义域为（﹣1，1），且f （x ）是偶函数B ．同学乙发现：对于任意的x ∈（﹣1，1），都有()2221x f f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭C ．同学丙发现：对于任意的a ，b ∈（﹣1，1），都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭D ．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x 1，x 2，总满足()()12120f x f x x x --＞【答案】BC【解析】对A,先分析()1lg 1xf x x-=+的定义域,再计算()f x -判定即可. 对B,分别计算()22,21x f f x x ⎛⎫⎪+⎝⎭再判断即可. 对C,分别计算()(),1a b f a f b f ab +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭再判断即可.对D,举出反例判定即可. 【详解】对A, ()1lg1xf x x -=+定义域为()()101101x x x x->⇒-+>+,解得()1,1x ∈-. 又()()11lg lg 11x xf x f x x x +--==-=--+,故()1lg 1x f x x-=+为奇函数.故A 错误. 对B, ()()()222222221122111lg lg lg 2lg 221211111x x x x x x x f f x x x x x x x x ---+-⎛⎫+===== ⎪+++⎝⎭++++, ()1,1x ∈-.故B 正确.对C, ()()()()()()1111lg lg lg 1111a b a ba b b a b a f f ----=+++=+++,()()()()()()1111lg lg lg 1111111a ba b ab f a b ab abab a b a b ab a b a b -+-+--==++⎛⎫+= ⎪++⎝⎭+++++++, 故()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+=⎪+⎝⎭成立.故C 正确. 对D, ()100lg 010f -==+,11112lg =lg 012312f -⎛⎫=< ⎪⎝⎭+,所以()1210002f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-,故D错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了函数的性质判定,需要根据题意与函数的解析式逐个代入计算或者举出反例判定.属于中档题.12．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则下列结论正确的是（ ）A ．四面体ABCD 每组对棱相互垂直B ．四面体ABCD 每个面的面积相等C ．从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180° D ．连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分 【答案】BD【解析】对AD,将该四面体放入长方体中进行分析即可. 对B,利用全等判定即可. 对C,举出反例即可. 【详解】对A,易得四面体ABCD 可放入一个长方体中,如图.若四面体ABCD 每组对棱相互垂直,不妨设AD BC ⊥,根据长方体的性质有''A D BC ⊥,则长方体侧面矩形''A BC D 为正方形,这不一定成立,故A 错误.对B,因为该四面体每组对边均相等.故侧面的三角形三边分别相等,即侧面三角形为全等三角形.故每个面的面积相等.故B正确.对C,若四面体ABCD为正四面体,则从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角均为60︒,则和为180︒,故C错误.对D, 根据长方体的对称性可知, 四面体ABCD每组对棱中点的线段为长方体中连接每组对面中心的线段,故这三条线段,,HI LM KJ相互垂直平分且交于长方体的中心O.故D正确.综上,BD正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了对边相等的四面体的性质,一般放到长方体中去分析,属于中档题.三、填空题13．311log533125+-=_____．【答案】10．【解析】根据指对数的运算法则求解即可. 【详解】3311log 5log 513312533510+-=⋅-=.故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题.14．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，30BAC ∠︒＝，则此几何体的体积为________．【答案】356R π【解析】先由题意可知，阴影部分以直径AB 所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因此其体积等于球的体积减去中间两个圆锥的体积即可. 【详解】由题意可得：阴影部分以直径AB 所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因为球的半径为R ，30BAC ∠︒＝，所以31CD BD 2R R ==，，所以3AD 2R =， 故几何体的体积为2233AD BD41331315V V 332326V V R R R R R R ππππ⎫⎫=--=--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭n n 球圆锥圆锥 .故答案为356R π 【点睛】本题主要考查几何体的体积公式，熟记公式即可求解，属于基础题型. 15．已知f （x ）＝ln 219x +3x ），则f （lg 12）+f （lg 2）等于_____． 【答案】0【解析】分析()f x 的奇偶性,再计算()1lg lg 22f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 【详解】因为()()2ln 193f x x x =+-, 故()()()()()2222ln193ln 193ln 199ln10f x f x x x x x x x +-=+-+++=+-==. 故()()()1lg lg 2lg 2lg 202f f f f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭. 故答案为：0【点睛】本题主要考查了利用函数性质求值的问题,属于基础题.16．函数y 228201x x x =-+++的最小值为_____．【答案】5【解析】观察可知所求函数式为距离之和的表达式,再数形结合分析求解即可.【详解】由题意,可知 y 228201x x x =-+++2222(4)21x x =-+++2222(4)(02)(0)(01)x x =-+-+-+-.则上式可看作x 轴上一点P （x ,0）到两定点M （4,2）、N （0,1）的距离之和.由题意,求函数y 的最小值,即为点P 到两定点M 、N 的距离之和的最小值,如下图所示,根据图,作点N （0,1）关于x 轴的对称点N ′（0,﹣1）.很明显,当点M 、P 、N ′三点共线时,函数y 取得最小值,此时最小值即为|MN ′|22(40)(21)=-++=5.故答案为：5【点睛】本题主要考查了数形结合解决距离之和的问题,需要根据题意判定所给的表达式的几何意义,属于中档题.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)M -和(2,5)N ．（1）若M ，N 是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M 的两条边所在直线的方程；（2）若M ，N 是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【答案】（1）310y x -+=和330y x ++=；（2）另外一条对角线为370y x +-=，端点为(2,3)-和(4,1)．【解析】试题分析：（1）根据斜率公式可得()51320MN k --==-，:13MN l y x +=，与MN 直线垂直的直线斜率113MN k k -'==-，1:13l y x +'=-，整理成一般式即可；（2）设另外两个端点坐标分别为()''11,M x y '，()''22,N x y '，根据M '在直线370y x +-=上，且22||OM OM '=，列方程组求解即可.试题解析：（1）∵()0,1M -，()2,5N ， ()51320MN k --==-，:13MN l y x +=，与MN 直线垂直的直线斜率113MN k k -'==-，1:13l y x +'=-， 整理得所求两条直线为310y x -+=和330y x ++=．（2）∵直线MN 方程为：310y x -+=， 另外一条对角线斜率13k '=， 设MN 中点为()1,2O ，则另一条对角线过O 点， ∴()1213y x -=--，整理得370y x +-=，设另外两个端点坐标分别为()''11,M x y '，()''22,N x y '，∵M '在直线370y x +-=上，∴''11370y x +-=，① 且22||OM OM '=，∴()()()()2222''11011212x y -+--=-+-，② 联立①②解出23x y -''=⎧⎨=⎩或41x y ''=⎧⎨=⎩， 即另外两个端点为()2,3-与()4,1．【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，两条直线垂直与斜率的关系属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= ；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.18．已知集合{}2|430A x x x =-+≤，{}2|log 1B x x =>． （1）集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）对任意x B ∈，都有函数()230f x x kx k =-++>，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）a ∈（﹣∞，3]；（2）k ∈（﹣∞，6）．【解析】(1)先求解[]1,3A =,再分C =∅与C ≠∅两种情况讨论即可.(2)分二次函数()23f x x kx k =-++的判别式与0的比较关系讨论即可. 【详解】根据条件可得[]1,3A =,()2,B =+∞,（1）因为C A ⊆,①C =∅,则1a ≤；②C ≠∅,则1a >且3a ≤,即13a <?,综上a ∈（﹣∞,3]；（2）根据题意对任意x ＞2,函数f （x ）＝x 2﹣kx +3+k ＞0,①△＞0时,()2220k f ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩,解得k ≤﹣2,则k ∈（﹣∞,﹣2]；②△＝0时,2k ≤2,解得k ＝﹣2； ③△＜0时,解得﹣2＜k ＜6；综上：k ∈（﹣∞,6）.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,同时也考查了二次不等式的解集求解参数范围的问题,属于中档题.19．某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L （x ）（元）与用电量x （度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？【答案】（1）L （x ）0.520300.6130x x x x +≤⎧=⎨-⎩，＜，＞，60度电．（2）25＜x ＜50．选择方案一比选择方案二好．【解析】(1)易得该函数为分段函数,分030x <≤与30x >两种情况分段求解,再求()35L x =的解即可.(2)令()()0.58g x x L x =-,再分析()0g x >的解即可.【详解】（1）L （x ）0.520300.6130x x x x +≤⎧=⎨-⎩，＜，＞, ①当0＜x ≤30时,令0.5x +2＝35,解得x ＝66（舍去）.②当x ＞30时,令0.6x ﹣1＝35,解得x ＝60.∴老王家该月用电60度电.（2）令g （x ）＝0.58x ﹣L （x ）,由（1）可得：g （x ）0.0820300.02130x x x x -≤⎧=⎨-+⎩，＜，＞. 显然g （x ）＞0为所求.①当0＜x ≤30时,令g （x ）＝0.08x ﹣2＞0,解得x ＞25,∴25＜x ≤30.②当x ＞30时,令g （x ）＝﹣0.02x +1＞0,解得x ＜50.则30＜x ＜50.综上可得：25＜x ＜50.选择方案一比选择方案二好.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及求解等,需要根据题意求出分段函数并求解.属于基础题.20．已知函数f （x ）1x=+lg 4x x -． （1）判断并证明函数f （x ）的单调性；（2）解关于x 的不等式()131302f x x lg ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＞． 【答案】（1）f （x ）在（0，4）上单调递减，见解析（2）（0，1）∪（2，3）．【解析】(1)先求解定义域,再取区间内1204x x <<<,再计算()()12f x f x -的正负即可.(2)先求得()11lg3f =+,再根据函数的单调性将不等式转换为()()1312f x x f ⎛⎫-⎪⎝⎭＞求解即可.【详解】（1）f （x ）的定义域为（0,4）, f （x ）在（0,4）上单调递减,证明如下：设0＜x 1＜x 2＜4,则：()()()()1212211211221221444114x x x x x x f x f x lg lg lg x x x x x x x x -----=+--=+-, ∵0＜x 1＜x 2＜4,∴x 2﹣x 1＞0,x 1x 2＞0,4﹣x 1＞4﹣x 2＞0,12214114x x x x --＞，＞, ∴21120x x x x -＞,()()1221414x x x x --＞,()()1221404x x lg x x --＞, ∴f （x 1）＞f （x 2）,∴f （x ）在（0,4）上单调递减；（2）∵f （1）＝1+lg 3, 由()131302f x x lg ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＞得,()()1312f x x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞,∵f （x ）在（0,4）上单调递减, ∴()10312x x -＜＜,解得0＜x ＜1或2＜x ＜3, ∴原不等式的解集为（0,1）∪（2,3）.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的定义证明以及根据函数的单调性求解不等式的方法.属于中档题.21．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．（1）求证：11D C AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（Ⅰ）连接1DC ，证明1D C ⊥平面1ADC 即可（Ⅱ）取DC 中点E ，证明四边形11A D EB 为平行四边形即可【详解】⑴连DC 1,正方形DD 1C 1C 中,D 1C ⊥C 1D∵AD ⊥平面DD 1C 1C ∴AD ⊥CD 1又AD ∩CD 1=D∴CD 1⊥平面DA C 111D C AC ⊥⑵ E 为AC 中点时，1D E ∥平面1A BD 9’梯形ABCD 中，DE ∥且=" AB " ∴AD ∥且=BE∵AD ∥且= A 1D 1∴A 1D 1∥且="BE " ∴A 1D 1EB 是平行四边形∴D 1E ∥B A 1又B A 1⊂平面DB A 1D 1E ⊄平面DB A 1∴1D E ∥平面1A BD22．对于定义域为[0，1]）的函数f （x ），如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，都有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立，则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断函数g （x ）＝2x ﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f （x ）为理想函数，假定存在x 0∈[0，1]，使得f （x 0）∈[0，1]，且f （f （x 0））＝x 0，求证f （x 0）＝x 0．【答案】（1）g （x ）为理想函数；见解析（2）见解析【解析】(1)根据理想函数满足的条件逐个判断即可.(2)利用条件③中的性质,再利用反证法证明即可.【详解】（1）显然g （x ）＝2x ﹣1在[0,1]满足条件①g （x ）≥0,也满足条件②g （1）＝1, 若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则()()()()()12121212212121x x x x g x x g x g x +⎡⎤⎡⎤+-+=---+-⎣⎦⎣⎦ ()()121212222121210x x x x x x +=--+=--≥,满足条件③,故g （x ）为理想函数；（2）证明：由条件③知,任给m ,n ∈[0,1],当m ＜n 时,由m ＜n 知,n ﹣m ∈[0,1], ∴f （n ）＝f （n ﹣m +m ）≥f （n ﹣m ）+f （m ）≥f （m ）,若x 0＜f （x 0）,则f （x 0）≤f [f （x 0）]＝x 0,矛盾；若x 0＞f （x 0）,则f （x 0）≥f [f （x 0）]＝x 0,矛盾；故x 0＝f （x 0）.【点睛】本题主要考查了新定义函数的问题,需要根据新函数满足的关系式代入证明,同时也考查了反证法的运用,属于中档题.。
中山市高一上期末统一考试(必修1+必修2)
中山市高一级2019—2019学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共100分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（每小题4分，共40分）1． 若{}9,6,3,1=P {}8,6,4,2,1=Q ，那么=⋂Q P A.{1} B.{6} C. {1，6} D. 1，6 2．圆01222=--+y y x 的半径为A.1B.2C. 3D.23．若()⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=0,10,00,22x x x x x x f ，则)]1([f f 的值为 A.2 B.1 C.0 D.-14．已知镭经过100年，质量便比原来减少24.4％，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则()x f y =的函数解析式为（x ≥0）A. 1000424.0x B. 1009576.0x C. 1000424.0xD. 1009576.0x5． 如图所示，阴影部分的面积S 是h 的 函数()H h ≤≤0．则该函数的图象是6．若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上 A.是减函数，有最小值0 B.是增函数，有最小值0 C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0 7．函数62ln )(-+=x x x f 的零点所在的区间为 A.（1,2） B.（2,3） C.（3,4） D.（4,5） 8．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行 ②平行于同一直线的两个平面相互平行 ③垂直于同一平面的两条直线相互平行 ④垂直于同一直线的两个平面相互平行 其中正确的有A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个 9．函数()x y x 23log -=的定义域是A. )23,(-∞B. )23,0(C. )23,1()1,0(⋃ D. )1,0(10．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三条交线的距离分别为2、5、7，则OP 长为A.33B.22C.23D.32第II 卷（非选择题 共60分）二、填空题（每小题4分，共16分） 11．幂函数)(x f y =的图象过点)22,2(，则)(x f 的解析式是=y ． 12．函数12-=x y 的定义域是 ．13．直线06:1=++my x l 与直线()0232:2=++-m y x m l 互相平行，则m 的值为 ．14．右图是一个几何体的三视图，则该 几何体的表面积为 ．三、解答题（共5小题，合计44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分9分）如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥， E 、F 分别为AD 、AC 的中点，CD BC ⊥．求证：（1）BCD EF 平面// （2）ACD BC 平面⊥．16．（本题满分9分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶，且销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．那么，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？17．（本题满分9分）已知过点)3,3(--M 的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程．18．（本题满分9分）如图，正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值．19．（本题满分8分）已知函数()()111log >--=a x kxx f a 是奇函数， （1）求k 的值；（2）在（1）的条件下判断()x f 在()+∞,1上的单调性，并运用单调性的定义予以证明．中山市高一级2019—2019学年度第一学期期末统一考试数学科参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分） 11．21-x或x1 12．),0[+∞ 13．-1 14．π)7212(+三、解答题（共5小题，合计44分） 15．（本题满分9分） 证明：BCD EF BCD DC BCD EF DC EF FC AF ED AE 平面平面平面）（////1⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊄⇒⎭⎬⎫== …………4分A C D BC D CD AD CD BC AD BC BCD BC BCD 平面平面平面）（⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥AD 2 ………9分解：设定价在进价的基础上增加x 元，日销售利润为y 元，则200)]1(40480[---=x x y ， …………4分 由于0>x 且,040520>-x 从而130<<x …………5分 即 130,200520402<<-+-=x x x y ． …………6分 易知，当5.6)40(2520=-⨯-=x ，y 取最大值． …………8分答：当销售单价定位11.5元时，经营部可获得最大利润． …………9分17．（本题满分9分）解：由圆的方程得 25)2(22=++y x ，故圆心为)2,0(-，半径长5=r ．……2分故圆心到直线l 的距离5)52(522=-=d ． …………3分 设所求直线l 的方程为 )3(3+=+x k y 即 033=-+-k y kx …………4分 从而有 51|332|2=+-+=k k d …………5分两边平方，整理得02322=--k k 解得 21-=k 或 2=k …………7分 所以，所求直线l 的方程为 )3(213+-=+x y ，或)3(23+=+x y 即 092=++y x ，或032=+-y x ． …………9分解：（1）连结BD AC ,交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ， ………1分 ∴ ∠PAO 就是PA 与底面ABCD 所成的角，∴ tan ∠PAO=26． ………2分 设AB=1，则PO=AO•tan ∠PAO=2622⨯ =23． ………3分设F 为AD 中点，连FO 、PF ，易知OF ⊥AD ，PF ⊥AD ，所以PFO ∠就是侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的平面角． ………4分在Rt POF ∆中，321/23tan ===∠FO PO PFO ， ∴ ︒=∠60PFO ，即侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小为︒60；………5分 （2）连结EO ，由于O 为BD 中点，E 为PD 中点，所以，EO =//PD 21． ∴ AEO ∠就是异面直线PD 与AE 所成的角． ………6分 在Rt POD ∆中，2522=+=PO OD PD ．∴ 45=EO ． ………7分 由BD AO ⊥，PO AO ⊥可知⊥AO 面PBD ．所以，EO AO ⊥ ……8分 在Rt AOE ∆中，510245/22tan ===∠EO AO AEO ， 即异面直线PD 与AE 所成角的正切值为5102． ………9分解：（1） ()x f 是奇函数，则()()x f x f -=-．由()()x f x f -=-kxx x kx --=--+⇒111122211x x k -=-⇒1-=⇔k 或1-=k ． …………2分当1=k 时，())1(log 11log -=--=a ax xx f ，这与题设矛盾， 当1-=k 时，()11log -+=x x x f a 为奇函数，满足题设条件． …………4分（2）在（1）的条件下，()11log -+=x x x f a 在()+∞,1上是减函数，证明如下：设),1(,21+∞∈x x ，且21x x <，则()()()()()()1111log 212121+--+=-x x x x x f x f a11log 12212121-+--+-=x x x x x x x x a， ………6分112>>x x 01112212121>-+->-+-∴x x x x x x x x ，即11112212121>-+--+-x x x x x x x x ， …………7分又1>a ，()()01log 21=>-∴a x f x f 即()()21x f x f >，∴()x f 在()+∞,1上是减函数． …………8分。
广东省中山市高一上学期期末水平测试数学试题
广东省中山市高一上学期期末水平测试数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.下列表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.2.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A. 2寸B. 3寸C. 4寸D. 5寸【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.3.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.考点：指数函数与对数函数的值域点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。
4.已知，则A. 2B. 7C.D. 6【答案】A【解析】【分析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果．【详解】，，，故选A．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．5.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.6.给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确故选：D【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基础题．7.若动点分别在直线上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】AB 中点在直线上，该直线到的距离相等；则解得，所以M轨迹为则M到原点距离的最小值为原点的直线的距离即为故选C8.定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对任意的，，，有，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性之间的性质，将不等式转化为不等式组，数形结合求解即可．【详解】因为对任意的，，当，有 ,所以,当函数为减函数，又因为是偶函数，所以当时，为增函数，，，作出函数的图象如图：等价为或，由图可知，或，即不等式的解集为，故选A．【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9.如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与交点R 满足；当时，为六边形；当时，的面积为．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果．【详解】当时，如图，是四边形，故正确当时，如图，为等腰梯形，正确；当时，如图,由三角形与三角形相似可得，由三角形与三角形相似可得,，正确当时，如图是五边形，不正确；当时，如图是菱形，面积为，正确，正确的命题为，故选D．【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．10.函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题设可知函数的函数值不会取到0，故命题①是错误的；当时，函数是单调递增函数，故“囧函数”在上单调递减，因此命题②是错误的；容易验证函数是偶函数，因此其图象关于轴对称，命题③是真命题；因当时函数恒不为零，即没有零点，故命题④是错误的；因为，不妨设，则由，即，也即，其判别式，因，且两根之积，故直线与函数的图象至少有一个交点，因此命题⑤也是真命题．综上命题③⑤是正确的，其它都是错误的，应选答案B。
广东省中山市2018-2019学年高一上学期期末水平测试数学试题 Word版含解析
广东省中山市2018-2019学年高一上学期期末水平测试数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.下列表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.2.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A. 2寸B. 3寸C. 4寸D. 5寸【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.3.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.考点：指数函数与对数函数的值域点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。
4.已知，则A. 2B. 7C.D. 6【答案】A【解析】【分析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果．【详解】，，，故选A．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．5.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.6.给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确故选：D【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基础题．7.若动点分别在直线上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】AB中点在直线上，该直线到的距离相等；则解得，所以M 轨迹为则M到原点距离的最小值为原点的直线的距离即为故选C8.定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对任意的，，，有，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性之间的性质，将不等式转化为不等式组，数形结合求解即可．【详解】因为对任意的，，当，有 ,所以,当函数为减函数，又因为是偶函数，所以当时，为增函数，，，作出函数的图象如图：等价为或，由图可知，或，即不等式的解集为，故选A．【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9.如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与交点R满足；当时，为六边形；当时，的面积为．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果．【详解】当时，如图，是四边形，故正确当时，如图，为等腰梯形，正确；当时，如图,由三角形与三角形相似可得，由三角形与三角形相似可得,，正确当时，如图是五边形，不正确；当时，如图是菱形，面积为，正确，正确的命题为，故选D．【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．10.函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题设可知函数的函数值不会取到0，故命题①是错误的；当时，函数是单调递增函数，故“囧函数”在上单调递减，因此命题②是错误的；容易验证函数是偶函数，因此其图象关于轴对称，命题③是真命题；因当时函数恒不为零，即没有零点，故命题④是错误的；因为，不妨设，则由，即，也即，其判别式，因，且两根之积，故直线与函数的图象至少有一个交点，因此命题⑤也是真命题．综上命题③⑤是正确的，其它都是错误的，应选答案B。
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中山市高一级2011—2012学年度第一学期期末统一考试数学科
试卷
本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共100分，考试时间100分钟。
注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．集合{0，1，2}的所有真子集的个数是
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；下图中哪个图象与这件事正好吻合（其中x 轴表示时间，y 轴表示路程．）
3．函数y =log 2|x |的大致图象是
4．方程3log 3x x +=的解所在区间是
A
B
y C D
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，+∞） 5．求过点P （2，3），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程
A ．10x y -+=
B ．10x y -+=或320x y -=
C ．50x y +-=
D ．50x y +-=或320x y -=
6．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积和体积分别
为
A ．2
3
24,12cm cm ππ B ．23
15,12cm cm ππ C ．2
3
24,36cm cm ππ
D ．2
3
15,36cm cm ππ
7．圆2
2
:5p x y +=,则经过点M (1,2)-的切线方程为
A ．250x y --=
B ．250x y ++=
C ．250x y +-=
D ．250x y -+=
8．已知a>0，且a≠1，则下述结论正确的是
A ．8.0log log 23<π
B ．1.33
.09.07
.1>
C ．27.0a a
<
D ．6log 7log a a >
9．化简)3
1
()3()(65
61
3
12
12
1
3
2
b a b a b a ÷-⨯的结果为
A ．a 6
B ．a -
C ．a 9-
D ．2
9a
10．在空间中，下列四个命题中
①两条直线都和同一平面平行，则这两条直线平行；
②两条直线没有公共点，则这直线平行；
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行． 其中正确命题的个数 A ．3个 B ．2个
C ．1个
D ．0个
第II 卷（非选择题 共60分）
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2
＋1 (x ≤0)
－2x (x ＞0)
，若f (x )＝10，则
x 的值是 .
12．已知直线l 经过点（1，3），且与圆2
2
1x y +=相切，直线l 的方程为 13．已知正方体外接球的体积是
32
3
π，那么正方体的 棱长等于 .
14．已知函数()f x 是定义在[3,0)
(0,3]-上的奇函数，
当x >0时()f x 的图象如右所示，那么()f x 的值域 是 ．
三、解答题（共5小题，共计44分，每小题要有必要的解题过程） 15．（9分）已知函数f ( x )=x 2
+ax+b
（1）若f (x)为偶函数，求实数a 的值；
（2）若f (x)在[)1,+∞内递增，求实数a 的范围．
16．（9分）如图，ABC ∆的三个顶点分别为A （0，4），B （-2，6），C （-8，0）
（1） 求边AC 上的中线BD 所在的直线方程； （2） 求与AB 平行的中位线DE 的直线方程．
17．（9分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
（1）求证：PA ∥平面BDE
第14题
.
o
1 3
3 y ° B
6 y A o
-8
4 C
D E
第16题
（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE
（3）若AB a =，PA b =，求三棱锥P-BDE 的体积。
18．（9分）某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯
费（即电话费）与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.2元/小时，但每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时． （1）将该网民在某月内在家上网的费用y （元）表示为时间t （小时）的函数； （2）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？
19．（8分）已知函数2
1)(x
n mx x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52
)21(=f （1）求实数n m ,的值
（2）用定义证明)(x f 在)1,1(-上是增函数 （3）解关于t 的不等式0)()1(<+-t f t f
中山市高一级2011—2012学年度第一学期期末统一考试
数学科试卷参考答案
一、CACCB ADBCD
二、11、3- ；12、2x =或4350x y -+=； 13、3
3
4； 14、[)(]3,11,3⋃--； 三、15、（1）由f (x)=f (－x)，可得0a =； （2） ∵f (x)在[)1,+∞内递增；∴12
a
-≤； ∴2a ≥-．
16．.解：（1）由中点坐标公式，设点(,)D x y ，得0842x -==-，40
22
y +== 由直线的两点式方程得BD 所在的直线方程为62
2642
y x -+=
--+，即2100x y -+= （2）由题意知1,2(1)(4)AB k y x =--=-+， 得AB 的中位线所在的直线方程为20x y ++=
17．证明：（1）连结EO …………1分
四边形ABCD 为正方形
∴O 为AC 的中点 又E 是PC 的中点 ∴EO //PA
, EO BDE PA BDE ⊂⊄平面平面
∴PA //平面BDE ； （2）
PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴PO BD ⊥
四边形ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥
,PO
AC O AC PAC PO PAC =⊂⊄平面，平面
∴BD PAC ⊥平面 ，又⊂BD 平面BDE ∴平面PAC ⊥平面BDE.
（3）又AB a =，PA b =，PO ⊥底面ABCD ，则PO ==
又 ABCD 是正方形，则2
1
2
BDC S a ∆=， E 是PC 的中点，
∴12P BDE C BDE P BDC V V V ---===21112362BDC a S PO ∆⋅⋅=⋅
18.（1）由题可得，
0.210 0101.2 10<t 15030 t>150t t y t t +≤≤⎧⎪
=≤⎨⎪+⎩
（2）到附近网吧上网的费用z （元）表示为时间t （小时）的函数为 1.5 0z t t =≥
当10t >时，易知y z <；
当010t ≤≤时，满足y z <条件；得
0.210 1.510013
t t
t +<>
答：当上网时间大于100
13
小时（约7.69小时），在家上网更便易．
19．解：（1）)(x f 为奇函数 )()(x f x f -=-∴
,1)(1)(2
2x n
mx x n x m ++-=-++- ∴0=n
5
2
)21(=f ∴ 1=m
（2）由（1）得2
1)(x
x
x f += 设1121<<<-x x
则)1)(1()
1()1(11)()(2
2212122
2122221121x x x x x x x x x x x f x f +++-+=+-+=- )
1)(1()
1)((2
2212121x x x x x x ++--= ∵1121<<<-x x ∴021<-x x ，0121>-x x ，0121>+x ，012
2>+x
∴0)()(21<-x f x f 即 )()(21x f x f < ∴)(x f 在（－1，1）上为增函
数．
（3）∵)(x f 是定义在（－1，1）上的奇函数
∴由0)()1(<+-t f t f 得：)1()1()(t f t f t f -=--< 又∵)(x f 在（－1，1）上为增函数
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-<<-<-<<-t
t t t 11111
1，解得 210<<t。