而树干的主要部分就是微积分 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就
微积分的发展史
聊城大学本科生毕业论文题目：微积分的发展史专业代码： 070101作者姓名：学号：单位：指导教师：年月日目录前言 01.古代东西方微积分思想的萌芽 02.微积分的产生 (1)2.1微积分的诞生 (1)2.2柯西与魏尔斯特拉斯的贡献 (2)3.微积分的意义 (4)4.东西方微积分发展差异分析 (4)结论 (5)参考文献 (7)致谢 (8)摘要微积分作为数学的一个重要分支,是许多学科的重要工具.那么它是如何产生的,对于微积分的发展史我们从中能发现什么规律和启示呢？通过研究微积分的历史可以有助于我们的科研与生产,对于理解微积分也有很大的帮助.关键词:微积分；发展史；启示；意义AbstractCalculus as an important branch of mathematics, is an important tool in manydisciplines. So how it is produced, the development history of calculus from which we can find out what rules and Enlightenment Through the study of calculus of history can contribute to the scientific research and production of our calculus, for the understanding is also a great help.Key words:Calculus; development history; inspiration; law微积分的发展史前言微积分学是微分学与积分学的总称,微积分作为现代数学的一个分支,它的触角几乎遍布当今科学的各个角落,更是当今科学的重要基石.微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.微积分的发展同时推动了天文学和物理学前进的步伐,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学.不仅如此,微积分在数学这一学科中同时又贯穿了多个分支体系,如极限、微分学、积分学、以及导数等.1.古代东西方微积分思想的萌芽微积分作为一门学科是在十七世纪产生的,标志是牛顿——莱布尼兹公式.然而正如牛顿所说：“如果说我比别人看的更远些,那是因为我站在了巨人的肩上”.作为一门学科,它的产生绝不是偶然,那是无数先人的努力与支持.公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决“抛物弓形的面积,球和球冠面积,螺旋下面积和旋转双曲体的体积”的问题中,就隐含着近代积分学的思想.再比如古希腊数学家安提丰的“穷竭法”,前四世纪由欧多克斯作了补充和完善,它们用来求平面的面积和立体的体积.而在东方,在中国,前四世纪的春秋战国时代者惠施称：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,引出收敛的数列2111,......222n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在这里安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞.至公元三世纪,三国魏人刘徽作《九章算术》注,提出“割圆术”——割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.他的数学表述是以圆的内接正()()6211,2...n n ⨯-=边形的面积n A 近似单位圆的面积()n A ππ≈,算的629174⨯=边形,得 3.14π≈,又进一步通过6×29＝174边形,得到一个相当于3.14159的分数,即n 愈大,n A π-愈小;,0n n A π→∞-→.剩余面积可以被竭尽.在中国古代此方法用来求圆周率,在刘徽极限思想的影响下,后来者祖冲之进一步求得更精确的圆周率.南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解,比西方早500多年.北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究.在此可见在古代的东西方微积分的极限思想已普遍产生,并已经能够解决实际问题,并且在我国的一些文学或哲学文献中也有极限的思想.思想家荀子“尽小者大,积微者著”,“不积跬步,无以至千里；不积小流,无以成江海”.沈括在《梦溪笔谈》中也提到了“造微之术”当时沈括已经知道分割的单元愈小,所求得的体积,面积俞精确.尽管中国在古代已有微积分思想的萌芽,但微积分最终还是诞生在了西方.2.微积分的产生在十七世纪,随着人们思想的不断解放,科学研究的不断深入,不少科学问题都以解决,但同样还有新的问题出现,这些问题主要涉及物理学、天文学、军事等,总结起来就是求曲线围成的面积、体积.以及曲线上任意一点的斜率.解决这些迫切需要解决的问题,需要经过长时间的研究、讨论、酝酿,有关知识渐渐积累起来,一些最活跃的人理应称为微积分的先驱.2.1微积分的诞生在微积分被发现之前,求面积只能求规则图形的面积,一些在解析几何中出现的不规则的图形的面积,由于没有公式而无从下手.在十七世纪求不规则面积、体积、曲线长,始于开普勒.他怀疑酒商的酒桶体积,认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和,卡瓦列里求积提出不可分量法,认为面积是无数个等距平行线段构成的.线是由点构成的,就像链由珠子穿成一样；面是由直线构成,就像布是由线织成一样；立体是由平面构成,就像书是由页组成一样.卡瓦列里的理论来自“穷竭法”,而费马的方法更接近现代的积分,他用小矩形面积近似小曲边形的面积,最后用相当于和式极限的方法,得到正确的结果,求得一个幂函数曲线下的曲变形的面积.此后还有华里斯、罗贝瓦儿、这些人都已来到微积分的大门口.微积分的研究源于运动学,即对切线极值、运动速度的研究.对于切线,有笛卡尔的早期研究,开普勒用列表法确定了最大体积,他注意到体积接近最大值时,由尺寸的变化引起体积的变化越来越小,这正是()'0f x =的原始形式,当时人们已认识到y x∆∆的重要性. 最后的冲刺来自牛顿与莱布尼兹.牛顿总结了先辈思想和方法,1664-1666年提出流数理论,建立了一套导数方法,他称之为“流数术”,牛顿称连续变化的量为流动的量或流量（fluent ）,用英文字母,,,v x y z 等表示,x 的无限小的增量x ∆为x 的瞬,即无限小时间间隔为瞬,用小写字母o 表示.流量的速度,即流量在无限小的时间间隔内的变化率,称为流数（fluxion of flutnt),用带点的字母表示.牛顿的“流数术”就是以流量和瞬为基本概念的微积分,牛顿用有限差分的最初比和最终比来描述“流数术”,如函数()n y x n =为正整数,流量x 从x 流到x o +,函数值的增量()n n x o x +-,瞬o 与增量之比（最初比）,当o 消失时,最后比即1:(1)n nx -,相当于1n y nx x∆=-∆.牛顿不仅仅引入导数,还明确了导数是增量比极限的思想,在1669年写的《运用无限多项方程的分析学》不仅给出求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,还证明了“面积可以由变化率的逆过程得到”即“如果[],o x 区间上曲线是1y ma xm =⨯-则它下面的曲边形面积为Z a xm =⨯或dy y dx=,这一结论称为牛顿-莱布尼兹定理,此外牛顿还引入分部积分法、变量代换法、方程求根切线法,曲线弧长计算方法.牛顿足迹几乎遍布每一个数学分支.莱布尼兹在同期也做出同样的贡献,因此微积分的根本定理是由牛顿与莱布尼兹共同命名.他们的贡献在于将微分、积分的知识联系起来,发现了更具有本质、更有普遍意义的内涵,给出了纯洁的概念,特别是建立了变化的概念,创立了有普遍意义的微积分方法等.初创的微积分尚有不少问题,其数学基础的建立有待后世数学家给其注入严密性.2.2柯西与魏尔斯特拉斯的贡献 微积分学创立以后,由于运算的完整性和应用的广泛性,使微积分学成为了研究自然科学的有力工具.但微积分学中的许多概念都没有精确严密的定义,特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确,在运算中时而为零,时而非零,出现了逻辑上的困境.多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分,相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力.从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动.微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试,到19世纪初已开始显现成效.对分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西.柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念,并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系.这是微积分发展史上的精华,也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献.与此同时,柯西还在此基础上创建了复变函数的微积分理论.柯西对定积分作了最系统的开创性工作,他把定积分定义为和的“极限”.在定积分运算之前,强调必须确立积分的存在性.他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理.柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的《分析教程》(1821)、《无穷小计算教程》(1823)以及《微分计算教程》(1829),它们以分析的严格化为目标,对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义,在此基础上,柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定义了级数的收敛性,研究了级数收敛的条件等,他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式.柯西的工作在一定程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱,向分析的全面严格化迈出了关键的一步.另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯.魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人,在中学教书的同时,他以惊人的毅力进行数学研究.魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义,这就是今天极限论中的“ε-δ”方法.魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念,特别地,他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱.另外,魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源,要使分析严格化,就首先要使实数系本身严格化.而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）.因此,分析的所有概念便可由整数导出.这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领.基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献,在数学史上,他获得了“现代分析之父”的称号.通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作,数学分析的基本概念得到严格的论述.从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面,把微积分及其推广从对几何概念,运动和直观了解的完全依赖中解放出来,并使微积分发展成为现代数学最基础最庞大的数学学科.3.微积分的意义众所周知,由古希腊继承下来的数学是常量的数学,是静态的数学.自从有了解析几何和微积分,就开辟了变量数学的时代,是动态的数学.数学开始描述变化、描述运动,改变了整个数学世界的面貌.数学也由几何的时代而进人分析的时代.微积分给数学注入了旺盛的生命力,使数学获得了极大的发展,取得了空前的繁荣.如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立,以及复变函数,微分几何的产生.严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义.微积分的建立是人类理性思维的结晶.他给出一整套科学的方法,开创了科学的新纪元,并因此加强了数学与其他学科的联系,加深了数学的应用.它极大的推动力天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展,并在这些学科中有越来越广泛的应用.特别是在物理学方面,有了微积分人们才能把握运动过程,万有引力被发现并导出了开普勒行星运动三定律,卫星、宇宙飞船、航天飞机不在是梦.与我们联系密切的现代工程技术,直接影响到人们的物质生产,而工程技术的基础是数学,都离不开微积分.如今微积分不但成了自然科学和工程技术的基础,而且还渗透到人们广泛的经济、金融活动中,也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其广泛的应用.一场空前巨大的,席卷近代世界的科学运动开始了,毫无疑问,微积分的发展是世界近代科学的开端.4.东西方微积分发展差异分析在13世纪40年代到14世纪初,各主要（数学）领域都达到了中国古代数学的高峰,出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有着微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键.中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门.可惜中国元朝以后,八股取士制度造成了学术上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学水平日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了.为什么微积分会产生在西方,而不是中国.东西方（东方特指中国）微积分的思想几乎同时产生,并且中国古代的数学成就也是相当辉煌.在东西方极限思想一般是用来计算平面面积和立体的体积,如上文中刘徽求圆的面积,欧多克斯用“穷竭法”求面积与体积等,这与古代的分田,交税等活动是分不开的,而在近代的西方,文艺复兴、启蒙运动极大地解放了人们的思想,随之而来的资产阶级革命更使西方在底层发生了改变,生产力大发展,人们对知识的渴望从未如此强烈,一批批各领域的大师纷纷登上历史的舞台,推动者科学的发展,当时间来到牛顿等人之时,微积分的大门被打开了.反观中国,小农经济,所谓男耕女织,一直都是不变的信条,国内没有发展自然科学的土壤,明朝更是大兴文字狱,人们的思想进一步被禁锢.在这里说明一下,中国的科技,大多是技术,比如：医学、农学、水利工程等.这与近代西方的科学有着本质的不同,近代西方科学是建立在近代科学方法论的基础之上,是通过实验、数学模型和数学推导演绎来研究的,是科学的,严谨的,中国则更像是经验的积累,这也是微积分没有产生在中国的原因.当然中国古代由几何问题引起极限,微积分等观念思想萌芽的出现,所用方法本质上是静态的,只有牛顿、莱布尼兹在他们先驱者所做工作的基础上才发展成动态分析的方法.结论微积分的发明不是一蹴而就的,而是人类集体智慧的结晶,是无数科学家长期奋斗的结果.数学来源于实践,没有当时大量实际问题的涌现,没有科学家深入实际,将大量实际问题转化为数学问题的研究,是不可能产生微积分理论的.东西方微积分发展差异在于：早期东西方都产生了微积分的极限思想，他们都用来解决一些实际问题，比如：求圆的面积、分田等，不同的是西方在后来有了更科学的研究体系，现有的数学知识不能解决当时的问题，如：牛顿求物体的位移。
微积分在普通物理学中的应用
微积分在普通物理学中的应用1引言从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分．微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握．微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的．微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用．2导数在力学中的应用导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)．例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？解 由题意得cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，P 表示重力cos sin PF μαμα=+由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+令U α'=sin cos 0αμα-+=tan αμ=,(0.25)arctan arctan αμ==.故当0.25arctan α=时,可使力F 最小．例2 有一支杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体,加力于杠杆另一端使杠杆保持水平，如果杠杆每m 的质量为5kg ,求最省力的杆长.解 设杆长为x ,则杆重5x ,由力矩平衡得 490.152x xF x =⨯+⨯即 4.952F x x =+ (0x >) 两边同时对ｘ求导得24.952F x '=-+ F '0=得唯一的驻点1.4()x m == 由于F 只有最小值，所以由实际意义知,杠杆长为1.4()m 时最省力．通过上面两个例子，读者可以看到，导数的性质及意义在力学中有重要应用，尤其在求一些极值问题上应用性极强，不过导数只是微积分的基础，下面我们再通过具体例子说明微分在物理学中的应用．3 微分在运动学中的应用微分在求一些变化率方面作用很大,最简单像位移微分是速度,速度微分是加速度,下面我再举两个求速度例子,说明微分的应用.例1 落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波半径的增大率总是6/m s ，问在２秒末扰动水面面积的增大率是多少？分析 由于在这里面积的增大不与半径平方的增大成正比，所以中学方法根本解不出来，用微积分就简单多了，试看下面解法：解 设波半径为()r m ，时间为()t s ，则波动面积2S x π= ，从而 2dS drr dt dtπ= 当2()t s =时，由6r t =得6212()r m =⨯=，因为6(/)drm s dt=所以 22126144(/)dSm s dtππ=⨯⨯= 即在２秒末扰动水面面积的增大率是2144(/)m s π ．例2 注入水深为8m 且上顶直径为8m 的正圆锥形容器中，其速率为34/min m ．当水深为5m 时，其表面上升的速率是多少？分析 这道题与上题一样，水表面上升速率不与水注入的速度成比例，所以是动态问题，需要用微积分知识来解，请看解法： 解 设水面高为()h t 米此时，水面圆的半径为r 米，上顶半径4R =， 由相似三角形比例性质得：48r h=， 得 12r h =所以 231()312V t r h h ππ== 两边同时对t 求导得'2231124t dh dhV h hdt dtππ==， (1) 即 24dV dh dt dt h π=， 由题设可得：'34(/min)t V m =，5h m =，代入(1)式得16(/min)25dh m dt π= 所以，当水深为5m 时，其表面上升的速率是16(/min)25m π． 除了导数和微分，积分更是物理学研究者需要掌握的，尤其是在求变力的功时只有用积分知识，在这里我通过三个例题具体来展示积分在解变力做功问题时的应用．4 积分在变力做功问题中的应用从物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且力的方向与物体运动方向一致，那么，在物体移动了距离s 时间，力F 对物体所作的功为W F s =⋅如果物体在运动过程中所受的力是变化的，这就是变力对物体作功的问题．而 积分是与求变力做功紧密联系在一起的,下面请大家看几个这方面的例子例1 直径为20 cm ，高为80cm 的圆柱体内充满压强为10N/2cm 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需做多少功？解 由玻意耳——马略特定律，温度不变时,变化前后压强和体积的乘积不变, 而 210(1080)80000k pv ππ==⋅⋅=当底面积不变而高减少()x cm 时，设压强为2()(/)p x N cm ,则有 2()10(80)80000p x x ππ⋅⋅-=所以 800()80p x x=- 功微元 210()dW p x dx π=⋅ 所以功 4040240800108108080dx W dx dx xx ππ==⨯--⎰⎰=440810ln(80)800ln 2()0x J ππ-⨯-=例 2 一物体按规律3x ct =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服媒质阻力所做的功．解 媒质阻力2F kv =-（0k >,k 为阻力系数，阻力与运动方向相反），而'23t v x ct ==，所以249F kc t =-而13()x t c=，代入得2433()9F x kc x =-⋅，243300()9aaW F x dx kcx dx =-=⎰⎰272733333279077a kc x k c a =⋅=⋅⋅．例3 用铁锤将铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm .如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问锤击第二次时,铁钉又击入多少?解 设第二次又击入hcm （h 为待定系数),由于木板对铁钉的阻力F ky = 其中,k 为阻力系数, y 轴正向与打击方向相同) ,故功微元dW Fdy kydy == 击第一次时,铁锤所做的功121011022k W kydy y k ===⎰ 击第二次时,铁锤所做的功1221(1)12hk W kydy h +⎡⎤==+-⎣⎦⎰21(2)2k h h =+ 由于1W = 2W ，所以21(2)2k h h +=12k ，2210h h +-=解之得11h =-=()cm ．以上三个求变力做功问题为力学中的问题,事实上,在电磁学中也常用积分知识求变力所做的功,下面我们举一例．例4 把一个带电量0q +的点电荷放在r 轴上坐标原点Ｏ处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果另一个点电荷q +放在这个电场中距离原点o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为02kq qF k =（k 是常数） 当这个点电荷q +在电场中从r a =处沿r 轴移动到()r b a b =<处时，计算电场力F 对它所作的功．解 在移动过程中，电场对这点电荷q +的作用力是变的．取r 为积分变量，它的变化区间为[],a b ．设[],r r dr +为[],a b 上的任一小区间．当点电荷q +从r 移动到r dr +时，电场力对它所做的功近似于02kq q dr r ，即功微元为02kq qdW dr r=． 在闭区间[],a b 上作定积分，便得所求的功为0002111[]bb a akq q W dr kq q kq q r r a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰如果将点电荷q +从该点处r a =移到无穷远处，电场力所作的功W 就是广义积分00002211lim lim b aa b b kq q kq q kq q W dr dr kq q r r a b a +∞→+∞→+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 例4为积分在电磁学中的应用．除此之外，微分和导数在电磁学中的应用也有很多，这里不再一一细述．以上一些例题表明了微积分在物理学中有很强的应用．因此,要想学好物理,必须学好微积分．综上所述,在普通物理学中，尤其是在力学和电磁学中时时刻刻都在利用微积分处理问题．因此，掌握微积分的使用方法，学会用微积分的思维来解决力学和电磁学中的问题是十分必要的，希望这些工作能起到抛砖引玉的作用，引起同仁的共鸣，好能共同为微积分在各学科中的推广做出贡献．。
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新疆财经大学本科毕业论文题目 : 微分和积分在不等式中的应用学号： 2005101412 学生姓名：阿卜杜瓦哈普·阿卜杜热西提院部：应用数学学院专业：应用数学年级：数学06-2班指导教师姓名职称：阿孜古丽·伊克木（讲师）完成日期：年月日摘要微积分和不等式都是数学中极为重要的内容,本文在回顾了几种常用的证明不等式的初等方法后,利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最)值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探讨不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用．微积分是数学中的重要组成部分,是研究函数的性质，证明不等式,探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具．微积分的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙.微积分在实际生活中的应用非常广泛，在不等式证明中也发挥着巨大的作用。
不等式的证明方法很多，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决许多不等式证明问题的关键．本篇论文归纳和总结了一些证明不等式的方法与技巧，利用微积分证明不等式的基本思想和基本方法，提出了运用这些方法和技巧能够使不等式的求解过程更为简单的思路．．关键词：微积分；不等式;微分中值定理；泰勒公式;函数的单调性；极（最)值的判定法;目录前言 (1)第一章微积分 (2)§1微积分的发展 (2)§2微积分的概念 (3)第二章不等式 (7)§1不等式的定义和性质 (7)§2常用的证明不等式的方法 (8)第三章微积分在不等式中的应用 (12)§1利用微分证明不等式 (12)§2利用积分证明不等式 (19)结论 (23)参考文献 (24)致谢 (25)前言在高等数学中常常要证明一些不等式.而不等式的证明方法很多，在以往多采用代数或几何方法,现在可借助于微积分的知识，这是普遍应用的一种方法。
17世纪自然科学的三大发明
为了纪念开普勒对会星运动规 律的重大贡献，后人将这三个行星 运动定律命名为开普勒三定律。 开普勒三定律首次定量地提示 了行星运动速度变化和轨道的关系， 而运动速度变化又直接和作用力相 联系。
三、细胞学说
在1838－1839年，施莱登和施旺分 别发表了植物细胞和动物细胞基本认识的 专著。他们两人取得完全一致的看法，创 立了细胞学说，即一切植物和动物都是由 细胞构成的，细胞是生命的结构和功能的 基本单位。 细胞学说一经确立，马上显示出其生 命力，大大促进了生物学的发展，十几年 里迅速被推广，并日臻完善。细胞学说的 提出对生物科学的发展具有重大的意义。 细胞学说与达尔文的进化论和孟德尔的遗 传学被称为现代生物学的三大基石，而实 际上可以说细胞学说又是后两者的“基 石”。 细胞学说在哲学上也具有重要的意义， 它使千变万化的生物界通过具有细胞结构 这个共同的标准特征而统一起来。同时有 力地证明了生物彼此之间存在着亲缘关系， 为生物进化理论奠定了基础。
17世纪自然科学的三大发明
——————微积分 行星运动三定律 细胞学说
一、微积分
如果将整个数学 比作一棵大树，那么 初等数学是树的根， 名目繁多的数学分支 是树枝，而树干的主 要部分就是微积分。 微积分堪称是人 类智慧最伟大的成就 之一。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展， 以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数 学也开始研究变为一门学科。整个17世纪 有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究， 但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布 尼茨。
二、行星运动三定律
丹麦天文学者、布拉格天文台台长第谷，从 1576年起，二十年如一日和助手们进行了大量的 天文观测工作。他的观测结果比前人准确50倍， 几乎达到肉眼观测精度的极限，是望远镜发明以 前最卓著的天文观测。在第谷精确观测的基础上， 开普勒通过深入研究，终于在1609年必表了两星 运动定律。
微积分介绍
段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。
又如求面积问题，早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间
上与
轴和直线
所围成的面积
，他们就采用了穷竭法。
当分割的份数越来越多时，所求得的结果就越来越接近所求的面积的精确值。
但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。
当阿基米德的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。
穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。
牛顿-莱布尼茨公式[2]
（4）求最大值和最小值问题
炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。
一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。
十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是
时达到最大射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。
研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。
微积分在不等式中的应用论文
摘要微积分和不等式都是数学学科中极为重要的内容，其证明通常不太客易。
本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用徽积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。
用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数, 然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式.关键词微积分不等式中值定理函数性质泰勒公式定积分性质1AbstractCalculus mathematics and inequality are extremely important, the proof is not usually easily. This paper reviews several commonly used to prove inequality elementary methods, using the differential mean value theorem, monotone of function, extreme value ( maximum ) decision method, function, convex and concave nature of Taylor formula, the nature of definite integral and some knowledge of calculus of the inequality proof method, this paper discusses how clever use of emblem integral knowledge and the method to solve some of the problems of inequality.Using calculus to prove inequality is established, the basic idea is the construction of an auxiliary function, then make use of infinitesimal calculus to derive the properties of function to prove inequality.Key words calculus inequality theorem function Taylor formulaof definite integral character目录摘要 (I)1 Abstract (II)2 前言 (1)3 微积分 (2)2.1微积分的定义 (2)2.2微积分的发展历史 (3)2.3微积分学的创立的意义 (4)2.4微积分不断深化 (5)4 微积分在不等式中的应用 (6)5 利用微分中值定理证明不等式 (7)6 利用函数的单调性证明不等式 (8)7 利用函数的最值(极值)证明不等式 (9)8 利用函数的凹凸性质证明不等式 (10)9 利用泰勒公式证明不等式 (11)10 利用定积分的性质证明不等式 (12)结论 (13)参考文献 (16)附录 (17)致谢......................................................................................................... 错误！未定义书签。
微积分的发现是人类精神的最高胜利
微积分的发现是人类精神的最高胜利微积分早期的思想基础在25岁以前的伽利略就开始作了一系列实验，发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实，最基本的就是自由落体定律。
开普勒在1619年前后归纳为著名的行星运动三大定律。
这些成就对后来的绝大部份的数学分支都产生了巨大影响。
伽利略的发现导致了现代动力学的诞生，开普勒的发现则产生了现代天体力学。
他们在创立这些学科的过程中都感到需要一种新的数学工具，这就是研究运动与变化过程的微积分。
有趣的是，积分学的起源可追溯至古希腊时代，但直到17世纪微分学才出现重大突破。
积分思想的渊源求积问题就是求图形的面积、体积问题。
该问题的历史十分悠久，可以追溯到古代各个文明对一些简单图形进行的求面积和体积，比如求三角形、四边形、圆或球、圆柱、圆锥等等的面积或体积，以及17世纪欧洲人对圆面积、球体积、曲边三角形、曲边四边形等的面积的计算。
这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。
求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。
在积分思想发展的过程中，有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。
古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献。
16，17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期，其杰出的代表有意大利天文学家、力学家伽利略和德国天文学家、数学家、物理学家开普勒，卡瓦列里等。
他们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定了基础。
微分学思想的起源微分学主要来源于两个问题的研究，一个是作曲线切线的问题，一个是求函数最大、最小值的问题。
这两个问题在古希腊曾经考虑过，但古希腊对这两个问题的讨论远不及对面积、体积、弧长问题讨论得那么广泛和深入。
在这两个问题的研究上作出先驱工作的是费马。
费马在1629年给出了求函数极大、极小值的方法。
不过这个思想直至八、九年后才较多地为人所知。
开普勒已经观察到，一个函数的增量通常在函数的极大、极小值处变得无限地小。
一元微积分常见错误分析及典型题剖析
0, 求 ddy2x2的值.
( y ), 且
错误类型 由 dx = 1, 得 dy dy dx
d2x dy2
=
d dy
1 dy =
1=
dx
1 d dy
dy dx -
பைடு நூலகம்
1 d2y
=
dy dx d2 y
2
.
dx 2
dx2
dy 2
dx
分析 该求解 关于反 函数 的一 阶导 数计 算是 正确 的,
但要理解这个公式的意义,
问题 1 函数 f ( x ) 在 x0 处连续, 在 x 0 的某个邻 域内是 否也连续?
解
不一定. 例如, 函数 f (x) =
0, x 是有理数, x2, x 是无理数.
在 x = 0处连续, 因为 0/ |f ( 0 + ∀x ) - f ( 0) | / |∀x |2, 因此
lim [ f( 0+ ∀x ) - f ( 0) ] = 0.
仅当 A = 0时, | f( x ) |在点 a 可导. 综上所述, 当 f ( a) = 0而 f&( a ) ∃ 0时, 函数 | f ( x ) |在点 a 不可导, 除此以外, 函数 |f ( x ) |在点 a都可导.
例 2 设 F ( x )是 f ( x )的 一个 原函数, F ( 1) = 2 , 若 4
有着至关重要的 作用, 同时 对提 高学 习者的 综合 素质 及今 后的发展都有深远的影响. 要学好微 积分课程, 除了 加强基
本知识的学习外, 离不开习题训练, 因为微 积分的基 本原理 和基本方法必须在反复的演练 及总结中 才能逐步加 深理解
直至很好的掌握, 从 而进一 步提 高该 课程在 培养 思维 能力 方面的作用, 提高分析问题和解决问题的能力.
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牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，后来 迫于生活，牛顿停学在家务农，赡养家庭。但牛顿一有机会便 埋首书卷，以至经常忘了干活。
1660年，17岁的牛顿以减费生的身份进入剑桥大学三一学 院，靠为学院做杂务的收入支付学费，1665年4月毕业于该校 并获得学士学位，1668年获得硕士学位． 1669年他继承了巴 罗的职位． 牛顿的老师巴罗是个博学的科学家．巴罗比牛顿大12岁， 精于数学和光学，这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深邃的 观察力、敏锐的理解力，他对牛顿的才华极为赞赏，认为牛顿 的数学才能超过自己．于是将自己的数学知识，全部传授给牛 顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域． 牛顿在巴罗门下的这段时间，是他学习的关键时期．1664 年，牛顿被选为巴罗的助手，第二年，剑桥大学评议会通过了 授予牛顿学士学位的决定．
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开普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 开普勒1571年12月27日生于德国的魏尔，1630年11月15日 卒于雷根斯堡．他是德国天文学家、物理学家和数学家．行星 三大定律的发现者，近代光学的奠基人． 他自幼体弱多病，但智力超群．1587年进图宾根大学，次 年得学士学位，1591年获硕士学位，1594年到奥地利的格拉茨 任数学教师．1600年到布拉格的贝纳泰克的天文台任第谷的助 手．第二年第谷去世，开普勒受聘为皇家数学家． 1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆 而是椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向 径在相等的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用 于其他行星和月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出， 行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三 定律为日后牛顿发现万有引力定律奠定了基础． 开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自己写的 墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地． 灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一．
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四、戈特弗里德· 威廉· 莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646—1716)
莱布尼茨 1646 年6月21日生于德国莱比锡．15 岁进入莱比 锡大学攻读法律．获得哲学学士学位．1666年他完成了博 士论文《论组合艺术》，获得阿尔特道夫大学的博士学位， 并获得教授席位．莱布尼茨研究了巴罗的著作之后，意识到 微分和积分的互逆关系．他从1684年起发表微积分论 文．在1684年的《博学学报》上他发表了一篇题为《一种 求极大值与极小值和切线的新方法，它也适用于分式和无理 量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这是历史上最早 公开发表的关于微分学的文献． 莱布尼茨引入了一套设计得很好的，令人满意的，直到 今天还在使用的符号．
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费马(Fermat, P.1601—1665)
费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是个商人， 费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻读法律，毕业后当 了律师．从30岁起，他才开始迷恋上数学，直至逝世的34年里， 他的精神世界始终被数学牢牢地统治着．费马结交了不少数学高 手和哲学家，如梅森、罗伯瓦、迈多治、笛卡尔等，他们每周一 次在梅森寓所聚会，讨论科学、研究数学．费尔马除了这些之外， 还经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著作非常 淡漠．费马在世时，没有完整的著作问世．当他去世后，他的儿 子萨缪尔· 费马在数学家们帮助之下，将费马的笔记、批注及书信 加以整理汇成《数学论集》在图鲁斯出版． 费马为解析几何与微积分的创立作出了实质性的贡献．从费 马与罗伯瓦、帕斯卡的通信中可以看出，他在笛卡尔《几何学》 发表前至少８年就已相当清晰地掌握了解析几何一些基本原理．
中国古代数学家对微积分也作出了重大的贡 献．例如三国时期的刘徽，他对积分学的贡献主要 有两点：割圆术及求体积问题的设想．
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二、微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵 跨了二千年的时间．相对来说，微分学的历史就短得多．原 因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的，它 涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学 是不会产生的．
由于生产实际的需要，力学和天文学的推动， 由于从阿基米德以来多少代人的努力，在17世纪下 半叶，终于由牛顿和莱布尼茨综合、发展了前人的 工作，几乎同时建立了微积分．
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三、伊萨克· 牛顿(Isac Newton 1643—1727) ―我不知道世人如何看我，可我自己认 为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子， 不时为捡到比通常更光滑的石子或更美丽 的贝壳而高兴，而展现在我面前的是完全 未被探明的趔之海．”
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学 是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的 主要部分就是微积分． 微积分堪称是人类智慧最伟 大的成就之一． 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发 展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解 决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变 量数学”时代．整个17世纪有数十位科学家为微积 分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学 的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨．
另一个对微积分作出重大贡献的是英国数学家 巴罗（I.Barrow） ．他于1630年生于伦敦，毕业于 剑桥大学．他在物理、数学、天文和神学方面都有 造诣．他是第一个担任剑桥大学卢卡斯讲座教授的 人．牛顿是他的学生．1669年，他辞去了他的教授 席位，并赞助牛顿取得此席位．巴罗最重要的著作 是《光学和几何学讲义》，在这本书中已有非常接 近近代微分过程的步骤．巴罗已走到微积分的大门 口．
在17世纪，由于两位杰出的数学家伽利略和开普勒的一 系列发现，导致了数学从古典数学向现代数学的转折．伽利 略发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实．开普 勒在1619年前后归纳出著名的行星三定律．
微分学主要来源于两个问题的研究，一个是曲线的切线 问题，一个是函数的最大、最小值的问题．法国数学家费马 在这两个问题上都做出了重要贡献．
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1665～1666年严重的鼠疫席卷了伦敦，剑桥离伦 敦不远，为恐波及，学校因此而停课，牛顿于1665年 6月离校返乡． 家乡安静的环境使得他的思想展翅飞翔．1665～ 1666年这段短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁 月，他在自然科学领域内思潮奔腾，才华迸发，思考 前人从未思考过的问题，踏进了前人没有涉及的领域， 创建了前所未有的惊人业绩．在这两年里，他奠定了 微积分的基础，完成了论文《论颜色》，推导出太阳 和行星间的作用力随向径距离增加而减小的平方反比 定律．
1969年牛顿任皇家造币厂监督，1671年当选为皇家协会 会员，1703年当选为英国皇家协会会长，担任这个职务直到 1727年3月20日在伦敦去世．1705年安妮女王封他为爵 士．他终身未婚．
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牛顿有这样一句赞美前辈科学家的名言：
“如果说我比别人看得远些，那是因为我站 在巨人们的肩上．” 牛顿最伟大的著作是他的《自然哲学的数 学原理》．在此书中第一次有了地球和天体主 要运动现象的完整的动力学体系和完整的数学 公式． 这是科学史上最有影响、享誉最高的著 作．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总之，在家乡居住的两年中，牛顿以比此后任何时候更 为旺盛的精力从事科学创造，并关心自然哲学问题．他的三 大成就：微积分、万有引力、光学分析的思想都是在这时孕 育成形的．1667年复活节后不久，牛顿返回到剑桥大学， 10月1日被选为三一学院的仲院侣(初级院委)，翌年3月16日 获得硕士学位，同时成为正院侣(高级院委) ．1669年10月 27日，巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职，26岁的牛顿晋 升为数学教授，并担任卢卡斯讲座的教授．巴罗为牛顿的科 学生涯打通了道路，巴罗让贤，这在科学史上一直被传为佳 话．
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微积分的创立首先是为了处理下列四类问题： 1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻 的速度和加速度 ．反过来，已知物体运动的加速度与速度， 求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应 用具有重大意义．例如在光学中，透镜的设计就用到曲线的 切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮 弹的射程问题．在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远 距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面 所围立体的体积，物体的重心．
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伽利略(Galileo Galilei, 1564–1642) 伽利略1564年生于意大利的比萨，1581年入比萨大学攻 读医学．他是世界著名的数学家、天文学家、物理学家，对现 代科学思想的发展作出重大贡献．他是最早用望远镜观察天体 的天文学家，曾用大量事实证明地球环绕太阳旋转，否定地心 说．1587年任比萨大学数学讲师，1592年到帕多瓦任数学讲 座，在那里工作了18年完成了大量杰出的工作． 1632年，发表《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对 话》，大力支持和阐释哥白尼的地动说，因此受到教会的痛 恨．1633年罗马教廷宗教裁判所对他进行了审判，并处以八 年软禁． 伽利略在科学史上具有不朽的地位，他的贡献是划时代的， 他认识到数学的核心意义，用数学公式去表达物理定律． 1642年1月8日，伽利略在阿切特里去世，享年78 岁．1983年，罗马教廷正式承认，350年前宗教裁判所对伽利 略的审判是错误的．
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一、积分学的早期史 从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但 是，积分的思想早在古代就已经产生了． 公元前3 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前 287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》 中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下 的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转 双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想．