2018届北京市【海淀八模】高三文科数学模拟测试卷(六)试题及答案(扫描版)
2018年高三最新 北京海淀区高考数学模拟试题及答案 精品
北京海淀区高考数学模拟试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合M=｛x|x-a=0｝，N=｛x|ax-1=0｝．若M∩N＝M，则实数a等于[ ]A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0[ ]A．20 B．-20 C．160 D．-160(3)已知命题甲：“x＞2”、命题乙：“x≥2”，那么命题甲是命题乙成立的[ ]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件的最近距离等于[ ][ ][ ]A．是55 B．是95 C．是100 D．不能确定(7)如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是[ ]1个公共点，这样的直线l共有[ ] A．1条B．2条C．3条D．4条(9)已知点P(x，y)在经过A(3，0)、B(1，1)两点的直线上那么[ ][ ]A．关于直线x=1对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=-1对称D．关于直线y=1对称(11)若l是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与l垂直且被l平分的弦[ ]A．有且只有1条B．有且只有2条C．有3条D．不存在(12)某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8、2、5、3、7、1，参加抽奖的每位顾客从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖．一位顾客可能抽出的不同号码组共有m组，其中可以中奖的号码[ ]第Ⅱ卷二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．(16)一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为________(写出一个可能值)．三、解答题：本大题满分74分(17)(Ⅰ)求argz，并写出z的三角式(本小题满分12分)(18)(本小题满分12分)已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G(如图)，将此三角形沿DE 折成二面角A′-DE-B．(Ⅰ)求证：平面A′GF⊥平面BCED；(Ⅱ)当二面角A′-DE-B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论．(19) (本小题满分12分)(20)(本小题满分12分)某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt＋b的图象．(Ⅰ)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；(Ⅱ)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？(21)(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)，(-1≤x≤1)是奇函数．又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为-5．(Ⅰ)证明：f(1)＋f(4)=0,(Ⅱ)试求y=f(x)，x∈[1，4]的解析式；(Ⅲ)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式．(22)(本小题满分14分)D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0)(Ⅰ)若点D坐标为(0，3)，求∠APB的正切值；(Ⅱ)当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；(Ⅲ)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由．参考答案与评分标准一、选择题：(1)C；(2)D；(3)A；(4)A；(5)C；(6)B；(7)C；(8)C；(9)B；(10)C；(11)D；(12)D．二、填空题：(13)12；(14)｛x|-2＜x＜1＝；(15)x∈(0，2)；三、解答题：(17)解：(Ⅰ)△ABC的面积为1．(18)略(19) (Ⅰ)略(Ⅱ)(20)解：(Ⅰ)由已知数据，易知函数y=f(t)的周期T=12……………………………………………………………………1分振幅A＝3………………………………………………………2分b=10…………………………………………………………3分(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5(m)12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)在同一天内，取k=0或1∴1≤t≤5或13≤t≤17…………………………………10分∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时……………………………………………………………12分(21)解：(Ⅰ)∵y＝f(x)是以5为周期的周期函数∴f(4)=f(4-5)＝f(-1)………………………………1分又y=f(x)，(-1≤x≤1)是奇函数∴f(1)=-f(-1)=-f(4)∴f(1)＋f(4)=0………………3分(Ⅱ)当x∈[1，4]时，由题意，可设由f(1)＋f(4)＝0解得a=2(Ⅲ)∵y=f(x) (-1≤x≤1)是奇函数∴f(0)=-f(-0) ∴f(0)=0……………………………8分又y＝f(x) (0≤x≤1)是一次函数∴可设f(x)=kx (0≤x≤1)又f(1)=k·1=k∴k＝-3∴当0≤x≤1时f(x)=-3x…………………………………9分当-1≤x＜0时，0＜-x≤1∴f(x)=-f(-x)=-3x∴当-1≤x≤1时，f(x)=-3x……………11分当4≤x≤6时，-1≤x-5≤1∴f(x)＝f(x-5)＝-3(x-5)＝-3x＋15当6＜x≤9时1＜x-5≤4原点)．∴圆D半径r=5-2=3此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6)PA在x轴上，PB斜率k=2∴tg∠APB＝2……………3分(Ⅱ)设D点坐标为(0，a)，圆D半径为r，A、B坐标分别为(0，a-r)、(0，a＋r)……………………………………6分调增函数，r∈[2，＋∞)．……………………14分。
北京海淀区2018年高三数学期末考试题(文)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 (文科)第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C ．2D ．22. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝A.100B.210C.380D.400 4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈5．某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是A ．2 B.3 C.5 D.136. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖7. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2, 则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223B ．2C ．2D ．3328. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A =且2a b =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ；1B 1C 1A 1D（II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.。
高考数学试题-2018年北京海淀区高考一模试题解析：数学(文) 最新
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （海淀·文科·题1）1．在复平面内，复数()i 1i -（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 A ；()i 1i 1i -=+，对应的点为()1,1位于第一象限．（海淀·文科·题2）2．sin 75cos30cos75sin 30︒︒-︒︒的值为（ ）A ．1B ．12CD【解析】 C ；()sin 75cos30cos75sin 30sin 7530sin 45︒︒-︒︒=︒-︒=︒=．（海淀·文科·题3）3．已知向量,a b ，则“a b ∥”是“+=a b 0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 B ；必要性：+=a b 0⇔=-a b ，从而有a b ∥；充分性：当a b ∥时，可以取2=a b ，从而3+=a b b ，当≠b 0时+≠a b 0． 综上，“a b ∥”是“+=a b 0”的必要不充分条件．（海淀·文科·题4）4． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S-=，则数列{}n a 的公差是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【解析】 C ；3123133S a a a a d =++=+，21212S a a a d =+=+；∴()32113222S S d d a d a ⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭，因此2d =．（海淀·文科·题5）5．在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）【解析】 D ；BACDy x a =+在B 、C 、D 三个选项中对应的1a >，只有选项D 的图象正确．（海淀·文科·题6）6．一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）第 5 题A． B ．8 C． D ．12 【解析】 A ；设该三棱柱底面边长为a ，高为h，则左视图面积为．由三视图可得：2h ==，解得43a h =⎧⎨=⎩．于是=为所求．（海淀·文科·题7） 7．给出下列四个命题：①若集合A 、B 满足A B A =，则A B ⊆；②给定命题,p q ，若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③设,,a b m ∈R ，若a b <，则22am bm <；④若直线1:10l ax y ++=与直线2:10l x y -+=垂直，则1a =． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 B ；命题①和④正确．（海淀·文科·题8）81by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为（ ） A1 B ．2 CD1 【解析】 A ；圆221x y +=的圆心到直线1by +=的距离为=，∴2222a b +=，即2212b a +=．因此所求距离为椭圆2212b a +=上点(),P a b 到焦点()0,1的距离，其最大值为1．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （海淀·文科·题9）9．若0x >，则4y x x=+的最小值是___________．【解析】 4；44244x x x x +⋅==≥2，当且仅当4x x=，即2x =时取等号．（海淀·文科·题10）10．已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________． 【解析】 28y x =；由已知，该轨迹为2p =，定点为()0,0，对称轴为x 轴的抛物线，即28y x =．（海淀·文科·题11）11．已知不等式组y x y x x a ⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≤，表示的平面区域的面积为4，点(),P x y 在所给平面区域内，则2z x y =+的最大值为______． 【解析】 6；z = 2x + yyOxx = ay = - xy = x可行域面积为2a ，∴2a =因此当2,2x y ==时，2x y +取最大值，为6．（海淀·文科·题12）12．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为 ．【解析】30；由10.040.120.140.052x ++++=，解得0.15x =．于是在这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为0.15100230⨯⨯=．（海淀·文科·题13）13．已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________．【解析】 12；∵()202mod 3i ==，∴对应的12a =．（海淀·文科·题14）14．在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y xy =+≤，(){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则（1）点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； （2）点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ． 【解析】 π，12π+；（1） 如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π；（2） 如右图所示，点集Q 是由四段圆弧以及连结它们的四条切线段围成的区域，其面积为12π+．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （海淀·文科·题15） 15． （本小题满分13分）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），其部分图象如图所示．（I ）求()f x 的解析式；（II ）求函数ππ()44g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值．【解析】 （I ）由图可知，1A =，π42T =，所以2πT =∴1ω=又ππsin 144f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且ππ22ϕ-<<，所以π4ϕ=所以π()sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（II ）由（I ）π()sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以ππ()44g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππππsin sin 4444x x ⎛⎫⎛⎫++⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 2x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭cos sin x x =⋅1sin 22x =因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2[0,π]x ∈，sin 2[0,1]x ∈．故11sin 20,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π4x =时，()g x 取得最大值12．（海淀·文科·题16） 16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等． 假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．（I ）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？（II ）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？【解析】（I）设“甲获得优惠券”为事件A因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13．顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，根据互斥事件的概率，有112 ()333P A=+=，所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23．（II）设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x元，第二次获得优惠券金额为y元，则基本事件空间Ω可以表示为：{} (20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为19．而乙获得优惠券金额不低于20元，是指20x y+≥，所以事件B中包含的基本事件有6个，所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为62 ()93 P B==答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为23，乙获得优惠券金额不低于20元的概率为23．（海淀·文科·题17）17．（本小题满分14分）如图：在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是菱形，60ABC∠=︒，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且2PA AB==．（I）证明：BC⊥平面AMN；（II）求三棱锥N AMC-的体积；（III）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为ABCD为菱形，所以AB BC=又60ABC∠=︒，所以AB BC AC==，又M为BC中点，所以BC AM⊥而PA⊥平面A B C D，BC⊂平面A B C D，所以PA BC⊥又PA AM A=，所以BC⊥平面AMN（II）因为11122AMCS AM CM∆=⋅==又PA⊥底面ABCD，2PA=，所以1AN=所以，三棱锥N AMC-的体积13V=AMCS AN∆⋅113==（III）存在取PD中点E，连结NE，EC，AE，NMAC BP因为N ，E 分别为PA 、PD 中点，所以NE AD ∥且12NE AD = 又在菱形ABCD 中，CM AD ∥，12CM AD =所以NE MC ∥，NE MC =，即MCEN 是平行四边形 所以//NM EC ，又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE所以MN //平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ，此时12PE PD ==．（海淀·文科·题18） 18．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠．（I ）若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值； （II ）设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值． 【解析】 （I ）因为(1)0f =，(1)0g =，所以点()1,0同时在函数()f x ，()g x 的图象上 因为2()1f x x =-，()ln g x a x =，()2f x x '=，()ag x x'=由已知，得(1)(1)f g ''=，所以21a=，即2a =（II ）因为2()()2()12ln F x f x g x x a x =-=--（0)x >所以222()()2a x a F x x x x-'=-=当0a <时，因为0x >，且20,x a ->所以()0F x '>对0x >恒成立， 所以()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 无极值当0a >时，令()0F x '=，解得1x =2x = 所以当0x >时，()F x '，()F x 的变化情况如下表：2121ln F a a a a =--=--．综上，当0a <时，函数()F x 在()0,+∞上无极值；当0a >时，函数()F x 在x =1ln a a a --．（海淀·文科·题19） 19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭0在该椭圆上． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．【解析】 （I ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>，由题意可得12c e a ==，又222a b c =+，所以2234b a =因为椭圆C 经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a +=，解得2a =所以1c =，2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，0k ≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+又||AB==即2212(1)||34k AB k +==+又圆O的半径r ==所以1||2AOB S AB r ∆=⋅⋅22112(1)234k k +=⋅+= 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得211k =，2218k =-（舍） 所以r ==O 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）解法二：设直线l 的方程为1x ty =-， 由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(43)690t y ty +--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则12122269,4343t y y y y t t+=⋅=-++所以12||y y -==所以1121||||2AOB S F O y y ∆=⋅⋅-==化简得到4218170t t --=，即22(1817)(1)0t t +-=，解得211,t =221718t =-（舍） 又圆O的半径为r ==所以r =O 的方程为：2212x y +=（海淀·文科·题20） 20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n =．（Ⅰ）求345,,a a a 的值； （Ⅱ）设121n n b a -=+，1,2,3,n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；（III ）对任意的2m ≥，*m ∈N ，在数列{}n a 中是否存在连续的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由．【解析】 （Ⅰ）因为11a =，所以21123a a =+=，3115222a a =+=，42127a a =+=，52113222a a =+=（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n ，121n n b a -=+，所以121n n b a +=+又122221(21)12(1)2n n n n a a a b -+=++=+= 所以12n n b b +=．又11112112b a a -=+=+=所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n b =（III ）存在．事实上，对任意的2m ≥，*k ∈N ，在数列{}n a 中，22122221,,,,m m m m m a a a a +++-这连续的2m 项就构成一个等差数列我们先来证明：“对任意的2n ≥，*n ∈N ，()10,2n k -∈，*k ∈N ，有12212n n k k a -+=--” 由（II ）得1212n n n b a -=+=，所以1221n n a -=-． 当k 为奇数时，1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+当k 为偶数时，112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+记111,221,212kk p k k k p ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=+⎪⎩，其中1p *∈N ．因此要证12212n n k ka -+=--，只需证明21112212n n k k a --+=--，其中()210,2n k -∈，*1k ∈N（这是因为若21112212n n k k a --+=--，则当112k k -=时，则k 一定是奇数， 有1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+=11111122212212122222n n n k k k ---⎛⎫ ⎪⎛⎫+--=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭； 当12kk =时，则k 一定是偶数，有112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+=11121221122121222n n n k k k --⎛⎫ ⎪⎛⎫+--=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭）如此递推，要证21112212n n k k a --+=--， 只要证明32222212n n k ka --+=--，其中1122112,221,212k k p k k k p ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=+⎪⎩，其中2p *∈N ．，()320,2n k -∈，*2k ∈N如此递推下去，我们只需证明12222212n n k ka --+=--，()120,2n k -∈，*2n k -∈N即1221115213222a +=--=-=，即352a =，由（I ）可得，所以对2n ≥，*n ∈N ，()10,2n k -∈，*k ∈N ，有12212n n k ka -+=--，对任意的2m ≥，*m ∈N ，12212m m i i a ++=--，1211212m m i i a ++++=--，其中()0,21m i ∈-，*i ∈N ， 所以21212m m i i a a +++-=-又1221m m a +=-，1211212m m a ++=--，所以21212m m a a +-=-所以22122221,,,...,m m m m m a a a a +++-这连续的2m项，是首项为1221m m a +=-，公差为12-的等差数列．说明：当21m m >（其中12m ≥，*1m ∈N ，*2m ∈N ）时， 因为2222222122221,,,...,m m m m m a a a a +++-构成一个项数为22m 的等差数列，所以从这个数列中任取连续的12m 项，也是一个项数为12m ，公差为12-的等差数列．。
北京市海淀区2018届高三第一学期期末练习数学(文)试卷(含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A. 1B. 0C.1-D. 2-（2）已知,a b R ∈，若a b p ，则A. 2a b pB. 2ab b p C.1122a b p D. 33a b p （3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A.0,0B.0,5C.5,0D.5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为 A.3 B. 6 C. 3或3- D. 6或6-（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅u u u r u u u r的取值范围是A. 31(,)44-B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为 A.21-B.2C.3515- D. 355第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .（11）ABC ∆中， 1,7,a b ==且ABC ∆的面积为32，则c = . （12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩f 的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一1 2 3 4 5 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。
北京海淀区2018年高三数学期末考试题(文)
海淀区2018年高三年级第一学期期末练习数学 (文科)第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．设集合{}{}2|1|1,0A x x x B x x x =+=+=+<，则A B ⋂等于 （ ）.A [)1,0-.B(1,0)- .C (]1,0- .D []1,0- 2．若曲线4y x =的一条切线l 的斜率为4，则切线l 的方程是 （ ）.A 430x y --= .B 450x y +-= .C 430x y -+=.D 430x y ++=3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题 ①//m n ，n α⊂⇒//m α； ②l α⊥，m β⊥，//l m ⇒//αβ； ③,,//,//m n m n ααββ⊂⊂⇒//αβ；④αβ⊥，m αβ⋂=，n β⊂，n m ⊥⇒n α⊥.其中正确的命题个数是 （ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 44．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）.A 0 .B12 .C 35.D 25．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）.A 2,0M M ∉∈ .B 2,0M M ∉∉.C 2,0M M ∈∉.D 2,0M M ∈∈绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 A.75辆 B.120辆 C.180辆 D.270辆 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin 2f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .ABC1B 1C 1A D F1D O18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.。
2018年高三最新 北京文数含答案 精品
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡颇擦干净后，再选涂其他答案。
不能答在试卷上。
一、题共8小题，第小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A ={x |-2≤x ≤3}≤3,B ={x |x <-1或x >4},则集合A ∩B 等于 （A ）{x |x ≤3或x >4} （B ）{x |－1<x ≤3} （C ）{x |3≤x<4} (D) {x |－2≤x<-1} （2）若a =log, π,b =log,6，c =log 20.8,则 （A ）a>b >c （B ）b>a >c （C ）c>a >b （D ）b>c >a（3）“双黄线的方程为116922=-y x ”是“双曲线的准线方程为x =59±”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件（4）已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于 （A ）135° (B)90° (C)45°(D)30°（5）函数f (x )=(x -1)2+1(x <1)的反函数为 （A ）f --1(x )=1+1-x (x>1) （B ）f --1(x )=1-1-x (x>1) （A ）f --1(x )=1+1-x (x ≥1)（A ）f --1(x )=1-1-x (x ≥1)x -y +1≥0,（6）若实数x ，y 满足 x +y ≥0, 则z =x +2y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)21 (C) 1 (D)2（7）已知等差数列｛a n ｝中，a 2=6,a 5=15.若b n =a 2n ,则数列｛b n ｝的前5项和等于 (A)30 （B ）45(C)90 (D)186（8）如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N.设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是绝密★使用完毕前2018年普通高等学校校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
北京市海淀区2018届高三第二次模拟考试文科数学试题
北京市海淀区2018届高三第二次模拟考试文科数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．已知复数在复平面上对应的点为，，则( )A. B. C. 是实数 D. 是纯虚数3．若直线是圆的一条对称轴，则的值为( )A. 1B.C. 2D.4．已知，则( )A. B. C. D.5．如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共颗，其中，落在阴影区域内的豆子共颗，则阴影区域的面积约为( )A. B. C. D.6．设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1,2， (300)示，并用表示第名学生的选课情况，其中根据如图所示的程序框图，下列说法错误的是( )第名学生不选历史第名学生选历史第名学生不选地理第名学生选地理A. 为选择历史的学生人数；B. 为选择地理的学生人数；C. 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数；D. 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和8．如图，已知直线与曲线相切于两点，则函数有( )A. 个零点B. 个极值点C. 个极大值点D. 个极大值点二、填空题9．已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为___________.10．已知平面向量，的夹角为，且满足，，则__________，__________. 11．将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则__________,__________.12．在中，，则__________.13．两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且小区参加献爱心活动的同学比小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有____人.14．某几何体的主视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体左视图的图形是_________.（写出所有可能性的序号）①②③三、解答题15．已知等差数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.16．已知函数.（Ⅰ）写的相邻两条对称轴的距离；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的最大值.17．17．如图，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.图1图2（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.18．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小.（只需写出结论）19．已知函数.（Ⅰ）求的零点；（Ⅱ）当时，求证：在区间，上为增函数.20．已知椭圆：的左右顶点分别为，.（Ⅰ）求椭圆的长轴长与离心率；（Ⅱ）若不垂直于轴的直线与椭圆相交于，两点，直线与交于点，直线与交于点.求证：直线垂直于轴.北京市海淀区2018届高三第二次模拟考试文科数学试题参考答案1．B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解：，集合，，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2．C【解析】分析：根据复数在复平面上对应的点为，，可得，进而可得结果.详解：因为复数在复平面上对应的点为，，可得，所以，即是实数，故选C.点睛：本题主要考查复数与复平面内点的对应关系，属于简单题.3．B【解析】分析：由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到的值.详解：圆的方程可化为，可得圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以，圆心在直线上，可得，，即的值为，故选B.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.4．D【解析】分析：取，，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为，时，, , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.5．C【解析】分析：根据几何概型的意义进行模拟试验，列出豆子落在阴影部分的概率与阴影面积及圆面积之间的方程求解即可.详解：设阴影区域的面积为，由几何概型概率公式可得：，故选C.点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.6．A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．C【解析】分析：读懂程序框图程序框图，得到分别表示的人数含义，从而可得结果.详解：阅读程序框图可知，第一个条件语句输出的是择历史的学生人数；第二个条件语句输出的是择地理的学生人数；为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（没有剔除重合部分），所以，“为至少选择历史、地理一门学科的学生人数”错误，故选C.点睛：本题主要考查循环结构以及条件结构，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.8．D【解析】分析：根据函数有三个极大值点，两个极小值点，判断，在极值点左右两边的符合，可得函数五个极值点，三个极大值，两个极小值，从而可得结果.详解：直线与曲线相切于两点，有两个根，且，由图象知，则即，则函数，没有零点，函数有三个极大值点，两个极小值点，则，设的三个极大值点分别为，由图可知，在的左侧的右侧，此时函数有三个极大值，在的左侧，的右侧，，此时函数有两个极小值点，故函数有五个极值点，三个极大值，两个极小值，故选D.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.9．【解析】分析：由抛物线的焦点为，可得，从而可得抛物线的标准方程.详解：因为抛物线焦点在正半轴，标准方程为，由焦点为，可得，，故答案为.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线的焦点，意在考查对基本性质与基本概念掌握的熟练程度.10．【解析】分析：先根据平面向量的数量积公式求出的值，然后将平方，结合所求数量积以及，，可得结果.详解：，向量与的夹角为，，由此可得，，故答案为(1) (2).点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.11．【解析】分析：直接根据函数图象“伸缩变换”的性质求得函数解析式，从而可得结果.详解：的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，，，故答案为(1) ，(2) .点睛：：本题考查了三角函数的图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先平移变换再伸缩变换情况下图象的问题，反映学生对所学知识理解的深度.12．【解析】分析：因为，可设，利用余弦定理求得的值，根据平方关系求得，再利用商的关系可得结果.详解：，可设，由余弦定理可得，，，，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特同角三角函数之间的关系，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.13．【解析】分析：设两区参加活动同学的人数分别为，受到服务的老人人数为，找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域,平移直线可求得满足题设的最优解.详解：设两区参加活动同学的人数分别为，受到服务的老人人数为，则，且作出可行域，如图平移直线，由图可知，当直线过点时，最大,当时，取得最大值为，即接受服务的老人最多有人，故答案为.点睛：本题主要考查利用线性规划的思想方法解决某些实际问题，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．①②③【解析】分析：根据几何体的主视图和俯视图，在正方体中分别找到符合题意的多面体，即可得结果.详解：如图三棱锥，正视图与俯视图符合题意，侧视图为①；如图三棱锥，正视图与俯视图符合题意，侧视图为②；如图三棱锥，正视图与俯视图符合题意，侧视图为③，故答案为①②③.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.15．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，令、可得，解得，从而可得结果；（Ⅱ）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.详解：设等差数列的公差为，因为，所以所以所以所以.（Ⅱ）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以因为，所以.设数列的前项和为，则所以数列的前项和为点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，由相邻两条对称轴的距离为半个周期可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，利用解不等式即可得结果.详解：（Ⅰ）所以函数的最小正周期.所以曲线的相邻两条对称轴的距离为，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，.因为在上单调递增，且在上单调递增，所以，即解得.故的最大值为.点睛：对三角函数的图象与性质以及三角函数恒等变形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，既要掌握三角函数的基本性质，又要熟练掌握并灵活应用两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）和的中点，证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由菱形的性质可得,又平面，所以平面；（Ⅱ）先证明四边形为平行四边形，可得. 又由（Ⅰ）得，平面, 从而得平面，由平面可得结论；（Ⅲ）别取和的中点，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得及，由面面平行的判定定理可得结论.详解：(Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，,又平面，所以平面（Ⅱ）因为四边形为菱形，所以.又点为的中点，所以.所以四边形为平行四边形.所以.又由（Ⅰ）得，平面,所以平面.因为平面，所以平面平面.（Ⅲ）存在满足条件的点,且分别是和的中点.如图，分别取和的中点.连接.因为四边形为平行四边形，所以.所以四边形为平行四边形.所以.在中，分别为中点，所以.又平面,平面,所以平面平面.点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），.【解析】分析：（Ⅰ）求出这名学生两轮考核的平均成绩，可知大于等于分的有6人，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其成绩均大于等于分共3人，利用列举法可得人中选两人的事件有个事件，其中这两名同学两轮测试成绩均大于等于分的事件有个，由古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）根据成绩的平均值以及成绩的稳定性可得结果.详解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是.从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.（Ⅱ）设事件为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以.（Ⅲ），.点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19．（Ⅰ）当时，无零点；时，零点为；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）令，得，当时，方程无解，没有零点；当时，得，结合函数的定义域可得结果；（Ⅱ）求出.令,利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得，进而可得.详解：（Ⅰ）的定义域为，令，得当时，方程无解，没有零点；当时，得.综上，当时，无零点；当时，零点为.（Ⅱ）.令,则，其对称轴为，所以在上单调递增.所以.当时，恒成立，所以在上为增函数.可得，所以在区间，上为增函数.点睛：本题主要考查函数的零点以及利用导数证明函数的单调性，函数单调性的证明思路为：一是利用单调性的定义，判断的符号证明；二是利用导数转化为证明不等式或成立. 20．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：由椭圆的方程可化为,可得，所以长轴长为，离心率；（Ⅱ）设直线的方程为，的方程为，联立可得，同理可得，可证明且，从而可得，进而可得结果.详解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为,所以.所以长轴长为，离心率（Ⅱ）显然直线、、、都存在斜率，且互不相等，分别设为设直线的方程为，的方程为，联立可得.同理可得.下面去证明设，则.所以.同理所以.所以直线垂直于轴.方法2：设直线方程为.由得.当时，.直线方程为，直线方程为，联立可得，得其中，所以，即点的横坐标与两点的坐标无关，只与直线的方程有关.所以，直线垂直于轴.点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．。
北京海淀区2018-2019学年上学期高三数学文科期末试卷附答案解析
（A） 4
（B）10
（C） 20
（4）已知向量 a (2,0),b (t,1) ，且 a b | a |，则 a b
（D） 40
（A） (1,1)
（B） (1, 1)
（C） (1,1)
（D） (1,1)
（5）直线 y kx 1 被圆 x2 y2 2 截得的弦长为 2 ，则 k 的值为
（13）设关于 x, y 的不等式组 x 4, 表示的平面区域为 ，若 A(1,2), B(3,0),C(2,3) 中有且仅有两个点
y kx 2
在 内，则 k 的最大值为
．
（14）已知函数 f (x) e | xt | ， g(x) x e ， h(x) ma x{ f (x), g(x)} ，其中 ma x{a, b}表示 a, b 中最大
（A）函数 f (x) 的值域与 g(x) 的值域不同
（B）存在 x0 ，使得函数 f (x) 和 g(x) 都在 x0 处取得最值
（C）把函数
f
(x) 的图象向左平移
π 2
个单位，就可以得到函数
g(x)
的图象
（D）函数 f (x) 和 g(x) 在区间 (0, π ) 上都是增函数 2
1
（8）已知集合 I {1,2,3,4,5,6}， A {(s,t) | s I,t I}. 若 B A ，且对任意的 (a,b) B,(x, y) B ，均有
15．解：（Ⅰ）因为 a1 2 ， an an1 2n1(n 2)
所以 a2 a1 2 4 ， a3 a2 4 8 ， a4 a3 8 16
因为 an an1 2n1(n 2)