2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(文科数学)
(广东卷)2012年普通高等学校招生全国统一考试试卷及答案(文数)
绝密★启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34i i+=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .x C y e=.l D y =5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6 6.在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，AC= A ．BC. D7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB的长等于A ． D 1 9．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b = A ．52 B ．32 C ．1 D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11~13题）11.函数y x=的定义域为 . 12.若等比数列{a n }满足241,2a a =则2135a a a = . 13.由正整数组成的一组数据1234,,,,x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程3/ 11分别为}||22n n n Z n Z ⎧⎧⎫∈∈⎨⎨⎬⎩⎭⎩（θ为参数，(0)2πθ≤≤12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B,D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠.若AD=m,AC=n,则AB= .16. （（17.18（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，A B P A⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且12DF AB =,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。
2012年高考文科数学广东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页）数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的体积公式34π3V R =,其中R 为球的半径.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据12,,,n x x x的标准差s = 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数3+4ii= （ ）A .43i --B .43i -+C .43i +D .43i - 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =ð（ ）A .{2,4,6}B . {1,3,5}C . {1,2,4}D .U3. 若向量(1,2)AB =,(3,4)BC =,则AC = （ ）A .(4,6)B .(4,6)--C .(2,2)--D .(2,2) 4. 下列函数为偶函数的是（ ）A .sin y x =B .3y x =C .e x y =D.y =5. 已知变量x ,y 满足约束条件1110 x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥,则2z x y =+的最小值为（ ）A .3B .1C .5-D .6-6. 在△ABC 中,若60A ∠=,45B ∠=,BC =,则AC = （ ）A. B. CD7. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A .72πB .48πC .30πD .24π8. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ）A. B. CD .19. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为（ ）A .105B .16C .15D .110. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角ππ()42θ∈，,且a b 和b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中,则=a b（ ） A .52B .32C .1D .12二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. （一）必做题（11～13题）11.函数y =_______. 12.若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =________.13.由正整数组成的一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.（从小到大排列）（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数,π02θ≤≤）和1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示,直线PB 与圆O相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()cos()46x f x A =+,x ∈R ,且π()3f =. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,430(4π)317f α+=-,28(4π)35f β-=,求cos()αβ+的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共33页） 数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分；（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,AB CD ∥,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DF AB =,PH 为PAD △中AD 边上的高. （Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若1PH =,AD 1FC =,求三棱锥E BCF -的体积； （Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB .19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,*n ∈N . （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切,求直线l 的方程.21.（本小题满分14分）设1a ＜＜,集合{|0}A x x =∈>R ,2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ,D A B =.（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.3 / 11【答案】A【解析】(1,2)AC AB BC =+=【提示】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算。
(文综)2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
绝密★启用前试卷类型：A 2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科综合2012．3 本试卷共11页，41小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
读“某日某时地球可见光．．．云图”（白色为云层），完成1～2题。
1．此时为A．冬至日前后B．夏至日前后C．春分日前后D．秋分日前后2．此时处于雨季的是A．长江中下游地区B．地中海沿岸地区C．中亚地区D．南极地区某日某时地球可见光云图“秦岭主峰——太白山（海拔3767．2米）在海拔3300米以上呈现大小不分、杂乱无章的石块遍布”。
据此，完成3～5题。
3．形成这种“大小不分、杂乱无章的石块遍布”地貌景观的外力，最可能是A．流水B．风力C．波浪D．冰川4．太白山山顶的自然带是A．热带森林带B．温带森林带C．高山草甸带D．温带荒漠带5．太白山山顶1月份平均气温，最可能是A．0℃以上B．0℃～-5℃C．-15℃～-30℃D．-30℃以下6．造成浙江、四川两省农业种植结构差异的最主要区位因素是浙江、四川两省农业种植结构比较图A．气候B．经济C．地形D．技术7．图中M处城市功能区最可能是我国某城市路网密度和人口密度关系示意图A．工业区B．农业区C．中心商务区D．教育文化区8．引起春节期间下图城市人口巨大变化的最主要原因是我国某城市总人口的逐日变化示意图（2008年11月28日～2009年3月8日）A．洪涝灾害B．疾病传播C．旅行度假D．民工返乡下图是我国各区域近30年霾日数月际变化统计图，完成9～10题。
广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学
（二）选做题（14~15题,考生只能从中选做一题）
14.如 图 3， 圆 O的 半 径 为 5cm,点 P是 弦 AB的 中 点 ， 点 P
是 弦 AB的 中 点 ， OP3cm,弦 CD过 点 P， 且CP1,则 CD 3
P(a,b)在圆内， a2+b2<r2
圆心O(0,0)到直线l2的距离d
r2
r2
r
a2b2 r
l2与圆相离.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题， 每小题5分，满分20分。
1 1 .若 函 数 f(x ) ln (x 2 a x 1 )是 偶 函 数 ， 则 实 数 a 的 值 为.
f(x)f(x),ln(x2ax1)ln(x2ax1) x2ax1x2ax1 2ax0,a0
2
4
2
4.在 △ ABC中 ， ABC60,AB2,BC3,在 BC上 任 取
一 点 D,使 △ ABD 为 钝 角 三 角 形 的 概 率 为 (B )
A.1 6
B.1 3
C.1 2
D.2 3
A
2
60
B
3
C
5.如 图 是 一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 侧 面
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.函 数 y x 11的 定 义 域 为 (D )
A .( ,1] B .( ,1) C .[1, ) D .(1, )
x10,x1
2.已 知 复 数 abii(1i)(其 中 a,bR ,i是 虚 数 单 位 )，
2012年广东高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：1、球的体积公式34π3V R =，其中，R 为球的半径； 2、锥体体积公式13V sh =，其中s 为底面积，h 为高；3、一组数据1234n x x x x x ，，，，，的标准差；s =，其中x 是这组数据的平均数． 一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．设i 是虚数单位．则复数34ii+= （ ） A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，根据2i 1-=对其进行化简. 【参考答案】D 【试题解析】34i (34i)(i)43i i i (i)++⨯-==-⨯-． 2．设集合{123456}U =，，，，，，{135}M =，，．则U M =ð （ ） A ．{246}，， B ．{135}，， C ．{124}，， D ． U 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】A【试题解析】U 中除M 以外的元素所构成的集合.3．向量(12)AB = ，，向量(34)BC =，，则AC = （ ） A ．(46)，B ．(46)--，C ．(22)--，D ．(22)， 【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算. 【参考答案】A【试题解析】(12)(34)(46)AC AB BC =+=+=，，，．4．下列函数是偶函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．3y x = C ．e xy = D ．y = 【测量目标】函数奇偶性的判断.【考查方式】根据12,x x x x ==-时12,y y 之间的关系进行判断.若12y y =，则为偶函数；若12y y =-，则为奇函数；否则既不是奇函数，也不是偶函数. 【参考答案】D【试题解析】选项A 、B 为奇函数，选项C 既不是奇函数，也不是偶函数．5．已知变量不等式组的解法.满足约束条件1110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩，，，………则2z x y =+的最小值为 （ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一组不等式，利用图象法求出z 的最小值. 【参考答案】C【试题解析】在平面直角坐标系中画出不等式范围图象，再画出直线22x zy -=+，求出z 2x y =+的最小值5-. （步骤1）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+，可化为直线1122y x z =-+， （步骤2） 第5题图则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值， （步骤3）min 12(2)5z =-+⨯-=-. （步骤4）6．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =则AC = （ ）A．．【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出两角一边，利用正弦定理求出另一边. 【参考答案】B【试题解析】根据正弦定理：sin sin BC ACA B=，得sin sin 45sin sin 60BC B AC A ⋅===第7题 7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ） A ．72π B ．48π C ．30π D ．24π 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【参考答案】C【试题解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积23114π34π330π323V V V =+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体．8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，则弦A B 的长等于 （ ）A ．．．1【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的方程，求弦长AB . 【参考答案】B【试题解析】∵圆心(00)，到直线3450x y +-=的距离为1d ==，∴AB ===9．执行如图所示程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 第9题图 （ ）A ．105B ．16C ．15D ．1 【测量目标】流程图.【考查方式】给出程序框图，输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】13515s =⨯⨯=． 10．对任意两个非零平面向量α和β，定义∙=∙αβαβββ．若两个非零平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角ππ(,)42θ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则 a b = （ ）A ．52 B ．32 C ．1 D ．12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出两平面向量之间的关系，求值. 【参考答案】D 【试题解析】2cos cos θθ⋅∙==∙a b a a b a b =b b b b， 2cos cos θθ⋅∙==∙b a b b a b a =a a a a， a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取π3θ=，则a b 和b a 是整数，则1==a b b a，则= a b 12． 二、填空题：本大题共5小题，考生答4小题，每小题5分，满分20分．11．函数y x=的定义域为 ． 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由分母定义和根式定义求出其定义域. 【参考答案】[1,0)(0,)-+∞【试题解析】10100x x x x +⎧⇒-≠⎨≠⎩且……，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞ ． 12．等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = ． 【测量目标】等比数列.【考查方式】由等比数列的性质求解. 【参考答案】14【试题解析】224312a a a ==，则24135314a a a a ==． 13．由正整数组成的一组数据1234x x x x ，，，，其平均数和中位数都是2，且标准差为1，则这组数据为 ．（从小到大排列）【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出样本数字特征，进而求解总体数字. 【参考答案】1,1,3,3 【试题解析】不妨设1234x x x x 剟?，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s =， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，∴43x …，则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，（θ为参数，π02θ剟）和=1=2x y ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，，（t为参数）．则曲线1c 和2c 交点坐标为 ． 【测量目标】参数方程与普通方程的互化.【考查方式】将曲线的参数方程转化为普通方程，求其交点坐标. 【参考答案】(2,1)【试题解析】由x y θθ⎧⎪⇒⎨⎪⎩曲线1C 的方程为225x y +=（0x剟），由=12=x y ⎧-⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎩曲线2C的方程为1y x =-，2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去）， 则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1)．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，直线PB 与圆O 相切于B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠，若AD m =，AC n =，则=AB . 【测量目标】圆的切线的判定与性质定理.【考查方式】由线、圆相切关系，求圆内切三角形的边长AB .【试题解析】∵直线PB 与圆O 相切于B ，∴PBA ACB ∠=∠，（步骤1） 第15题图 ∵PBA DBA ∠=∠，∴ACB DBA ∠=∠， （步骤2） ∵BAD CAB ∠=∠，∴ABD △∽ACB △， （步骤3） ∴AD AB AB AC=，∴2AB AD AC mn =⋅=， （步骤4）∴AB =．（步骤5）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知函数π()cos()46xf x A =+，x ∈R，且π()3f = （1）求A 的值；（2）设α，π[0]2β∈，，4π30(4)317f α+=-，2π8(4)35f β-=，求cos()αβ+的值． 【测量目标】三角函数、三角恒等变换. 【考查方式】由函数解析式，直接求解.【试题解析】（1）∵ππππ()cos()cos 312642f A A A =+===2A =．（步骤1） （2）由（1）知π()2cos()46x f x =+∵4ππ30(4)2cos()2sin 3217f ααα+=+=-=-，∴15sin 17α=，（步骤2） ∵2π8(4)2cos 35f ββ-==，∴4cos 5β=，（步骤3） ∵ π[0]2αβ,∈，，∴8cos 17α==，3sin 5β==，（步骤4）∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-841531317517585=⨯-⨯=-．（步骤5）17．（本题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩频率分布直方图，如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】由频率分布直方图，求未知数a 的值，样本数据的平均数及某一样本数据. 【试题解析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积之和等于1， ∴(0.020.030.04)101a a ++++⨯=，∴0.005a =．（步骤1） （2）∵在区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的概率分别为0.05，0.4，0.3，0.2，0.05． ∴这100名学生语文成绩的平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（步骤2）（3）∵语文成绩在这些分数段的人数人别为5,40,30,20,5,∴数学成绩在前四段分数段的人数人别为5,20,40,25,(步骤3) ∴数学成绩在[50,90)之外的人数为10人．（步骤4）18．（本题满分13分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC上的点，且12DF AB =，PH 为PAD △中AD 边上的高． （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ．【测量目标】点、线、面之间的位置关系，三棱锥的体积.【考查方式】给出线面垂直，线线平行，线线相等，线线成比例等关系，线段长度，求证线面垂直，三棱锥的体积.【试题解析】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ， 第18题图第18题图 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n n =-∈*N ，． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【测量目标】数列的通项公式与前n 项和.【考查方式】由前n 项和的等式关系，直接求解. 【试题解析】（1）当1n =时，21121T S =-，∵111a S T ==，∴21121a a =-，∴11a =， （步骤1） (2)当2n …时，2211(22(1)]n n n n n S T T S n S n --=-=---)-[12()21n n S S n -=--+221n a n =-+， （步骤2）∵当n ≤2时，11(22122(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+)-[ （步骤3）∴122n n a a -=+， （步骤4） ∴122(2)n n a a -+=+， （步骤5）∴数列{2}n a +是以123a +=为首项，2为公比的等比数列， （步骤6） ∴1232n n a -+=⋅，∴1322n n a -=⋅-， （步骤7） ∵1111322a -==⋅-，∴1322n n a -=⋅-，n ∈*N ． （步骤8）20．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(10)F -，，且点(01)P ，在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆、抛物线的位置关系.【考查方式】由椭圆的焦点坐标及点P 直接解得椭圆标准方程，直线方程分别与椭圆方程、抛物线方程联立，求解.【试题解析】（1）∵椭圆1C 的左焦点1(10)F -，，∴1c =， （步骤1） ∵点(01)P ，在1C 上，∴2222011a b+=，∴1b =， （步骤2） ∴2222a b c =+=， （步骤3）∴椭圆1C 的方程为2212x y +=． （步骤4）（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， （步骤5） ∵直线l 与椭圆1C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=， （步骤6） 整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=， （步骤7） ∵直线l 与抛物线2C 相切，∴222(24)40km k m ∆=--= （步骤8） 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （步骤9） ∴直线l的方程为y x =或y x =（步骤10）21．（本题满分14分）设01a <<，集合{}0A x x =∈>R ，2{23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B = ．（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【测量目标】集合的基本运算，函数的极值点.【考查方式】给出两集合，利用图象法求其交集，并求在此区间内某已知函数的极值点. 【试题解析】（1）方程223(1)60x a x a -++=， ∵229(1)489309a a a a ∆=+-=-+23(3103)3(31)(3)a a a a =-+=--，又01a << ， ∴当103a <…时，0∆…， （步骤1）∴223(1)60x a x a -++=有两个根1x =，2x =， （步骤2）∴3(1)3(1)(,()44a a B ++=-∞+∞ （步骤3）∴3(1)(0,4a D A B +==3(1)()4a ++∞ ，（步骤4） ∴当113a <<时，0∆<， （步骤5） ∴223(1)60x a x a -++>一定成立， （步骤6）∴ (,)B =-∞+∞， （步骤7）∴ (0,)D A B ==+∞ ． （步骤8）∴当103a <…时，D=)+∞ ；（步骤9） 当113a <<时，(0,)D =+∞． （步骤10） （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =， （步骤11）① 当103a <…时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ （步骤12） ∵3222()23(1)6(3)0f a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310f a a a =-++=-…∴1201a x x <<<…， （步骤13） ∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤14）∴()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点； （步骤15）② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤16） ∴()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =； （步骤17） 综上所述，当103a <…时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =． （步骤18）。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (文科) 解析版
绝密★启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r，则AC =u u u rA. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，x +z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠=o ，45B ∠=o，BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理，sin sin BC ACA B=，则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅o αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，图2图1正视图 俯视图侧视图且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=o a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅o a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=o b b a a o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=o a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11 ~ 13题）11. 函数y x=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞U . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞U .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB AD AC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值； （2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 图3gPABCD O2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成 绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ） 与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求 数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=图4PABCH FED 图518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DFAB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =I所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E BCFBCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =I所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PABPABCH F E DGM19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线l的方程为y x =或y x =-21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =I .（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1334a x +-=，2334a x ++=所以()0g x >的解集为3333(,()44a a ++-∞+∞U因为12,0x x >，所以D A B ==I 3333(0,()44a a +++∞U ② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==I (0,)+∞ 综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,()44a a +-+++∞U ； 当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞U 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。
2012年全国高考文科数学试题及答案-广东卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,nx x x 的标准差(n s x x =++-其中x 表示这组数据的平均数。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 设i 为虚数单位，则复数34ii +=( )()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-3 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( )()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==；则AC =( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)224. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x ye = ()D y =5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5-()D 6-6. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =( )()A43()B 23 ()C 3 ()D 327．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π248. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A 33 ()B 23 ()C 3 ()D 19. 执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( ) ()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 110.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若两个非零的平面向量,a b 满足，a与b 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )()A 1 2()B1()C32()D52二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
广州市2012届高三年级调研测试答案(文科数学)
广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分 因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为个，所以4750a b ++=．解得．……………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………………2分 所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分因为0>n a，所以n a =()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分 因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ， 由于三棱锥A BCD -的体积为3所以133BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以2h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH =2==8分 在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =+=+=．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =11分在Rt △AOH中，因为AO =，所以OH =2==12分 在Rt △ACH中，因为CO =则CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC．…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =．①当12a<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……………………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分 （3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分 所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分 令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．令()220g t t at '=-=，解得0t =或2at =．……………………………………………………12分因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，即2a >．……………………………………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。