切线性质与判定
切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法
切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。
证明圆的切线的性质定理我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。
圆的切线的性质切线的主要性质有以下几点：1、切线和圆唯有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于经过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。
掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。
为此，考生必须努力学习。
连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直证明圆的切线的迅速方式？1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。
口诀是“见半径，证垂直”。
2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。
3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。
如何证明圆的切线？切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。
1、连半径，证垂直2、作垂线，证半径圆如何正切线？相切圆有四种方法:1。
切线的性质与判定
P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。
圆的切线的性质及判定定理
A
O
B
D
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
C
300600
. A
300 1200 600 600
O
B
D
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB,
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C O
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
例２ 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. A
∴∠ACO＝ ∠CAD .
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，
切线的性质
切线的判定方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆
的切线。 2.利用d与r的关系作判断:到圆心的距离等于半径 （即d＝r）的直线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径；
2. 证切线常用的添辅助线方法有哪些？
C
A
O
B
D
4、已知，如图在⊙O中，AB为直径，AD为弦，
过B点的切线与AD的延长线交于点C且 AD=DC，
则
45˚∠ABD= 。
A
O D
C
B
已知：AB是直径，AD是切线，判 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之 间的关系
B
C
AD
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
AD
∵AB=8cm,AC=4cm. ∴∠B=30°
┐
C
B
∴∠A=60°
因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
切线的性质
圆的切线： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
●O
┐
l
A
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
几何语言：
已知直线CD和⊙O相切，
●O
点A为切点 则OA⊥CD
C
┐
A
D
1、如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，
且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的
半径为
。
M
A
P
B
2.如图，已知ＰＡ是⊙O的切线，Ａ是切点，Ｐ
Ｃ是过圆心的一条割线，点Ｂ，Ｃ是它与⊙O的
切线的判定与性质
〖例2〗
已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以 为圆心，OD为 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 平分线上一点 B 半径作⊙ 半径作⊙O。 D 求证： AC相切 相切。 求证：⊙O与AC相切。 O
A
证明： OE⊥AC于 证明：过O作OE⊥AC于E。
E C
∵ ∴ ∵ ∴
改变切线判定定理的题设与结论
如果直线l是 如果直线 是⊙O的切线，切点为A, 的切线，切点为A, 那么半径OA与直线l是不是一定垂直 那么半径OA与直线 是不是一定垂直 OA与直线 呢？ O ．
l
切线的性质定理： 切线的性质定理： A 圆的切线垂直于过切点的半径。 圆的切线垂直于过切点的半径。
几何符号表达： 几何符号表达：
AO平分∠BAC， AO平分∠BAC，OD⊥AB, OE⊥AC 平分 OE＝ OE＝OD OD是 OD是⊙O的半径 AC是 的切线。 AC是⊙O的切线。
小结
与例2的证法有何不同? 例1与例2的证法有何不同?
D O B O
连接OC 连接
A C B
A
已给出） （交点C已给出） 交点 已给出
过O作OE⊥AC 作 ⊥ 交点E未给出 未给出） 于E（交点 未给出）
垂直于这条半径的直线是圆的切线。 垂直于这条半径的直线是圆的切线。 的外端点A 的外端点A 条件二：直线l 垂直于半径OA 条件二：直线 垂直于半径OA
切线的判定定理 经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线。 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达： 几何符号表达：
O
∵ OA是半径， ⊥l 于A OA OA是半径 OA⊥ 是半径， 的切线。 ∴ l是⊙O的切线。
切线的判定和性质
切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。
而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。
今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。
先来说说切线的定义。
简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。
可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。
那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。
第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。
这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。
第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。
咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。
第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。
接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。
切线的性质可是非常重要和有用的。
首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。
其次，切线垂直于经过切点的半径。
这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。
还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。
想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。
切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。
而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。
再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。
切线的判定和性质
切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。