【重点推荐】2019高中数学 专题02 空间点线面位置关系专题复习 新人教A版必修2

专题02 空间点线面位置关系专题一．重难点剖析1.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行.2在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓画成虚线,并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”.3多面体、旋转体与球的外接、内切问题是高考考查的重点，此类问题多借助轴截面将立体几何问题转化为平面几何问题，然后通过解三角形求解．4求空间几何体的体积与表面积时，如果是组合体，关键是将组合体合理地分解成几个简单空间几何体；而对于锥、柱、台的体积与表面积，主要是计算底面积与高(斜高)．5 判断或证明直线和平面垂直的主要方法有：(1)利用直线和平面垂直的定义；(2)利用直线和平面垂直的判定定理；(3)转化为另一条平行线和这个平面垂直；6.判定或证明两平面垂直有两种方法：一是根据定义判断；二是由判定定理确定.面面垂直与线面垂直、线线垂直是密切相关的，解题时要注意三者的相互转化.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.而作辅助线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.7.立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等．8.面面垂直的性质定理的关键是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析．9.证明线线、线面、面面平行或垂直时需要注意以下几点：(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找解题思路．(2)利用题设条件添加适当的辅助线或辅助面是解题的常用方法之一．例如：证明平行时遇到中点要设法构造中位线或平行四边形，而证明垂直时则要构造等腰三角形的中线、高线、角平分线三线合一；证明线面、面面垂直时要注意条件的充分性，已知线面垂直或面面垂直时要用好性质，构造适当的辅助面．10.判定直线与平面平行的三种方法：(1)利用定义(常用反证法)(2) 判定定理: 关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.(3) 利用面面平行的性质定理.11. 证明平行、垂直问题蕴含着丰富的数学思想（主要是转化思想）。

复习中如果能够适时地渗透有关的数学思想，不仅有助于降低学习难度，把握知识本质和内在规律，还可以提高数学素养，发展思维能力。

平行与垂直是对立统一的辩证关系.通过平行转化某些垂直关系，是一个重要的解题技巧.二．典例剖析1. 三视图的计算与求解常考查：①三视图的识别与还原问题；②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题．主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点．例1某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 84π- B. 82π- C. 8π- D. 82π- 【分析】几何体是正方体切去两个14圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【答案】C【点评】(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．例某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_________ ．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD 长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【答案】2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．解决本题的关键是正确画出辅助线，确定实际图形中线段的长度，利用勾股定理求解即可。

2．空间几何体的表面积与体积此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的表面积或体积，试题以客观题为主，多为容易题．例3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A. 4π B. 3π C. 2π D. π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【答案】C【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解。

例4正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. 814πB. 16πC. 9πD.274π【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【答案】A【点评】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.3．线面位置关系的判断例5.如图在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（）【分析】连接B1D1，BD，证明A C⊥平面BDD1B1，通过证明AC⊥B1H，B1H⊥D1O，AC∩D1O=O，推出结果．【答案】A【点评】本小题主要考查空间线面垂直关系，化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力．4．开放探索问题例5如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）【分析】由题意要得到平面MBD⊥平面PCD，容易推得AC⊥BD，只需AC垂直平面MBD内的与BD 相交的直线即可．【答案】DM⊥PC（或BM⊥PC等）【解析】由定理可知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选DM⊥PC（或BM⊥PC等）。

【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．例4.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于⊙O所在平面AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此⊥平面PBC（请填图上的一条直线）【分析】根据题意，BC⊥AC且BC⊥PA，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC，从而得到平面PBC⊥平面PAC，而AF在平面PAC内且垂直于交线PC，联想平面与平面垂直的性质定理，得到AF⊥平面PBC，最后用直线与平面垂直的判定理可证出这个结论．【答案】AF【点评】本题给出一个探索性问题，通过寻找已知平面的垂线，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质和平面与平面垂直的性质等知识点，属于中档题．基础巩固：一．选择题1. 以下四个命题中，正确命题的是（ ）。

(A)不共面的四点中，其中任意三点不共线；(B)若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面；(C)若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；（D ）依次首尾相接的四条线段必共面．【答案】A【解析】(A)正确，可以用反证法证明；(B).从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；(C)不正确，共面不具有传递性；(D)不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．2.若a 不平行于平面α，且a ⊄α，则下列结论成立的是（ ）。

(A)α内的所有直线与a 异面(B)α内与a 平行的直线不存在(C)α内存在唯一的直线与a 平行(D)α内的直线与a 都相交【答案】B3.设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）。

(A)若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c (B)若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α(C)若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β (D)若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β【答案】D【解析】A 中，b ，c 亦可能异面；B 中，也可能是c ⊂α；C 中，c 与β的关系还可能是斜交、平行或c ⊂β；D 中，由面面垂直的判定定理可知正确．4. 过平行六面体1111D C B A ABCD 任意两条棱的中点作直线，其中与平面11D DBB 平行的直线共有（ ）A 、4条B 、6条C 、16条D 、12条【答案】D【解析】 如图，结合三角形的中位线性质，可知与BD 平行的直线，有4条；与1DD 平行的直线也有4条；与平面1DB 平行的直线有2条；与平面1BD 平行的直线有2条，故共有12条。

二．填空题5. 已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】②中α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n 或m ，n 异面，所以②错误．而其它命题都正确．6.正方体AC 1中，E 、F 分别是线段C 1D 、BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是________．【答案】相交三．解答题7. 已知ABCD 为平行四边形，2AB =，BC =45ABC ∠=︒，BEFC 是长方形，S 是EF 的中点，,5=BE 平面⊥BEFC 平面ABCD ，（Ⅰ）求证：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面BEFC 所成角的正切值．【解析】（Ⅰ）做BC SM ⊥于M 点，连结,MA 因为S 是EF 的中点，,2=∴MB 2,45,,AB ABC AM BC ︒=∠=∴⊥,BC SMA SA BC ∴⊥∴⊥面（Ⅱ）作,DN BC N SN ⊥于点，连结平面BEFC ⊥平面ABCD ，DSN SD BEFC DN BEFC ∴⊥∴∠面，是与面所成的角， ,1326132tan 13,2===∠∴==SN DN DSN SN DN 所以直线SD 与平面BEFC 所成角的正切值为.1326 8. 如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点．（Ⅰ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ；（Ⅱ）证明：直线MN SBC 平面‖．∴四边形CNME 是平行四边形， ∴MN//CE,又MN 平面SBC, CE 平面SBC, ∴直线MN SBC 平面‖能力拓展：一．选择题1. 给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为________．A.1 B .2 C .3 D.4【答案】A【解析】根据平面的基本性质知③正确．答案12. 已知a ，b 表示直线，β表示平面。