直线与圆

第七章 直线与圆本章重点考查直线的倾斜角、斜率，直线方程的基本形式(点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式)，点到直线的距离，两条直线的位置关系的应用，考查简单的线性规划问题，考查圆的方程（标准式、一般式、参数式），直线与圆的关系、圆与圆的关系（位置关系、数量关系）．所考查的主要教学思想是数形结合、分类讨论、方程的思想及配方法、换元法、待定系数法、定义法等基本方法． 一、关于直线⑴线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围：直线的倾斜角范围[0,)π，直线的斜率不一定存在，在二个区间[)(]0,2 20ππ，，，上斜率都是随倾斜角的增大而递增。

给出直线的方向向量(1,)a k λ=或(0,1)(0)λλ≠，你清楚它地倾斜角或斜率吗？ 能够写出直线的点向式方程吗？应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？ ⑵已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+。

知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =。

⑶直线方程的几种形式及局限性：在运用点斜式或斜截式时，你注意了斜率不存的情况吗？在截距相等，运用截矩式时常忽略截距都为0的情况吗？截距与距离的区别明确吗？ ⑷在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合。

已知直线11112222: A 0 : A 0l x B y C l x B y C ++=++=与，则有121221122//l l A B A B A C A C ⇔=≠且1212120l l A A B B ⊥⇔+=相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,]2π，而其到角是带有方向的角，范围是(0,)π。

相应的公式是：夹角公式121221121212tan ||||k k AB A B θ--==， 直线1l 到2l 角公式211221121212tan 1k k A B A B k k A A B B θ--==++。

点到直线的距离公式d =两平行线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=间距d =⑸直线系：对于y kx b =+，当b 为定值k 变化时，表示过定点(0,)b 的直线系，当k 为定值b 变化时，表示斜率为k 的平行直线系。

与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=（1C C ≠）； 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=；过直线11112222: A 0 : A 0l x B y C l x B y C ++=++=与的交点的直线可表示为111222A +( A )0x B y C x B y C λ++++=。

其中不包括2l 。

⑹直线过定点问题怎样分析？⑺直线中的四类对称问题（点关于点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称）的一般解法你是否熟练？物理学中的光线被直线反射后反射光线所在直线方程如何求解？曲线(,)0f x y =关于斜率为1±的直线y x m =±+的对称曲线的求法你清楚吗？(在解客观题时使用高效)P ，使得|PA|+|PB|最小；如何在直线上求作一点P ，使得||||PA PB -最大；当A 、B 处于直线的异侧时，如何在直线上求作一点P ，使得|PA|+|PB|最小；如何在直线上求作一点P ，使得||||PA PB -最大。

二、关于线性规划⑴线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解。

⑵不等式>0Ax By C ++表示的平面区域的判定口诀：“直线定界，特殊点定域”。

注意不等式含“=”号，包含边界。

⑶解线性规划应用题的步聚：①建立目标函数，指明线性约束条件。

②画出可行域，注意边界虚实。

③用直线表示目标函数，特别注意它的斜率与表示约束条件的直线的斜率的大小关系一定要和直线的倾斜角大小一致；然后用“截距法”或“法向量法”判定目标函数直线向哪个方向平移时，函数值增大，找出最优解，求出目标函数最值。

整解问题即找出距过最优解的直线最近的整点。

三、关于圆⑴圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。

除此之外，与圆锥曲线相类比，可定义圆：平面内到两定点的距离的比为常数(常数不等于1)的动点的轨迹(二上教材P78例5，复习参考题19)。

⑵圆的方程：最简方程222x y R +=； 标准方程222()()x a y b R -+-=；一般式方程22230(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->；在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是(,),22D E R -- 参数方程{cos (sin x R y R θθθ==为参数)；直径式方程121()()()x x x x y y --+-2()0y y -=.在求圆的方程时要研究不同的情况下，选用哪种形式方便。

二元二次方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ 圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：221cos ,sin x y x y θθ+=→==，222,x y x y θθ+=→=，221cos ,sin (01)x y x r y r r θθ+≤→==≤≤，222x y +≤→cos ,sin (0x r y r r θθ==≤⑶点与圆的位置关系的判定依据点到圆心的距离与半径的大小关系。

特别地点P 到圆C 上点的最大距离为||+PC R ，最小距离为||PC R -。

⑷解决直线与圆的位置关系问题可以用代数的方式(函数方程思想)，即将直线方程与圆的方程联立，通过对 的分析来判断，但代数法运算量大，因此一般应用圆周的几何性质(数形结合思想)，即圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定。

要充分利用圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是200()()()()x a x a y a y a R --+--=，过圆22230(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：★如果点00(,)P x y 在圆外，那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程. ★如果点00(,)P x y 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于1O P (1O 为圆心)的直线方程，21||O P d R ⋅=(d 为圆心1O 到直线的距离).⑸曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x yg x y ==的解；过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当且仅当无平方项时即1λ=-，(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程.直线的倾斜角和斜率及方程〖课前训练〗1、已知直线l 的斜率满足1(1)2;(2)2;(3)3;(4)2;(5)322k k k k k k >--≤≤≤=><-或则直线的倾斜角的范围分别是 2ll （ ）3、直线经过点P （－2，－1）并且在两坐标轴上的截距和为0，则此直线方程为 .4、两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，在方向向量为=(1,k)的直线上且|AB|=t ，则|y 1－y 2|=________（用t,k 表示）. 〖典型例题〗1、若2π-<α<0，则直线y=xcot α的倾斜角是……………………………………………（ ） （A ）α （B ）2πα- （C ）2πα- （D ）πα+2、经过两点1(2,1)P 和2(,2)P m (2),m <则直线的斜率和倾斜角分别是3、经过点（0，1）和点2(1,2)m -+(m R ∈)的直线的倾斜角的取值范围是 6、求过点P(0,1)的直线，使它夹在两已知直线l 1：2x ＋y －8=0和l 2：x －3y ＋10=0间的线段被点P 平分。

(1)当ΔAOB 面积最小时，求直线l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程.〖课堂练习〗 1（95年）如图，直线的斜率分别为k 1、、k 2、、k 3，则…………………（ ） （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2< k 1 （D ）k 1< k 3< k 2 2（93年）直线ax ＋by=ab(a<0,b<0 )的倾斜角是………………………（ ）（A ）)arctan(a b - （B ）)arctan(b a -（C ）π－)arctan(a b （D ）)arctan(ba-π3（93年文）若直线ax ＋by ＋c=0在第一、二、三象限，则……………………………………（ ）。

（A ）ab>0,bc>0 （B ）ab>0,bc<0 （C ）ab<0,bc>0 （D ）ab<0,bc<0 *5、已知直线l 过点P(－1,2)，且与以A(－2,－3) , B(3,0)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 及倾斜角的取值范围是：___________________________.6、若方程22(23)()410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 的值满足______ 〖能力测试〗 1、过点(4,0)和点(0,3)的直线的倾斜为……………………………………………………… （ ） (A)43arctan(B))43arctan(- (C)43arctan -π (D))43arctan(--π 2、如果AC<0且BC<0，那么直线Ax ＋By ＋C=0不通过的象限是…………………………（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4、),2(ππ∈θ，则直线xcos θ+ysin θ+1=0的倾斜角为……………………………………（ ） (A)θ－2π (B)θ (C) θ＋2π(D) π－θ 5、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有…………………… （ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6、直线xcos θ＋y ＋m=0的倾斜角范围是……………………………………………………（ ）(A)),0[π (B)]43,2()2,4[ππππ (C) ]43,4[ππ (D)),43[]4,0[πππ7、经过点P （0，－1）并且倾斜角的正弦值为53的直线方程为 .9、⑴直线L 过点P （2，－3）并且倾斜角比直线y=2x 的倾斜角大45º，求直线L 的方程.⑵直线L 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1并且经过点（6，－2），求此直线方程.2两条直线的位置关系（1）〖知识点训练〗 1、过点A （－2，1）与x 轴垂直的直线方程是………………………………………………（ ）(A)x=－2 (B)y=1 (C)x=1 (D)y=－2 2、点（4，a ）到直线4x －3y=1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是…………………（ ）(A)[2，12] (B)[1，12] (C)[0，10] (D)[－1，9] 3、直线x ＋y ＋4=0和直线5x －2y=0相交成的锐角的正切为…………………………… （ ）(A)34 (B)37 (C)43 (D)734、两条直线3x ＋2y ＋m=0与(m 2＋1)x －3y ＋2－3m=0 的位置关系是………………… （ ） (A)平行 (B)重合 (C)相交 (D)不能确定 〖典型例题〗1、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m=0，则当m 为何值时： ⑴它们相交；⑵它们平行；⑶它们垂直；⑷夹角为42、直线l 1、l 2的斜率是方程6x 2＋x －1=0的根，求这两条直线的夹角.3、等腰三角形底边的方程为x ＋y －1＝0,一腰的方程为x －2y －2＝0,点(－2,0)在另一腰上，求此腰的方程.4、如果三条直线l 1：4x ＋y －4=0、l 2：mx ＋y=0、l 3：2x －3my －4=0不能围成三角形，求实数m 的值.〖课堂练习〗1、已知直线方程：1l ：2x －4y ＋7=0；2l ：x －ay ＋5=0。