《直线和圆的位置关系》课件
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
直线和圆的位置关系课件ppt
又∵CA=CB
O
∴OC⊥AB
∴AB为⊙O的切线
A
C
B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• 练习1：O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为 半径作⊙O，求证：AC与⊙O相切。
• 练习2：如图， ⊙M与X轴相交于点A
（2，0）B(8,0)与Y轴相切于点C，则圆心 M的坐标是多少？
Y
。M
X
A
B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
三、小结：
切线的判定定理： 必具两个条件：＿过＿半＿径＿的＿外＿端＿点 ，
四、巩固练习
1、如图，在等腰三角形ABC中，
AB=AC,O为AB上一点，以O为圆心，OB
长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC于E，求
证：DE是⊙O的切线。
A
O ●
B
D
F E C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
问题（二）
将问题1中的问题反过来，如果直线L是
⊙O的切线，A为切点，那么半径OA与直线L是不
是一定垂直呢？
L
圆的切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言：
O. . A
∵是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥L
反过来，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
《直线和圆的位置关系》圆PPT课件
小结
1. 判断 ① 直线与圆最多有两个公共点 。 ② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。 ③ 若A是⊙O上一点， 则直线AB与⊙O相切 。 ④ 若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与⊙O 相交或相离。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为 半径作圆。 ① 当r满足___________时，⊙C与直线AB相离。 ② 当r满足___________时，⊙C与直线AB相切。 ③ 当r满足___________时，⊙C与直线AB相交。
直线和圆的位置关系
-.
直线和圆的位置关系的定义及有关概念
1. 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直 线叫做圆的割线. 2. 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条 直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 3. 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
例题
判定直线 与圆的位置关系的方法有2种： 1. 根据定义，由直线 与圆的公共点的个数来判断； 2. 根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。
切线的判定定理
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线需满足两条： ①经过半径外端；
②垂直于这条半径．
O
l
A
例题
如图24－2－13，射线PA切⊙O于点A，连接PO. 在PO的上方作射 线PC，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作 法)，并证明PC是⊙O的切线.
圆的切线垂直于过切点的半径. 注意：
(1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径； (3)经过圆心并垂直于切线的直线必过切点； (4)经过切点并垂直于切线的直线必过圆心.
直线与圆的位置关系优质课PPT课件
O
它们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
A x
7
第7页/共34页
判断下列直线与圆的位置关系
(1).圆x2 y2 13与直线x y 1 0;
相交
(2).圆x2 y2 8x 2 y 8 0, 直线4x 3y 6 0;
相切
(3).圆( x 2)2 y2 1, 直线2x y 5 0.
例 2:已知圆 C:X2+y2=1和过点 P( -1 ,2) 的直线L.
(1)试判断点P的位置. (2)若直线L与圆C相切 ,求直线L的方程.
(3)若直线L与圆相交于A 、B两点,求直线 L 的斜率范围.
(4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的 位置关系. (5)若直线L与圆相交于A 、B两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线L的方程.
当 d>r 时，直线与圆的位置关系是相离 当 d=r 时，直线与圆的位置关系是相切 当 d<r 时，直线与圆的位置关系是相交
第3页/共34页
直线与圆的位置关系的判定方法
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r d=r d<r
x2 y2 6x 5 0
(x 3)2 y2 4
圆心（3，0） 直线x-my+3=0
r=2
d 6 m2 1
比 相交
d<r
较
d 相切
d=r
与
相离
d>r
r
6 2,得m 2 2或m 2 2 m2 1
6 2,得m 2 2 m2 1
6 2,得 2 2 m 2 2 m2 1
直线与圆的位置关系ppt课件
x 2 y 2 Dx Ey F 0
( D 2 +E 2 4 F 0)
代数方法
几何
图形性质究过程，如何通过代数方法，
研究直线与圆的位置关系？
联立两直线方程
两直线的位置关系
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
联立直线与圆方程
方程组解的情况
求直线被圆截得的弦长.
(法1) 圆心为C (1, 2), 半径为r 2,
圆心C到直线l的距离d
| 2 2+2 |
2 5 2 8 5
2 2 5
2
弦长为2 (2) (
)
.
=
2
5
5
5
5
22 12
x2 y 2 2x 4 y 1 0
(法2)解 : 联立
2.5.1直线与圆的位置关系
春
来
江
水
绿
如
蓝
日
出
江
花
红
胜
火
问题1：把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，
体现了直线和圆的哪些位置关系？
相交
相切
相离
探究交流
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
地平线
直线与圆相切
直线与圆相交
1.通过直线与圆的公共点个数判断
直线与圆有两个公共点
2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离；
弦心距
A
O
l
C
O
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
4.求弦长：
①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标
直线和圆的位置关系-PPT课件
l 这时的直线叫切线，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
直线和圆的位置关系PPT免费课件
例2 设直线 m x y 2 0 和圆 x 2 y 2 1 相切，
求实数m的值。 解法一：已知圆的圆心为O( 0, 0), 半径r =1, 则O到已知直线的距离
y
d
m 0 (1) 0 2 m (1)
2 2
2 m 1
2
(0,2)
由已知得 d=r , 即 解得 m= 3
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 直线 l 的距离
5，点C （0，1）到
d
| 3 0 1 6 | 32 12
5 5 5r 10 2
所以，直线 l 与圆相交．
分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断（代数法） 解法二：
3x y 6 0 ① 建立方程组 2 2 x y 2y 4 0
2)
1)
l
●
直线l与O1相离 直线l与 O2相交
相切
O
.
●
4)
相交
直线与圆的位置关系量化
• 如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么 关系?
r r
●
●
O ┐d
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离
d < r; d = r; d > r;
2
（四）课后作业布置
谢谢观赏 再见！
相交
相切
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆 公共点的个数) 2.用图形表示如下:
有两个公共点
有一个公共点
没有公共点
.
交 点
.o
.
l
《直线与圆的位置关系》PPT
（2）
（3）
l
·O
·O
l
·O
l
相离 （4）
相交
相切
·O
相交
l
思考讨论
O
l
相交
O
Al
相切
O
l
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
温馨提示
过直线外一点作这条直线的垂线段, 垂线段的长度叫点到直线 的距离.
.A
D
l
二、直线与圆的位置关系量化
直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.
一、直线与圆的位置关系（公共点的个数）
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆
公共点的个数) 2.用图形表示如下:
有两个公共点
有一个公共点
没有公共点
.o
l
相交
.o
.
.o
l
l
相切
相离
交 点
割 线
切 点
切 线
请你判断
看图判断直线l与⊙O的位置关系.
（1）
O 30°
2.5
MC= 1 OM= 1 x5=2.5
2
2
5M
B
即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
(1) 当 r = 2 cm 时，有 d > r, 因此⊙M 和 直线OA 相离. (2) 当 r = 4 cm 时，有 d < r, 因此⊙M 和直线O A 相交.
(3) 当 r = 2.5cm 时，有 d = r ，因此⊙M 和直线 OA 相切.
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F
想一想：圆的外切四边形的两组对边有什么关系？ 说明你的结论的正确性.
D
N
P
C
O
L
A
M B
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
内切圆和内心的定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别 相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm， CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x(cm),则AE=x(cm)
１、切线和圆只有一个公共点。
２、切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
切线的性质３、４、５可归纳为：已知直 线满足a、过圆心，b、过切点，c、垂直于 切线中任意两个，便得到第三个结论。
1、已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， AB⊥BC,以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切,梯形的上底 AD与底 BC 是方程 x 2－10x + 16 = 0的两根，求 ⊙E 的半径 r.
H
5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测 量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小 红家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么 办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平 放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面 量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用 图乙,说明她这样做的道理.
2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半 径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。 即：若直线与圆的一个公共点已指明，则 连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这 点的半径；若直线与圆的公共点未指明， 则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条 线段的长等于圆的半径．
思考
1 1. Rt△ABC中,∠C=90°a=3,b=4,则内切圆的半径是____.
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
数量法（d=r）： 和圆心距离等于半径 的直线是圆的切线。
F
2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O 的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD, 试判断△是⊙O的直径,点D在AB的 延长线 上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300. 求证:DC是⊙O的切线.
A
.
O
C B D
方法引导 当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相 切时,可先连结圆心与公共点,再证明连线垂直 于直线 ,这是证明切线的一种方法.
1、定义法：和圆有且只有一个公共点 的直线是圆的切线。
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径 22cm 为1cm,则此三角形的周长是_______.
4.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添 加的条件(只需写出三种情况) ∠ BAC+∠CAE=90° ② ∠ CAE=∠B ③_________. AB⊥FE ① ________________ __________ (2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B. 求证:EF是⊙O的切线.
∴CD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x 由 BD+CD=BC可得 (13-x)+(9-x)=14 解得 x=4 ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
练习 P106. 1. 2
记忆:
设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，面积为 S， s 1 则内切圆半径（ 1 ）r ，其中p （a b c）； p 2 1 （2）C 90，则r （a b c） 2
热身练习
1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与 ⊙O没有公共点，则d为（A ）：
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3
D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和 ⊙O的位置 关系是（ ）： C
A．相离
B.相交
C.相切
D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个点√ .( ) 4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73 的圆 与直线BC的位置关系是 相离 ,以A为圆心, 半 径的圆与直线BC相切.