世纪金榜数学文科 课时提升作业(三十) .
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(三十九) 7.2
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课时提升作业(三十九)空间几何体的表面积与体积(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A.2π B.π C.2 D.1【解析】选A.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1,母线长为1.故侧面积为2πr 〃l =2π〃1〃1=2π. 2.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B 1C 1的所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC,则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( ) A. B. C. D.【解析】选 A.在△ABC 中,BC 边上的高为,即棱锥A-BB 1C 1的高为,又=,所以1111B ABC A BB C V V --＝=××=.3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=9π〃6=54π. 因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高为4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=4π〃4+9π〃2=34π.所以削掉部分的体积与原体积之比==.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.+6B.C. D.+6【解析】选B.由三视图可知该几何体为横着平放的半个圆锥与半个圆柱构成的简单组合体,体积V=×π×12×2+×π×12×3=π.5.(2015·太原模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )A. B. C. D.【解题提示】先根据题意确定四面体O-ABC的结构特征,求得O到平面ABC的距离,进而求得S到平面ABC的距离,代入体积公式求解.【解析】选A.因为△ABC为边长为1的正三角形,且球半径为1,所以四面体O-ABC为正四面体,所以△ABC的外接圆的半径为,所以点O到平面ABC的距离d==,所以三棱锥的高SF=2OE=,所以三棱锥的体积为××1××=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】如图,所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成,V=×2×π×22+π×12×4=(m3).答案:7.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.【解析】由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,以梯形为底,所以梯形面积为=,四棱柱的高为1,所以该几何体的体积为.答案:8.(2015·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO〃OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.答案:16π【误区警示】本题易误将圆锥底面圆半径作为球的半径而致误.【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·长春模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法).(2)求这个几何体的表面积及体积.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).10.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC 的面积.【解析】(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C,交AA 1,BB 1分别于A 2,B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1=90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2, 则V=1112222A B C A B C C ABB A V V --+=×2×2×2+××(1+2)×2×2=6. (2)在△ABC 中,AB==,BC==, AC==2.则S △ABC=×2×=.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答: 延长B 1B,C 1C 到B 3,C 3,使得B 3B 1=C 3C 1=AA 1. 则V==×2×2×4-××(1+2)×2×2=6.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·中山模拟)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的体积是( )A.24B.12C.8D.4【解题提示】由三视图还原出几何体,由几何体的结构特征求体积.【解析】选B.由三视图可知,该几何体是由两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为4,三棱柱的底面三角形为直角三角形,两直角边分别为2,,所以三角形的底面积为×2×=,所以三棱柱的体积为×4=6,所以该几何体的体积为2×6=12.2.(5分)(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.【解题提示】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.【加固训练】已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为2的正方形.若PA=2,则△OAB的面积为.【解析】首先,可以判定点O,P在平面ABCD的同侧(否则,由OA=OP=R,三角形OAP 为等腰三角形,∠OAP=∠OPA,据PA⊥平面ABCD知∠OAP为钝角,一个等腰三角形的底角不可能为钝角),设正方形ABCD的对角线交于点M,连接OM,由球的性质,OM⊥平面ABCD,又PA⊥平面ABCD,则PA∥OM,从而四边形AMOP为直角梯形. 如图,OP=R,作ON⊥PA于N.可以求得ON=MA=,AN=OM=,PN=PA-AN=2-.在直角三角形ONP中,利用勾股定理,得(2-)2+6=R2,求得R=2,故三角形OAB为等边三角形,S△OAB=(2)2=3.答案:33.(5分)已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,点P1,P2分别是线段AB,BD1上(不包括端点)的动点,在P1,P2运动的过程中线段P1P2始终平行于平面A1ADD1,则当几何体P1P2AB1的体积取得最大值时,AP1= .【解析】过P2作P2O⊥底面ABCD于O,连接OP1,则OP1⊥AB,即OP1⊥平面P1AB1,设AP1=x,0<x<1,则由题意知OP1∥AD,所以有=,即OP1=1-x,又=x,所以四面体P1P2AB1的体积为·OP1=×x(1-x)=x(1-x)≤=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号,所以四面体P1P2AB1的体积的最大值为,此时AP1=.答案:4.(12分)(2015·绍兴模拟)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米. (1)求a 关于h 的函数解析式.(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值.(求解本题时,不计容器的厚度)【解析】(1)设h ′为正四棱锥的斜高.由已知解得a=(h>0).(2)V=ha 2=(h>0),易得V=,因为h+≥2=2,所以V ≤,当且仅当h=,即h=1时取等号,故当h=1米时,V 有最大值,V 的最大值为立方米.5.(13分)(能力挑战题)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,过A 1,C 1,B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1,这个几何体的体积为. (1)求棱A 1A 的长.(2)求经过A 1,C 1,B,D 四点的球的表面积.【解析】(1)设A 1A=h,因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为,所以1111111AB C D A CDA B C D A B C D B A B CV V V ---=-=, 即S 四边形ABCD ×h-××h=,即2×2×h-××2×2×h=,解得h=4. 所以A 1A 的长为4.圆学子梦想 铸金字品牌- 11 - (2)如图,连接D 1B,设D 1B 的中点为O,连接OA 1,OC 1,OD. 因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,所以A 1D 1⊥平面A 1AB. 因为A 1B ⊂平面A 1AB,所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=D 1B.同理OD=OC 1=D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1,C 1,B,D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24.所以S 球=4π×(OD 1)2=4π×=π×D 1B 2=24π. 故经过A 1,C 1,B,D 四点的球的表面积为24π.关闭Word 文档返回原板块。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 四 2.1
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课时提升作业四函数及其表示(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2016·莱芜模拟)函数f(x)=错误！未找到引用源。
的定义域为( )A.(1,3]B.(-∞,3]C.(0,3]D.(1,3)【解析】选A.由题意错误！未找到引用源。
解得1<x≤3.【加固训练】设f(x)=错误！未找到引用源。
则f(f(2))=__________. 【解析】f(2)=log3(22-1)=1,f(f(2))=f(1)=e1-1=e0=1.答案:13.(2016·聊城模拟)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a 满足条件;当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件. 【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.方法一:由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得a=-3.方法二:验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=错误！未找到引用源。
则f(f(10))= ( ) A.lg101 B.2 C.1 D.0【解析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.4.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.5.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0, [3.4]=3.定义{x}=x-[x],则错误！未找到引用源。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十一) 2.8
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课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)的一个零点所在的区间是( )1.函数f(x)=ln(x+1)-2xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选 B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-2的定义域为(-1,0)∪(0,+≦),x结合四个选项可知,f(x)在(0,+≦)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2的一个零点所在的区间是(1,2).x2.(2015·天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选 A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=1,a>0,再根据2f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).x+2的零点个数为( )3.(2015·合肥模拟)函数f(x)=log2x-12A.0B.1C.3D.2【解析】选D.转化为判断y=log 2x 与y=12x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下:图象有两个交点,因此函数零点个数为2个.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}7【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数,求出函数在R 上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时,f(x)=x 2-3x,所以f(x)=22x 3x,x 0,x 3x,x 0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩所以g(x)=22x 4x 3,x 0,x 4x 3,x 0.⎧-+≥⎪⎨--+<⎪⎩由2x 0,x 4x 30≥⎧⎨-+=⎩解得x 1=3,x 2=1,由2x 0,x 4x 30<⎧⎨--+=⎩解得故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.【解析】由已知条件得2a+b=0,即b=-2a,),g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+12则g(x)的零点是x=0,x=-1.2答案:0,-127.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为.【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x )内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+≦)内有且仅有在区间(0,12 015一个零点.根据对称性可知函数在(-≦,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为.【解析】据二次函数图象应满足:即解得2<a<.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:运用根与系数的关系.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有x 1+x2=2a,x1x2=4. ①要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<.方法二:运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为x1,2==a〒;且Δ>0,得a>2或a<-2.要使两根均大于1,只需小根a->1即可,解之得2<a<.答案:【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为.【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.答案:0或-三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4〓(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.【解析】因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9+>0,所以若存在实数a满足条件, 则只需f(-1)〃f(3)≤0即可.f(-1)〃f(3)=(1-3a+2+a-1)〃(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a的取值范围是∪(1,+≦).10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】因为f(x)=4x+m〃2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m〃2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,m=〒2,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )A.11(,)42B.(1,2)C.1(,1)2D.(2,3)【解析】选C.由图象可知0b1,a b10,a 01,2⎧⎪<<⎪++=⎨⎪⎪<-<⎩故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是1(,1)2.2.(5分)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0,⎧-+≥⎨+<⎩若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A.2026(,]33B.2026(,)33C.11(,6]3D.11(,6)3【解析】选D.函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0⎧-+≥⎨+<⎩的图象如图,不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-73<x1<0,则x 1+x 2+x 3的取值范围是-73+6<x 1+x 2+x 3<0+6,即x 1+x 2+x 3∈11(,6)3.3.(5分)(2015·成都模拟)已知f(x)=-2|2|x|-1|+1和g(x)=x 2-2|x|+m(m ∈R)是定义在R 上的两个函数,则下列命题: ①函数f(x)的图象关于直线x=0对称;②关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k ∈(0,1); ③关于x 的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m ∈[0,1]; ④若∃x 1∈[-1,1],∃x 2∈[-1,1],f(x 1)<g(x 2)成立,则m ∈(-1,+∞). 其中正确的命题有 (写出所有正确命题的序号).【解析】因为f(x)=-2|2|x|-1|+1为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,故①正确;作出f(x)=-2|2|x|-1|+1的图象,如图所示,可知,关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k ∈(-1,1),故②错误;在同一坐标系中作出f(x)=-2|2|x|-1|+1和y=x 2-2|x|的图象,由图象可知当m ∈7(1,)4-时方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根,故③错;由题可知,只需当x ∈[-1,1]时,f(x)min <g(x)max 即可.易得f(x)min =-1,g(x)max =m,所以m ∈(-1,+≦),所以④正确.答案:①④【加固训练】(2015·南充模拟)已知函数f(x)=(](]x 1,1,1x 2,x 1,3,⎧∈-⎪⎨--∈⎪⎩其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m 的取值范围是 .【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=x 3与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m 的范围.【解析】因为当x ∈(-1,1]时,将函数化为方程x 2+22y m=1(y ≥0),所以实质上为一个半椭圆,同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图,由图易知直线y=x 3与第二个半椭圆(x-4)2+22y m=1(y ≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,将y=x 3代入(x-4)2+22y m=1(y ≥0)得,(9m 2+1)x 2-72m 2x+135m 2=0,令t=9m 2(t>0),则(t+1)x 2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4〓15t(t+1)>0,得t>15,由9m 2>15,且m>0得同样由y=x 3与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)联立所得方程Δ<0可计算得综上可知m∈(3.答案:4.(12分)(2014·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-≦,0)时,-x∈(0,+≦).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=22x2x,x0,x2x,x0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩(2)当x∈[0,+≦)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-≦,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).(x>0).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+2ex(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.≥【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+2ex等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+≦),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.所以m的取值范围是[2e,+≦).【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法:(x>0)的大致图象如图:作出g(x)=x+2ex可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.所以m的取值范围是[2e,+≦).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,(x>0)的大致图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所作出g(x)=x+2ex以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+≦).关闭Word文档返回原板块。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(二十三) 4.1
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课时提升作业(二十三)平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则= ( )A.b-aB.b+aC.a+bD.a-b【解析】选A.=-=+-=+-=-=b-a.2.(2015·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是( )A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D【解析】选 B.因为AD AB BC CD=++=3a+6b=3(a+2b)=3AB,又AB,AD有公共点A.所以A,B,D 三点共线.4.(2015·攀枝花模拟)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,1CD CA CB,3=+λ则实数λ=( )2112A. B. C. D.3333-- 【解析】选D.如图,D 是AB 边上一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F,连接CD,则CD CE CF.=+1CD CA CB,31CE CA,CF CB.3DE AE 2ADE ABC,,BC AC 322ED CF CB,.33=+λ==λ====λ=因为所以由∽得所以故【加固训练】已知△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,则可知点M 是三角形ABC 的重心,设BC 边的中点为D,则可知()()2211AM AD AB AC AB AC ,3323==⨯+=+所以AB AC 3AM,+=故m=3.5.(2015·兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点.M 在DC 上且满足5=+3,则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )A. B. C. D. 【解题提示】只要明确DM 与DC 之比即可,故利用已知转化为与之间关系即可.【解析】选C.由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-), 即2=3, 故=,故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5, 故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.6.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AB mAM,AC nAN,==则m+n 的值为( )A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为O 是BC 的中点, 所以()1AO AB AC .2=+ 又因为AB mAM,AC nAN,== 所以m nAO AM AN.22=+ 因为M,O,N 三点共线,所以m n22+=1,所以m+n=2.7.(2015·泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=12a-b;②BE=a+12b;③CF=-12a+12b;④AD BE CF++=0.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选D.所以正确命题为②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,3AN NC=,M为BC的中点,则MN= .(用a,b 表示)【解析】如图所示.答案:【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2014·海口模拟)在△ABC 中,AB =c ,AC =b ,若点D 满足BD 2DC =,则AD = .【解析】如图,因为在△ABC 中, AB = c , AC =b ,且点D 满足BD 2DC =,答案:23b +13c9.(2015·长春模拟)已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n |=,则|m +n |= .【解题提示】利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26,又|m-n故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3.答案:310.给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB DC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②0a=0;③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.【解析】①正确;②数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.答案:①(20分钟40分)1.(5分)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足111=++则点P一定为三角形ABC的( )OP(OA OB2OC),322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点【解析】选B.设AB 的中点为M,则()11112OA OB OM,OP OM 2OC OM OC,22333+==+=+所以即3OP OM 2OC =+,也就是MP 2PC =,又MP PC 与有公共点P,所以P,M,C 三点共线,且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点.2.(5分)(2015·大理模拟)O 是△ABC 所在平面外一点且满足,λ为实数,则动点P 的轨迹必经过△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心 【解题提示】明确是AB,AC 方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为AP 与共线后可解.【解析】选B.如图,设AB AF,AB=AC AE,AC=已知AF,AE 均为单位向量,故▱AEDF 为菱形,所以AD 平分∠BAC, 由AB AC OP OA ()ABAC=+λ+得AP AD,AP AD =λ又与有公共点A, 故A,D,P 三点共线,所以P 点在∠BAC 的平分线上,故P 的轨迹经过△ABC 的内心.3.(5分)(2015·重庆模拟)若∀k ∈R,BA kBC CA -≥恒成立,则△ABC 的形状一定是.【解题提示】利用向量加减的几何意义,数形结合求解.【解析】如图,设BD kBC,BA kBC BA BD DA,则=-=-=由对任意k∈R,都有DA CA≥恒成立知AC BC⊥,故△ABC为直角三角形.答案:直角三角形4.(12分)(2015·贵阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若AE mAB AD=+,求实数m 的值.【解析】由N是OD的中点得又因为A,N,E三点共线,故AE AN,=λ.故实数m=13【加固训练】已知△ABC中,AB=a,AC=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP OA=+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由OP OA=+λa+λb,得OP OA-=λ(a+b),即()AP AB AC.=λ+如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则AP AD,=λ所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.5.(13分)(能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=3a+b-2a+b=a+2b,AB OB OA=-=a-3b-3a-b=-2a-4b,BC OC OB故BC2AB,=-又BC与AB有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为AC AB BC=+=a+b+2a-3b=3a-2b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,故存在实数λ使得CD AC,=λ即2a-k b=3λa-2λb,关闭Word文档返回原板块。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(三) 1.3
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课时提升作业(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,x02≠x0D.∃x0∈R,x02=x0【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.2.(2015·开封模拟)已知命题p,q,“p为真”是“p∧q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由“p为真”知p为假,则“p∧q为假”;反之,若“p∧q为假”,则命题p,q至少有一个为假,从而“p为假”不一定成立,即“p为真”不一定成立,因此,“p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.【加固训练】(2015·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,则( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨q是假命题D.命题p∧q是真命题【解析】选B.对于命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,当x0=0时,此命题成立,故是真命题;命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q 是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,故选B.3.(2015·长沙模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立【解析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.4.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,使x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}【解析】选A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,因为“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.5.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【解析】选 D.当0<a<1时,y=a x 在R 上是减函数,因此p 假,p 真,当a=12时,log a 2+log 2a=-2<2,因此q 假,q 真.从而命题p ∨(q)为真命题. 6.下列命题中,真命题是( ) A.∃x 0∈[0,2π],sin x 0+cos x 0≥2 B.∀x ∈(3,+∞),x 2>2x+1 C.∃x 0∈R,x 02+x 0=-1D.∀x ∈(2π,π),tan x>sin x【解析】选B.对于选项A,∀x ∈[0,2π],sin x+cos x4π)所以此命题为假命题; 对于选项B,当x ∈(3,+≦)时, x 2-2x-1=(x-1)2-2>0, 所以此命题为真命题;对于选项C,∀x ∈R,x 2+x+1=(x+12)2+34>0, 所以此命题为假命题;对于选项D,当x ∈(2π,π)时,tan x<0<sin x, 所以此命题为假命题,故选B.【加固训练】已知命题p:∃x 0∈R,使tan x 0=3,命题q:x 2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧(q)”是假命题; ③命题“(p)∨q ”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题. 其中正确的是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④【解析】选D.命题p 是真命题,命题q 也是真命题.所以p,q 是假命题,从而得①②③④都正确.7.(2015·葫芦岛模拟)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0,则( )A.p 是假命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)≥0B.p 是假命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0C.p 是真命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)>0D.p 是真命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0【解析】选D.由三角函数线的性质可知, 当x ∈(0,2π)时,sin x<x,所以3sin x<3x<πx,所以f(x)=3sin x-πx<0. 即命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0为真命题. 根据全称命题的否定为特称命题可知: p:∃x0∈(0,2π),f(x 0)≥0. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题:“对任意k>0,方程x 2+x-k=0有实根”的否定是 .【解析】“任意k>0”的否定为“存在k>0”,“方程x 2+x-k=0有实根”的否定为“方程x 2+x-k=0无实根”.从而命题的否定为“存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根”.答案:存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根9.已知p和q都是命题,则“命题:p∨q为真命题”是“命题:p∧q为真命题”的条件.(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要”四者之一)【解析】p∨q为真,二者至少有一个为真,p∧q为真,二者均为真,故“p∨q真”⇐“p∧q真”,所以填“必要不充分”.答案:必要不充分10.已知命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若“p∨q”为假命题,则实数m的取值范围为.【解析】因为命题“p∨q”是假命题,所以命题p,q都是假命题,所以命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0是假命题,则m≥0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0是假命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0,所以m2≥1,得m≤-1或m≥1,所以实数m的取值范围是[1,+≦). 答案:[1,+≦)(20分钟40分)1.(5分)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有x02≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x2<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.【加固训练】(2014·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:∃x 0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【解析】选B.根据逆否命题的定义,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故A正确;若p∧q为假命题,则p,q至少存在一个假命题,但p,q不一定均为假命题,故B错误;命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为:任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;因为x>2⇒x2-3x+2>0,x2-3x+2>0⇒x<1或x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故D正确.故选B.2.(5分)(2014·辽宁高考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【解析】选 A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假判断方法知,选项A正确.3.(5分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组x y1,x2y4+≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3【解题提示】画出可行域,求出x+2y的最优解,根据最优解判断命题的真假. 【解析】选B.画出可行域如图所示,设x+2y=z,则1z=-+y x,22当直线经过点(2,-1)时z取得最小值,z min=2+2×(-1)=0,即z≥0,所以命题p1,p2是真命题.4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x 满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.或x=-a,所以当命题p为真【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=a2|≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.命题时,|a2又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.因为命题“p ∨q ”为假命题,所以a>2或a<-2; 即a 的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)(能力挑战题)设a 为实数,给出命题p:关于x 的不等式x 11()2-≥a 的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg[ax 2+(a-2)x+98]的定义域为R,若命题“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求a 的取值范围.【解析】若p 正确,则由0<x 11()2-≤1,得a>1. 若q 正确,则ax 2+(a-2)x+98>0解集为R. 当a=0时,-2x+98>0不合题意,舍去;当a ≠0时,则2a 0,9(a 2)4a 0,8>⎧⎪⎨--⨯<⎪⎩解得12<a<8. 由题意知,p 和q 中有且仅有一个正确,所以a 1,1a a 82>⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或a 1,1a 8,2≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 所以a ≥8或12<a ≤1.【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围.(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.关闭Word 文档返回原板块。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 十四 2.1
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课时提升作业十四利用导数研究函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( )A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).2.(2016·聊城模拟)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1【解析】选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1<0在(0,1)内恒成立,所以f′(0)≤0,且f′(1)≤0,所以a≥1.3.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)f′(x)<0,则在区间[1,2]上必有( )A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)【解析】选A.由(x2-3x+2)f′(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1<x<2时,f′(x)>0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(2).4.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A.f(x)=错误！未找到引用源。
-x3B.f(x)=错误！未找到引用源。
+x3C.f(x)=错误！未找到引用源。
-x3D.f(x)=-错误！未找到引用源。
-x3【解析】选A.根据函数的定义域可以排除选项C,D,对于选项B:f′(x)=错误！未找到引用源。
世纪金榜高考数学(文科,全国通用)一轮总复习课时提升作业：第二章 函数、导数及其应用 九 2.6
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课时提升作业九幂函数与二次函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.±错误！未找到引用源。
C.±9D.9【解析】选D.由函数f(x)=xα过点(4,2),可得4α=22α=2,所以α=错误！未找到引用源。
,所以f(x)=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,故f(m)=错误！未找到引用源。
=3⇒m=9.2.(2016·德州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )【解析】选D. A项,因为a<0,-错误！未找到引用源。
<0,所以b<0.又因为abc>0,所以c>0,由图知f(0)=c<0,故A错;B项,因为a<0,-错误！未找到引用源。
>0,所以b>0,又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B错;C项,因为a>0,-错误！未找到引用源。
<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C 错;D项,因为a>0,-错误！未找到引用源。
>0,所以b<0,又因为abc>0,所以c<0,由图知f(0)=c<0.【加固训练】设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a 的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.1D.-1【解析】选D.因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1.3.设a=0.错误！未找到引用源。
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(三十) 5.3
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课时提升作业(三十)等比数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.24【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【加固训练】(2015·福州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=x·3n-1-,则x的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-①,当n≥2时,a n=S n-S n-1=（x·3n-1-）-（x·3n-2-）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,因为{a n}是等比数列,所以由①②得x-=,解得x=.2.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( )A.100B.1000C.10000D.10【解析】选C.因为lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13==106,所以a8=100,所以a1a15==10000.3.(2015·昆明模拟)在等比数列{a n}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( )A.-2B.-C.±D.【解析】选 B.根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=,所以a5=-=-.4.在等比数列{a n}中,有a3a11=4a7,数列{b n}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选C.因为a3a11==4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{b n}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.【加固训练】已知各项不为0的等差数列{a n},满足2a3-+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为数列{a n}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又a n≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.5.已知数列{a n}的前n项和S n=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是( )A.k为任意实数时,{a n}是等比数列B.k=-1时,{a n}是等比数列C.k=0时,{a n}是等比数列- 2 -圆学子梦想铸金字品牌D.{a n}不可能是等比数列【解析】选 B.因为S n=3n+k(k为常数),所以a1=S1=3+k,n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,当k=-1时,a1=2满足a n=2×3n-1,{a n}是等比数列,当k=0时,a1=3不满足a n=2×3n-1,{a n}不是等比数列.【加固训练】(2015·青岛模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( )A.-3B.3C.-1D.1【解题提示】由S n求a n,而后由a1=S1求a.【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{a n}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则= .【解析】方法一:由已知=3,知=1+q3=3,所以q3=2,所以===.方法二:由已知=3,得S6=3S3,又因为S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而==.答案:- 3 -- 4 -【加固训练】在正项等比数列{a n }中,若++=81,则+= . 【解析】因为a 2a 4=,a 4a 6=,=a 3·a 5.所以++=++=81,即又a 3>0,a 5>0,故+=9.答案:97.(2015·徐州模拟)若等比数列{a n }满足:a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = .【解析】由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,得3112411a q a q 20,a q a q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即()()21221a q 1q 20,a q 1q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得q=2,a 1=2,所以S n ===2n+1-2.答案:2 2n+1-28.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{a n }是等平方和数列,且a 1=1,平方和为5,且a n >0,则a 2015= ,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为 .【解析】由定义知+=5,a 1=1,所以=4,因为a n >0,所以a 2=2.又由+=5,所以=1,因为a 3>0,所以a 3=1,由此可知a 4=2,a 5=1,…圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -即数列{a n }的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a 2015=1. 当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)=n, 当n 为奇数时,S n =(a 1+a 2)+a n =+1=.故S n =答案:1 S n =三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1,2S 2,3S 3成等差数列,且S 4=.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)求证S n <.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q. 因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列, 所以4S 2=S 1+3S 3,即4(a 1+a 2)=a 1+3(a 1+a 2+a 3), 所以a 2=3a 3,所以q==.- 6 -又S 4=,即=,解得a 1=1,(2)由(1)得【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差(2)a 1和d 可以为0(3)任意两实数的等差中项唯一 (4)当m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *)时a m +a n =a p +a q(1)强调每一项与前一项的比 (2)a 1与q 均不为0(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值(4)当m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *)时a m a n =a p a q圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系 (2)结果都必须是常数(3)数列都可以由a 1,d 或a 1,q 确定联系 (1)若{a n }为正项等比数列,则{log m a n }为等差数列,其中m>0,且m ≠1(2){a n }为等差数列,则为等比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列10.设f 1(x)=2x-1,f 2(x)=x 2,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =f 2(n),数列{b n }中,b 1=2,b n =f 1(b n-1). (1)求数列{a n }的通项公式. (2)求证:数列{b n -1}是等比数列. 【解析】(1)由题意知S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,a 1=S 1=1也适合上式, 故a n =2n-1.(2)由题意知b n =2b n-1-1, 即b n -1=2(b n-1-1),因为b 1-1=1,所以{b n -1}是以2为公比, 以1为首项的等比数列.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·济南模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则- 8 -a n = ( )【解析】选C.由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, 所以==,又a-1=4.所以数列{a n }是公比为,首项为4的等比数列,2.(5分)等比数列{a n }的公比为q,则“a 1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.易知,当a 1>0,且q>1时,a n >0,所以=q>1,表明a n+1>a n ;若对任意自然数n,都有a n+1>a n 成立,当a n >0时,同除以a n 得q>1,但当a n <0时,同除以a n 得q<1.3.(5分)(2015·唐山模拟)已知数列{a n }是等比数列,a 1,a 2,a 3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a 1,a 2,a 3中任何两个都不在同一列,则a n = (n ∈N *).第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行6144圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -第三行 9 18 8【解析】观察题中的表格可知a 1,a 2,a 3分别为2,6,18,即{a n }是首项为2,公比为3的等比数列,所以a n =2·3n-1. 答案:2·3n-1【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”, ,,……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j,i,j ∈N *),则(1)a nm = , (2)a 83= .【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比. 【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.答案:4.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +n+1,设b n =a n +n+2(1)证明:数列{b n }是等比数列.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,求a n 和S n .- 10 -【解析】(1)由b n =a n +n+2,则===2,又b 1=a 1+3=4,故{b n }是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)得b n =4·2n-1=2n+1,所以a n =2n+1-n-2,故S n =a 1+a 2+…+a n =(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n=--2n=2n+2--4.【加固训练】已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n+1=(1+q)a n -qa n-1(n ≥2,q ≠0). (1)设b n =a n+1-a n (n ∈N *),证明:{b n }是等比数列. (2)求数列{a n }的通项公式.(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项,求q 的值,并证明:对任意的n ∈N *,a n 是a n+3与a n+6的等差中项.【解析】(1)由题设a n+1=(1+q)a n -qa n-1(n ≥2), 得a n+1-a n =q(a n -a n-1),即b n =qb n-1,n ≥2. 由b 1=a 2-a 1=1,q ≠0,所以{b n }是首项为1,公比为q 的等比数列. (2)由(1),a 2-a 1=1,a 3-a 2=q,…,a n -a n-1=q n-2(n ≥2), 将以上各式相加,得a n -a 1=1+q+…+q n-2(n ≥2), 即a n =a 1+1+q+…+q n-2(n ≥2).上式对n=1显然成立.(3)由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6, ①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-.由①可得a n-a n+3=a n+6-a n,所以对任意的n∈N*,a n是a n+3与a n+6的等差中项.5.(13分)(能力挑战题)已知等比数列{a n}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得故a n=·3n-1,或a n=-5·(-1)n-1.(2)若a n=·3n-1,则=·故{}是首项为,公比为的等比数列,若a n=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故{}是首项为-,公比为-1的等比数列,综上,对任何正整数m,总有<1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.【方法技巧】解决数列探索性问题基本方法(1)对于条件开放的探索性问题,往往采用分析法,从结论和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.(2)对于结论探索性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.注意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量,根据题目条件,确定变量的值.数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数,根据函数的单调性进行证明,这是解决复杂问题常用的方法.(3)处理规律探索性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,根据前几项的特点透彻分析,发现规律、猜想结论.【加固训练】已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式.(2)若{a n}是等比数列,求{b n}的前n项和S n.(3)当{b n}是公比为a-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,所以a n=1+(n-1)(a-1).又因为b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.因为a>0,所以a=2.所以a n=n.(2)因为数列{a n}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),所以a n=a n-1.所以b n=a n a n+1=a2n-1.因为=a2,所以数列{b n}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,S n=n;当a≠1时,S n=(3)数列{a n}不能为等比数列.因为b n=a n a n+1,所以则=a-1.所以a3=a-1.假设数列{a n}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,此方程无解,故数列{a n}一定不能为等比数列.关闭Word文档返回原板块。
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世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(三十) 5.3————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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课时提升作业(三十)等比数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.24【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【加固训练】(2015·福州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=x·3n-1-,则x的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-①,当n≥2时,a n=S n-S n-1=（x·3n-1-）-（x·3n-2-）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,因为{a n}是等比数列,所以由①②得x-=,解得x=.2.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( )A.100B.1000C.10000D.10【解析】选C.因为lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13==106,所以a8=100,所以a1a15==10000.3.(2015·昆明模拟)在等比数列{a n}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( )A.-2B.-C.±D.【解析】选 B.根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=,所以a 5=-=-.4.在等比数列{a n}中,有a3a11=4a7,数列{b n}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选C.因为a3a11==4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{b n}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.【加固训练】已知各项不为0的等差数列{a n},满足2a3-+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为数列{a n}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又a n≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.5.已知数列{a n}的前n项和S n=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是( )A.k为任意实数时,{a n}是等比数列B.k=-1时,{a n}是等比数列C.k=0时,{a n}是等比数列D.{a n}不可能是等比数列【解析】选 B.因为S n=3n+k(k为常数),所以a1=S1=3+k,n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,当k=-1时,a1=2满足a n=2×3n-1,{a n}是等比数列,当k=0时,a1=3不满足a n=2×3n-1,{a n}不是等比数列.【加固训练】(2015·青岛模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( )A.-3B.3C.-1D.1【解题提示】由S n求a n,而后由a1=S1求a.【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{a n}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则= .【解析】方法一:由已知=3,知=1+q3=3,所以q3=2,所以===. 方法二:由已知=3,得S6=3S3,又因为S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而==.答案:【加固训练】在正项等比数列{a n}中,若++=81,则+= . 【解析】因为a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,即又a3>0,a5>0,故+=9.答案:97.(2015·徐州模拟)若等比数列{a n}满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和S n= .【解析】由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,得3112411a q a q 20,a q a q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即()()21221a q 1q 20,a q 1q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得q=2,a 1=2, 所以S n ===2n+1-2.答案:2 2n+1-28.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{a n }是等平方和数列,且a 1=1,平方和为5,且a n >0,则a 2015= ,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为 .【解析】由定义知+=5,a 1=1,所以=4,因为a n >0,所以a 2=2.又由+=5,所以=1,因为a 3>0,所以a 3=1,由此可知a 4=2,a 5=1,… 即数列{a n }的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a 2015=1. 当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)=n,当n 为奇数时,S n =(a 1+a 2)+a n =+1=.故S n =答案:1 S n =三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1,2S 2,3S 3成等差数列,且S 4=.(1)求数列{a n }的通项公式. (2)求证S n <.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q. 因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列, 所以4S 2=S 1+3S 3,即4(a 1+a 2)=a 1+3(a 1+a 2+a 3), 所以a 2=3a 3, 所以q==. 又S 4=, 即=,解得a 1=1,(2)由(1)得【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别 等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差 (2)a 1和d 可以为0(3)任意两实数的等差中项唯一(1)强调每一项与前一项的比 (2)a 1与q 均不为0(3)两同号实数(不为0)的等比中项(4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时a m+a n=a p+a q 有两个值(4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时a m a n=a p a q相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系 (2)结果都必须是常数(3)数列都可以由a 1,d 或a 1,q 确定联系 (1)若{a n }为正项等比数列,则{log m a n }为等差数列,其中m>0,且m ≠1(2){a n }为等差数列,则为等比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列10.设f 1(x)=2x-1,f 2(x)=x 2,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =f 2(n),数列{b n }中,b 1=2,b n =f 1(b n-1). (1)求数列{a n }的通项公式. (2)求证:数列{b n -1}是等比数列. 【解析】(1)由题意知S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,a 1=S 1=1也适合上式, 故a n =2n-1.(2)由题意知b n =2b n-1-1, 即b n -1=2(b n-1-1),因为b 1-1=1,所以{b n -1}是以2为公比, 以1为首项的等比数列.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·济南模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则a n= ( )【解析】选C.由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以==,又a-1=4.所以数列{a n}是公比为,首项为4的等比数列,2.(5分)等比数列{a n}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.易知,当a1>0,且q>1时,a n>0,所以=q>1,表明a n+1>a n;若对任意自然数n,都有a n+1>a n成立,当a n>0时,同除以a n得q>1,但当a n<0时,同除以a n得q<1.3.(5分)(2015·唐山模拟)已知数列{a n}是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则a n= (n∈N*).第一列第二列第三列第一行 1 10 2第二行 6 14 4第三行9 18 8【解析】观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,所以a n=2·3n-1.答案:2·3n-1【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”,,,……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*),则(1)a nm= , (2)a83= .【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比. 【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.答案:4.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n+1,设b n=a n+n+2(1)证明:数列{b n}是等比数列.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,求a n和S n. 【解析】(1)由b n=a n+n+2,则===2,又b1=a1+3=4,故{b n}是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)得b n=4·2n-1=2n+1,所以a n=2n+1-n-2,故S n=a1+a2+…+a n=(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n=--2n=2n+2--4.【加固训练】已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+1=(1+q)a n-qa n-1(n≥2,q≠0).(1)设b n=a n+1-a n(n∈N*),证明:{b n}是等比数列.(2)求数列{a n}的通项公式.(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,a n是a n+3与a n+6的等差中项.【解析】(1)由题设a n+1=(1+q)a n-qa n-1(n≥2),得a n+1-a n=q(a n-a n-1),即b n=qb n-1,n≥2.由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{b n}是首项为1,公比为q的等比数列.(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…,a n-a n-1=q n-2(n≥2),将以上各式相加,得a n-a1=1+q+…+q n-2(n≥2),即a n=a1+1+q+…+q n-2(n≥2).上式对n=1显然成立.(3)由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6, ①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-.由①可得a n-a n+3=a n+6-a n,所以对任意的n∈N*,a n是a n+3与a n+6的等差中项.5.(13分)(能力挑战题)已知等比数列{a n}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得故a n=·3n-1,或a n=-5·(-1)n-1.(2)若a n=·3n-1,则=·故{}是首项为,公比为的等比数列,若a n=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故{}是首项为-,公比为-1的等比数列,综上,对任何正整数m,总有<1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.【方法技巧】解决数列探索性问题基本方法(1)对于条件开放的探索性问题,往往采用分析法,从结论和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.(2)对于结论探索性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.注意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量,根据题目条件,确定变量的值.数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数,根据函数的单调性进行证明,这是解决复杂问题常用的方法.(3)处理规律探索性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,根据前几项的特点透彻分析,发现规律、猜想结论.【加固训练】已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式.(2)若{a n}是等比数列,求{b n}的前n项和S n.(3)当{b n}是公比为a-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,所以a n=1+(n-1)(a-1).又因为b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.因为a>0,所以a=2.所以a n=n.(2)因为数列{a n}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),所以a n=a n-1.所以b n=a n a n+1=a2n-1.因为=a2,所以数列{b n}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,S n=n;当a≠1时,S n=(3)数列{a n}不能为等比数列.因为b n=a n a n+1,所以则=a-1.所以a3=a-1.假设数列{a n}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,此方程无解,故数列{a n}一定不能为等比数列.关闭Word文档返回原板块。