19选修1-1利用导数研究函数的极值和最值(教案教学设计导学案)

A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
1．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是()
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()
A．1，－3B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
3．设函数f(x)＝xex，则()
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
1．已知函数f(x)＝ ＋2lnx，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求导函数f′(x)及实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．
(2)f(x)＝ －2.
【例2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a，b，c的值．
【例3】a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？
【例4】求函数f(x)＝ x3－4x＋4在[0,3]上的极值及最大值与最小值．
解方程＝0，当＝0时，
（1）如果在x0附近的左侧>0，右侧<0，那么f(x0)是极大值．
（2）如果在x0附近的左侧<0，右侧>0，那么f(x0)是极小值．
知识点三函数的最值
思考1如图，观察区间[a，b]上函数f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
【解析】f(x1)、f(x3)、f(x5)是极小值，f(x2)，f(x4)是极大值．
思考2在上图中，你能找出f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值吗3)，最大值是f(b)．
归纳总结：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或__区间端点__取得．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是a≥f(x)max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤f(x)min.
【典例1】若a≠0，试求函数f(x)＝－ ax3－x2＋a2x2＋2ax的单调区间与极值．
[变式1]设函数f(x)＝－ x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0，求函数的单调区间与极值．
5．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
知识点一．函数极值的概念函数y＝f(x)的图象如图所示．
思考1函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
【解析】函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小．
思考2为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
【解析】＝0，在点x＝a附近的左侧<0，右侧>0．
思考3函数在x＝b点处的情况呢？
【解析】函数在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，＝0，且在点x＝b附近的左侧>0，右侧<0．
归纳总结：
（1）极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，＝0；而且在点x＝a附近的左侧<0，右侧>0．则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
【例5】若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．
【例6】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．
1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是()
知识点五求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤:
（1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
（2）将函数y＝f(x)的各极值与__端点处___的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是___最大值___，最小的一个是___最小值__．
【典例剖析】
【例1】求下列函数的极值：
(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；
知识点二已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
知识点三有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．
D．既无最大值，也无最小值
7．函数y＝x－sinx，x∈ 的最大值是()
A．π－1B. －1
C．πD．π＋1
8．函数y＝ 在[0,2]上的最大值为________．
9．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为 ，则a＝________.
10．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.
5．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝sinx＋ x，x∈(0,2π)．
6．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
[典例2]已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
[变式2]已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对x>0，方程f(x)＝－2c2有解，求c的取值范围．
教学过程
教师活动
学生活动
1.已知函数f(x)＝x3＋x－16，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
3.已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0，求a的取值范围．
A．2 B．3
C. D．2 ＋
12．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为()
A．3 B．1
C．2 D．－1
13．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
（2）极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，＝0；而且在点x＝b附近的左侧>0，右侧<0．则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
知识点二求函数y＝f(x)极值的方法
[问题1]求下列函数的极值：
(1)f(x)＝ x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝ .
[问题2]已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．
[问题3]已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
3．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜ 对任意x＞0恒成立．
4．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cosx－1；④y＝2x
A．①②B．②③
C．③④D．①③
2．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()
A．1B．2 C．3D．4
3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．
知识点四“最值”与“极值”的区别和联系
（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．