2016版高考数学第二章函数导数及其应用专题演练理(含两年高考一年模拟)

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2016理科数学高考真题分类第二单元函数与导数

第二单元函数与导数B1 函数及其表示5．B1[2016·江苏卷] 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．5．[－3，1] [解析] 令3－2x －x 2≥0可得x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．11．B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是________．11．－25 [解析] 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.B2 反函数5．B2[2016·上海卷] 已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________．5．log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞) [解析] 将点(3，9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a ＝2，所以f (x )＝1＋2x ，所以f －1(x )＝log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞)．B3 函数的单调性与最值14．B3，B12[2016·北京卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) [解析] 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.13．B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32） [解析] 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4[2016·上海卷] 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D [解析] f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B4 函数的奇偶性与周期性 11．B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是________．11．－25 [解析] 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 [解析] 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x－3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.14．B4[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f －52＋f (1)＝________．14．－2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f 12＝412＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 9．B4[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，fx ＋12＝fx －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．29．D [解析] ∵当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，∴f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．又∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)．又∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝(－1)3－1＝－2，∴f (6)＝－f (－1)＝2.13．B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32） [解析] 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4[2016·上海卷] 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D [解析] f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B5 二次函数B6 指数与指数函数5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y <0 D ．ln x ＋ln y >05．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y <0，故结论不成立；选项B中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x 是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0. 因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.6．B6[2016·全国卷Ⅲ] 已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a 423＝243＝a ，故b <a <c .12．B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________．12．4 2 [解析] 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t ＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b ＝a a ，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B7 对数与对数函数5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y <0D ．ln x ＋ln y >05．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y <0，故结论不成立；选项B中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x 是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c log a c log b c ＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b ，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立． 21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .9．B7，E6[2016·四川卷] 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)9．A [解析] 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0<x 1<1<x 2.由l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，且f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x ，0<x <1，1x ，x >1，得l 1的斜率k 1＝－1x 1，l 2的斜率k 2＝1x 2.又l 1与l 2垂直，且0<x 1<x 2，所以k 1·k 2＝－1x 1·1x 2＝－1⇒x 1·x 2＝1，l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1①，l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2②，则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)，由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x 1x 2）x 1＋x 2＝2x 1＋x 2，所以S △P AB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1，当且仅当x 1＝1x 1，即x 1＝1时，等号成立．而0<x 1<1，所以0<S △P AB <1，故选A.12．B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________．12．4 2 [解析] 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t ＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b ＝a a ，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B8 幂函数与函数的图像 7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )图1-27．D [解析] 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x .令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c log a c log b c ＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b ，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．12．B8[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则（x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m12．B [解析] 由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图像关于点(0，1)对称，∵y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图像也关于点(0，1)对称，∴两函数图像的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x′i ，y′i )均满足x i ＋x′i ＝0，y i ＋y′i ＝2，∴＝0＋2·m2＝m.B9 函数与方程19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0. 因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.15．B9[2016·山东卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．15．(3，＋∞) [解析] 画出函数f (x )的图像如图所示，根据已知得m >4m －m 2，又m >0，解得m >3，故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)．B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a ，此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1ex －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞).B12 导数的应用14．B3，B12[2016·北京卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) [解析] 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.17．G1、G7、B12[2016·江苏卷] 形状是正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1(如图1-5所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m17．解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)，正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)．当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数．故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m19．B6、B9、B12[2016·江苏卷] x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝[f (x )]2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0. 因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．B8，B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )图1-27．D [解析] 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x .令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.21．B12[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.21．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a （b 2－32b ）>0，故f (x )存在两个零点．(iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2.设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2. 15．B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 [解析] 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x－3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1ex －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞).16．B12[2016·全国卷Ⅱ] 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．16．1－ln 2 [解析] 曲线y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(其中x 1为切点横坐标)，曲线y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1·x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(其中x 2为切点横坐标)．由题可知⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得⎩⎨⎧x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.21．B12[2016·全国卷Ⅱ] (1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x >0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x（x ＋2）2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1.所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)证明：g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3[f (x )＋a ]．由(1)知，f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0，因此，存在唯一x a ∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0. 当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为 g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a ＝e x ax a ＋2，于是h (a )＝e x a x a ＋2.由e x x ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2>0(x >0)，可知y ＝e xx ＋2(x >0)单调递增，所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈（12，e 24]，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ，所以h (a )的值域是（12，e 24].综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是（12，e 24].10．B12[2016·山东卷] 若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 310．A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为－1，经检验，选项A 符合题意．20．B12，B14[2016·山东卷] 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1，2]成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a ）（x ＋2a）. (i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (ii)当a ＝2时，2a ＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1. 当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在（0，2a）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1，2]．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1，2]，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x 4.设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在[1，2]上单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减．由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32，即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1，2]成立．20．B12[2016·天津卷] 设函数f (x )＝(x －1)3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝3； (3)设a >0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间[0，2]上的最大值不小于14.20．解：(1)由f (x )＝(x －1)3－ax －b ，可得f ′(x )＝3(x －1)2－a . 下面分两种情况讨论： (i)当a ≤0时，有f ′(x )＝3(x －1)2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (ii)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1＋3a 3或x ＝1－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间为（1－3a 3，1＋3a 3），单调递增区间为（－∞，1－3a 3），（1＋3a3，＋∞）. (2)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a >0，且x 0≠1.由题意，得f ′(x 0)＝3(x 0－1)2－a ＝0，即(x 0－1)2＝a 3，进而f (x 0)＝(x 0－1)3－ax 0－b ＝－2a 3x 0－a3－b .又f (3－2x 0)＝(2－2x 0)3－a (3－2x 0)－b ＝8a 3(1－x 0)＋2ax 0－3a －b ＝－2a 3x 0－a3－b ＝f (x 0)，且3－2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝3－2x 0，所以x 1＋2x 0＝3.(3)证明：设g (x )在区间[0，2]上的最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(i)当a ≥3时，1－3a 3≤0<2≤1＋3a 3，由(1)知，f (x )在区间[0，2]上单调递减，所以f (x )在区间[0，2]上的取值范围为[f (2)，f (0)]，因此M ＝max{|f (2)|，|f (0)|}＝max{|1－2a －b |，|－1－b |}＝max{|a －1＋(a ＋b )|，|a －1－(a ＋b )|}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋（a ＋b ），a ＋b ≥0，a －1－（a ＋b ），a ＋b <0，所以M ＝a －1＋|a ＋b |≥2.(ii)当34≤a <3时，1－23a 3≤0<1－3a 3<1＋3a 3<2≤1＋23a 3.由(1)和(2)知f (0)≥f （1－23a 3）＝f （1＋3a 3），f (2)≤f （1＋23a 3）＝f （1－3a 3），所以f (x )在区间[0，2]上的取值范围为[f （1＋3a 3），f （1－3a3）]，因此M ＝max{|f(1＋3a 3)|，|f (1－3a 3)|＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2a 93a －a －b ，2a 93a －a －b ＝ max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 93a ＋（a ＋b ），2a 93a －（a ＋b ）＝2a 93a ＋|a ＋b |≥29×34×3×34＝14. (iii)当0<a <34时，0<1－23a 3<1＋23a 3<2，由(1)和(2)知f (0)<f (1－23a 3)＝f (1＋3a3)，f (2)>f (1＋23a 3)＝f (1－3a3).所以f (x )在区间[0，2]上的取值范围为[f (0)，f (2)]，因此M ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝max{|－1－b |，|1－2a －b |}＝max{|1－a ＋(a ＋b )|，|1－a －(a ＋b )|}＝1－a ＋|a ＋b |>14.综上所述，当a >0时，g (x )在区间[0，2]上的最大值不小于14.03[2016·浙江卷]“复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位．若复数z 满足(z ＋i)2＝2i ，求复数z . (2)求曲线y ＝2x 2－ln x 在点(1，2)处的切线方程．解：(1)设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，由题意得 a 2－(b ＋1)2＋2a (b ＋1)i ＝2i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. 故z ＝1或z ＝－1－2i.(2)由于(2x 2－ln x )′＝4x －1x，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因此，曲线在点(1，2)处的切线方程为y ＝3x －1. B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合18．B14[2016·北京卷] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．18．解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 21．B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 15．B14[2016·四川卷] 在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．15．②③ [解析] ①设点A 的坐标为(x ，y )，则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，故。

高考数学考点练习第二章函数导数及其应用7函数的奇偶性与周期性试题理

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C. 3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 8．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，则f (x )( ) A ．为奇函数 B ．为偶函数 C ．为非奇非偶函数 D ．奇偶性不能确定答案 B解析令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，即f (－y )＝f (y )，所以函数f (x )是偶函数．9．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．πD ．π2答案 D解析设h (x )＝sin x3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，则y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)答案 D解析因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1－a ＝1－2，所以a ＝2，则y ＝log 2(x 2－4x －5)，令t ＝x 2－4x －5，其对称轴为x ＝2，由x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.由复合函数的单调性知，y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为(5，＋∞)．11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．已知a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________，f (f (a ))＝________.答案 2 8解析由函数f (x ＋a )为偶函数，得f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，解得a ＝2，所以f (f (a ))＝f (f (2))＝f (－1)＝8.二、高考小题13．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．[2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．[2016·四川高考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 18．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是____________．答案－25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.三、模拟小题19．[2017·大连测试]下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．[2016·陕西一检]若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．[2017·山东青岛模拟]奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．[2017·江西三校联考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．[2017·贵州适应考试]已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案－1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．[2017·湖北名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2017·河南联考]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．[2017·安徽合肥质检]已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．[2016·福州一中月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，f (x )＝－－x －4.4．[2017·湖南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

【3年高考2年模拟】2016届人教版新课标高三数学(文)一轮复习课件§3.2导数的应用(I)

利用导数研究函数的极值
典例2 (2014重庆,19,12分)已知函数f(x)= x + a -ln x- 3 ,其中a∈R,且曲线y=f
4x
2
(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y= 1 x.
2
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解析 (1)对f(x)求导得f '(x)= 14 - xa2 - 1x ,由f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于
2

时,
f
'(x)≤0,
f(x)单调递减,f(x)在x=
6
时取得最大值.故选B.
3.已知f(x)=x3-ax2+4x有两个极值点x1、x2,且f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极
小值,则a的取值范围是
.
答案 a> 7
2
解析 f '(x)=3x2-2ax+4,则(-2a)2-4×3×4>0,解得a>2 3 ,或a<-2 3 ,又f(x)在
求函数极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求方程f '(x)=0的根; (3)用方程f '(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格; (4)由f '(x)=0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
2-1 若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.

高考数学(理)二轮专题练习【专题2】(3)导数及其应用(含答案)

第3讲导数及其应用考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).热点一导数的运算和几何意义例1 (1)(2014·广东)曲线y ＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________．思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A 点坐标是解题的关键点，列方程求出．答案 (1)5x ＋y －3＝0 (2)4 解析 (1)因为y ′＝e －5x(－5x )′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0，又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，所以(－x 0y 0)·3a 20＝－1，即y 0＝3ax 30，又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32，代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3)＝________.(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于________．答案 (1)36－4π(2)2 解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′(π3)＋cos x ．所以f ′(π3)＝2×π3f ′(π3)＋cos π3.所以f ′(π3)＝36－4π.(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π2)＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a ＝2.热点二利用导数研究函数的性质例2 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0,4]时，求函数f (x )的最小值．思维启迪 (1)直接求f ′(x )，利用f ′(x )的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f (x )的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到．解 (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ，所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1.当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下：故f (x )单调增区间为(－a －1，＋∞)．(2)由(1)得，f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)；单调增区间为(－a －1，＋∞)．所以当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,4]上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (0)＝a ；当0<－a －1<4，即－5<a <－1时， f (x )在(0，－a －1)上单调递减， f (x )在(－a －1,4)上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (－a －1)＝－e－a －1；当－a －1≥4，即a ≤－5时，f (x )在[0,4]上单调递减，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (4)＝(a ＋4)e 4.所以函数f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥－1，－e－a －1，－5<a <－1，(a ＋4)e 4， a ≤－5.思维升华利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax，a ∈R .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2ax 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)，∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g (x )]min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3，解得a ＝e 22(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数．所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2ae＝3，得a ＝e.适合题意．综上a ＝e.热点三导数与方程、不等式例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与函数y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)利用F ′(x )确定单调区间；(2)k ＝F ′(x 0)，F ′(x 0)≤12分离a ，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数．由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)得k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥－12x 20＋x 0恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，a 的最小值为12.(3)若y ＝g (2a x 2＋1)＋m －1＝12x 2＋m －12的图象与y ＝f (1＋x 2)＝ln(x 2＋1)的图象恰有四个不同交点，即12x 2＋m －12＝ln(x 2＋1)有四个不同的根，亦即m ＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12有四个不同的根．令G (x )＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12.则G ′(x )＝2xx 2＋1－x ＝2x －x 3－x x 2＋1＝－x (x ＋1)(x －1)x 2＋1当x 变化时G ′(x )、G (x )的变化情况如下表：由上表知：G (x )极小值＝G (0)＝12，G (x )极大值＝G (－1)＝G (1)＝ln 2>0.又由G (2)＝G (－2)＝ln 5－2＋12<12可知，当m ∈(12，ln 2)时，y ＝G (x )与y ＝m 恰有四个不同交点．故存在m ∈(12，ln 2)，使函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点．思维升华研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)．①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0<x < －12a，则f ′(x )>0，故f (x )在(0，－12a]上是增函数；若x >－12a，则f ′(x )<0，故f (x )在[－12a，＋∞)上是减函数．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a <0时，f (x )在(0,－12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，等价于ma －a 2>f (x )max . 因为a ∈(－4，－2)，所以24< －12a <12<1. 由(1)，知当a ∈(－4，－2)时，f (x )在[1,3]上是减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝2a ，所以ma －a 2>2a ，即m <a ＋2.因为a ∈(－4，－2)，所以－2<a ＋2<0. 所以实数m 的取值范围为m ≤－2. 热点四定积分例4 (1)已知a ＝ʃ10(e x＋2x )d x (e为自然对数的底数)，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >02－x ，x ≤0，则f (a )＋f (log 216)＝________.(2)(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4思维启迪 (1)利用微积分基本定理先求出a ，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分．答案 (1)7 (2)D 解析 (1)因为a ＝ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝e ＋1－1＝e ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >02－x ，x ≤0，所以f (a )＋f (log 216)＝f (e)＋f (－log 26)＝ln e ＋2－(－log 26)＝1＋6＝7. (2)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝ʃ20(4x －x 3)＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x 2－x 4420＝8－4＝4，故选D.思维升华 (1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数． (2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．(1)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 (2)如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．9－2 3 C.323D.353答案 (1)D (2)C解析 (1)ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1，由题意，可得a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.(2)由题图，可知阴影部分面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝(3－13－1)－(－9＋9－9)＝323.1．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的必要不充分条件． 2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点． 3．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论． 4．定积分在几何中的应用被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a 0时，S ＝ʃb a f (x )d x ； (2)当f (x )<0时，S ＝－ʃb a f (x )d x ；(3)当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝ʃc a f (x )d x －ʃb c f (x )d x .真题感悟1．(2014·江西)若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2,2)解析设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ＝1e x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)．2．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. (1)解因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数；若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ， f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a,1)上是增函数．所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数，所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3， h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3，且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3. 令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0，知t (a )在(0,1)上是增函数．所以，t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4. 故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ，故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3，此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 押题精练1．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.2．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围；解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x，令f ′(x )＝0得x ＝±2， ∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2；又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3， ∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为12－ln 2. (2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤18，故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]． ∴⎩⎨⎧ g (0)<318g (2)<318，解得a <3116， ∴实数a 的取值范围是(－∞，3116)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案 A解析由已知，得点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0，故选A.2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x 答案 A解析函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y ′≤0，经检验只有A 符合．故选A.4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}答案 A解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.5．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[14，1) B ．[34，1) C ．(94，＋∞) D ．(1，94) 答案 B解析由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0， ∴x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)．令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a .由g ′(x )<0得－3a 3<x <0. 从而g (x )在x ∈(－3a 3，0)上是减函数，又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧ 0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，∴34≤a <1. 6．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．ʃ20|x 2－1|d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20(x 2－1)d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(1－x 2)d x答案 A解析由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等，即ʃ20|x 2－1|d x ，选A.二、填空题7．已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是________．答案－1解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(23)＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是－1. 8．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 a <12解析 f ′(x )＝(ax ＋1)′(x ＋2)－(x ＋2)′(ax ＋1)(x ＋2)2＝a (x ＋2)－(ax ＋1)(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，令f ′(x )<0，即2a －1<0，解得a <12. 9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．10．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.三、解答题11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2(x ≠1)，求导得y ′＝3x 2＋2x －1＝0得x 1＝－1，x 2＝13，得到极值点分别在－1和13处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图如图．h (－1)＝1，h (13)＝－527，当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 13．设函数f (x )＝a e x (x ＋1)(其中，e ＝2.718 28……)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值；(3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b .由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线．∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2(－3<t <－2)2e t (t ＋1)(t ≥－2) (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0.∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k；由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． ①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增，F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0. ③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． F (x )min ＝F (ln 1k)＝ln k (2－ln k )>0，满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]．。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.6 幂

课时提升作业九幂函数与二次函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·岳阳模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点错误!未找到引用源。

,则log2f(2)的值为( )A.错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。

C.2D.-2【解析】选 A.设f(x)=xα,则错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,所以α=错误!未找到引用源。

,f(2)=错误!未找到引用源。

,log2f(2)=log2错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2.则m的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[0,2]C.[1,2]D.(-∞,2]【解析】选C.y=(x-1)2+2,由x2-2x+3=3得x=0或x=2,所以1≤m≤2.3.(2016·郑州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )【解析】选D. A项,因为a<0,-错误!未找到引用源。

<0,所以b<0.又因为abc>0,所以c>0,由图知f(0)=c<0,故A错;B项,因为a<0,-错误!未找到引用源。

>0,所以b>0,又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B错;C 项,因为a>0,-错误!未找到引用源。

<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C错;D项,因为a>0,-错误!未找到引用源。

>0,所以b<0,又因为abc>0,所以c<0,由图知f(0)=c<0.【加固训练】设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a的值为( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.1D.-1【解析】选D.因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1.4.若a<0,则下列不等式成立的是( )A.2a>错误!未找到引用源。

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第12节导数的综合应用课后限时自测理苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第12节导数的综合应用课后限时自测理苏教版[A 级基础达标练]一、填空题1．(2014·南京、盐城模拟)函数f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x(x ∈R)的单调递减区间为________．[解析] 令f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x<0，解得－2<x <－1. [答案] (－2，－1)2．已知f (x )＝1＋x －sin x ，试比较f (2)，f (3)，f (π)的大小为________． [解析] f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈(0，π]时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0，π]上是增函数，∴f (π)＞f (3)＞f (2)． [答案] f (π)＞f (3)＞f (2)3．(2014·镇江模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．[解析] 由f (x )＝ln x ＋2x ，得f ′(x )＝1x＋2xln 2>0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)<f (3x )，得0<x 2＋2<3x ，∴x ∈(1,2)．[答案] (1,2)4．(2013·四川高考改编)设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在x ∈[0,1]，设f (x )＝x 成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 依题意e x＋x －a ＝x 在x ∈[0,1]上有解， ∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]．令φ(x )＝e x＋x －x 2，x ∈[0,1]，则φ′(x )＝e x －2x ＋1≥0， ∴φ(x )在x ∈[0,1]上单调递增，又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以a ∈[1，e]． [答案] [1，e]5．(2014·宿迁调研)设某商品的需求函数为Q ＝100－5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP 大于1(其中EQ EP ＝－Q ′QP ，Q ′是Q 的导数)，则商品价格P 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝100－5P 得Q ′＝－5，由EQ EP ＝－Q ′QP 知， 5P100－5P>1，解得100得P <20，综上知P 的取值范围是(10,20)． [答案] (10,20) 6.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y＝(1－x )f ′(x )的图象如图2123所示，则下列结论中一定成立的是________．①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)； ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)；③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)；图2123④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．[解析] 由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0，并且当x <－2时，f ′(x )>0，当－2<x <1，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值f (－2)．又当1<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，故函数f (x )有极小值f (2)． [答案] ④7．(2012·福建高考改编)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________．[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a 0，y极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的序号是②③. [答案] ②③8．做一个圆锥漏斗，其母线长为20 cm ，使其体积最大，则其高为________cm. [解析] 设圆锥的体积为V cm 3，高为h cm ，则V ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，∴V ′＝13π(400－3h 2)，由V ′＝0，得h ＝2033.当0<h <2033时，V ′>0；当2033<h <20时，V ′<0； ∴当h ＝2033 cm 时，V 最大．[答案]2033二、解答题9．(2014·镇江质检)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1＝0，由f ′(1)＝0，得a ＝1，∴y ＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个根，即有3个零点．由g (x )′＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.由g ′(x )>0得x <0或x >3，由g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数，要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g 0 >0，g 3 <0，解得：12<m <5.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5. 10．(2014·扬州调研)已知函数f (x )＝2x 2＋12，g (x )＝ln x ＋b .(1)当b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)若b 是正整数，且g (x )≤ax ≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，试求b 的值及a 的取值范围．[解] (1)当b ＝0时，h (x )＝2x 2＋12－ln x ，h ′(x )＝4x －1x＝2x ＋1 2x －1x(x >0)，令h ′(x )＝0得，x ＝12或x ＝－12(舍去)，当0<x <12时，h ′(x )<0，此时函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当x >12时，h ′(x )>0，此时函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，h (x )有极小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 2. (2)∵g (x )≤ax ≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴g (x )≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤2x 2＋12－ln x ，由(1)知，h (x )＝2x 2＋12－ln x 当x ＝12时有极小值，也是最小值，∴b ≤1＋ln 2，∵b 是正整数，且1＋ln 2∈(1,2)，∴b ＝1. 又g (x )≤ax ≤f (x )，即ln x ＋1x ≤a ≤2x ＋12x ，∵2x ＋12x≥2，∴a ≤2，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2，令φ′(x )＝0，则x ＝1，当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )>0. 当x ＝1时，φ′(x )有极大值，也是最大值1， ∴a ≥1，∴1≤a ≤2，综上所述，b ＝1，a 的取值范围是{a |1≤a ≤2}．[B 级能力提升练]一、填空题1．(2013·湖北高考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令f ′(x )＝0得ln x ＝2ax －1. ∵f (x )有两个极值点，∴函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．直线y ＝2ax －1过定点(0，－1)，设过(0，－1)的直线与y ＝ln x 的图象相切的切点为(x 0，ln x 0)，由y ′|x ＝x 0＝1x 0，得1x 0＝ln x 0＋1x 0，∴x 0＝1，切点为(1,0)．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，122．(2014·盐城模拟)设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________．[解析] 设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数．又x ＋1>0，∴由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)，∴⎩⎨⎧x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2.[答案] [1,2) 二、解答题3．(2014·常州调研)几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t (x )(件)与销售价格x (元/件)(x ∈N *)之间满足如下关系：①当34≤x ≤60时，t (x )＝－a (x ＋5)2＋10 050；②当60≤x ≤70时，t (x )＝－100x ＋7 600.设该店月利润为M (元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；(2)求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．[解] (1)当x ＝60时，t (60)＝1 600，代入t (x )＝－a (x ＋5)2＋10 050，解得a ＝2.∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－20x ＋10 000 x －34 －20 000，34≤x <60，x ∈N *，－100x ＋7 600 x －34 －20 000，60≤x ≤70，x ∈N *，即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 3＋48x 2＋10 680x －360 000，34≤x <60，x ∈N *，－100x 2＋11 000x －278 400，60≤x ≤70，x ∈N *.(2)设g(u)＝(－2u2－20u＋10 000)(u－34)－20 000,34≤u<60，u∈R，则g′(u)＝－6(u2－16u－1 780)．令g′(u)＝0，解得u1＝8－2461(舍去)，u2＝8＋2461∈(50,51)．当34<u<50时，g′(u)>0，g(u)单调递增；当51<u<60时，g′(u)<0，g(u)单调递减．∵x∈N*，M(50)＝44 000，M(51)＝44 226，∴M(x)的最大值为44 226.当60≤x≤70时，M(x)＝100(－x2＋110x－2 584)－20 000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21 600.综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44 226元．故该打印店店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件．。

2016届高三数学一轮总复习课件：第二章函数、导数及其应用2-8

A．y＝f(|x|) C．y＝f(－|x|)
①
②
B．y＝|f(x)|
D．y＝－f(|x|)
第十六页，编辑于星期五：二十点十三分。
解析 y＝f(－|x|)＝ff－x，x，x<x0≥. 0，答案 C
第十七页，编辑于星期五：二十点十三分。
知识点三用图 4.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
第四十四页，编辑于星期五：二十点十三分。
【规律方法】 (1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解，数形结合是常用的思想方法．
则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
第四十三页，编辑于星期五：二十点十三分。
由yy＝＝x－＋xa2＋，4x－3，得x2－3x＋a＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34. 由图象知当a∈－1，－34时，方程至少有三个不等实根．
第七页，编辑于星期五：二十点十三分。
归纳拓展：(1)平移变换： y＝f(x)hh><―00，，―右左→移移y＝f(x－h)； y＝f(x)kk><―00，，―上下→移移y＝f(x)＋k. (2)伸缩变换： y＝f(x)0<ω―ω><1―，1→，缩伸y＝f(ωx)； y＝f(x)0<A―A><1―，1，→伸缩y＝Af(x)；

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6讲对数与对数函数讲义理(含解析)-人教版高三全

第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a 1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型一对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型二对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a 1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ，即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0，所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)．题型三对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)．角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－30，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数，即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c 0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2，所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)．解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案－14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。

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) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋13．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝1＋x 24．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 5．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x6．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)7．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x8．(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．(2014·重庆)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－x D ．f (x )＝2x ＋2－x10．(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数11．(2014·广东)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x －12x B ．y ＝x 3sin xC ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x12．(2014·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x13．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．14．(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．15．(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．1为( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg xC ．y ＝cos xD ．y ＝x 22．(2015·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋13．(2015·山东日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 3 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－64．(2015·广东揭阳模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)、f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x ＋5)是偶函数D ．f (x ＋7)是奇函数5．(2015·辽宁沈阳模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ≤－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1<x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 0126．(2015·山东德州模拟)下列函数中，与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x <0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝x 2＋2C ．y ＝x 3－3 D ．y ＝log 1e|x |7．(2015·山东潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x >0），x ＋⎠⎛0a 3t 2d t （x≤0），若f(f(1))＝1，则a ＝________．8．(2015·山东菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f （x ）；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，且x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2)，f (3)从小到大排列是________．9．(2015·杭州七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．1.(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )2．(2015·安徽)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A ．a >0，b <0，c >0，d >0 B ．a >0，b <0，c <0，d >0 C ．a <0，b <0，c >0，d >0 D ．a >0，b >0，c >0，d <0 3．(2015·北京)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2} 4．(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <05．(2015·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )6．(2014·湖北)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数． (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)1.(2015·贵州七校联盟)已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝exxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x2．(2015·山东日照模拟)函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为( )3．(2015·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )4．(2015·福建福州模拟)定义运算“*”为：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ，a <0，2a ＋b ，a ≥0.若函数f (x )＝(x ＋1)*x ，则该函数的图象大致是( )5．(2015·豫南豫北十校模拟)函数f (x )＝x 3－3ex的大致图象是( )6．(2015·山东日照模拟)函数f (x )＝x 2－2|x |的大致图象为( )7．(2015·辽宁沈阳模拟)下列四个图中，函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象可能是( )8．(2015·安徽马鞍山模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若f(x)为单函数，则函数f(x)在定义域上具有单调性．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．a 3＜logb 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a3．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q4．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞) 5.(2014·山东)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜16．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )7．(2014·江西)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－18．(2014·辽宁)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a9．(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)10．(2014·天津)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 11．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝________． 12．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．13．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．14．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．1234( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <c <a 2．(2015·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )3．(2015·安徽淮南模拟)设函数y ＝x 13与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，144．(2015·广东湛江模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 2)<x 2f (x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）x 2其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．②③5．(2015·浙江协作体模拟)∀α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，x ＝(sin α)log π cos α，y ＝(cosα)log π sin α，则x 与y 的大小关系为( )A ．x >yB ．x <yC ．x ＝yD ．不确定6．(2015·浙江绍兴模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的最小值是( )A.32 B ．1 C.12D ．2 7．(2015·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0的解集为( )A ．(－1，6)B ．(－6，1)C ．(－2，3)D ．(－3，2)8．(2015·安徽淮南模拟)对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使得|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“相互接近点”．现给出四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －2；②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2；③f (x )＝ln x ，g (x )＝x ；④f (x )＝e －x＋1，g (x )＝－1x.则在区间(0，＋∞)上存在唯一“相互接近点”的是( ) A ．①③ B ．③④ C ．①④ D ．②④9．(2015·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x（x ≤0），f （x －4）（x >0），则f (2 015)＝________．10．(2015·黑龙江模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________．11．(2015·浙江湖州模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈[0，2]恒成立，求函数f (x )的解析式；(2)若c <0，且函数f (x )在[－1，1]上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围．1.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，22．(2015·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上3．(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时4．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升5．(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－16．(2014·新课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)7．(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．8．(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．9．(2015·湖北)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0，1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小．10．(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．11．(2015·湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则a 的取值范围是________．12．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．1．(2015·黑龙江大庆)已知函数f (x )＝x －a x，若16<a <2，则f (x )零点所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 2．(2015·青岛市模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(3，4)3．(2015·辽宁沈阳模拟)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)4．(2015·湖北荆门模拟)对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点5．(2015·泰安模拟)设函数f (x )的零点为x 1，g (x )＝4x＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝2x－4 C ．f (x )＝ln(x ＋1) D ．f (x )＝8x －26．(2015·湖南衡阳模拟)设方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，设函数f (x )＝(x ＋p )·(x ＋q )＋2，则( )A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (2)＝f (0)D ．f (0)<f (3)<f (2) 7．(2015·北京海淀模拟)某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v (m 3/h). 那么瞬时融化速度等于v (m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 48．(2015·北京昌平区模拟)在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人9．(2015·福建福州模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m (1≤m ≤4且m ∈R )个单位的药剂，药剂在血液中的含量y (克)随着时间x (小时)变化的函数关系式近似为y ＝m ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧104＋x ，0≤x <6，4－x 2，6≤x ≤8.(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．考点7 导数的概念、几何意义及定积分两年高考真题演练1．(2015·陕西)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．2．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．3．(2015·新课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．4．(2015·湖南)⎠⎛02(x －1)d x ＝________．5．(2015·山东)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 6．(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T 的值为________.7．(2014·广东)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________． 8．(2014·广东)曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．9．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P(x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2③直线l ：y ＝x 在点P(0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ④直线l ：y ＝x 在点P(0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ⑤直线l ：y ＝x －1在点P(1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x10．(2014·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点．104x －1，则p 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(1，0)和(－1，－4)D ．(2，8)和(－1，－4)2．(2015·四川雅安模拟)曲线f(x)＝ex x －1在x ＝0处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x ＋y ＋1＝03．(2015·山东潍坊模拟)已知f(x)＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x)为f(x)的导函数，f ′(x)的图象是( )4．(2015·河南洛阳模拟)曲线y ＝1x(x>0)在点P(x 0，y 0)处的切线为l.若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的周长的最小值为( )A ．4＋2 2B ．2 2C ．2D ．5＋27 5．(2015·黑龙江绥化模拟)已知函数f(x)＝xn ＋1(x ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为( )A ．－1B ．1－log 2 0132 012C ．－log 2 0132 012D ．16．(2015·山东日照模拟)定积分⎠⎛04π(16－x 2)d x 等于( )A.128π3 B ．52π C.64π3 D.8π37．(2015·江西新余模拟)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln 3C ．4＋ln 3D ．4－ln 38．(2015·广东模拟)设球的半径为时间t 的函数r(t)，若球的体积以均匀速度12增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．9．(2015·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x>0），x ＋⎠⎛0a 3t 2d t （x≤0），若f(f(1))＝1，则a＝________．10．(2015·山东日照模拟)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围成的图形的面积是________．11．(2015·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋ln x(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设a ＝0，求证：当x >0时，f (x )≤2x －1；(3)若函数y ＝f (x )恰有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求实数a 的取值范围．x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －12．(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)3．(2014·湖南)若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 24．(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)5．(2014·新课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6．(2014·新课标全国Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件7．(2014·江西)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 2．(2015·河北恒台模拟)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 015(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x3．(2015·黑龙江绥化模拟)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝(ln 2)f (ln 2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 1214f ⎝⎛⎭⎪⎫log 1214，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b4．(2015·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x ＞0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b5．(2015·辽宁沈阳模拟)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x ＋1对称中心为________．6．(2015·四川乐山模拟)已知函数f (x )＝x e x，记f 0(x )＝f ′(x )，f 1(x )＝f ′(x 0)，…，f n (x )＝f n －1′(x )且x 2＞x 1，对于下列命题：①函数f (x )存在平行于x 轴的切线；②f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0；③f 2 012′(x )＝x e x＋2014e x；④f (x 1)＋x 2＜f (x 2)＋x 1.其中正确的命题序号是________(写出所有满足题目条件的序号．)7．(2015·山东潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求a 的值．(2)讨论函数f (x )的单调区间．考点9 导数的应用二(函数的最值与实际应用)两年高考真题演练1．(2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值．2．(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．3．(2014·安徽)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性．(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 值．1．(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋ax 2＋2bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，且－1<x 1<1<x 2<2，则直线bx －(a －1)y ＋3＝0的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－25∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．(2105·江西新余模拟)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)3．(2015·山东日照模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋c2的最大值为________．4．(2015·河北石家庄模拟)已知函数f (x )＝e x－ax －1(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．(1)若f ′(x )＝e x－a 对任意x ≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)求证：当n ≥2，n ∈N 时，恒有1n ＋4n ＋7n ＋…＋(3n －2)n <e 13e －1(3n )n.5．(2015·湖北荆州模拟)某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a (3≤a ≤5)元的管理费，预计每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大并求出L 的最大值Q (a )．第二章函数导数及其应用考点3 函数的性质及其应用【两年高考真题演练】1．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]2．A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]3．A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]4．D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sinx 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]5．D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.]6．A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．故选A.]7．D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．]8．D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.]9．D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x－2－x为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )，所以f (x )＝2x＋2－x为偶函数，故选D.]10．C 11.A12．A [由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数．A 选项，f ′(x )＝－2x3在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.]13.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.] 14．(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]15．3 [因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.]【一年模拟试题精练】1．C [首先y ＝cos x 是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y ＝cosx 满足条件．故选C.]2．D [y ＝sin x 与y ＝ln(x 2＋1－x )都是奇函数，y ＝e x 为非奇非偶函数，y ＝ln x 2＋1为偶函数，故选D.]3．B [由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 3 5)＝－f (log 3 5)＝－(3log 3 5－1)＝－4，选B.]4．D5．B [f (x )为周期为6的周期函数，且f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335＝338，故选B.]6．B [因为函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.]7．1 [∵f (f (1))＝f (0)＝a 3＝1，∴a ＝1.]8．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2) [由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1f （x ＋1）＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.②中因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即可得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称．根据③可知函数f (x )在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1，2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1，2]上，1<32<2，所以f (1)<f (32)<f (2)，即f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)．] 9．解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1，当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，当x <－1时，f (x )＝1恒成立， ∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a ，若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得：a ≥13.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立 ∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞)． ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5，∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值范围是－3≤a <1.考点4 函数的图象及其应用【两年高考真题演练】1．D [∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D.]2．A [由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝ca＞0，所以a ＞0，故选A.]3．C [如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．]4．C [由里面图可知－c >0，∴c <0，又当x <－c 时，由图象形状可知，a <0且b >0，故选C.]5．B [当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.] 6．(1)x (2)x [过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b (x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0)．]【一年模拟试题精练】1．A [由图形可知f (x )为奇函数，故排除B ，C ；而D 中的函数在(0，＋∞)和(－∞，0)上均为增函数，故选A.]2．A [首先由f (x )为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D ，又当0<x <π时，f (x )>0知，选A.]3．A [f (x )的定义域为x >0且x ≠1，当x ∈(0，1)时，f (x )>0且为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )<0且为减函数，故选A.]4．D [f (x )＝(x ＋1)*x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1）（x <－1），22x ＋1（x ≥－1）.故选D.]5．C [由解析式可以得到当x ∈(－∞，33)时，f (x )<0，x ∈(33，＋∞)时，f (x )>0，故选C.]6．C [由函数f (x )＝x 2－2|x |为偶函数，排除答案B 与D ；又由f (0)＝－1<0，知选C.] 7．C [y ＝10ln|x ＋1|x ＋1由函数y ＝10ln|x |x 向左平移一个单位，而y ＝10ln|x |x 为奇函数，所以y ＝10ln|x ＋1|x ＋1关于(－1，0)对称，故排除A ，D ，当x >0时，y ＝10ln （x ＋1）x ＋1>0恒成立，故选C.]8．②③④ [根据题意可以得到函数为单调函数，或为常数函数，所以②③④正确．]考点5 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)【两年高考真题演练】1．B [若3a ＞3b＞3，则a ＞b ＞1，从而有log a 3＜log b 3成立；若log a 3＜log b 3，不一定有a ＞b ＞1，比如a ＝13，b ＝3，选B.]2．C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25＞|－log 0.53|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )，故选C.] 3．C [∵0＜a ＜b ， ∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.]4．C [当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C.]5．D [由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.]6．D [当a >1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，因此选D.]7．A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.] 8．C [a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .]9．D [函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．选D.]10．C [利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1，2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0，1)，所以a ＞c ＞b .]11.43 3 [2a ＋2－a＝2log 43＋2－log 43＝2log 23＋2log 233＝3＋33＝43 3.] 12．－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.]13．1 [∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴x ＝1，∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞)，∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1. ∴m 的最小值为1.]14．①④ [设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确；对于③由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x－x 2－ax ，则h ′(x )＝2x·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，∴2x·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ；对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2xln 2＋2x ＋a ，由F ′(x )＝0，得2xln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n . 故①④正确．] 【一年模拟试题精练】1．D [b ＝log 3 2∈(0，1)，而a >c >1，故选D.]2．D [f (x )＝e |ln x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≥1），1x（0<x <1），而函数y ＝f (x ＋1)的图象由函数f (x )＝e |ln x |向左平移了一个单位，故选D.]3．B [构造函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，从而转化为函数的零点的问题，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12· f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12存在零点，故选B.]4．D 5.C 6.C7．D [因为函数f (x )＝2x－12x ＋1为奇函数且增函数，所以不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0可化为f (x 2－4)<f (2－x )，所以x 2－4<2－x ，则－3<x <2，故选D.]8．A9．2 [由题意知当x >0时，f (x )为周期函数且周期为4，故f (2 015)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.]10．②③ [∵对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，∴不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x＋x 在定义域上为增函数，满足条件．②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x >0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，x ，x ＝0.当x >0时，函数单调递增，当x <0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为：②③.]11．解 (1)因为f (－1)＝f (2)，所以b ＝－1，因为当x ∈[0，2]，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以有f (1)＝1，即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)法一因为f (x )在[－1，1]上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，c <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划可得－2<2b ＋c <2. 法二设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，所以f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，不妨设x 1∈[－1，0)，x 2∈(0，1]．因为f (2)＝(2－x 1)(2－x 2)，且2－x 1∈(2，3]，2－x 2∈[1，2)，所以f (2)∈(2，6)，所以－2<2b ＋c <2.考点6 函数与方程及函数的应用【两年高考真题演练】 1．D [记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单。

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