高中数学北师大版选修22第2章导数的概念及其几何意义第1课时word教案

§2 导数的概念及其几何意义
第一课时 导数的概念
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。

教学难点：理解导数概念的本质内涵
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为
当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。

（二）、探究新课
在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作
x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(000
01010lim lim 01。

例1、一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。

求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。

解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为
3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+x
x x x x f x f （3m /s ）.
当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以
3)2(='f （3m /s ）.
导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。

也就是如果水管的中的水以x =2s 时的瞬时速度流动的话，每经过1s ，水管中流过的水量为33m 。

例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y （单位：kg ）是其工作时间x （单位：h ）的函数)(x f y =。

假设函数)(x f y =在x=1和x=3处的导数分别为4)1(='f 和5.3)3(='f ，试解释它们的实际意义。

解：4)1(='f 表示该工人工作1h 的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h ，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg 的食品。

5.3)3(='f 表示该工人上班后工作3h 的时候，
，其生产速度为3.5kg/h ，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h 的食品。

例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y （单位：μg/mL ）是时间t （单位：min ）的函数)(t f y =，假设函数)(t f y =在t=10和t=100处的导数分别为5.1)10(='f 和6.0)100(-='f ，试解释它们的实际意义。

解：5.1)10(='f 表示服药后10min 时，血液中药物的质量浓度上升的速度为
1.5μg/（mL·min ）。

也就是说，如果保持这一速度，每经过1min ，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL·min ）。

6.0)100(-='f 表示服药后100min 时，
血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min ）。

也就是说，如果保持这一速度，每经过1min ，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min ）。

(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：
（四）、练习：课本33P 练习：1、2.
（五）、作业：课本37P 习题2-2中A 组2、3
补充题：1、求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C o ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，
0(2)()f x f x f x x
+∆-∆=∆∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o 的速率上升．
注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
五、教后反思：。