关于匀强电场中电偶极子模型的讨论
电偶极子的电场和磁场的空间分布求解
1、问题的提出近年来,电磁学研究,尤其是电磁学的一些分支前沿学科的研究,例如,电磁散射、计算电磁学、瞬态电磁学等,取得了较大的进展。
随着量子力学的发展和Aharonov-Bohm 效应的发现,人们发现仅采用磁感应强度B 来描述磁场是不够的,它不能解释电子在外磁场中的干涉和散射等现象。
而经典电磁场理论认为运动电荷受到电场力和磁场力的作用,且只有电场强度E 和磁感应强度B 对运动电荷有作用,而不是电磁势A 。
一般认为电磁势A 始终只被看作是数学上的需要而引入的参数。
带电粒子在外磁场中的动力学行为是否会受到矢势A 的直接影响?电磁势A 的影响是否可以独立于磁感应强度B 出现干涉的量子效应?研究人员针对以上问题展开了讨论。
定义电磁势为()A x π=⎰μＩｄｌ４ｒ。
式中, ｒ＝ｘ－ｘ＇为源点到场点的距离,I 为圆环的电流,dl 为线元。
它由磁场的高斯定理推导出,符合式⋅⋅⎰⎰ Ａｄｌ＝Ｂｄｓ。
但此式不唯一,可以加上任意标题函数的梯度。
由于梯度的环路积分恒等于0,可以有无数个电磁势的形式。
这叫做电磁势的规范变换。
而电偶极子是电磁理论与实际生活中经常碰到的一种带电体系,例如,在外电场作用下电介质的原子里正、负电荷即形成电偶极子;无线电天线里电子作周期性运动形成振荡偶极子。
电偶极子是指一对等量异号的点电荷,它们之间的距离l 远小于场点到它们的距离r,其中电偶极矩用p=ql 表示。
在实际生活中,电偶极子的例子经常可以碰到。
匀速直线运动是电偶极子常见的运动形式,因此研究它所产生的电场和磁场具有重要的意义。
例如,天体上的电偶极子所产生的电磁场将对在其附近飞行的宇宙飞船影响甚大。
本文首先利用平面内场强叠加原理和相对论的变换关系,分别计算电偶极子在二维平面内的做沿轴线和沿中垂线匀速运动的电场,然后再由静止电偶极子电磁势出发,计算出电偶极子在惯性系Σ中的电磁势,最后利用(A,φ)和(E,B)关系,即可得出实验室坐标系Σ中匀速运动的电偶极子的电场和磁场在三维空间内的分布。
11-7 静电场中的电偶极子
它们将形成一对力偶，力偶矩大小为
M qr0 E sin pE sin M p E
在非匀强电场中，电偶极子所受合力将不为0。
二 电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
若将电偶极子正负电荷所在处的电势分别表示为 则电偶极子在电场中的电势能为
14:11 2
和 u u
u u Ep q(u u ) q( )r0 cos qr0 E cos r0 cos Ep p E
当 当
时，电势能能量最低；当 0
时能量最高。
时能量为零； 2
14:11
3
§11-7 静电场中的电偶极子
一、外电场对电偶极子的力矩和取向作用
和 F 表示正负电荷所受电场力 为零，即 则电偶极子所受合力 F
Hale Waihona Puke F F F F qE qE 0
1
14:11
电偶极子所受合力
虽然为零，但由于 F
和 F
不在一条直线上， F
11静电场中的电偶极子
0 M 0
稳定 平衡位置
M 0 非稳定平衡位置
q
q
- +
r0
0
q
q
+ -
r0
2、非均匀电场，电偶极子不仅要转动，而
且还要平动
静电场中的电偶极子
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
Ep qV+ qV- q V- V
q
E dl
qE
dl
qE r0 p E
Ep p E
静电场中的电偶极子
一、外电场对电偶极子的力矩和取向作用
电偶极子在均匀电场 中，受到的合力为
F合 F+ F- qE qE 0
M rF
M M M
r0qE sin r0qEpE sin
M p E
静电场中的电偶极子
1、匀强电中场，在力矩作用下，电偶极子
顺时针转动 M p E
静电场中的电偶极子
0
2
Ep p E
q
q
Ep pE 电势能最小 - +
r0
Ep 0
Ep pE 电势能最大
0
q
q
+ -
r0
从能量的观点来看，能量越低，系统的状态越 稳定。
4 等势面 静电场中的电偶极子
∂V (x, y, z) Ey = − ∂y
率的负值， 率的负值，即
∂V (x, y, z) Ez = − ∂z
第9章 静电场 章
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11
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9-4 静电场中的电偶极子
定义梯度
∂f v ∂f v ∂f v gradf (x,y,z ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z
A
dV El = − dl
v ∆l
B
v E
q =1
v 电场强度沿 ∆l 方向 的分量， 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值. 化率的负值.
第9章 静电场 章
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9-4 静电场中的电偶极子
在直角坐标系中
v 方向的分量等于电势沿x方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿x方向的分量等于电势沿 方向空间变化
第9章 静电场 章
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9-4 静电场中的电偶极子
1. 图示为一具有球对称性分布的静电场的 E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪 关系曲线． 关系曲线 E 种带电体产生的． 种带电体产生的．
E∝1/r2
(A) 半径为R的均匀带电球面． 半径为 的均匀带电球面． 的均匀带电球面 R r (B) 半径为 的均匀带电球体． 半径为R的均匀带电球体 O 的均匀带电球体． (C) 半径为 、电荷体密度 ρ ＝Ar (A为常 半径为R 为常 的非均匀带电球体． 数）的非均匀带电球体． (D) 半径为 、电荷体密度 ρ ＝A/r (A为常数 半径为R 为常数) 为常数 的非均匀带电球体． 的非均匀带电球体． ［ ］
matlab电偶极子电场强度
电偶极子是指两个等量异种电荷分别位于坐标原点处的一对点电荷，它们之间的连接线称为电偶极子轴。
对于一个电偶极子，其电场强度在远场条件下可以由公式计算得到，该公式由Maxwell方程组推导得出。
一、电偶极子电场强度计算的基本原理电偶极子在空间中产生的电场是通过两个点电荷产生的电场叠加而成的，其中一个点电荷产生的电场由于另一个点电荷的作用会发生偏转，这种电场的叠加效应使得电偶极子在空间中产生了一个由正极向负极方向的电场。
二、电偶极子电场强度的计算公式电偶极子的电场强度可以通过以下公式来计算：\[ E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times (\frac{\bold {p}}{r^3} -\frac{3(\bold{p} \cdot \bold{r})\bold{r}}{r^5}) \]其中，E为电场强度，\( \varepsilon_0 \)为真空介电常数，p为电偶极子矩量，r为观察点到电偶极子的距离，其方向指向观察点。
该公式通过叠加电偶极子两个点电荷产生的电场得到，是对远场电场的精确描述。
三、matlab中的电偶极子电场强度计算在matlab中，可以借助向量和矩阵的计算功能来对电偶极子的电场强度进行计算。
可以将电偶极子的坐标表示为一个矩阵，然后求解每个观察点到电偶极子的距离向量，进而利用上述公式计算出每个观察点的电场强度。
在matlab中，通过简洁的代码和函数封装，可以高效地完成电偶极子电场强度的计算和可视化。
四、实际应用中的电偶极子电场强度计算电偶极子电场强度的计算在实际中有许多重要的应用，比如在天体物理学中，可以利用电偶极子模型来描述电离气体星的电场分布；在生物物理学中，可以利用电偶极子模型来模拟细胞膜的离子传输过程。
利用电偶极子电场强度计算模型，可以帮助科研人员更好地理解和解释实验现象，指导实验设计和数据分析。
五、总结电偶极子电场强度的计算是电磁学领域中的重要问题，在理论和实际应用中都有着重要的价值。
电偶极子的电场
对于偶极子中点o MM M
M M M q M E 2 2 qsE i n q E s inMPE
Pq
§1.5 电场线
1.5.1.电场线（E线）
为形象地描写场强的分布，引入 E线。
1. E 线上某点的切向
切线
2. 即E 线为的该密点度E 给的出方E 向的；大小。
•
•
•
Ej
qi •
•
E
Ei ds
•qj
i
j
（S内） （S外）
Φe Eds
S
( E i)d s ( E jd s)
Si
Sj
•
E id s E jd s
•
iS
jS
S
•
qi 0 q内
i 0
0
4. 将上结果推广至任意连续电荷分布
在均匀电场中,通过面积S⊥的
nˆ
电通量为 e = E×S⊥
通过任一平面S 的电通量为
e = E× S×cos
S
S
在非均匀电场中,通过 任一面积S的电通量为
ed eE co ds S
nˆ E
dS S
通过任一封闭面S的电通量为
e
Ecos d S
R2
E2x0
(x2
1 R2)12
（3）无限大带电平板外任一点的场强
R1 0 R2
E
2 0
例5、计算电偶极子在均匀电场中所受的力矩
解：电荷产生电场，电场对电荷施加电场力
f qE
第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
第12讲等势面电势梯度静电场中的电偶极子电场线与等势面的关系♉电场线处处垂直等势面♉电场线指向电势降的方向♉等势面的疏密反映了场的强弱电场强度和电势的关系积分关系式⎰⋅=b a a l Ed ϕ0=b ϕ微分关系式ϕϕ-∇=-=g ra d Ek z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ电偶极子( )在电场( )中所受的力矩 Ep M ⨯=电偶极子( )在均匀外场( )中的势能 Ep W ⋅-=E p E p 电场中的电偶极子O 图中所示以 O 为心的各球冠面为静电场的等势面，已知ϕ1 < ϕ2 < ϕ3，在图上画出 a 、b 两点的电场强度的方向，并比较它们的大小。
E a E b(填 <、=、>)。
ϕ1 ϕ2 ϕ3 a b = a E b E Q3.12.11.若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度分布是 ；若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布是 。
处处为零 不为零的恒量(或均匀分布) Q3.12.2设有两个电偶极矩分别为 和 的电偶极子。
如果它们重叠在一起，此带电系统的电偶极矩为多少？ 答：1p 2p Q3.12.3221121l q l q p p p+=+=Q3.12.4电偶极子在均匀电场中总要使自身转向稳定平衡的位置，若此电偶极子处在非均匀电场中，它将怎样运动呢？你能说明吗？答：见视频。
[Q3.12.5] 证明 Q1.3.7 中的电四极子在它的轴线延长线上的电势为式中 Q = 2ql 2 叫做它的电四极矩。
利用梯度验证，所得场强公式与Q1.3.7一致。
)(l r r Q >>= π4130εϕ+q P-2q +q l l r解： 根据电势的叠加原理⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=r l r l r q 211π40εϕ+q P-2q +q l l r2π422220)()()()(l r r l r l r r l r r q ---++-=ε)(22202π4l r r l q -=ε当 l << r 时， 30π4r Qεϕ≈r E ∂∂-=ϕ40π43r Q ε=[Q3.12.5]* 电偶极层： 一厚度 l 均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷 。
电偶极子
在平衡时，在电介质内部的总场强应是这两者的矢量
和。则
E→=
→
E0
→
Ep
在均匀外电场中，这三个矢量互相平行，故
可写成： E = E0 – EP 。 27
§9.5 静电场中的电介质
s
E0
=
0
0
EP
=
s 0
此时有 σ′=Ｐ=χｅε０Ｅ，则 Ｅｐ=χｅＥ ，并由
于Ｅｐ与Ｅ0 反向，故合场强大小为
E = E0 EP = E0 ceE
10
第六节 心电知识
一、心电场（cardio-electric field）
1、心肌细胞的电偶极矩
11
§9.6 心电知识
12
2、心电偶的电性质
§9.6 心电知识
13
二、心电图
§9.6 心电知识
14
15
§9.6 心电知识
16
17
三、心电图导联
§9.6 心电知识
18
§9.6 心电知识
19
We
=
V wedV
=
1 E 2dV
V2
37
和的例电R介92-，质4所，带如问电图此荷所电为示容,器球Q贮形存电．的容若电器在场的两能内球量、壳为外间多半 充少以径？电分容别率为为R1
解
→ E=
1
4π
Q r2
→ er
we
=
1 E 2
2
=
Q2
32π 2 r 4
dWe
=
wedV
=
Q2
4
§9.4 电偶极子
三、 电偶极子轴线延长线上的场强：
E
=
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关于匀强电场中电偶极子模型的讨论
作者：斯克良
来源：《课程教育研究·上》2012年第07期
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）05-0109-01
一对等量异号的点电荷组成的带电体系，它们之间的距离l远比场点到它们的距离r小得多，这种带电体系称为电偶极子。
科学家在描述某些物质的电性质时，认为从电结构看,物质是由大量的电偶极子组成的，物质的带电特性是随电偶极子的排列情况变化而变化。
电偶极子是电学中一个重要的物理模型，下面问题就是根据这个物理模型而设计的。
【问题】电偶极子模型是指电量为q、相距为l的一对正负点电荷组成的电结构，O是中点，电偶极子的方向为从负电荷指向正电荷，用图1所示的矢量表示．科学家在描述某类物质的电性质时，认为物质是由大量的电偶极子组成的，平时由于电偶极子的排列方向杂乱无章，因而该物质不显示带电的特性。
当加上外电场后，电偶极子绕其中心转动，最后都趋向于沿外电场方向排列，从而使物质中的合电场发生变化。
（1）如图2所示，有一电偶极子放置在电场强度为E0的匀强外电场中，若电偶极子的方向与外电场方向的夹角为θ，求此电偶极子在电场力的作用下转动到外电场方向的过程中，电场力所做的功。
（2）求电偶极子在外电场中处于平衡时，其方向与外电场方向夹角的可能值及相应的电势能。
（3）现考察物质中的n个电偶极子，其中心在同一直线上，初始位置如图（3）排列，它们相互间距离恰等于l，若图中n=1的电偶极子中心设为A，加上外电场E0后，n个电极极子均转到外电场的方向上，求此时A点的电场强度。
■
【问题解答】
（1）电场力对+q做功：W1=qE0■(1-cosθ)
电场力对-q做功：W2=qE0■(1-cosθ)
电场力对电偶极子做功： W=W1+W2=qE0l
（2）根据电偶极子的受力平衡条件得θ1=0，或θ2=π时电偶极子在外电场中处于平衡；θ1=0时，设此时点电荷-q所在位置的电势为U，电偶极子的电势能ε1=-qU+q(U-E0l)=-qE0l; θ2=π时，电偶极子的电势能ε2=-qU+q(U+E0l)=qE0l
（3）n个电偶极子沿电场方向排列时，除了第一个电偶极子的负荷和第n个电偶极子的正电荷之外，中间的所有正负荷在A点所产生的合电场为零，第一个电偶极子的负电荷，在A点产生电场E1=k■方向向左。
第n个电偶极的正电荷在A点产生电场En=k■方向向左，外电场E0方向向右,所以A点电场强度的大小EA=E0-■-■=E0-■
【问题思考】物理学中有很多物理模型，通过建立物理模型来研究实际问题是一种非常重要的物理思想方法，通过本题的讨论，使学生了解了物质的一种电结构模型，知道正负电荷组成电偶极子后，在外电场作用下，电偶极子将绕其中心转动，最后趋向于沿外电场方向排列的规律；明确电偶极子在外电场作用下可能的平衡状态；能够根据题中设置的n个电偶极子“恰等于”等条件判断出n个电偶极子在O点产生电场等效于两个端点电荷产生的电场（中间的正负电荷相互低消）；能够理解电场中某点的外电场、电偶极子产生电场，合电场的差异；会正确运用公式计算电偶极子在电场中的电场力做功、具有的电势能以及电场某点的合电场强度大小等。
本题可较全面考核学生静电学知识的掌握程度，培养学生的建模能力，学习运用模型法、等效法、假设法等物理思想方法，提高学生综合运用电学力学知识解决实际问题的能力。