1.3.1导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用教案
1.3导数在研究函数中的应用教案一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2ln x；(4)f(x)＝3tx－x3单调递减区间是(－3,2)．(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)>0，即2·3x2－1x>0，解得－33<x<0或x>33.又∵x>0，∴x>33.令f′(x)<0，即2·3x2－1x<0，解得x<－33或0<x<33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．(4)f′(x)＝3t－3x2.令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，∴当t≤0时，无解；当t>0时，函数的单调递增区间是[－t，t]．令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确． 3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2. 故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结（1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时，增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯． 六、作业。
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思
用导 数研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 不超 过 三 次 的 多
项式 函数 的单 调 区间． （ ２ ） 通 过 实例 ， 借 助 几 何 直 观探 索并 了解 函 数 的单调 性与 导数 的关 系 ； 通 过初 等 方 法 与 导数 方法 在研究 函数 性 质 过程 中 的 比较 ， 体 会 导数 在 研究 函数性 质 中的一般 性 和有效 性．
若 在 区间 Ｄ上 ｆ （ ｚ） ＜０ ， 则－ 厂 （ ） 在 区间 Ｄ
一
０
—
上 是减 函数．
．
ｒ ｜一
／
１
师： 很好， 你 能 用 函 数单 调 性 的 定 义 给 出证
明吗 ？
图 ２
图 １
老 师先 让 学生 在 草稿 纸 上试 证 ， 然 后 在学 生
的关 系．
对 于 函数 ， （ ｚ） ＝ ＝ ＝ ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ， Ｖ ｚ∈ （ ０ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） ，
， （ ｚ）一 一 ＜ ０ ・
３ 教 学过 程
３ ． １ 问 题 导 入
问题 １ 作 出下 列 函数 的图象 ：
（ １ ） ｆ （ ｘ） 一ｚ 。 ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） 一ｌ ｏ ｇ ￣ Ｘ ．
生： 图 １中的切线 斜率 为正 ， 图 ２中的切线斜
率为 负． 师： 回顾 导数 的几何 意义 ， 说 明了什 么？
生： 函数 ， （ ） 一ｚ 在 区 间（ 一。 。 ， ＋。 。 ） 上 的 导数 为正 ； 函数 ｆ （ ｘ） －ｌ ｏ ｇ ￣ ｚ在 区间 （ ０ ， ＋ｃ × 。 ） 上
１
（ １ ） ｆ（ ｘ）一ｚ＋ ； （ ２ ） ｆ（ ｘ）一 － ｚ 。 ｅ ．
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它是有关函数特性的一种数学工具。
本文将介绍这一概念在研究函数单调性中的应用。
首先，我们需要了解什么是函数单调性。
函数单调性是指函数在给定的区间内是严格单调递增或者严格单调递减的性质。
因此，这一性质被广泛用于数学上的研究以及实际应用中。
而对于如何判断函数的单调性，导数就起着重要的作用。
一般来说，函数在一个给定区间内，若函数在此区间内的导数恒大于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递增的；反之，若函数在此区间内的导数恒小于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递减的。
此外，当函数在给定区间内的导数恒等于零时，则可以断定该函数在此区间内的单调性不确定。
除此之外，导数还可以作为函数的一种视角，来分析函数的极值问题。
实际上，当函数的导数恒等于零时，就有可能函数拥有极值点；当函数的导数在给定区间内都大于零，则可以断定该函数在此区间内无极值；反之，若函数的导数在给定区间内小于零，则该函数在此区间内有且只有一个极值点。
另外，导数也可以用来衡量函数的变化，包括函数的变化率、函数的变化速度等。
例如，若函数的导数等于零，则函数没有变化，也就是函数没有变化率；若函数的导数大于零，则函数在此区间内是增长函数，函数增长越快，导数越大，即函数变化率越大；反之，若函数的导数小于零，则函数在此区间内是减少函数，函数减小越快，导
数越小，即函数变化率越小。
总之，导数作为函数单调性研究的重要工具，可以帮助我们分析函数性质，衡量函数的变化。
因此，正确理解和掌握导数知识，对分析函数研究以及应用具有重要意义。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
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1.函数单调性的定义：
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， f ( x ) 在G 上是增函数； 则
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， f ( x ) 在G 上是减函数； 则
3.求函数单调区间的步骤：
(1)求定义域； （2）求导数 f ( x ); (3)解不等式 f ( x ) 0或 f ( x ) 0;
' ' '
( 4)结合定义域写出单调区 间。
如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个， 这些单调区间要用“，”、“和”字连接， 而不能用“ ”、“或”连接。
注： (1)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。单调区间是定义域的子集。 (2)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
2.函数单调性与其导数的关系：
在某个区间 a , b 内，对于函数 y f ( x )来说， 若 f ' ( x ) 0, 则函数在这个区间内单 调递增；
若f ( x ) 0, 则函数在这个区间内单 调递减；
'
若 f ' ( x ) 0, 则函数在这个区间内为 常数函数。
注：
(1)若函数f(x)在(a,b)内可导，则f在(a,b)内递增（递减） 的充要条件是f’(x) ≥ 0(f’(x) ≤ 0),x∈ (a,b) (2) f’(x) > 0是f(x)在(a,b)内递增的充分不必要条件； f’(x) < 0是f(x)在(a,b)内递减的充分不必要条件
eg1 已知导函数 f (x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ( x) 0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f ( x) 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ( x) 0. 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
y
y f (x)
0
1
' '
1 17 2
或x
1 17 2
;
1 17 1 17 令 f ( x ) 0解得， x ; 2 2 1 17 1 17 , 函数的递增区间是 , , ; 2 2 1 17 1 17 递减区间是 , 2 2
eg3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(C) (B) (A) (D)
h
h
h t (B)
h
O
(A)tOOt (C)O
t (D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y f (x) 在 (0, b) 或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在 ,) (b 或 , a) ( 内的图象“平 缓”.
4
x
eg2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 3x;
3
(2) f ( x) x 2 x 3;
2
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2 x 3x 24 x 1.
3 2
( 4 )解：由题意得， f ' ( x ) 6 x 2 6 x 24 6 ( x 2 x 4 ) 令 f ( x ) 0解得， x