【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.5(含答案)

第四章 4.5 第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．与图中曲线对应的函数是()A．y＝sin xB．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sin x|答案 C2．已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x＋φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)、则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6、φ＝π6B．T＝6、φ＝π3C．T＝6π、φ＝π6D．T＝6π、φ＝φ3答案 A解析∵图象过点(0,1)、∴2sinφ＝1、∴sinφ＝1 2∵|φ|<π2、∴φ＝π6、T＝2ππ3＝6.3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度、再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)、所得图象的函数解析式是()A．y＝sin(2x－π10) B．y＝sin(2x－π5)C．y＝sin(12x－π10) D．y＝sin(12x－π20)答案 C解析将y＝sin x的图象向右平移π10个单位得到y＝sin(x－π10)的图象、再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(12x－π10)的图象、选C.4．方程sinπx＝14x的解的个数是()A．5 B．6 C．7 D．8 答案 C解析如图所示在x ≥0、有4个交点、∴方程sin πx ＝14x 的解有7个．5．设ω＞0、函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合、则ω的最小值是( )A.23B.43C.32 D ．3 答案 C解析 解法一 函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)的图象、因为两图象重合、所以sin(ωx ＋π3)＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2、∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2kπ、k ∈Z .∴ω＝32k 、k ∈Z .当k ＝1时、ω的最小值是32.解法二 本题的实质是已知函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω＞0)的最小正周期是4π3、求ω的值．由T ＝2πω＝4π3、∴ω＝32.6．函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( ) A.3π2个单位 B ．π个单位 C.π4个单位 D.π2个单位 答案 D解析 y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 7.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0、ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示、则当t ＝1100秒时、电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．53AD ．10 A 答案 A解析 由图象知A ＝10、T 2＝4300－1300＝1100、∴ω＝2πT ＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)． (1300、10)为五点中的第二个点、∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)、当t ＝1100秒时、I ＝－5 A 、故选A.8．为了得到函数y ＝sin (2x －π3)的图像、只需把函数y ＝sin (2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位 答案 B解析 由y ＝sin(2x ＋π6)――→x →x ＋φy ＝sin[2(x ＋φ)＋π6]＝sin(2x －π3)、即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3、解得φ＝－π4、即向右平移π4个长度单位．故选B.9．要得到函数y ＝2cos x 的图象、只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)、再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)、再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)、再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)、再向右平行移动π8个单位长度 答案 C解析 y ＝2cos x ＝2sin(x ＋π2)、y ＝2sin(2x ＋π4)图象上所有点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍、得到y ＝2sin(x ＋π4)的图象、再向左平移π4个单位．二、填空题10．将函数y ＝sin(－2x )的图象向右平移π3个单位、所得函数图象的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x )11．已知f (x )＝cos(ωx ＋π3)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π、要得到y ＝f (x )的图象、只需把y ＝sin ωx 的图象向左平移________个单位．答案 5π12解析 依题意、y ＝f (x )的最小正周期为π、故ω＝2、因为y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin[2(x ＋5π12)]、所以把y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．12．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位、然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称、则函数g (x )＝________.答案 2sin π3x ＋2解析 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图象、向上平移2个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图象、又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称、所以y ＝g (x )＝2sin [π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x )]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.13．函数y ＝sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位、得到的图象恰好关于直线x ＝π6对称、则φ的最小值是________．答案 5π12解析 y ＝sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位、得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6、则2·π6－2φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．因为φ>0、所以φ的最小值为5π12三、解答题14．已知函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x . (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．解析 (1)f (x )＝2sin x sin x ＋3sin x cos x ＋cos x cos x ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＝32＋32sin2x －12cos2x ＝32＋sin(2x －π6)、∴y ＝f (x )的最小正周期T ＝π、y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52、最小值为32－1＝12.(2)将函数f (x ) ＝32＋sin(2x －π6)的图象左移π12个单位、下移32个单位得到y ＝sin 2x 关于坐标原点对称．(附注：平移(－kπ2－π12、－32)、k ∈Z 均可)15．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值．(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12、纵坐标不变、得到函数y ＝g (x )的图象、求函数g (x )在区间[0、π16]上的最小值．解析 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx 、所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin(2ωx ＋π4)＋12.由于ω>0、依题意得2π2ω＝π、所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12、所以g (x )＝f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12.当0≤x ≤π16时、π4≤4x ＋π4≤π2、所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间[0、π16]上的最小值为1.16．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2、g (x )＝12sin2x －14.(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值、并求使h (x )取得最小值的x 的集合．解析 (1)f (x )＝12cos2x ＝12sin(2x ＋π2)＝ 12sin2(x ＋π4)、所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移π4个单位长度、再将所得的图象向上平移14个单位长度即可．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14.当2x ＋π4＝2kπ＋π(k ∈Z )时、h (x )取得最小值－22＋14＝1－224.h (x )取得最小值时、对应的x 的集合为{x |x ＝kπ＋3π8、k ∈Z }．拓展练习·自助餐1．y ＝cos x 在区间[－π、a ]上为增函数、则a 的取值范围是________． 答案 －π≤a ≤02．如图是周期为2π的三角函数y ＝f (x )的图象、那么f (x )可以写成( )A ．sin(1＋x )B ．sin(－1－x )C ．sin(x －1)D ．sin(1－x ) 答案 D解析 设y ＝sin(x ＋φ)、点(1,0)为五点法作图的第三点、∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π、φ＝π－1、∴y ＝sin(x ＋π－1)＝sin(1－x )．3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0、－π≤φ<π)的图象如图所示、则φ＝________.答案 9π10解析 显然2π－3π4＝5π4＝T 2⇒T ＝5π2＝2πω⇒ω＝45、将x ＝3π4代入y ＝sin(ωx ＋φ)、得45×3π4＋φ＝－π2＋2kπ、k ∈Z 、从而可得φ＝11π10＋2kπ、k ∈Z 、又φ∈[－π、π)、∴φ＝9π10.4．已知a 是实数、则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时、f (x )＝1、图象即为C ；当0<a <1时、三角函数的周期为T ＝2πa >2π、图象即为A ；当a >1时、三角函数的周期为T ＝2πa <2π、图象即为B.故选D.5．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2 x cos φ－12sin (π2＋φ)(0<φ<π)、其图象过点(π6、12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12、纵坐标不变、得到函数y ＝g (x )的图象、求函数g (x )在[0、π4]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2 x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)、所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)、又函数图象过点(π6、12)、所以12＝12cos(2×π6－φ)、即cos(π3－φ)＝1、又0<φ<π、所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)、将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12、纵坐标不变、得到函数y ＝g (x )的图象、可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)、因为x ∈[0、π4]、所以4x ∈[0、π]、因此4x －π3∈[－π3、2π3]、故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0、π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。