第三章 第四讲 数列求和
高中数学专题讲解 数列求和常用方法 优质课件
B 专项能力提升
2.已知数列 2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点
是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的
前 2 014 项之和 S2 014 等于
A.2 008
B.2 010
C.1
D.0
(B )
解析 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
【解析】（1） 同时除以
，得到
………………………………..2分
即： 所以 是首项为
………………………………….3分 ，公差为2的等差数列 ………4分
…………………………5分
(2)
…………6分
两式相减得：
………………………9分
…………………11分 …………………12分
感觉如何？再来一个吧！
1.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，且 S1，S2， S4 成等比数列. (1)求等比数列 S1，S2，S4 的公比； (2)若 S2＝4，求数列{an}的通项公式； (3)在(2)的条件下，设 bn＝ana3n＋1，Tn 是数列{bn}的前 n 项和， 求使得 Tn<2m0对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
(2)令 bn＝n＋n＋212an2，数列{bn}的前 n 项和为 Tn， 证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn＜654.
(2)证明: 由于 an＝2n，bn＝n＋ n＋212a2n 则 bn＝4n2nn＋＋122 ＝116n12－n＋1 22.
Tn＝1161－312＋212－412＋312－512＋…＋n－1 12－
∴f(x)＋f(1－x)＝4x4＋x 2＋2＋2 4x＝1.
S＝f(2 0115)＋f(2 0215)＋…＋f(22 001145)，
《数列求和》课件
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和 离散数学
数列求和离散数学【原创实用版】目录1.数列求和的概念2.数列求和的方法3.离散数学简介4.离散数学与数列求和的关系正文1.数列求和的概念数列求和是指将一个数列中所有的数相加得到的结果。
数列可以是有穷数列，也可以是无穷数列。
求和的结果可以是有限数，也可以是无限数。
数列求和在数学中有着广泛的应用，例如在数学分析、离散数学等领域中都有重要的应用。
2.数列求和的方法数列求和的方法有很多，其中最常见的方法有以下几种：（1）等差数列求和公式：等差数列的求和公式为 S=n/2(a1+an)，其中 n 表示数列的项数，a1 表示数列的第一项，an 表示数列的最后一项。
（2）等比数列求和公式：等比数列的求和公式为 S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中 n 表示数列的项数，a1 表示数列的第一项，q 表示数列的公比。
（3）斐波那契数列求和公式：斐波那契数列的求和公式为S=((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n / sqrt(5)，其中 n 表示数列的项数。
3.离散数学简介离散数学是研究离散对象及其性质的数学分支。
它的研究对象包括整数、有限集合、离散结构等。
离散数学在计算机科学、信息理论、优化理论等领域中有着重要的应用。
4.离散数学与数列求和的关系离散数学与数列求和有着密切的关系。
在离散数学中，数列是一种重要的离散结构。
数列求和是离散数学中的一个基本问题。
离散数学中的许多概念和方法，如集合论、图论、逻辑论等，都可以应用于数列求和中，为解决数列求和问题提供新的思路和方法。
总之，数列求和是数学中的一个基本问题，它在离散数学等领域中有着重要的应用。
数列求和方法总结
02
方法描述
将数列正序和与倒序和对角线上的元 素相乘，再求和，即可求得数列的前 n 项和
03
例子
以等比数列为例，已知首项 a1，公比 q，项数 n，则前 n 项和为 Sn = \frac{a1(1-q^n)}{1-q}
03
间接求和方法
裂项相消法
总结
裂项相消法是通过将数列的每一项拆 分为两个部分，然后利用相邻两项相 消的方式，达到求和的目的。
倒序相加法
适用范围
适用于数列正序和倒序相加的情况
方法描述
将数列正序和与倒序和相加，再除以 2，即可求得数列的前 n 项和
例子
以等差数列为例，已知首项 a1，公差 d，项数 n，则前 n 项和为 Sn = \frac{n}{2}(a1 + an) + \frac{n}{2}(d)
错位相减法
01
适用范围
利用计算机程序简化求和
01
适用场景
当数列项数较大，且需要多次求和时
02
原理
编写计算机程序可以减少重复计算，提高效率。
03
方法
①将数列各项存储到一个数组或列表中；②编写一个循环，逐一将数
组或列表中的各项相加，并输出结果。
06
数列求和的推广
数列求和与计算机科学
算法设计与优化
数列求和算法是计算机科学中算法设计和优化的经典案例，如快速排序、归并排 序等算法都可以通过数列求和进行优化。
分组求和法
要点一
总结
分组求和法是将数列中的项按照某种 规律分成若干组，然后将每一组的和 相加得到最终的和。
要点二
适用范围
适用于数列中各项之间没有明显的递 推关系，但是可以将数列中的项按照 某种规律分成若干组的情况。
数列的求和与数列的性质
数列的求和与数列的性质数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，数列的求和是指根据数列的规律，将其中的每一项相加得到一个和。
数列的性质则是指数列中的数之间所具有的一些特定特征或规律。
本文将围绕数列的求和和数列的性质展开讨论。
一、数列的求和数列的求和是数学中的基本概念之一，通过求和可以得到数列中各项数值的总和。
数列的求和有以下几种常见的方法：1.等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项的差值都相等的数列。
等差数列的求和公式是通过数列的首项、末项以及项数来计算的，其公式为："公式：Sn = n * (a1 + an) / 2"其中，Sn表示数列的和，n表示数列的项数，a1表示数列的首项，an表示数列的末项。
2.等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
等比数列的求和公式是通过数列的首项、末项以及项数来计算的，其公式为："公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)"其中，Sn表示数列的和，n表示数列的项数，a1表示数列的首项，q表示数列的公比。
3.部分和在某些情况下，我们只需要计算数列的前n项的和，而不是计算整个数列的和。
这时我们可以使用部分和的方法，通过将数列的前n项相加来求和。
二、数列的性质数列的性质描述了数列中的数之间所具有的一些特定特征或规律。
下面介绍几种常见的数列性质：1.通项公式通项公式是指数列中任意一项与其位置索引之间的关系式。
通常通过观察数列的规律，可以得到数列的通项公式。
2.递推公式递推公式是指数列中后一项与前一项之间的关系式。
递推公式可以通过观察数列的差值或比值的规律来得到。
3.等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 任意一项与公差之和等于相邻两项的和；- 中项等于首尾两项的平均数；- 等差数列的和与项数成正比，公比为项数的一半。
4.等比数列的性质等比数列具有以下性质：- 等比数列中，任意一项与公比的幂之和等于相邻两项的比值之差；- 等比数列不存在公差，只存在公比；- 等比数列的和与项数成正比，公比为项数的一次幂。
数列求和的知识点总结
数列求和的知识点总结一、数列求和的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的规律排列的一组数，数列中的每个数被称为该数列的项。
数列一般用{}表示，其中n是数列的下标，表示数列的第n个项。
2. 数列的性质（1）有限项数列和无限项数列数列的项的个数有限时，称为有限项数列，否则称为无限项数列。
（2）等差数列和等比数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差是常数的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比是常数的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
3. 数列求和的基本概念数列求和指的是将数列的各项相加的操作，可以分为有限项求和和无限项求和。
有限项数列的求和可以用公式进行计算，而无限项数列的求和需要通过取极限的方法进行求解。
二、数列求和的常用公式1. 等差数列求和公式在等差数列an=a1+(n-1)d中，前n项和Sn的计算公式为Sn=n/2*(a1+an)。
2. 等比数列求和公式在等比数列an=a1*q^(n-1)中，前n项和Sn的计算公式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 平方和与立方和公式在数列1,2,3,4,...,n中，平方和S(n^2)=n*(n+1)*(2n+1)/6，立方和S(n^3)=[n*(n+1)/2]^2。
4. 斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列的每一项是前两项之和的数列，其前n项和Sn的计算公式为Sn=F(n+2)-1，其中F(n)表示斐波那契数列中的第n项。
5. 其他数列求和公式在一些特殊的数列中，如等差中项数列、调和数列等，也可以根据数列的特性推导出对应的求和公式。
三、数列求和的运算方法1. 直接求和法在有限项数列的求和中，可以直接将数列的各项相加得到结果。
这种方法适用于项数较少或者数列的规律明显的情况。
2. 差分法对于一些复杂的数列，可以通过差分的方法将其转化为等差数列或等比数列，然后利用相应的求和公式进行求解。
3. 递推法递推法是指通过给定的递推关系求解数列的前n项和，常用于斐波那契数列等递归定义的数列。
数列求和及其推导
数列求和及其推导数列是数学中一个重要的概念，它以一定的规则依次排列的一组数的总称。
数列中的每一个数被称为项，项之间的规则通常被称为公式。
数列有很多种不同的类型，如等差数列、等比数列等等。
其中，数列求和是数学中一个重要的概念，本文将围绕数列求和及其推导展开探讨。
一、等差数列求和首先，我们来看等差数列求和。
对于一个公差为d的等差数列，其前n项的和为Sn = n * [2a1 + (n-1)d]/2，其中a1为首项，n为项数。
这个公式可以通过逐项相加得到，也可以通过推导得到。
推导过程如下：首先，将该数列反转，将首项变为末项，将末项变为首项，同时将正向公差变为负向公差。
[模板公式]S=a1+aN+a2+a(N-1)+......+a(N-2)+a3+a(N-1)+a2+aN+a1将式子两边相加，得到2S = (a1+aN) + (a2+a(N-1)) + ... + (a(N-2)+a3) + (a(N-1)+a2) + (aN+a1)2S = (n/2) * [a1 + aN]即S = n * [a1 + aN]/2其中，a1为首项，aN为末项，n为项数，公差d在推导中被省略了，因为反转后它的符号会改变。
这个公式可以用来计算各种等差数列的和，例如1, 3, 5, 7, 9的和为25，而-2, -5, -8, -11的和为-26。
等差数列求和是数学中一个很基础的概念，它的推导非常简单，但却很有用。
二、等比数列求和接下来，我们来看等比数列求和。
对于一个公比为q的等比数列，其前n项的和为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，n为项数，q不等于1。
这个公式同样可以通过逐项相加得到，也可以通过推导得到。
推导过程如下：由于公比不等于1，因此我们可以将数列中的每一个数都乘以公比q，得到一个新的数列：a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。
将原数列和新数列相减，得到[模板公式]S - qS = a1 - a1*q^n即S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a1为首项，n为项数，q为公比。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
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裂项相消法中，“裂项”是手段，“相消”是目的， 所以应将每一项都“分裂”成两项之差，或“裂”成一个 常数因子与两项差的积，例如分子为某一常数，分母是由 等差数列的相邻项乘积形成的分数数列其求和一般选用裂 项相消法．
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第三章
数列
《走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 ·
【例 2】 已知数列{an}是首项为 a1＝1 的等差数列且 满足 an＋1>an(n∈N )，等比数列{bn}的前三项分别为 b1＝a1 ＋1，b2＝a2＋1，b3＝a3＋3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 1 (2)若数列{cn}满足(an＋3)cnlog2bn＝ ， 求数列{cn}的前 2 n 项和 Sn.
(
答案：A
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1 1 1 1 1 2．(教材改编题) ＋ ＋ ＋ ＋ 等于( 3 15 35 63 99 10 A. 11
)
5 12 6 B. C. D. 11 11 11 1 1 1 1 1 解析：原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ 1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 1 1 1 1 1 1 ＝ (1－ ＋ － ＋…＋ － ) 2 3 3 5 9 11 1 10 5 ＝ × ＝ . 2 11 11 答案：B
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1 n － )＝ . 2n＋2 4(n＋1)
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点评：使用裂项相消法，要注意正负相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每 一项an均分裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并 为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不 可漏 写未被消去的 项，未被消去的项 有前后 对称的特 点．实质上，正负项相消是此法的根源和目的．
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3． (教材改编题)数列 9,99,999， …的前 n 项和为( 10 n A. (10 －1)＋n 9 B．10 －1 10 n C. (10 －1) 9 10 n D. (10 －1)－n 9
n
)
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－n(n为奇数) ) n(n ∴Sn＝ n(为偶数)
.
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方法二：当 n 为奇数时， Sn ＝[－1－5－9－…－(2n－1)]＋[3＋7＋11＋…＋ n－1 n＋1 [－1－(2n－1)] [3＋(2n－3)] 2 2 ＋ (2n－3)]＝ 2 2
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(4)倒序相加：例如：等差数列前n项和公式的推导方 法．
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数列《走 ຫໍສະໝຸດ 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( )
(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
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●易错知识 一、利用公式求和不注意项数易出错 1．S＝1＋2＋22＋23＋…＋2n＝________. 答案：2n＋1－1 二、不注意分类易出错 2．S＝a＋2a2＋3a3＋…nan(a∈R)＝________.
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b1＝2，b2＝4，q＝2，∴bn＝b1qn－1＝2n. ∴an＝2n－1，bn＝2n.
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1 (2)由(an＋3)cnlog2bn＝ ， 2 1 1 变形得 cn＝ ＝ 2(an＋3)log2bn 2n(2n＋2) 1 1 1 ＝ ( － )， 2 2n 2n＋2 Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn 1 1 1 11 11 1 11 1 11 1 ＝ ( － )＋ ( － )＋ ( － )＋…＋ ( － )＝ ( 22 4 24 6 26 8 2 2n 2n＋2 2 2
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思路探究：(1)根据Sn与an的关系求an. (2)把相邻两项结合后再求和．
1＋3 解析：(1)a1＝S1＝ ＝2， 2 n ＋3n (n－1) ＋3(n－1) n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n＋ 2 2 1， 当 n＝1 时，a1＝2 符合．∴an＝n＋1.
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋(－2n＋1)＝ n－1 2· ＋(－2n＋1)＝－n. 2
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当 n 为偶数时， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋ n 3)＋(2n－1)]＝2· ＝n. 2
＋
2
4
6
2n
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规律方法：1.已知数列{an}的第 n 项 an 与 Sn 的关系式 时，可以利用公式
S ，n＝1 1 an＝ Sn－Sn－1，n≥2
求其通项公式，
但是求解过程中要注意数列首项的代入验证． 第(2)问的求 和可根据式子的特点用分组式求和法解决．一般分组后先 分别求和，再将所求和合并．
2 2
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a ，n为奇数， n (2)∵cn＝ n 2 ，n为偶数.
n＋1，n为奇数， ∴cn＝ n 2 ，n为偶数.
T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(2 ＋2 ＋2 ＋…＋2 ) 4(1－4n) ＝n(n＋1)＋ 1－4 4n 1－4 2 ＝ ＋n ＋n. 3
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解析：∵9＝10－1,99＝102－1,999＝103－1，…， ∴所求数列的和为 Sn＝(10－1)＋(10 －1)＋(10 －1) ＋…＋(10 －1) ＝(10＋102＋103＋…＋10n)－n 10(1－10n) 10 n ＝ －n＝ (10 －1)－n. 9 1－10
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1 1 记 Sn＝f( )＋f( )＋…＋f(n)， n n－1 1 Sn＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f( )， n 1 ∴2Sn＝(2n－1)×1，∴Sn＝n－ . 2
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《走
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若 将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数 列，然后分别求和，再将所求和合并．
*
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解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项a1＝1，b1 ＝2，b2＝2＋d，b3＝4＋2d， ∵{bn}为等比数列， ∴b＝b1b3 ，即(2＋d)2＝2(4＋2d)，解得d＝±2. 又∵an＋1>an，即数列{an}为单调递增数列， ∴d＝2，a2＝3，a3＝5. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
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《走 向 高 考
(2010·山东，18)已知等差数列{an}满足：a3＝7， a5＋a7＝26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； 1 (2)令 bn＝ 2 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an－1
》 高 考 总 复 习 · ( )
n(n＋1) (a＝1) 2 答案： ＋ ＋ a－(n＋1)an 1＋nan 2 (a≠1) 2 (1－a)
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数列
《走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 ·
●回归教材 1 1 1 1 1 1．数列 1 ，3 ，5 ，7 ，…，(2n－1)＋ n，…的前 n 2 4 8 16 2 项和 Sn 的值等于 1 A．n ＋1－ n 2
2
( )
4023－1 1 ＝ ( a2010－ a1)＝ . 2 2 4023－1 答案： 2
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第三章
数列
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x 5．已知 f(x)＝ ，利用倒序相加法求 x＋1 1 1 1 f( )＋f( )＋…＋f( )＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n)． 1 n 2 n－1 n 1 n 解析：f(n)＋f( )＝ ＋ ＝1， n 1＋n 1 ＋1 n
n 2 3
(
答案：D
)
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第三章
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4．(2012·原创题)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2.则 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＝________. a 1＋ a 2 a 2＋ a 3 a2011＋ a2012