湖北省荆州市荆州中学2012届高三第三次质量检查(文)

荆州中学2012届高三第三次质量检查数 学 试 卷 (文科)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1.设集合{1,2,3,4,5,6,7},{2,3,4,6},{1,4,5}U M N ===，则{1,5}等于（ ）A ．M NB ．M NC ．()U M N ðD ．U M N ð2. 设i 为虚数单位，2,,1a b R a bi i∈=++，则,a b 的值为（ ） A ．1,1a b ==B ．1,1a b ==-C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-3.双曲线2213y x -=的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．24. “31m -<<-”是“()3f x x m =+在区间[0,1]上有零点”的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5. 如图，若依次输入的x 的值分别为,36ππ，相应输出的y 的值分别为1y 、2y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ．无法确定6. 若列联表如下：色 盲 不色盲 合 计 男 15 20 35 女 12 8 20 合计272855则2k 的值约为（ ）A ．1.4967B ．1.64C ．1.597D ．1.717. 如图，正六边形ABCDE 中，AF ED CB ++=（ ）A ．0B ．ADC ．CFD ．BEAF ED8. 某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A ．43B ．4C ．23D ．29. 设G 为三角形ABC 的重心，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若aGA bGB + cGC + 0=，则角B 的大小为（ ）A ．045B ．060C ．030D ．09010.设()y f x =在(,1]-∞上有定义，对于给定的实数k ，定义()()k f x f x k⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，给出函数1()24x x f x +=-，若对于任意(,1]x ∈-∞，恒有()()k f x f x =，则（ ）A ．k 的最大值为0B ．k 的最小值为0C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1二、填空题：（本大题7个小题，每小题5分，共35分，各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程）11．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项为2，且124111,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为 ．12.命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为 ． 13. 已知正数,x y 满足211x y+=，若227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为 .14.设圆C 与圆22(2)1x y -+=外切，与直线1x =-相切，则C 的圆心轨迹方程为 ．15．在区间(0,1)上随机取两个数,m n ，则关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率为 ．16.已知1()sin cos f x x x =+，且21()(),f x f x '=32()(),f x f x '=1()(),n n f x f x -'⋅⋅⋅=⋅⋅⋅2 侧视图正视图232俯视图*(,2)n N n ∈≥，则122012()()()444f f f πππ++⋅⋅⋅+= ．17.若方程lg 5x x =-+在区间(,1)()k k k Z +∈上有解，则满足所有条件的k 的值的和为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. （本小题满分12分）ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(1,1)m =- ，3(cos cos ,sin sin )2n B C B C =- ，且m n ⊥ .(1)求A 的大小； (2)若1a =，(31)2bc +=,求ABC ∆的面积.19.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，1a t =，点1(,)nn S a +在直线21y x =+上，*n N ∈（1）当实数t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？ （2）在（1）的结论下，设31log ,n n n b a T +=是数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求2012T .20.（本小题满分13分）在三棱柱111ABC A B C -中，AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ，,11===BC AC AAC 1B 1A 121=B A⑴求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ；⑵如果D 为AB 的中点，求证：1BC ∥平面1ACD .21.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，证明直线l 过定点．22.（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数2()(3)f x x ax =-，其中a 为常数（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当0a >时，若函数()()()([0,2])g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围.荆州中学2012届高三2月月考数学试卷(文科)答案一．选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CBCAAAACBD二．填空题：11.2n a n = 12. 22,22⎡⎤-⎣⎦13.()1,8- 14.28y x =15.1816.0 17.1- 三．解答题：18. 解：(1)因为m n ⊥ ，所以3cos cos sin sin 02B C B C -+-=即：3cos cos sin sin 2B C B C -=-，所以3cos()2B C +=- 因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-，所以3cos ,302A A == (2)因为(31)30,1,2bA a c +===由余弦定理，得：222313131()2222b b b b ++=+-⋅⋅ 整理得：2622,2,2b bc +===所以1162131sin 222224ABC S bc A ∆++==⋅⋅⋅=19. 解：（1）111213(2)2,21n n n n n n a S a a n n a S ++-=+⎫⇒=≥⎬≥=+⎭要使{}n a 是等比数列 212131a t t a t +∴==⇒= （2）由（1）可知1313,log n n n n a b a n -+===11111(1)1n n b b n n n n +∴==-++ 20121111112012(1)()()12232012201320132013T ∴=-+-++-=-=20. （1）在011160,1,A AC A AC AA AC ∆∠===中，11,AC ∴= 111,1,A BC AC ∆==中，BC 112,BC AC =∴⊥A B ，又 1111,,AA BC BC ACC A BC A BC ⊥∴⊥⊂ 平面平面,.111A BC ACC A ∴⊥平面平面.（2）连接11,AC AC O 交于，连接DO, 则由D 为AB 中点，O 为1A C 中点得：OD ∥1BC ,⊂OD 平面⊄11,BC DC A 平面DC A 1，∴1BC ∥平面DC A 1 21. 解：⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦距为23的椭圆，其方程为2214x y +=．QPOy x⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得222(14)8440k x bkx b +++-= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814bk x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+ ，()222,AQ x y =+．由0A P A Q ⋅= ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②，③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．22.解：（1）322()3,()363(2).f x ax x f x ax x x ax '=-=-=-1x = 是()f x 是一个极值点，(1)0,2;f a '=∴=（2）①当0a =时，2()3f x x =-()f x ∴在区间(,0)-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数②当0a >时，2()0()0f x x x a '>⇔->得0x <或2x a>； 2()0()0f x x x a '<⇔-< 得 20x a<<()f x ∴在区间(,0)-∞上是增函数，在区间2(0,)a 上是减函数，区间2(,)a+∞上是增函数③当0a <时，2()0()0f x x x a '>⇔-<得20x a<<， 2()0()0f x x x a'<⇔->得2x a <或0x >()f x ∴在区间2(,)a -∞上是减函数，在区间2(,0)a上是增函数，区间(0,)+∞上是减函数（3）320,()(33)6,[0,2]a g x ax a x x x >=+--∈22()32(33)63[2(1)2],g x ax a x ax a x '=+--=+--令()0,g x '= 即22(1)20()ax a x +--=*显然有2440a ∆=+>设方程（*）的两个根为12,x x ，由（*）式得1220x x a=-<，不妨设120x x << 当202x <<时，2()g x 为极小值，所以()g x 的在[0,2]上的最大值只能为(0)g 或(2);g当22x ≥时，由于()g x 在[0,2]上是单调递减函数，所以最大值为(0)g ， 所以在[0,2]上的最大值能为(0)g 或(2)g ，又已知()g x 在0x =处取得最大值，所以(0)(2)g g ≥ ，即02024,a ≥-解得65a ≤，又因为0a >，所以6(0,]5a ∈. 综上：a 的范围是605a <≤.。