中考数学总复习检测卷-圆
苏教版初三数学中考-圆-复习
(第2题) 苏教版初三数学“圆”中考复习一、选择题1． 当两圆无公共点时，这两圆的位置关系一定是 ··········· （ ）A ．外离B ．内含C ．同心圆D ．外离或内含 答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．根据两圆的位置关系，当两圆外离或内含时，两圆没有公共点，因此本题选D ．2． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B ＝50°，则∠A 等于······················· ()A ．80°B ．60°C ．50°D ．40° 答案：D ．解析：本题为容易题，考查了直径所对圆周角的特征．直径所对的圆周角是直角，故∠A 与∠B 互余，因此本题选D ．3． 如图，圆周角∠ACB 的度数为48°，则圆心角∠AOB 的度数为······················· （ ） A ．48° B ．24° C ．96°D ．90°答案：C ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选C ．4． 如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值 ················ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B ．解析：本题为容易题，考查了垂径定理及其推论．当OM ⊥AB 时OM 最短，由垂径定理得AM ＝BM ＝4，根据勾股定理解得OM ＝3，因此本题选B ．5． 两圆半径分别为2 cm 和6 cm ，若两圆相切，则圆心距为 ······· ( )A ．4 cmB ．8 cmC ．10 cm 或2 cmD ．8 cm 或4 cmA(第3题)O CBA BMO(第4题)解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．两圆相切分为外切与内切，当两圆外切时，圆心距d ＝R ＋r ，当两圆内切时，圆心距d ＝R －r ，因此本题选D ．6． 如图，P 为正△ABC 外接圆上一点，则∠APB 为 ··· ( )A ．150°B ．135°C ．115°D ．120°答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．由圆内接四边形的性质得∠P ＋∠C ＝180°，因此本题选D ．7． 一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3π cm 2，那么这个扇形的半径是 ( )AB ．3 cmC ．6 cmD ．9 cm答案：B ．解析：本题为容易题，考查了计算扇形的面积．扇形面积公式为S ＝2360n r ，因此本题选B ．8． 已知两圆的圆心距是3，两圆半径分别是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是 ······················ ( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切答案：B ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．方程的两个根为1和2，由d ＝R ＋r 得两圆外切，因此本题选B ．9． 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BOD ＝120°，则∠BCD的度数为 ··················· ( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°答案：A ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．由题意得∠A ＝60°，又根据圆内接四边形的性质得∠A ＋∠C ＝180°，因此本题选A ．10.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°BDC OA(第9题)AB C P(第6题)解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．该弦与两半径围成一个正三角形，因此圆心角为60°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得30°，再根据圆内接四边形性质得优弧所对的圆周角为150°，因此本题选B．11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝5 cm，若以C为圆心，4 cm为直径的⊙C 与AB的关系是··························· ( ) A．相离B．相交C．相切D．不能确定答案：A．解析：本题为中档题，考查了直线与圆的位置关系．通过计算可得BC＝C到AB>2，因此本题选A．12.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是···············( )A．90°B．80°C．70°D．60°答案：D．解析：本题为中档题，考查了圆的有关概念和平行的性质．由条件可得△AOD为正三角形，因此本题选D．13.过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为( )A．3 cm B．6 cm CD．9 cm答案：A．解析：本题为中档题，考查了垂径定理及其推论．最长弦为直径，故半径为5 cm，最短弦为垂直于直径的弦，由垂径定理构造直角三角形后由勾股定理得OM＝3，因此本题选A．14.若圆锥的母线长为4 cm，底面半径为3 cm，则圆锥的侧面展开图的面积是( )A．6π cm2B．12π cm2C．18π cm2D．24π cm2答案：B．解析：本题为中档题，考查了计算圆锥的侧面积．圆锥的底面周长为6π，即为扇形的弧长，由扇形面积公式S＝12lR，因此本题选B．15.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为··········· ( )ABA BOD C(第12题)A BDC(第15题)C．235D．435答案：A．解析：本题为中档题，考查了切线与过切线的半径之间的关系和直径所对圆周角的性质．由切线的概念得△ABC为Rt△，可得BC＝5，又由直径所对圆周角是90°，用面积法可解出AD，因此本题选A．16.两圆相交，圆心距为5 cm，两圆半径分别为3 cm和4 cm，则公共弦长为( )A．2.4 cm B．4.8 cm C．1.8 cm D．3.6 cm答案：B．解析：本题为稍难题，考查了圆与圆的位置关系和解直角三角形．由条件可得，圆心和一个交点围成一个直角三角形，且斜边上的高为2.4 cm，因此本题选B．17. 已知Rt△ABC的两条直角边长为6和8，则它的内切圆与外接圆的圆心距为( )A．32B．332C．3 D．5答案：D．解析：本题为稍难题，考查了切线长定理和三角形的内心、外心．外心是三条边垂直平分线的交点，在斜边中点。
中考数学复习《圆的有关性质》测试题(含答案)
中考数学复习《圆的有关性质》测试题（含答案）一、选择题(每题5分，共30分)1．[2014·梧州]已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O 的位置关系是(C) A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【解析】∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O 的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．2．[2015·珠海]如图29－1，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)A．25°B．30°C．40°D．50°图29－1【解析】∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴AD︵＝BD︵，∴∠DOB＝2∠C＝50°.3．[2015·遂宁]如图29－2，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm图29－2【解析】 显然利用垂径定理．如答图，连结OA ， ∵AB ＝6 cm ，AC ＝12AB ＝ 3 cm ， 又⊙O 的半径为5 cm ，所以OA ＝5 cm ， 在Rt △AOC 中， OC ＝AO 2－AC 2＝52－32＝4(cm)．4．[2015·宁波]如图29－3，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为(B)A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°图29－3【解析】 连结OB ，如答图，∠BOC ＝2∠A ＝2×72°＝144°，∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝∠BCO ，∴∠BCO ＝12(180°－∠BOC )＝12×(180°－144°)＝18°.5．[2015·巴中]如图29－4，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为(A)A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【解析】 ∵∠BOC ＝2∠BAC ，∠BOC ＝50°，第3题答图第4题答图∴∠BAC＝25°，∵AC∥OB，∴∠BAC＝∠B＝25°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝25°.图29－4 图29－56．[2014·荆门]如图29－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(D) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD【解析】由题意可知，∠ADC＝∠ADB＝90°，A．∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A正确；B．∵AD＝DE，∴AD︵＝DE︵，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故B正确；C．∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，∴△ADC∽△BDA，故C正确；D．∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故D错误．二、填空题(每题5分，共30分)7．[2015·贵州]如图29－6，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40°__．【解析】 ∠ACB ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°.图29－6 图29－78．[2015安徽]如图29－7，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．9．[2015·娄底]如图29－8，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD ＝40°，则∠BAD ＝__50__度． 【解析】 ∵在⊙O 中，AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠B ＝∠ACD ＝40°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝50°.10.[2015·泰州]如图29－9，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于__130°__．【解析】 ∵∠A ＝115°，∴∠C ＝180°－∠A ＝65°，∴∠BOD ＝2∠C ＝130°.图29－9 图29－10图29－811．[2015·绍兴]如图29－10，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于__60__度． 【解析】 ∵A (0，1)，B (0，－1)， ∴AB ＝2，OA ＝1，∴AC ＝2， 在Rt △AOC 中，cos ∠BAC ＝OA AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.12．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图29－11，水面宽度原有60 cm ，发现时水面宽度只有50 3 cm ，同时水位也下降65 cm ，则修理人员应准备的半径为__50__cm 的管道．图29－11【解析】 如答图所示：过点O 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，连结OC ，OA ， ∵CD ∥AB ，∴EF ⊥CD ，∵CD ＝60 cm ，AB ＝50 3 cm ， ∴CE ＝12CD ＝12×60＝30 cm ， AF ＝12AB ＝12×503＝25 3 cm ，设⊙O 的半径为r ，OE ＝h cm ，则OF ＝65－h (cm)， 在Rt △OCE 中，OC 2＝CE 2＋OE 2，即r 2＝302＋h 2，①第12题答图在Rt△OAF中，OA2＝AF2＋OF2，即r2＝(253)2＋(65－h )2，②①②联立，解得r＝50 cm.三、解答题(共10分)13．(10分)[2014·湖州]如图29－12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图29－12解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD；(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，第13题答图如答图，连结OA，OC，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27.AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.14．(8分)[2015·安顺]如图29－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(C)图29－13A．2 2 B．4C．4 2 D．8【解析】∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝22OC＝22，∴CD＝2CE＝4 2.15．(10分)某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，如图29－14，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图29－14解：如答图，连结ON，OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∵AB＝7.2 m，∴BD＝12AB＝3.6 m.第15题答图设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝OC－CD＝r－2.4.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9(m)．∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB为2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝ 2.96 m，∴MN＝2EN＝2× 2.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．16．(12分)[2015·台州]如图29－15，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图29－15解：(1)∵BC＝DC，∴BC︵＝DC︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°；(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.。
中考数学一轮复习圆检测题
圆检测试题（总分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1，⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 的⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.点P 在⊙O 上或⊙O 外2，⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 为圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A.1或5B.1C.5D.1或43，A 是半径为5的⊙O 内一点，且OA ＝3，过点A 的弦长是整数的弦有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4，如图1，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 中（ ）A.60°B. 65°C. 72°D. 75°5，如图2，⊙O 1和⊙O 2内切，它们的半径分别为3和1，过O 1作⊙O 2的切线，切点为A ，则O 1A 的长为（ ）A.2B.4C.D.6，设⊙O 的直径为m ，直线L 与⊙O 相离，点O 到直线L 的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ）A.d ＝mB.d ＞mC.d ＞D.d ＜ 7，如图3，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB 为120°，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ）A.64πcm 2B.112πcm 2C.144πcm 2D.152πcm 28，如图4，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ，352m 2mO 2O 1A 图2ACOB图3D 第10题图QP ODCBA Q图1如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于（ ）A.70°B.64°C.62°D.51°9，将一个半径为8cm ，面积为32πcm 2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器(不计接缝)，那么这个圆锥形容器的高为（ ）A.4cmB.4cmC.4cmD.2cm10，如图5，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合；将三角形ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止.设∠POF ＝x °，则x 的取值范围是（ ）A.60≤x ≤120B.30≤x ≤60C.30≤x ≤90D.30≤x ≤120 二、填空题（每题3分，共24分）11，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，则点B 在以A 为圆心，6 为半径的圆的＿＿＿.12，如图6，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 长的取值范围是＿＿＿.13，如图7，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC ＝2cm ，则⊙O 的半径为_____cm.14，如图8，⊙O 为△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°.则∠DOF ＝_______度，∠C ＝______度，∠A ＝_______度.15，若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm 、深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为＿＿＿.3514B PAO 图6FO ECDBA 图8图7EDC BAO图4OCDBA图5OF CAPE（B ） ＤCAB图916，如图9所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是.（结果保留根号）17，已知⊙O 1、⊙O 2的圆心距O1O 2＝5，当⊙O 1与⊙O 2相交时，则⊙O 1的半径R ＝ ，⊙O 2的半径r ＝______.（写出一组满足题意的R 与r 的值即可）18，如图10，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P 3，P 4，…，P n …，记纸板P n 的面积为S n ，试计算求出S 2＝ ；S 3＝＿＿＿；并猜想得到S n －S n －1＝ (n ≥2).三、解答题（第19－21题，每题10分，第22－24题，每题12分，共66分） 19，如图11－①，在定宽度的纸条上打个简单的结，然后系紧、压平，使它成为平面的结（如图11－②），证明该结具有正五边形的形状.20，如图12，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝60 ，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于D ，连结OC .（1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值.21，如图13是一纸杯，它的母线AC 和EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB ，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长EF ＝8cm ，求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积.（面积计算结果用π表示）2π12图12图10图11①②22，如图14，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB＝AC＝4.P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F.（1）设AP＝1，求△OEF的面积.（2）设AP＝a (0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2.①若S1＝S2，求a的值；②若S＝S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜?若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由.23，如图15，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B 点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径.24，如图①，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F.（1）求证：AE·AB＝AF·AC；（2）如果将图①中的直线BC向上平移与圆O相交得图②，或向下平移得图③，此时，AE·AB＝AF·AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由.15图15图16备用题：1，如图,在Rt△ABC,将△ABC 绕点B 旋转至△A′BC′的位置,且使点A,B,C′三点在同一直线上,则点A 经过的最短路线长是 2，如图,扇形AOB 的圆心角为60°,半径为6cm,C 、D 分别是的三等分点, 则阴影部分的面积是________.cm 23，已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) B A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm4，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O 1O 2O 3 的形状是( )D A.锐角三角形 B.等腰直角三角形; C.钝角三角形 D.直角三角形5，圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )D A.180° B.200° C.225° D.216°6，小明要制作一个圆锥模型,其侧面是由一个半径为9cm,圆心角为240 °的扇形纸板制成的,还需要用一块圆形纸板做底面,那么这块圆形纸板的直径为( )B A.15cm B.12cm C.10cm D.9cm7，圆锥的底面直径为30cm,母线长为50cm, 那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为( A )A .108° B.120° C.135° D.216°8，一个扇形的弧长是20cm,面积是240cm 2,那么扇形的圆心角是( )BA.120°B.150°C.210°D.240°9，某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm 的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD 的长.过O 1作O 1E⊥AD 于E,过O 2作O 2F⊥AD 于F,过O 2作O 2G⊥O 1E 于G,则AE=DF=5cm, O 1G=16-AB 2πππOCDBAA 'C 'CBA5-5=6cm,O 2O 1=5+5=10cm,故O 2G==8cm,所以EF=8cm,从而AD=5+5+8=18cm.10，如图,AB 是半圆O 的直径,C 为半圆上一点,过C 作半圆的切线,连接AC, 作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD 交半圆于E,交过C 点的切线于点D. (1)试判断AD 与CD 有何位置关系,并说明理由;(2)若AB=10,AD=8,求AC 的长.(1)AD⊥CD.理由:连接OC,则OC⊥CD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,又∠OAC= ∠DAC,∴ ∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴AD⊥CD.(2)连接BC,则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB,又 ∠DAC=∠CAB.∴△ACD∽△ABC,∴,即AC 2=AD ·AB=80,故AC=.11，如图13，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动.（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由.（1）当∠POA ＝90°时，点P 运动的路程为⊙O 周长的或.设点P 运动的时间为t s.22106-AC AD AB AC=8045=1434O ECD BAO 2O 1CDBAAPBO图13当点P 运动的路程为⊙O 周长的时，2πt ＝×2π×12，解得t ＝3，当点P 运动的路程为⊙O 周长的时，2πt ＝×2π×12，解得t ＝9，所以当∠POA ＝90°时，点P 运动的时间为3s 或9s.（2）如图，当点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切.理由如下：当点P 运动的时间为2s 时，点P 运动的路程为4πcm.连接OP ，PA .因为⊙O 的周长为24πcm ，所以的长为⊙O 周长的，所以∠POA ＝60°.因为OP ＝OA ，所以△OAP 是等边三角形.即OP ＝OA ＝AP ，∠OAP ＝60°，因为AB ＝OA ，所以AP ＝AB .因为∠OAP ＝∠APB +∠B ，所以∠APB ＝∠B ＝30°.所以∠OPB ＝∠OPA +∠APB ＝90°，所以OP ⊥BP .即直线BP 与⊙O 相切.参考答案：一、1，A ；2，A ；3，D ；4，D .点拨：因为BC ∥QR ，所以PO 所在的直线既是正三角形的一条对称轴，又是正方形的一条对称轴.所以∠AOQ ＝∠POQ －∠AOP .又因为正三角形的中心角为120°，正方形的中心角90°，所以∠AOQ ＝∠POQ －∠AOP ＝120°－45°＝75°.故应选D ；5，C ；6，C ；7，B .点拨：因为扇形AOB 的面积＝π(8+12)2＝π，扇形COD 的面积＝π×82＝π，所以阴影部分的面积＝π－π＝112π.故应选B ；8，B ；9，B ；10，B .点拨：因为开始时点B 与点O 重合，所以∠POF ＝30°，又因为当三角形ABC 沿OE 方向平移时，∠POF 逐渐增大，只到使得点B 与点E 重合为止时，∠PEF ＝30°，所以∠POF ＝60°.所以x 的取值范围是30至60之间.故应选B .二、11，内部；12，3≤OP ≤5；13，；14，146°、60°、86°； 15，14.5cm.点拨：如图，AB ＝10cm ，CD ＝2cm ，由垂径定理可知，OC ⊥AB ，所以AD ＝BD ＝5cm ，设半径OA ＝R ，则OD ＝R －2，在Rt △ADO 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2+OD 2，所以R 2＝52+( R －2)2，14143434AP 16120360400312036064340036432CD BA O BAPO解得2R ＝14.5.16，点拨：如图，此时的AC 即为小虫爬行的最短路程.在 Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝×2π×＝2，所以由勾股定 理，得AC ＝＝＝2.17，显然答案不惟一.由两圆相交必须满足＜5＜R +r 的正数R 、r 即可.如，⊙O 1的半径R ＝7，⊙O 2的半径r ＝3.等等；18，根据条件，得S 1＝π，S 2＝π－π×＝π，S 3＝π－π×－π×＝π，S 4＝π－π×－π×－π×＝π，…，所以S 2－S 1＝π－π＝π(－1)＝－π×，S 3－S 2＝π－π＝π(－)＝－π×，S 4－S 3＝π－π＝π(－)＝－π×，…，由此可以猜想S n －S n －1＝－π×.所以应分别填上π、π、－π×. 三、19，根据折叠，可知四边形DEAB 和BCDE 是等腰梯形，于是ED ＝AB ＝BC ＝CD ＝AE ，∠BAE ＝∠AED ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠ABC .20，（1）证明 由已知得∠ACB ＝90︒，∠ABC ＝30︒，所以∠Q ＝30︒，∠BCO ＝∠ABC ＝30︒.因为CD 是⊙O 的切线，CO 是半径，所以CD ⊥CO ，所以∠DCQ ＝∠BCO ＝30︒，所以∠DCQ ＝∠Q ，故△CDQ 是等腰三角形.（2）设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1，AC ＝AB ＝1，BC ＝.因为等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，所以CQ ＝BC ＝.于是AQ ＝AC +CQ ＝1+，122π22AB BC +2222+2R r -121212212⎛⎫ ⎪⎝⎭381212212⎛⎫⎪⎝⎭12214⎛⎫ ⎪⎝⎭11321212212⎛⎫ ⎪⎝⎭12214⎛⎫ ⎪⎝⎭12218⎛⎫⎪⎝⎭431283812123412114113238121116341221443128113212436411161231412114n -38113212114n -12333D CBA进而AP ＝AQ ＝(1 +)，所以BP ＝AB －AP ＝2－(1 +)＝(3－)，所以PO ＝AP －AO ＝(1 +)－1＝(－1)，所以BP ∶PO ＝. 21，由题意可知：＝6π，＝4π，设∠AOB ＝n °，AO ＝R ，则CO ＝R －8，由弧长公式得＝6π，＝4π，解方程组n ＝45，可求表面积为44π.22，（1）因为BC 是⊙O 的直径，所以∠BAC ＝90°.因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ＝45°，因为OA ⊥BC ，所以∠B＝∠BAO ＝45°.又PE ⊥ AB ，∠AFP ＝∠BAO ＝45°.即∠OEF ＝∠OFE ＝45°.则△APF、△OEF 与△OAB 均为等腰直角三角形.而AP ＝l ，AB ＝4，所以AF ，OA ＝，即OE ＝OF .所以△OEF 的面积为OE ×OF ＝1.（2）①因为PF ＝AP ＝a，所以S 1＝a 2，且AF a ，所以OE ＝OF ＝a (2－a )，所以S 2＝×OE ×OF ＝(2－a )2.当S 1＝S 2时，有a 2＝(2－a )2，所以a ＝4±，因为0＜a ＜2，所以a ＝4－.②S ＝S 1+S 2＝a 2+(2－a )2＝a 2－4a +4＝( a －)2+，当a ＝时，S 取得最小值为.＜，所以不存在这样实数a ，使S .23，（1）证明：因为CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，所以△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF ，所以＝＝，因为HE ＝EC ，所以BF ＝FD .（2）连接CB 、OC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，因为F 是BD 中点，所以∠BCF ＝∠CBF ＝90°－∠CBA ＝∠CAB ＝∠ACO ，所以∠OCF ＝90°，所以CG 是⊙O 的切线.（3）由FC ＝FB ＝FE ，得∠FCE ＝∠FEC ，可证得FA ＝FG ，且AB ＝BG ，因为△GBC ∽△GCA ，所以＝，即CG 2＝AG ·BG .所以(2＋FG )2＝BG ×AG ＝121231231231231233AB CD 180n R π(8)180n R π-618041808nR nR n⨯=⎧⎨⨯=-⎩121212121232324343434343EHBFAE AF CEFDGC AG BG GC2BG2，在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2，所以FG2－4FG－12＝0.解之得FG1＝6，FG2＝－2（舍去）.所以AB＝BG＝4，所以⊙O半径为2.24，（1）如图①，连接DE.因为AD是圆O的直径，所以∠AED＝90°，又因为BC切圆O于点D，所以AD⊥BC，∠ADB＝90°，在Rt△AED和Rt△ADB中，∠EAD＝∠DAB，所以Rt△AED∽Rt△ADB，所以＝，即AE·AB＝AD2，同理连接DF，可证Rt△AFD∽Rt△ADC，即AF·AC＝AD2，所以AE·AB＝AF·AC.（2）AE·AB＝AF·AC；仍然成立.如图②，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D′.则∠AD′B＝90°.因为AD 是圆O的直径，所以∠AED＝90°，又因为∠D′AB＝∠EAD，所以Rt△AD′B∽Rt△AED，所以＝，即AE·AB＝AD′·AD；同理AF·AC＝AD′·AD，所以AE·AB＝AF·AC.同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图③时，AE·AB＝AF·AC仍然成立.22AEADADABABADADAB。
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。
2023年九年级数学中考复习 圆综合压轴题 解答题专题训练(含解析)
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题训练（附答案）1．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．以CD为直径作⊙O，分别与AC，BC相交于点M，N．过点N作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：∠BEN＝90°．（2）若AB＝10，请填空：①迮接OE，ON，当NE＝时，四边形OEBN是平行四边形；②连接DM，DN，当AC＝时，四边形CMDN为正方形．2．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD ＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线．（2）求的值．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠P AC，求证：AB＝BP；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）求证：△FBD∽△FDA．（3）若DF＝4，BF＝2，求⊙O的半径长．6．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2.5时，求DE的长．7．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求证：∠CAE＝2∠ACE；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE＝5，AB＝13，求AF的长．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点M是AB上的动点，以M为圆心，MB为半径作圆交BC于点D，（1）若圆M与AC相切，如图1，求圆的半径；（2）若AM＝2MB，连接AD，如图2．①求证：AD与圆M相切；②求阴影部分的面积．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）求证：△OAC∽△ECF；（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．10．如图，已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，连接DB，DC．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）求证：BC2＝2ED•FC；（3）若tan∠ABC＝2，AD＝，求BC的长．11．已知△ABC内接于⊙O，D是弧AC上一点，连接BD、AD，BD交AC于点M，∠BMC ＝∠BAD．（1）如图1，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点F，求证：DF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，BC是⊙O的直径，连接DC，AM＝1，DC＝，求四边形BFDC的面积．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点．（1）如图1，连接AC、PC、P A，求证：∠APC＝∠ACD；（2）如图2，连接PB，PB交CD于E，过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点F，求证：FE＝PF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，且∠P AE＝∠F，过点A作AG⊥PF，垂足为G，若PG＝6，，求BH的长．13．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．14．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠F AB．（2）求证：BC2＝CE•CP．（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．（1）求证：∠D＝∠AEC；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值．（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．（1）求证：△DEF∽GDF；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若cos∠CAE＝，DF＝10，求线段GF的长．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）求证：AC2＝4OD•OP；（3）若BC＝6，，求AC的长．19．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形CEPF是正方形；（2）当sin A＝时，求CP的长；（3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y 的最大值．20．问题提出（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB＝2，则△ABC的面积为．问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，求图中阴影部分的面积．问题解决（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC 区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB＝∠BDC ＝60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．①求y与x之间的函数关系式；②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．参考答案1．（1）证明：如图，连接ON，DN，∵CD是⊙O的直径，∴∠CND＝∠DNB＝90°，∵NE是⊙O的切线，∴∠ONE＝90°，∴∠BNE＝∠OND，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠ODN＝∠BNE，∵D是斜边AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠BCD+∠ODN＝90°，∴∠B+∠BNE＝90°，∴∠NEB＝90°；（2）解：①∵四边形OEBN是平行四边形，∴BE＝ON＝，∵E为BD的中点，∴N为BC的中点，∴NE为△BCD的中位线，∴NE∥CD，且NE＝CD＝．故答案为：；②∵四边形CMDN为正方形，∴∠MCD＝∠MDC＝45°，∠CMD＝90°，∴MC＝MD＝CD，∵AD＝DC，∴M是AC的中点，AC＝2MC＝CD，∴CD＝AB＝5，∴AC＝5．故答案为：5．2．（1）证明：①∵CD∥AB，∴∠F AB＝∠D，∵∠AFB＝∠DFC，∴△ABF∽△DCF；②∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCO＝∠AOC＝90°，∵OC是半圆的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，∴CE＝OE＝a，AE＝DE，由勾股定理得：AE＝＝a，∴AD＝2a，∵△ABF∽△DCF，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∴EF＝，∵CD是⊙O的切线，∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，解得：DG＝，∴FG＝a﹣﹣＝，∴＝＝．3．（1）证明：连接OC，∵PF＝FC，OC＝OB，∴∠PCF＝∠CPF，∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠PDB＝90°，∴∠CPF+∠OBC＝90°，∴∠PCF+∠OCB＝90°，∴∠FCO＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）证明：连接BG，∵，∴∠P AC＝∠PBG，∵∠PBA＝2∠P AC，∴∠PBA＝2∠PBG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠PGB＝90°，∴∠APB＝∠P AB，∴AB＝BP；（3）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝BP＝5，∴PC＝2，∵∠PDA＝∠PCA＝90°，P A＝P A，∠APB＝∠P AB，∴△APC≌△APD（AAS），∴AD＝PC＝2，PD＝AC＝4，∠P AC＝∠APD，∴AE＝PE，设DE＝x，AE＝PE＝4﹣x，在Rt△AED中，AD2+DE2＝AE2，即22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴EP＝4﹣x＝，∵∠PEC＝90°﹣∠EPC，∠FCE＝90°﹣∠PCF，即∠PEC＝∠FCE，∴EF＝CF＝PF，∴CF＝．4．解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．5．（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∵OD是半径，∴EF与⊙O相切．（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵OD⊥DE，∴∠FDB+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠BAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA；（3）解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r，∵△FBD∽△FDA，∴，∵DF＝4，BF＝2，∴，∴r＝3．6．解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∵OC是圆的半径，∴CG与⊙O相切；（2）证明：∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴，即BO•AB＝BC•BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；（3）由（1）知GC＝GE＝GF，∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，∵∠DCE＝∠AOD＝45°，∴∠EGC＝45°，又∵∠OCG＝90°，∴△OCG为等腰直角三角形，∴GC＝OC，OG＝OC，∴OD+DG＝OC，即OC+2.5＝OC，解得OC＝，∵GF＝GE＝GC＝OC，∴DE＝GE﹣DG＝OC﹣DG＝．7．（1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）证明：连接BE，设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α，∴∠ABC＝∠ACB＝3α，∵∠ABE＝∠ACE＝α，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α，∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；（3）解：过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH，∴EH＝AE＝5，∴∠AHE＝∠EAH＝2α，∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH，∴CH＝EH＝5，∵AC＝AB＝13，∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8，∴AG＝GH＝4，∴CG＝4+5＝9，在Rt△AEG中，EG＝＝＝3，在Rt△CEG中，CE＝＝＝3，∵，∴，∴．8．解：（1）过点M作MN⊥AC于点N，∵圆M与AC相切，∴MN＝MB，∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，∴AB＝12，设MN＝MB＝R．∴AM＝12﹣R，∵∠ACB＝90°，MN⊥AC，∴MN∥BC，∴∠B＝∠AMB＝30°，∴，∴，解得R＝24﹣36．（2）①连接DM，由题意可知MB＝MD，∴∠B＝∠MDB＝30°，∴∠AMD＝60°，∵AM＝2MB，∴AM＝2MD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠BAC＝60°，∴△AMD∽△ABC，∴∠ADM＝∠ACB＝90°，∴AD与圆M相切；②∵AB＝12，AM＝2MB，∴BM＝4，AM＝8，∵∠ADM＝90°，∴AD＝＝4，∴S阴影部分＝4．9．（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝．10．（1）证明：如图1，连接OD．∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∵AD平分∠BAC，∴．∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥ED，又∵OD为半径，∴ED为⊙O的切线；（2）证明：由（1）可得△BCD为等腰直角三角形．∵DE∥BC，∴∠E＝∠ABC＝∠ADC，∠BDE＝∠DBC＝∠DCB＝45°．∴△BED∽△FDC，∴，即BD2＝DE•FC，又，∴BC2＝2ED•FC；（3）解：如图2，过点D作DG⊥AD，交AC的延长线于点G．∴∠CDG+∠ADC＝90°，∠DGC＝∠DAG＝45°．又∵∠ADB+∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠GDC，∵DB＝DC，∠BAD＝∠DGC＝45°，∴△ABD≌△GCD（AAS），∴AB＝CG．∵∠DAG＝45°，∠ADG＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴AB+AC＝AG＝AD＝＝3，∵tan∠ABC＝2，∴设AB＝x，则AC＝2x．∴3x＝3，∴x＝1．即AB＝1，AC＝2．∴BC＝＝＝．11．（1）证明：∵∠BMC＝∠BAD，又∵∠BMC＝∠BAC+∠ABD，∠BAD＝∠BAC+∠DAM，∴∠ABD＝∠DAC，又∵弧DC＝弧DC，∴∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：连接OA、OB、OD，OD交AC于点N，∵FD是⊙O的切线，D为切点，OD是⊙O的半径，∴OD⊥FD，∴∠FDO＝90°，又∵∠AOD＝2∠ABD，∠DOC＝2∠DBC，∠ABD＝∠CBD，∴∠AOD＝∠COD，又∵AO＝CO，∴ON⊥AC，∴∠ANO＝90°，∴∠ANO＝∠FDO，∴AC∥FD；（3）解：连接OD，交AC于N，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠F AC＝180°﹣∠BAC＝90°，又∵∠ANO＝∠FDN＝90°，∴四边形ANDF是矩形，∴AF＝DN，∠F＝90°，又∵ON⊥AC，∴AN＝CN，∴设MN＝a，则AN＝CN＝MN+AM＝a+1，∴CM＝MN+CN＝2a+1，在Rt△MDC中，cos∠ACD＝，在Rt△NDC中，cos∠ACD＝，∴，解得a1＝﹣（舍去），a2＝1，∴MN＝1，CN＝a+1＝2，∴DN＝AF＝＝，又∵MN＝AM＝1，∠AMB＝∠NMD，∠BAM＝∠MND＝90°，∴△BAM≌△DNM（AAS），∴BA＝ND＝，∴BF＝AB+AF＝2，∴AN＝FD＝a+1＝2，∴BD＝＝2，∴S△BFD＝，S△DBC＝BD•CD＝＝3，∴S四边形BFDC＝S△BFD+S△BDC＝2．12．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴∠ACD＝∠DC，∵，∴∠APC＝∠ADC，∴∠APC＝∠ACD；（2）证明：连接OP，∵PF是⊙O的切线，∴OP⊥PF，即∠EPF+∠OPE＝90°，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠HEB+∠HBE＝90°，∵∠PEF＝∠HEB，∴∠PEF＝∠FPE，∴FE＝PF；（3）解：过E作EM⊥PF，垂足为M，∵AG⊥PF，∴∠GAP+∠GP A＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠GP A+∠EPM＝90°，∵∠AGP＝∠EMP＝90°，∴△GP A∽△MEP，∴，∵∠P AE＝∠F，∴tan∠P AE＝tan∠F，则，∵，∴，∴MF＝PG＝6，设PM＝x，∵PE2﹣PM2＝EF2﹣FM2，∴，解得：x1＝﹣10，x2＝4，即PM＝4，∴EM＝＝8，∵，即，∴P A＝3，∵CD⊥AB，AB是直径，∴∠BHE＝∠APB＝90°，∴∠HEB＝∠BAP，∵∠MPE＝∠HEB，∴tan∠P AB＝，即，∴PB＝6，∴BE＝PB﹣PE＝2，∵sin∠HEB＝，即，∴BH＝4．13．（1）证明：连接OC，如图1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，∵BD为⊙O的直径，CK＝，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴当CE最大时，CF取得最大值，∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．14．（1）证明：连接AC，BC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠F＝90°，∴AF∥OC，∴∠F AC＝∠OCA，∴∠F AC＝∠OAC，∴CA平分∠F AB．（2）证明：∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBP＝90°，∵CE⊥OB，∴∠CEB＝∠CBP＝90°，∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB＝∠CAB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠BCE，∴∠PCB＝∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴，∴BC2＝CE•CP；（3）解：，设CF＝3a，CP＝4a，∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，∴BC＝2a，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴△COB是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝BC＝2，∴劣弧BC的长＝＝π．15．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，∵BC⊥OD，∴∠D+∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠D，∵∠AEC＝∠ABC，∴∠D＝∠AEC；（2）证明：连接AC，如图所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵cos∠BCE＝，∴cos∠BAE＝＝，∴AE＝8，∴BE＝＝＝6，∵，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，在Rt△BEH中，BH＝．∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BG＝3，∴OG＝＝＝4，∴BF•OE，∴BF＝，∴HF＝BH﹣BF＝．16．解：（1）∵点A（0，8），∴AO＝8，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD，∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS），∴AE＝AO＝8；（2）∵∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴△CAB∽△CDF，∴，又∵∠ABE＝∠FDE，∠AEB＝∠FED∴△DEF∽△BEA，∴，∴EF＝2AE＝16；（3）设BO＝x，则AB＝x+4，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：82+x2＝（x+4）2，解得：x＝6，∴OB＝BE＝6，AB＝10，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC，∴；设EF＝m，则AF＝8+m，BF＝（8+m），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴62+m2＝[（8+m）]2，解得：m＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝．17．（1）证明：如图1，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（2）证明：如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线；（3）解：如图3，连接OF、AF，∵AD为直径，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD为等腰直角三角形，∵DF＝10，OA＝OD∴AD＝DF＝×10＝20，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝10，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD•cos∠CAE＝20×＝10，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝10+OG，∴10+OG＝GF，∴OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝102+（GF﹣10）2，解得：GF＝或（不符合题意，舍去），∴线段GF的长为．18．（1）证明：连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△P AO≌△PBO（SAS），∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵OA为圆的半径，∴直线P A为⊙O的切线；（2）证明：∵∠P AO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OP A+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OP A，∴△OAD∽△OP A，∴，∴OA2＝OD•OP，又∵AC＝2OA，∴AC2＝4OD•OP；（3）解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3，设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得，（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O的直径，∴AC＝2OA＝10．∴AC的长为10．19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形PECF是矩形，∵CP平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形；（2）解：∵sin A＝，AB＝10，∴，∴BC＝8，∴AC＝＝＝6，∴tan A＝，设PE＝CE＝m，则AE＝6﹣m，∴tan A＝，∴m＝，∴PC＝PE＝；（3）解：∵四边形CEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P顺时针旋转90°，得到△A′PF，P A′＝P A，如图所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△P AE+S△PBF＝S△P A′B＝P A′•PB＝x（10﹣x），∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣+5x，∵y＝﹣+5x＝﹣，∴x＝5时，y有最大值为．20．解：（1）如图①，AD⊥BC，∵△ABC为等边三角形，AB＝2，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，＝sin B＝sin60°，∴＝，∴AD＝，∴△ABC的面积＝AB•AD＝×2×＝，故答案为：；（2）如图②，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB+∠DBE＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝ED，∵DH⊥BC，∴BH＝EH，∴DH＝BE＝BH＝EH，设DH＝BH＝EH＝a，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵DH⊥BC，∴AB∥DH，∴△CDH∽△CAB，∴＝＝，∵AD＝1，AC＝3，∴CD＝3﹣1＝2，∴＝＝，∴AB＝a，CE＝a，∴BC＝CE+BE＝a+2a＝3a，∵AB2+BC2＝AC2，∴a2+9a2＝9，∴a2＝1，∴S阴影＝S△ABC﹣S△BDE＝AB•BC﹣BE•DH＝×a•3a﹣×2a•a＝a2﹣a2＝a2＝1；（3）①设AC与BD相交于点E，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠ADB＝∠BDC＝60°，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），同理△ABO≌△CBO（SSS），∴S△ABO＝S△ACO＝S△CBO，∴S△ABC＝3S△ABO，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠AOB＝120°，在Rt△OAH和Rt△OBH中，，∴Rt△OAH≌Rt△OBH（HL），∴∠AOH＝∠BOH，AH＝BH，在Rt△OAH中，OA＝4，∠AOH＝∠AOB＝60°，∴cos∠AOH＝cos60°＝＝，sin∠AOH＝sin60°＝＝，∴OH＝OA＝2，AH＝OA＝2，∴AB＝2AH＝4，∴S△ABC＝3S△ABO＝3××4×2＝12，∵∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA＝60°，∴△ABE∽△DBA，∴＝＝＝，即S△DBA＝S△ABE，∵∠CBE＝∠DBC，∠BCE＝∠BDC＝60°，∴△CBE∽△DBC，∴＝＝＝，即S△DBC＝S△CBE，∴S四边形ABCD＝S△DBA+S△DBC＝S△ABE+S△CBE，＝（S△ABE+S△CBE）＝S△ABC＝×12＝x2，∴S△ADC＝S四边形ABCD﹣S△ABC＝x2﹣12，即y＝x2﹣12；∵BD的长度大于AB，小于等于直径，∴4＜x≤8，∴y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12（4＜x≤8）；②由①知，y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12，则对称轴为y轴，∵＞0，∴x＞0时，y随x的增大而增大，∵4＜x＜8，∴当x＝8时，y有最大值，即当BD为⊙O的直径时，y取最大值，即y＝×82﹣12＝4，∴花卉区域△ADC面积的最大值是4．。
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∵AH＝2AC＝ 3，
AH ∴OA＝sin60°＝2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠MBC＝60°. ∵BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°. ∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°. ∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM， ∴AB＋BC＝BM.
基础题组
1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2，若 OB＝ 3，则可以得到的正确图形可
能是(A)
2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心作圆．如果⊙A 与线
则∠D＝27°．
基础题组
1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
A︵B
A︵B
2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°.若 P 为 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)
A．30°
3 切，连接 OC，则 tan∠OCB＝ 5 ．
2020年中考数学总复习单元综合检测六：圆
单元综合检测六圆(120分钟150分)1.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是A.35°B.42°C.43°D.44°2.如图,已知在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为A.30°B.35°C.45°D.70°3.如图,☉O的半径为2,A为☉O上一点,半径OD⊥弦BC于点D.如果∠BAC=60°,那么OD 的长是A.2B.C.1D.【解析】∵OD⊥弦BC,∴∠BDO=90°.∵∠BOD=∠A=60°,∴OD=OB=1.4.如图,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,△ABC的周长为14,则BC的长为A.3B.4C.5D.6【解析】∵☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∴AF=AD=2,BD=BE,CE=CF.∵△ABC 的周长为14,∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14,∴2(BE+CE)=10,即BC=5.5.如图,☉O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB.已知∠DOB=72°,则∠E等于A.36°B.30°C.26°D.24°【解析】如图,连接OC,则CE=OB=CO,∴∠E=∠1,∴∠2=∠E+∠1=2∠E.∵OC=OD,∴∠D=∠2=2∠E.∴∠3=∠E+∠D=∠E+2∠E=3∠E.又∠3=72°,∴3∠E=72°,解得∠E=24°.6.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示.已知EF=CD=4 cm,则球的半径长是A.2 cmB.2.5 cmC.3 cmD.4 cm【解析】取EF的中点M,连接OM,OF.设球的半径为r cm,易得Rt△OFM中,OF=r,OM=4-r,FM=EF=2,(4-r)2+22=r2,解得r=2.5,则球的半径长为2.5 cm.7.一个圆锥的高为3 cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的侧面积是A.6π cm2B.9π cm2C.6π cm2D.9π cm2【解析】设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,由题意得2πr=πl,即l=2r,又∵r2+32=l2,解得r=,l=2,∴圆锥的侧面积是πrl=×2π=6π(cm2).8.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,C是优弧上一点(不与点A,B重合),则cos C的值为A. B.C. D.【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D,∴BD=AB=3,∠BOD=∠AOB=∠C.在Rt△BOD中,OB=5,BD=3,∴OD=4,∴cos ∠BOD=,即cos C=.9.小颖同学在制作手工时,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为A.2cmB.6cmC.4cmD.8cm【解析】如图,☉O是等边△ABC的外接圆,连接OB,作OD⊥BC于点D,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵☉O是等边△ABC的外接圆,∴∠OBD=∠ABC=30°.∵OD⊥BC,∴BD=BC=6,∴OB==4(cm).10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB经过点A(6,0),B(0,6),☉O的半径为2(O为坐标原点),P是直线AB上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为A. B.3C.3D.【解析】连接OQ,OP,在Rt△OPQ中,PQ=.∵OQ=2,当OP取最小值时,PQ最小,且OP≥3,∴PQ≥.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图,已知扇形的圆心角∠AOB=120°,半径OA=2,则扇形的弧长为.【解析】由弧长公式得扇形的弧长=.12.(2019·四川雅安)如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为69°.【解析】∵△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.∵∠CBD=21°,∴∠A=∠D=90°-21°=69°.13.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=.【解析】连接OC,设AB与CD交于点E,∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=CD=2.∵∠BCD=30°,∴∠DOE=60°.又∵∠DEO=90°,∠ODE=30°,∴△CEB ≌△DEO(ASA),∴S△CEB=S△DEO,∴S阴影=S扇形BOD.∵sin ∠EOD=,∴OD=4,∴S阴影=S=π.扇形BOD14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,P为AC的中点,连接PD,BC=6,DP=4.O为边BA上一点,以点O为圆心,OB为半径作☉O,当☉O与∠PCD的边所在直线相切时,☉O的半径等于.【解析】∵∠ADC=90°,P是AC的中点,∴AC=2DP=8,又∵BC=6,∴AB=10,∴CD=,∴BD=.如图1,若☉O与CD相切,则☉O的半径r=BD=.如图2,若☉O与CP相切,则BO=OE=r,AO=10-r,由OE⊥AC知OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴,即,解得r=.综上,☉O的半径等于.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,四边形ABCD的顶点都在☉O上,∠ABC=135°,AC=4,求☉O的半径长.解:∵四边形ABCD的顶点都在☉O上,∠ABC=135°,∴∠D=180°-∠ABC=45°,∴∠AOC=2∠D=90°.∵OA=OC,且AC=4,∴OA=OC=AC=2,即☉O的半径长为2.16.如图,已知一条圆弧经过点A(0,4),B(4,4),C(6,2),在图中作出点A,B,C所确定的圆的圆心M,并直接写出圆心M的坐标.解:图略,圆心M(2,0).四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ACE中,AC=CE,☉O经过点A,C,且与边AE,CE分别交于点D,F,B是劣弧上的一点,且,连接AB,BC,CD.求证:△CDE≌△ABC.证明:∵,∴∠DCE=∠BAC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠CDE=∠ABC.又∵CE=AC,∴△CDE≌△ABC.18.如图,☉O是△ABC的外接圆,CA=CB,连接BO并延长交AC于点D.(1)求证:∠C=2∠CBD;(2)若AB=6,sin C=,则☉O的半径为5.解:(1)连接CO,AO.∵CA=CB,OA=OB,OC=OC,∴△COA≌△COB,∴∠ACO=∠BCO.∵OC=OB,∴∠BCO=∠CBD,∴∠C=2∠CBD.(2)提示:如图,作☉O的直径AK,连接BK,∴∠ABK=90°,∠C=∠K.∵AB=6,sin C=,∴sinK=,∴AK=10,∴☉O的半径为5.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,△ABC内接于☉O.(1)作∠B的平分线与☉O交于点D;(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)中,连接AD,若∠BAC=60°,∠C=66°,求∠DAC的大小.解:(1)如图所示,BD即为所求.(2)∵∠BAC=60°,∠C=66°,∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=54°.由作图可知BD平分∠ABC,∴∠DAC=∠DBC=∠ABC=27°.20.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在圆的半径r的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?解:(1)连接OA.由题意得AD=AB=30,OD=r-18.在Rt△ADO中,由勾股定理得r2=302+(r-18)2,解得r=34.(2)连接OA',OE=OP-PE=30.在Rt△A'EO中,由勾股定理得A'E2=A'O2-OE2,即A'E2=342-302,解得A'E=16,∴A'B'=32.∵A'B'=32>30,∴不需要采取紧急措施.六、(本题满分12分)21.如图,四边形ABDC内接于☉O,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接OB,OC,BD,CD.(1)求证:四边形OBDC是菱形;(2)若∠ABO=15°,OB=1,求弦AC的长.解:(1)连接OD,由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°.∵AD平分∠BAC,∴,∴∠BOD=∠COD=60°.∵OB=OD,OC=OD,∴△BOD和△COD都是等边三角形,∴OB=BD=DC=OC,∴四边形OBDC是菱形.(2)连接OA,∵OB=OA,∠ABO=15°,∴∠AOB=150°,∴∠AOC=360°-150°-120°=90°,∴AC=.七、(本题满分12分)22.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆☉O于点D,连接BD,CD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.(1)求证:直线DM是☉O的切线;(2)若DF=2,AF=5,求BD的长.解:(1)连接OD.∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC.∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.又∵OD为☉O的半径,∴直线DM是☉O的切线.(2)∵,∴∠DBF=∠DAB.又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴,即BD2=DF·DA.∵DF=2,AF=5,∴DA=DF+AF=7,∴BD2=14,∴BD=.八、(本题满分14分)23.如图,AB是☉O的直径,过☉O上一点C作☉O的切线,交AB的延长线于点E.过点A作CE的垂线,垂足为D,AD交☉O于点F,设∠ABC=α(0°<α<90°).(1)用含α的代数式表示∠DAC;(2)若AB=10,sin α=,求AD的长;(3)若α=60°,AB=10,求图中阴影部分的面积.解:(1)连接OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC=α,∴∠ACO=90°-α.∵DE切☉O于点C,∴OC⊥DE.∵AD⊥CE,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO=90°-α.(2)在Rt△ABC中,∵sin α=,AB=10,∴AC=8.易得∠ACD=α,∴sin ∠ACD=sin α=,即,∴AD=.(3)连接OF,交AC于点G.∵∠DAC=90°-α=90°-60°=30°,∴∠FOC=2∠DAC=60°.∵OB=OC,∠ABC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∴∠AOF=60°.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴AF=OF=OC,∠AFO=60°.在△AFG和△COG中,∴△AFG≌△COG,∴S△AFG=S△COG.∵AB=10,∴☉O的半径r=5,∴S阴影=S扇形OFC=.。
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中考数学总复习第三次周考试卷--圆
班级：___________姓名：___________座号：___________ 2016.3.26
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝20°，则∠AOD 等于( ) A ．160° B ．150° C ．140° D ．120°
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10 3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点C ，若∠BCD ＝25°，则∠B 等于( ) A ．25° B ．65° C ．75° D ．90°
4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是( )
A ．AD ＝12BC
B ．AD ＝1
2
AC C ．AC ＞AB D ．AD ＞DC
5．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数是( )
A ．52°
B ．76°
C ．26°
D ．128°
第5题 第6题 第7题 第8题 6．如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E.若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长度为( )
A ．5
B ．6
C .30
D .11
2
7．如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( )
A ．3.6
B ．1.6
C ．3
D ．6
8．如图，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为( )
A ．19
B ．16
C ．18
D ．20
9．如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a(a ＞23r)的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是( )
A .π3r 2
B .33－π3
r 2 C ．(33－π)r 2 D ．πr 2 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a)(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是( )
A ．4
B ．3＋ 2
C ．3 2
D ．3＋ 3
第9题 第10题 第11题 第12题
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵
，∠DCB ＝28°，则∠ABC ＝_____________度． 12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C ＝130°，则∠BOD ＝_____________度．
13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C ＝20°，则∠CDA ＝_____________°.
第13题 第14题 第16题 第18题
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC ，若∠CAB ＝22.5°，CD ＝8 cm ，则⊙O 的半径为_____________cm .
15．用半径为12 cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为_____________cm .
16．如图，MN 是⊙O 的弦，正方形OABC 的顶点B ，C 在MN 上，且点B 是CM 的中点，若正方形OABC 的边长为7，则MN 的长为_____________．
17．直径为10 cm 的⊙O 中，弦AB ＝5 cm ，则弦AB 所对的圆周角是_______________． 18．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°后得到△DBE ，点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是_____________．
三、解答题(共46分)
19．(9分)如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上的一点，点C 是AD ︵
的中点，弦CM 垂直AB 于点F ，连接AD ，交CF 于点P ，连接BC ，∠DAB ＝30°.
(1)求∠ABC 的度数；
(2)若CM ＝83，求AC ︵
的长度．(结果保留π)
20．(9分)已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：_____________或_____________；
(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
21．(9分)如图1，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
22．(9分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.
(1)求∠OCA的度数；
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝23，求图中阴影部分面积．(结果保留π和根号)
23．(10分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E.
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求cos E 的值．
附加题．(10分)如图，在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于
点D ，F 为AD ︵上一点，且AF ︵＝BC ︵
，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E.
(1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由； (2)求证：△BCD ≌△AFD ；
(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．。