整式的乘除

整式的乘除
1同底数幂相乘
同:
同底数幂是指底数相同的幂。如与，与，与，与
等。
提示：同底数幂中的底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，
n)(ababm
与）（

（但和不是同底数幂。

2同底数幂的乘法
乘法法则：nmnaama（m,n是正整数）。同底数幂相乘，底数不变，指数相加
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。
公式可以推广：),,(aapnm为正整数pnmaapnm
公式的逆用:
nma
为正整数）（nan,mam

3幂的乘方
幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数），幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
1025
3)3(

这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的幂相乘，右边是一个幂，指数相乘
公式可以推广：是正整数），（）（pnmamnppnm,a
公式的逆用：即mnnmmnaaa)()(，如：23326)4()4(4

4积的乘方
积的乘方法则;nnnbaab)(（n是正整数）,积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的积的幂，右边是一个幂的积
公式可以推广：)()(a是正整数ncbabcnnnn
公式的逆用：)(a是正整数）（nbccbannnn
5、同底数幂的除法
法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且m>n）同变，
指数相减。如：3334)()()(baababab
这个公式的特点：左边是两个或两个以上同底数幂相除，右边是一个幂，指数相减。
公式的推广：),,(apnmpnmaaapnmpnm都是正整数
公式的逆用; ),,(apnmpnmaaapnmpnm都是正整数
6、零指数和负指数；
10a
，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p
paa1
（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的

倒数。如：81)21(233
7、科学记数法：
如：0.00000721=7.21610（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）

8、单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx3232zy43x6-
9、单项式乘以多项式，
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：
)(3)32(2yxyyxx
=22394yxyx

10、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
即(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq如：22673)3)(2a3(bababab

11、平方差公式：
22
))((bababa

注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反
数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：))((zyxzyx =22)(xzy

12、完全平方公式：
222
2)(bababa
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每
一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：
abbaabbaba2)(2)(2222
abbaba4)()(22
222)()]([)(bababa 222
)()]([)(bababa

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
13、三项式的完全平方公式：
bcacabcbacba222)(2222
14、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含
有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：bamba242497=m3b7-
15、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：cbamcmmbmmammcmbmam)(.
【历年考点分析】
整式的运算是初中数学的基础,是中考中的一个重点内容.和整式有关的考点主要涉及以
下几个方面：1.幂的运算;2.整式的乘法运算;3.因式分解.具体分析如下:

考点1:幂的有关运算
例1 下列运算中,计算结果正确的是（ ）
(A)a4·a3=a12 (B)a6÷a3=a2 (C)(a3)2=a5 (D)(-ab2)2=a2b4.
分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算。
幂的运算是整式乘除运算的基础。准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法
则。

解：根据同底数幂的乘法运算法则知a4·a3=a4+3=a7，所以（A）错；根据同底数幂的除
法法则知a6÷a3=a6-3=a3。所以（B）错；根据幂的乘方运算法则知(a3)2=a3×2=a6，所以（C）
错；所以选（D）。

考点2:整式的乘法运算
例2计算：(a2＋4)(a-3)-a(a2-3a-3).
分析:本题是一道整式乘法综合计算题,解题时应先算乘法,然后再算加减,,注意其去括号
时符号的变化.

解：(a2＋4)(a-3)-a(a2-3a-3)
=a3-3a2＋4a-12-a3＋3a2＋3a
=7a－12.
例3 如图1所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n
个图形中需用黑色瓷砖______块.（用含n的代数式表示）.

（1） （2） （3） ……（n）
图1
分析:观察发现,第1个图形有黑色瓷砖3×5-3×1(块);第2个图形有黑色瓷砖4×6-2×
4(块);第3个图形有黑色瓷砖5×7-3×5(块),依次类推,第n个图形有(n+4)(n+2)-n(n+2)块.

解:(n+4)(n+2)-n(n+2)=n2+4n+2n+8-n2-2n=4n+8.
考点3:乘法公式
例5先化简，再求值:(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy).其中x=2,y=21.
分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用,化简时还有注意去括号符号的
变化.

解: (x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy)=x2-y2+x2-2xy+y2-x2+3xy=x2+xy.
当x=2,y=21时,原式=22+2×21=4+1=5.
例6 若整式142Qx是一个整式的平方，请你写满足条件的单项式Q是 .
分析：本题是一道结论开放题，由于整式包括单项式和多项式，所以可分类讨论可能
出现的情况，当142Qx是一个单项式的平方时，Q=4x或-4x或4x4；当142Qx是
一个单项式的平方时，Q=-1或-4x2，
解:可填4x或-4x或4x4或-4x2或-1.
考点4: 整式的除法运算
例7 先化简,再求值:[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y=1.5.
分析:本题的一道综合计算题,首先要先算括号的,为了计算简便,要注意乘法公式的使
用,然后在进行整式的除法运算,最后代入求值.

解: [(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x
=(2x2-2xy)÷2x=x-y.
当x=3,y=1.5时,原式=3-1.5=1.5.
考点6:因式分解
例8 观察下列等式：
12+2×1=1×(1+2),
22+2×2=2×(2+2),
32+2×3=3×(3+2),
……
则第n个式子可以表示为:_________.
分析:观察已知各等式,可以发现,等式的左边是两项,第1项是是从1开始的整数的平方,
第2项是2与这个整数的乘积,所以左边可用一般式子表示为n2+2n(n≥1的整数),每一项等
式的右边是这个整数乘以这个整数与2的和的积,所以可用一般的式子表示为n(n+2),所以第
n个等式为n2+2n=n(n+2).本题实际是因式分解的变式应用.

解: n2+2n=n(n+2).