2018届高三文科数学培优资料(一)解析版

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2018届高三文科数学培优资料(一)

圆锥曲线的方程与性质

一、知识整合

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称

椭圆

双曲线

抛物线

定义

|PF 1|+|PF 2|=2a

(2a >|F 1F 2|) ||PF 1|-|PF 2|| =2a (2a <|F 1F 2|) |PF |=|PM |,点F 不在直线l 上,PM ⊥l 于M

标准方程

x 2a 2+y 2

b 2

=1(a >b >0) x 2a 2-y 2

b 2

=1(a >0,b >0) y 2=2px (p >0)

图形

几何性质

范围 |x |≤a ,|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)(0,±b )

(±a,0)

(0,0)

对称性 关于x 轴,y 轴和原点对称

关于x 轴对称

焦点

(±c,0)

(p

2,0) 轴

长轴长2a ,短轴长2b 实轴长2a ,虚轴长2b

离心率

e =c a

= 1-b 2a 2 (0<e <1)

e =c a = 1+b 2

a

2(e >1) e =1

准线

x =-p 2

渐近线

y =±b a

x

通径

焦点 三角形

二、真题感悟:

1. (全国Ⅱ)设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直

径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )

A .y 2=4x 或y 2=8x

B .y 2=2x 或y 2=8x

C .y 2=4x 或y 2=16x

D .y 2=2x 或y 2=16x 答案 C

解析 由题意知:F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,抛物线的准线方程为x =-p

2

,则由抛物线的定义知,x M

=5-p

2

,设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52,y M 2,所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -522+⎝⎛⎭⎫y -y M 22=25

4

,又因为圆过点(0,2),所以y M =4,又因为点M 在C 上,所以16=2p ⎝⎛⎭⎫5-p 2,解得p =2或p =8,所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ,故选C.

2. (全国Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5

2

,则C 的渐近线方程为

( )

A .y =±14x

B .y =±13x

C .y =±1

2

x D .y =±x

答案 C

解析 由e =c a =5

2知,a =2k ,c =5k (k ∈R +),

由b 2=c 2-a 2=k 2知b =k .

所以b a =12

.

即渐近线方程为y =±1

2x .故选C.

3. (山东)抛物线C 1:y =12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2:x 23

-y 2

=1的右焦点的连线交C 1于

第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p 等于( )

A.316

B.38

C.233

D.433 答案 D

解析 抛物线C 1的标准方程为:x 2=2py ,其焦点F 为⎝⎛⎭

⎫0,p

2,双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0),渐近线方程为:y =±3

3

x .

由y ′=1p x =33得x =33p ,故M ⎝⎛⎭⎫33

p ,p

6.

由F 、F ′、M 三点共线得p =43

3

.

4. (福建)椭圆Г:x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c .若直线y =3

(x +c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 ________. 答案 3-1

解析 由直线方程为y =3(x +c ), 知∠MF 1F 2=60°,又∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1, 所以∠MF 2F 1=30°,MF 1⊥MF 2, 所以|MF 1|=c ,|MF 2|=3c ,

所以|MF 1|+|MF 2|=c +3c =2a .即e =c

a

=3-1.

5. (浙江)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两

点,点Q 为线段AB 的中点,若|FQ |=2,则直线l 的斜率等于________. 答案 ±1

解析 设直线l 的方程为y =k (x +1),A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、Q (x 0,y 0).解方程组

⎩⎪⎨

⎪⎧

y =k (x +1)

y 2=4x

.

化简得:k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0,

∴x 1+x 2=4-2k 2k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2+2)=4

k .

∴x 0=2-k 2k 2,y 0=2

k .

(x 0-1)2+(y 0-0)2=2

得:⎝ ⎛⎭

⎪⎫2-2k 2k 22+⎝⎛⎭⎫2k 2

=4.

∴k =±1.

三、题型整合

题型一 圆锥曲线的定义与标准方程

例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为

2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为 __________.

(2)已知P 为椭圆x 24+y 2=1和双曲线x 2

-y 2

2

=1的一个交点,F 1,F 2为椭圆的两个焦点,

那么∠F 1PF 2的余弦值为________.

审题破题(1)根据椭圆定义,△ABF 2的周长=4a ,又e =2

2

可求方程;(2)在焦点

△F 1PF 2中使用余弦定理.

答案:(1)x 216+y 28=1 (2)-1

3

解析:(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,由e =22知c a =2

2

故b 2a 2=12. 由于△ABF 2的周长为|AB |+|BF 2|+|AF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16,故a =4. ∴b 2=8.∴椭圆

C 的方程为x 216+y 2

8

=1.

(2)由椭圆和双曲线的方程可知,F 1,F 2为它们的公共焦点,不妨设|PF 1|>|PF 2|,则

⎪⎨

⎪⎧

|PF 1|+|PF 2|=4

|PF 1|-|PF 2|=2, 所以⎩⎪⎨⎪⎧

|PF 1|=3|PF 2|=1

.又|F 1F 2|=23,

由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2=-13

.

反思归纳:圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.因此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,双曲线的定义中要求||PF 1|-|PF 2||<|F 1F 2|.

变式训练1 (1)已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1 (a >0,b >0)的两个焦点F 1,F 2,M 为双曲线上一点,

且满足∠F 1MF 2=90°,点M 到x 轴的距离为7

2

.若△F 1MF 2的面积为14,则双曲线的渐

近线方程为__________.

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