高中数学人教B版必修二立体几何学案

第一章 立体几何初步一、点、线、面之间的位置关系 （一）平面的基本性质 1.平面及其表示 （1）平面是无限延展的. （2）平面的图形及字母表示：（3）用符号表示点、线、面之间的位置关系：例1一个平面把空间分成 个部分；两个平面把空间分成 个部分；三个平面把空间分成 个部分.探究：四个平面把空间最多分成 个部分. 2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 例2若l αβ=，m α⊂，n β⊂且m n P =，则点P 与直线l 的位置关系用符号的表示是 .公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面. l B · A · α P · α l β·· ··例3（1）空间四点，任三点不共线，则过其中三点的平面有个；（2）一条直线及直线外不共线的三点所确定的平面个数可能有个；（3）三条直线两两相交，每两条直线确定一个平面，则一共确定的平面数为个；（4）四条直线相互平行的直线最多可确定的平面个数为个.例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：（1）C1、O、M三点共线；（2）E、C、D1、F四点共面；（3）CE、D1F、DA三线共点．* 证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．* 证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．* 证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其它直线上，而“其它”直线往往归结为平面与平面的交线．实战训练1.下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________． 3.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条． 4.已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是．．．．__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β ⇒ a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β ⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β ⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线 ⇒α、β重合． 5.空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．6.下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．7.在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EH 、FG 能相交于点P ，那么（ ）A.点P 必在直线AC 上B.点P 必在直线BD 上C.点P 必在平面ABC 内D.点P 必在平面ABC 外8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别为棱A 1B 1、B 1C 1及BC 上的点，且直线AP 与直线RQ 相交于点O ，求证：O 、B 、B 1三点共线.A1A BCD 1B 1C 1D9.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．10.如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，点A、D与B、C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，求证：P、Q、R三点共线．11.已知直线a、b、l，若a∥b，l与a、b分别交于点A、B，求证：a、b、l共面.12.已知四条直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点，求证：直线a、b、c、d共面.3.空间两直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点； （2）平行直线――在同一平面内，没有公共点； （3）异面直线――不同在任何一个平面内的两条直线.例5求证：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.* 异面直线的判定（1）如果两条直线不平行、不相交，则它们异面； （2）反证法；（3）过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 实战训练1.“a 、b 是异面直线”是指：① a ∩b =∅，且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面β，且a ∩b =∅；③ a ⊂ 平面α，b ⊄平面α；④ 不存在平面α，能使a ⊂ α，且b ⊂α成立. 上述结论中，正确的是（ ） A.①②B.①③C.①④D.③④2.已知两条直线a 、b 分别和异面直线c 、d 都相交，则直线a 、b 的位置关系是（ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线3.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A.平行B.相交C.异面D.相交或异面4.若a 、b 是异面直线，αβ、是两个不同平面，a α⊂，b β⊂，l αβ=，则（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交 5.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ） A.2对B.3对C.6对D.12对（二）空间中的平行关系1.平行直线平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行，即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .例1已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23 . 求证：四边形EFGH 是梯形.变式1 若BD ＝a ，则梯形EFGH 的中位线的长是 . 变式2 求证：EF 、GH 的交点在AC 所在直线上.变式3 又若F 、G 分别是CB 、CD 的中点，则四边形EFGH 是 形. 变式4 又若F 、G 分别是CB 、CD 的中点，且AC =BD ，则四边形EFGH 是 形. 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.判断：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .A 1B 1C 1ABC2.直线与平面平行（1）直线与平面的位置关系：①直线在平面内——线面有无数个公共点； ②直线与平面相交——线面有且只有一公共点；（2）直线与平面平行的判定定理则这条直线与这个平面平行，即若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥α.例2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）若E 为DD 1的中点，求证：BD 1∥平面ACE ；（2）P 、Q 分别是棱AB 、A 1D 1的中点，求证：PQ ∥平面BDD 1B 1．（3）直线与平面平行的性质定理 若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行，即若a ∥α，a ⊂β，α∩β=b ，则a ∥b .αabA1A BCD 1B 1C 1D A1A BCD 1B 1C 1D例3已知异面线段AB 、CD 在平面α的两侧，若AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α=M ，BD∩α=N ，求证：AM BNMC ND=. 实战训练1.已知 a ，b 表示直线，α表示平面，以下命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b . 其中正确命题的个数是（ ） A.0个 B.1个C.2个D.3个2.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线（ ） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内3.直线a ，b 异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（ ） A.b ⊂α B.b ∥α C.b 与α相交 D.以上都有可能4.如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a 、b 都平行的平面（ ） A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个5.判断下列命题的真假：（1）若直线l ⊄ α，则l 不可能与平面α 内无数条直线都相交.（ ）（2）若直线l 与平面α 不平行，则l 与α内任何一条直线都不平行. （ ） 6.P 是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中面ABCD 内的一点. （1）画出经过P 、B 1、C 1（2）以上各条与面的交线与平面A 1C 1是什么关系？1αABCD7.若a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，求证：a ∥b .8.如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在的平面交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .9.如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ； （2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围.ADCBFEMN3.平面与平面平行（1）平面与平面的位置关系：①平面与平面相交——有且只有一条公共直线；②平面与平面平行——没有公共点.（2）两个平面平行的判定定理若一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，即若a、b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α，则α∥β.推论若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a、b⊂α，c、d⊂β，a∩b=P，c∩d=Q ，a∥c，b∥d，则α∥β.例4如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是棱DD1的中点，Q是棱CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面P AO .（3）两个平面平行的性质定理 若两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行，即若α∥β，γ∩α=a ，γ∩β=b ，则a ∥b .例5 已知平面α∥平面β∥平面γ，直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和D 、E 、F . 求证：AB DEBC EF=.结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 实战训练1.下列各命题中假命题有________个． ①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交； ④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．2.过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是 ．3.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．（填序号） ①α内有无数条直线平行于β； ②α内不共线三点到β的距离相等；③l 、m 是平面α内的直线，且l ∥α，m ∥β； ④l 、m 是异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β．αβγ4.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD 的长为．5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．6.如图，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE：EB=CF：FD. 求证：EF∥β.7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点. 求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.（三）空间中的垂直关系1.两条直线垂直如果两直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两直线互相垂直.* 若一条直线与两条平行直线中的一条垂直，则也必与另一条垂直，即若b ∥c ，a ⊥b ，则a ⊥c . 例1 判断：（1）相互垂直的两条直线一定相交. （ ） （2）过一点与一条直线垂直的直线有且只有一条. （ ） （3）垂直于同一直线的两条直线相互平行. （ ） 2.直线与平面垂直（1）定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.* 垂线，垂面，垂足，垂线段，点到平面的距离. * 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.（2）直线与平面垂直的判定定理 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面，即若m ⊂α，n ⊂α，m ∩n =A ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α.推论 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一平面，即若l ∥a ，a ⊥α，则l ⊥α.* 若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面，即若α∥β，l ⊥β，则l ⊥α.αalαAl mnlαβ（3）直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .* 一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线，即若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m.例2 如图，ABC ∆中，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABC ，AM PB ⊥，AN PC ⊥，垂足分别为M 、N . 求证： （1）BC ⊥平面PAB ； （2）AM ⊥平面PBC ； （3）PC MN ⊥.例3 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，（1）求证：A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BC 1，A 1C ⊥DC 1； （2）求证：A 1C ⊥平面BDC 1；（3）若该正方体的棱长为a ，求点C 到平面BDC 1的距离. αbaαlmA1A BCD 1B 1C 1D PCMNAB实战训练1.下列命题中正确的个数是（ ）①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥αα； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A.0 B.1 C.2 D.32.直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ）A.a ⊥βB.a ∥βC.a ⊂βD.a ⊂β或a ∥β3.（2010浙江理）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C.若//l α，m α⊂，则//l m D.若//l α，//m α，则//l m4.对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.5.设l 、m 、n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） ①若l α⊥，则l 与α相交②若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ ③若//l m ，//m n ，l α⊥，则n α⊥ ④若//l m ，m α⊥，n α⊥，则//l n A.1 B.2 C.3 D.46.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．7.如图，△ABC 中，BC ⊥AC ，P A ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．18.如图，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，△P AD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. 求证：MN ⊥平面PCD .3.平面与平面垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.（2）平面与平面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，即若l ⊥β，l ⊂α，则α⊥β.例4 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求证：平面A 1ACC 1⊥平面BDC 1.（3）平面与平面垂直的性质定理 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β，a ∩β=l ，m ⊂β，m ⊥l ，则m ⊥α.例5 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AB ．A1A BCD 1B 1C 1D例6 如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l 上取线段AB =4 cm ，AC 、BD 分别在平面α、β内，它们都垂直于交线l ，且AC =3 cm ，BD=12 cm ，求CD 的长. 实战训练1.设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．2.如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．3.过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．4.若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有 条．5.设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A.若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B.若//l α，//αβ，则l β⊂ C.若l α⊥，//αβ，则l β⊥ D.若//l α，αβ⊥，则l β⊥6.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则在一个平面内与交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④7.已知平面α⊥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a 、b 与直线l 都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a 与b 可能垂直，但不可能平行； ②a 与b 可能垂直，也可能平行；8.若直线l 、m 与平面α、β、γ满足：β∩γ= l ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，则必有（ ） A.α⊥γ 且l ⊥m B.α⊥γ 且m ∥βC.m ∥β 且l ⊥mD.α∥β 且α⊥γ9.m 和n 是分别在两个互相垂直的平面α、β内的两条直线，l 是α与β的交线，m 和n 与l 既不垂直，也不平行，那么m 和n 的位置关系是（ ） A.可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直 C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行10.如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、CE 异面．其中结论正确的是 (填序号)．．11.两个相交平面α、β都垂直于第三个平面γ，那么它们的交线a 一定和第三个平面γ 垂直．12.如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ； （2）求证：AD ⊥PB ．线面间的平行、垂直判定方法归纳1.两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b，b∥c，则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β，α∩γ，β∩γ=b，则a ∥b.2.两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直，即若b∥c，a⊥b，则a ⊥c.③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.3.直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，即若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β，l⊂α，则l∥β.4.直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，即若l∥a，a⊥α，则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β，l ⊥β，则l⊥α.⑤若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β，a∩β=α，l⊂β，l⊥a，则l⊥α.5.两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a、b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β，则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行，即若α⊥a，β⊥a，则α∥β.④一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a、b⊂α，c、d⊂β，a∩b=P，a∥c，b∥d，则α∥β.6.两平面垂直的判定①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β，⊂二、空间几何体及其相关计算* 几何体：只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分就叫做一个几何体.（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体.* 多面体的面，多面体的棱，多面体的对角线.* 多面体至少有四个面.* 凸多面体* 截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包含它的内部）.例1 用一个平面去截一个长方体，所得截面图形的边数为 .2.棱柱（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.* 棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高.* 棱柱的记号：（2）棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，五棱柱，……②按侧棱与底面是否垂直分类：⎧⎧⎪⎨⎩⎨⎪⎩正棱柱：底面是正多形的直棱柱.直棱柱棱柱其他直棱柱 斜棱柱（3）棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及过不相邻的两条侧棱的截面是矩形.（4）特殊的四棱柱的特殊情形①平行六面体 ②直平行六面体 ③长方体 ④正方体* 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱正方体例2 验证以下有关平行六面体的结论：（1）平行六面体的任何一组相对的面都可作为它的底面；（2）平行六面体的对角线交于一点且被该点平分；（3）当对角线长都相等时，平行六面体是长方体.（5）长方体的一条对角线长的平方等于长方体的长宽高的平方和，即2222l a b c =++.* 长方体的某六条面对角线可围成一个相对棱的长相等的三棱锥；* 正方体的某六条面对角线可围成一个正四面体.底面是平行四边形 侧棱与底面垂直 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等l abc1.下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱.其中真命题的为 .（写出所有真命题的序号）2.长方体长宽高之和为6 cm ，全面积为11 cm 2，则其对角线为________ cm ．3.已知两两垂直的三个平面α、β、γ相交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别 是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 与点O 之间的距离为________ cm ．4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点E 、F 、H 、 K 分别为AC 1、CB 1、A 1B 、B 1C 1的中点，G 为△ABC 的重心. 从K 、H 、G 、B 1中取一点作为P ， 使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF 平行，则点P 为（ ）A.KB.HC.GD.B 15.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =2，BB 1=5，则从点A 出发，沿长方体表面运动到点C 1 的最短路线长为 .6.三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，ABC ∆是等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =．求证：（1）1//AC 平面1CDB ；（2）平面1C CD ⊥平面ABC .1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.* 棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点、高.* 棱锥的记号：2.正棱锥：* 正棱锥的斜高* 正棱锥的性质 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形；* 正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥.例3（1）求证：正三棱锥的任意两条相对的棱都互相垂直；（2）正三棱锥P ABC -中，若2PA =，AB =则该棱锥的高为 ，斜高为 ；（3）若正四面体棱长为a ，则正四面体的高为 .4.棱台（1）定义：用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台. * 棱台的上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点、高.* 棱台的记号：（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台.* 正棱台的斜高1.三棱锥的四个面中最多有 个直角三角形.2.在四棱锥A -BCDE 中，AB ⊥底面BCDE ，且BCDE 为正方形，则四棱中互相垂直的 面有（ ）A.6对B.5对C.4对D.3对3.如图，正四棱台C A '的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，则这个棱台的侧棱长为 ，斜高为 .4.正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .5.三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直，Q 是底面三角形ABC 内的一点，Q 到三个侧面 的距离分别为4 cm 、6 cm 、12 cm ，则PQ 的长为 cm .6.正三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两夹角为40°，侧棱长为6，D 、E 分别为侧棱PB 、PC 上的点，则ADE ∆的周长的最小值为 .7.如图，在底面是正方形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点．（1）求证：BD FG ⊥；（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使//FG 平面PBD ，并说明理由．（二）圆柱、圆锥、圆台和球1.圆柱、圆锥、圆台* 圆柱、圆锥、圆台的轴、母线、高、底面、侧面、轴截面.例1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥母线长是3 cm ，则圆台的母线长为 cm .2.球（1）球面与球* 球的球心、半径、直径.（2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，其性质为：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②222R r d =+.例2（1）球面上三点A 、B 、C ，若AB =6，BC =10，球心到平面ABC 的距离为12，则该球的半径为 ；（2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于 .（3）大圆与小圆（4）两点间的球面距离：在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点间球面距离.3.组合体例3（1）长方体外接球的直径等于它的对角线长；（2）设正四面体的棱长为a，则正四面体的高h=，其内切球的半径14r h =，外接球的半径34R h =.例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 .实战训练1.轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数等于 .2.下列命题中：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.33.过球面上两点的大圆有 个.4.设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为 ( )A.3:5:6B.3:6:8C.5:7:9D.5:8:95.半径为2的球的球面上有四点P 、A 、B 、C ，且P A 、PB 、PC 两两垂直，则222PA PB PC ++= .6.在正三棱锥S -ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA=则此正三棱锥S -ABC 外接球的半径是 .7.四面体ABCD 中，AB =CD =6，AC =BD =4，BC =AD =，则此四面体的外接球的半 径为 .8.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .。