高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）
【学情分析】：
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：
（1）理解极大值、极小值的概念.
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
【教学重点】：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
【教学难点】：
极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤
教学
环节
教学活动设计意图
创设情景
观察图3.3-8，我们发现，t a
=时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()
h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t a
=附近函数()
h t的图像，如图3.3-9．可以看出()
h a
'；在t a
=，当t a
<时，函数()
h t单调递增，()0
h t'>；当t a
>时，函数()
h t单调递减，()0
h t'<；这就说明，在t a
=附近，函数值先增（t a
<，()0
h t'>）后减（t a
>，()0
h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()
h t'先正后负，且()
h t'连续变化，于是有()0
h a
'=．
对于一般的函数()
y f x
=，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
利用教材
在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，
并描述在x=1点及其附近导数的正负：
f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0
f=；
y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0
f x<；
y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0
f x>；
提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？
不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值
②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，
并描述在x=4点及其附近导数的正负：
学生模仿完成
考虑到极值
与最值容易
混淆，学生对
已有知识的
同化易接受，
我们以§
3.3.1中的例
1引出极值的
概念，具体直
观，同时对极
值与最值区
分是一目了
然的。

概念抽象y=f(x)在定义域上可导，
①若'()0
f a=，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足'()0
f x<；在x=a附近的右侧
满足'()0
f x>，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
②若'()0
f b=，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足'()0
f x>；在x=b附近的右侧
满足'()0
f x<，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值
由具体函数
图像抽象上
升到一般极
值概念
函数极值概念强化练习概念判断练习：
（１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值
（２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的
（３）函数某区间上的极大值一定大于极小值
（４）函数的极值点，导数一定为零
（５）导数为零的点一定是函数的极值点
答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错
深化学生对
函数极值的
概念，以及函
数取极值与
'()0
f a=的
逻辑关系
极值概念理解的总结提高（ⅰ）极值是一个局部概念。

由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小
值，如下图所示，
1
x是极大值点，
4
x是极小值点，而)
(
4
x
f>)
(
1
x
f，如下图
课后练习
1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 必要非充分条件
答案 D 对于3'2'
(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立
2、函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27-
B 极大值5，极小值11-
C 极大值5，无极小值
D 极小值27-，无极大值
答案C '2
3690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'
0y <
当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值
3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即
'''()0()0()0f x f x f x <→=→>
4、函数3
2
()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3
C. 4
D. 5
答案：
5、若函数()()2
f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
答案6 '
2
2
'
2
()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值
6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4
x π
=处取得极值，则m=__________ 答案
7、已知函数2
3
bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （１） 求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值
解：（1）'2
32,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，
即320
,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨
+=⎩
（2）3
2
'
2
69,1818y x x y x x =-+=-+，令'
0y =，得0,1x x ==或
0|0x y y =∴==极小值。