【全国百强校】天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
最新天津市2018-2019年高二上学期期末考试数学文试题
第一学期高二年级质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、命题“01),,0[2≥+-+∞∈∀x x x ”的否定是A.01),,0[2<+-+∞∈∀x x xB.01),0,(2≥+--∞∈∀x x xC.01),,0[20<+-+∞∈∃x x xD.01),,0[20≥+-+∞∈∃x x x2、不等式0)2)(1(>-+x x 的解集是A.（-2,1）B.（-1,2）C.),1()2,(+∞--∞D.),2()1,(+∞--∞3、如果椭圆191622=+y x 上一点P 到它的左焦点的距离是2，那么点P 到右焦点的距离为 A.2 B.4 C.6 D.104、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若2054=+a a ，则=8SA.18B.36C.64D.805、一物体的运动方程为)1(21>+=t t ts ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是 A.47米/秒 B.49米/秒 C.23米/秒 D.25米/秒6、已知}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则“01>a ”是“45S S >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、已知实数y x ,满足 004202≥≤-+≥-+y y x y x ，则y x z +=2的最小值是A.1B.2C.4D.88、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，其导函数是)('x f ，则=-)1(')3('f fA.-2B.2C.5D.-59、已知椭圆和双曲线右公共焦点1F 、2F ，P 是它们的一个公共点，且21PF F ∠3π=，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为 A.33 B.23 C.31 D.3 10、设 (71828).2,0,0=<<e b a 是自然对数的底数，那么 A.若b e a e b a 3545+=+，则b a >B.若b e a e ba 3545+=+，则b a <C.若b e a e b a 3545-=-，则b a >D.若b e a e ba 3545-=-，则b a <第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11、在等比数列}{n a 中，,4,241==a a 则=6a12、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若A,B,C 成等差数列，c b a ,,成等比数列，则=⋅C A sin sin13、若抛物线)0(2>=a ay x 的准线与圆4)2(22=+-y x 相交于A 、B 两点，且32||=AB ，则a 的值是14、设2>x ，则函数22)(-+=x x x f 的最小值是 15、若函数x ax x x f 231)(23-+=在),(+∞a 是单调的，则实数a 的取值范围是 16、已知函数x x x f cos ||)(-=，对于],[ππ-上的任意21.x x ，给出如下条件：①||21x x >；②21||x x >；③2221x x >；④3231x x >其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件的序号是 （写出序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共76分。
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), x
为 f ( x) 的零点， x
4
为
二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 sin cos
1 , 且 , 则 cos sin 的值为________． 8 4 2 12．已知函数 f ( x) a sin x b tan x 1(a, b R), 若 f (2) 2018 ，则
f ( ) f ( ) ，则 f ( x) 的单调递增区间是（ ） 2
A． [k
6
B． [k , k ](k Z ) , k ](k Z ) 3 6 2 2 C． [k , k ](k Z ) D． [k , k ](k Z ) 6 3 2 9．定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) f ( x 2), 当 x [1,3] 时, f ( x) 2 | x 2 |, 则( ) 2 2 A． f (sin ) f (sin ) B． f (sin ) f (cos ) 3 6 3 3 C． f (cos
f (2) ________。 13．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 3 ，
sin B
11 b sin 2C , C ,若 ，则 b ________． 6 3 2 a b sin A sin 2C
14．将函数 f ( x) 2 sin( x
C．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动
7．函数 y ( ) A．2
1 的图象与函数 y sin x(2 x 4) 的图象所有交点的横坐标之和等于 1 x
天津市2018-2019年高二上学期期末考试质量评估数学试题
高二年级上学期期末质量评估试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线化为，斜率设直线的倾斜角为，则，结合，可得，故选D.2. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆锥的母线长为，底面半径，则由圆锥的侧面积公式得，故选C.3. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，抛物线的准线方程为，故选D.4. 圆心为，半径长为的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，可化为，故选A.5. 已知球的表面积为，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为球的表面积是，所以球的半径为，所以球的体积为，故选D.6. 已知直线，，平面，若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由于线面垂直的判定定理成立的条件是直线与平面内的两条相交直线垂直，所以“”不能推出“”，若“”，由线面垂直的定义可得“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程，化为表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故选B.8. 如图，二面角的大小为，，为棱上相异的两点，射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若线段，和的长分别为，和，则的长为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】与夹角的大小就是二面角，可得，故选A.9. 已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（）A. 若，则双曲线离心率的取值范围为B. 若，则双曲线离心率的取值范围为C. 若，则双曲线离心率的取值范围为D. 若，则双曲线离心率的取值范围为【答案】C【解析】若，，得，若，时，双曲线离心率范围，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的值. 本题是利用焦半径的范围构造出关于的不等式，最后解出的范围.10. 若正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹为（）A. 三段圆弧B. 三条线段C. 椭圆的一部分和两段圆弧D. 双曲线的一部分和两条线段【答案】A【方法点睛】本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为轨迹方程求解，是解题的关键.填空题：本大题共6小题，单空题每题3分，多空题每题4分，共20分。
天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷
天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正 确答案填在下表中.1．双曲线2212x y -=的焦点坐标为 （A ）(3,0)-，(3,0)（B ）(0,3)-，(0,3) （C）(，0)（D）(0,，2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex <”的否定是（A ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x e x > （B ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex ≥（C ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x > （D ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x ≥ 3．复数1ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为 （A ）1i -- （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +4．已知a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．设公比为2-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5112S =，则4a 等于 （A ）8 （B ）4（C ）4-（D ）8-6．已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x （A ）有极小值，无极大值（B ）无极小值，有极大值 （C ）既有极小值，又有极大值（D ）既无极小值，又无极大值7．在数列{}n a 中，13a =，121n n a a +=-()n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（A ）21n a n =+（B ）41n a n =-（C ）21nn a =+（D ）122n n a -=+8．在空间四边形ABCD 中，向量(0,2,1)AB =-，(1,2,0)AC =-，(0,2,0)AD =-，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（A ）13 （B ）3（C ）13-（D ）3-9．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线28y x =的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN ∆为正三角形，则双曲线的方程为（A ）221824x y -= （B ）2211648x y -= （C ）2212472x y -=（D ）22164192x y -= 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+<，设()()xg x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +<对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是 （A ）(),0(1,)-∞+∞（B ）()0,1 （C ）(),2(2,)-∞-+∞（D ）()2,2-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为__________________． 12．已知向量(2,1,3)a =-与9(3,,)2b λ=平行，则实数λ的值为_____________．13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a b +的最小值为__________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，986S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项的和为_____________．15．已知离心率为322221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，且12PF F ∆的面积为4，则椭圆的方程为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知复数22(2)(23)z m m m m i =++--，m ∈R （i 为虚数单位）． （Ⅰ）当1m =时，求复数1zi+的值； （Ⅱ）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n nS -=()n ∈*N ，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCA B C 中，1AA ，1BB ，1CC 均垂直于平面ABC ，AB AC ⊥，14AA =，11CC =，12AB AC BB ===．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求二面角111B A B C --的余弦值．得 分 评卷人19．（本小题满分12分）已知椭圆C：221 2xy+=．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y x m =+（m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．（本小题满分12分）已知函数3222()32a f x x x x +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值； （Ⅱ）若()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0m <时，试判断函数2()(2)1()ln 1f x a x mxg x x x x '++-=--（其中()f x '是()f x 的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13． 14．51215．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分） 解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴34171122z i i i i -==--++. ………….……………6分 （Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩…………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分 ∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =.∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= …………………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅122213(32)212n n n --⨯=+⨯--⋅- ………………………11分 ∴5(35)2nn T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-，(2,0,0)AB = ∵110440BC AC ⋅=+-=， 10000AB AC ⋅=++=， 所以11BC AC ⊥,1AB A C ⊥. ∵1ABBC B =,∴1AC ⊥平面1ABC ..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC 又∵AB AC ⊥，1ABAA A =,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =. .……………………7分∵11(2,0,2)A B =-，11(0,2,3)AC =-, 设平面111A B C 的一个法向量为n (,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n (2,3,2)=， .……………………9分∴317cos ,17AC n AC n AC n⋅==.……………………11分 显然二面角111B A BC --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =,∴2221c a b =-=,∴2c e a ==. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480mm m =--=->.∴m << ① .……………………5分则1243mx x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. .…………………………7分又∵23OA OB ⋅=.∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴m =满足①式,∴AB == 43=. ∴线段AB 的长为43. …………………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分 （Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++ ∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x+≤+.∵1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当且仅当2x =时，12x x+≥.∴2a ≤ . ……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln 1x mx g x x x =-- (0,1)(1,)x ∈+∞ 2()ln 1mx x x x =--. ……………………8分 要判断()g x 是否存在零点，只需判断方程20ln 1mxx x -=-在(0,1)(1,)+∞内是否有解，即要判断方程2(1)ln 0x m x x --=在(0,1)(1,)+∞内是否有解.设2(1)()ln x h x m x x-=-, ………………10分2222()m mx h x x x x -'=-=(0,1)(1,)x ∈+∞, 可见，当0m <时，()0h x '<在(0,1)(1,)+∞上恒成立.∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减.∵(1)0h =,∴()h x 在(0,1)和(1,)+∞内均无零点. …………………12分。
天津市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
天津一中2018-2019-2高二年级数学学科模块质量调查试卷一．选择题1.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.2.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】A【解析】考点：函数导数与极值3.某研究机构在对具有线性相关得到如下数据，由表中数据求得y关于x）D. 0【答案】B【解析】【分析】先利用回归方程的性质求出a的值，再利用古典概型的概率公式求解.所以3=0.7×6+a,所以a=-1.2,四个点中有两个点（3,1）和（7,4）落在直线的下方，故选：B【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质，考查二元一次不等式的平面区域，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A. 频率分布直方图中a的值为 0.040B. 样本数据低于130分的频率为 0.3C. 总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D. 总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等【答案】C【解析】【分析】130的频率为1总体分布在的频数不一定与总体分【详解】由频率分布直方图得：A错误；样本数据低于130分的B错误；的频率为：1C正确；的频数一定与样本分布在的频数相等，D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.5.）【答案】D 【解析】 【分析】A 、B 两位同学至少有一 人站在两位同学至少有一人站在两端的概率．A 、B∴A、B故选：D ．【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，，故排除C所以答案为A考点：函数的图像7.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 4 名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A A队的得分高于B队的得分的概率为（）【答案】C【解析】【分析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A 第三局胜，另外三局两负一胜，由此能求出比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率．【详解】解：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两负一胜，∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：故选：C．【点睛】本题主要考查互斥事件和独立事件的概率，独立重复性事件试验的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.，【答案】B【解析】【分析】利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．【详解】当x=111所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1时，g(1)=0,当x=22x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），当x=22x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,得【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二．填空题9.__________．【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查了双曲线的方程以及几何概型的概率公式，属于基础题．10.一批排球中正品有m个，次品有n 个，取一个，有放回地抽取10次，X p＝___________【解析】【分析】【详解】由题意知，随机变量，，则，故答案为：【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算,考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.__________．【解析】.相切，则 (1)上，所以 (2)由（1）（2点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线在某点处的导数值即为该点处的切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切线在切线上，列出方程组求解，属于中档试题.12.某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为________【答案】27【解析】【分析】根据题意分析得到【详解】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为 0.25，故答案为：27．【点睛】本题主要考查茎叶图和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.13.________．【解析】【分析】求出原函数的导函数，由导函数大于0求解指数不等式得答案．【详解】解：由由因为x∈R，故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.a的取值范围为________【解析】【分析】，时，令，递增，在故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三．解答题15.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)56种 (2)见解析【解析】【分析】（1）利用间接法求出选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）由题得X 的可能取值为 0，1，2，3．再求出它们对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】解：（1其中有3所以选出的 4 名同学中至多有2（2）X 的可能取值为 0，1，2，3．，∴X 的分布列为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．乙车间32万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【答案】(1) 见解析(2) 甲车间停产比较合理．【解析】【分析】（1 0，1，2，3,再求对应的概率，写出乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）先分别计算出两个车间利润的期望再比较得解.【详解】解：（1 0，1，2，3；，∴乙车间每天机器发生故障的台数（2X；由（1【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.（1）求实数的值；（2.【答案】（1，（2）最大值为【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x【详解】（1，（2）由（1）得，函数，∴在在上单调递减，在上的最小值为在上的最大值为.在上的最大值为，最小值为【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.18.（1（2（3 b的取值范围【答案】（Ⅱ）见解析；【解析】【分析】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)b 的取值范围即可.【详解】(Ⅰ)，(Ⅱ)在,，在,.(Ⅲ)时,在上单调递减,在，，即因为当,即实数取值范围是所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.两点，满足.（1.（2.【答案】（1（2【解析】【分析】（1A（2）设于是可得直线MP和NP的方程，进而得到点R和点Q的横坐标，【详解】（1解得，整理得，．（2）设则直线MPR同理可得直线NP的方程为Q，∴ ，【点睛】本题主要考查椭圆离心率和椭圆标准方程的求法，考查计算能力和转化能力．解题的关键是根据题意及椭圆中基本量的关系得到所求的结果．另外，由于椭圆中的计算比较复杂，所以在运算中要注意计算的技巧和运算的准确性．。
【精编】天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(精品解析)
天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。
【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。
2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。
【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。
3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。
4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。
【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题。
6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可判断函数的极值情况。
天津市2018 2019高二数学上学期期末考试试题
学年度第一学期期末六校联考2018～2019 高二数学分）8小题，共40一、选择题（每小题5分，共i21??z i??z，则）（1．复数i1?0A1D． B．． C．??a a的值为（项和为2．已知等差数列，且，则的公差为2），前8n CB．15 ．14 D．13A．16．下列叙述中正确的是（）32R?a,b,c0?ax?bx?c?x?R,20b??4ac．若A”，则“”的充分条件是“c?aRc?a,b,22cbab?B”的充要条件是“，则“”．若220R,x??x?0??R,x?x”的否定是“C．命题“”00????aa1q?0?是等比数列，则是D．为单调递减数列的充分条件nn22yxF)0?a?b??1(0?y22x??42，且与椭圆已知直线经过椭圆的左焦点4．122ab yMN?MF F，则是椭圆的右焦点,在第二象限的交点为M，与，轴的交点为N且22椭圆的方程为（）222222yxyxxx22?y??11?y1??1?? D ．A．．C ．B910440555．如图所示，在长方体ABCD－ABCD中，AD＝AA＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点11111E到平面ACD的距离为（）12 B． A ．31． D ．C 23的（，），则6 是．已知 B．必要不充分条件 A．充分不必要条件．充要条件C ．既不充分也不必要条件Dxf'(x)?f(x)0x?，若．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，7，则不x?f(x)?0的解集为（等式）或B A．．或．或D或C ．22yx222ayx??1??延长的左焦点作圆过双曲线8交．，切点为的切线，22ba12FPFE?cxy?4，则双曲线的离心率是（，若）于点抛物线112 5535?1?31?．D． C． AB．2222二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）22yx??1__________.表示椭圆，则．已知方程的取值范围为92?k5?k4且，若为列的，前项和10．设公比比为的正项等数__________.，则uuruuur ABCP?是棱中，棱长为2，中点，则的值为__________.11．在正四面体且E BC?PE11b??14a?2b?的最小值等于，__________. ．已知，则12，且aba2p?0A,B l px?2yF过焦点的直线分别交抛物线于（，准线为.）13．设抛物线的焦点为AF?3BF D,BCA,CDFl的面若. 作两点，分别过，且三角形的垂线，垂足为p3的值为，则积为___________.x e x?3)xklnx?(1??f(x)?3k则实数唯一的极值点，若14．已知函数是函数的，3x__________. 取值范围为分）小题，共806三、解答题（共a?1(2n?1)a?(2n?3)S*N?n，其中13．15（分）数列. ，的前项和为已知n?11n S??n??是等比数列；（Ⅰ）证明：数列2n?1????S项和. （Ⅱ）求数列的前n20?x x)?x?)f(x?ln(x?a. 16．（13分）已知函数在处取得极值(1))f)(1,f(x（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；5x?)??bf(x上恰有两个不同的实数根，求实数的取的方程在区间（Ⅱ）若关于2. 值范围BC?ABCACABC??DBEA，，平面17．（13分）在如图所示的多面体中，，平面2AE??AC?BCBD?2ABM. ，且的中点是EMCM?（Ⅰ）求证：；BCDEMC与平面所成的二面角的正弦值；（Ⅱ）求平面MNNDC，使得直线（Ⅲ）在棱与上是否存在一点NEMC60?若存在，指出点的位置；平面. 所成的角是. 若不存在，请说明理由1???a?1a1a?*N?n 1318．（分）已知数列满足，，其中1?n1n4a n2?????b ab的通项公式；是等差数列，并求出，求证：数列（Ⅰ）设nnn12?a n4a1??mn?T cc T n?c的前项和为数列，，是否存在正整数，（Ⅱ）设使得n n2n?nn c?c n?11?mm m*Nn?的最小值，若不存在，请说明理由恒成立，若存在，求出对于.??4,0?A?e C0)b?a??1(?，，左顶点为：．（1914分）已知椭圆的离心率221yx??y0?kkOClEDA点为坐标原. 轴于点，交于点交椭圆的直线作斜率为过点．222ab.??0kk?EQ?QOP ADP，若（Ⅱ）已知为，对于任意的的中点，是点C的方程；（Ⅰ）求椭圆否存在定点都有Q的坐标；若不存在说明理由；存在，求出点OM COl M的最大值于点（Ⅲ）若过，求点作直线.的平行线交椭圆AE?AD2R?a ax?x)?ln?2xf(x. 分）已知函数，1420．（处取得极值，求（Ⅰ）若的值；在g(x)?f(x)?(a?4)xg(x)的单调性；（Ⅱ）设，试讨论函数f(x)?f(x)?3xx?x?x：证满正存，）（Ⅲ当时若在实数足求，2121121?x?x. 212．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A31e6?k??k?2且?5k?1?346? 12．．． 13 14． 10．9．2 11327215．，∴，（Ⅰ）证明：∵，∴，∴又，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.………………………… 6分）知，，（Ⅱ）由（1∴，∴，①. ②①-②得，. ………………………… 7∴分．16时，（Ⅰ）取得极值，故解得经检验.符合题意。
天津市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(PDF)
天津一中2018-2019-2高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第I 卷(试题)、第II 卷(答题)两部分,共100分,考试用时90分钟。
考生务必将答案涂写答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利! 一、选择题:(每小题3分,共24分） 1. 在复平面上,复数2ii+对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U=R,集合A={x|x 2-2x≥0},B={x|y=log 2(x 2-1)}, 则B∩∁U A =A. [1,2)B. (1,2)C. (1,2]D. (-∞,-1)∪[0,2] 3. 设函数f(x)=23x xe -(e 为自然底数),则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是A. 0<x<1B .0<x<4C. 0<x<3D. 3<x<44. 设x ∈R,则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-2≤x ≤3”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知a=0.36,b=log 36,c=log 510,则 A. c>a>bB. a>c>bC. b>c>aD. a>b>c6. 已知函数f(x)=ln(|x|+1)-(x 2+1)-1,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 解集为A. (13,1)B. (-∞,13)∪(1,+∞)C. (-13,13)D. (-∞,-13)∪(13,+∞)7. 已知函数f(x)=2,11,1x ax x ax x ⎧-+≤⎨->⎩,若∃x 1、x 2∈R,x 1≠x 2,使得f(x 1)=f(x 2)成立,则a 的取值范围是.A. a>2B. a<2C. -2<a<2D. a<-2或a>28. 已知函数f(x)=x 2+mx+2,x ∈R,若方程f(x)+|x 2-1|=2在(0,2)上有两个不等实根,则实数m 的取值范围是 A. (-52,-1) B. (-72,-1] C. (-72,-1) D. (-52,-1] 二、填空题:(每小题4分,共24分)9. 已知a 为实数,若复数a+103+i是纯虚数,则a= .10. 设全集U=R,集合P={x ∈P|1≤x ≤3},Q={x ∈R|x 2≥4},则P ∪∁U Q= . 11. “∀x ∈R,x 2+2x+1>0”的否定是 .12. 函数f(x)=22,1log ,1x x x x ⎧<⎨-≥⎩的值域为 .13. 已知函数f(x)=21,0lg(1),0x x x x ⎧-≤⎨+>⎩,若f(2-a 2)>f(a),则实数a 的取值范围是 .14.已知函数f(x)=3-x +a 的图像经过第二、三、四象限,g(a)=f(a)-f(a+1),则g(a)的取值范围是 .三、解答题:(共5题,52分)15. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X 表示其中男生的人数. (1)请列出X 的分布列;(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率.16. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率;(2)记实验次数为X ,求X 的分布列及数学期望.17. 已知函数f(x)=ln(x+a)-x 2-x 在x=0处取得极值. (1)求实数a 的值; (2)若关于x 的方程f(x)= 52x b -+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围.18. 已知椭圆:22221x y a b+=(a>b>0)的焦距为其上下顶点分别为C 1、C 2,点A(1,0),B(3,2),AC 1⊥AC 2. (1)求椭圆的方程;(2)点P 的坐标为(m,n)(m≠3),过点A 任意作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点,设直线MB 、BP 、NB 的斜率依次成等差数列,探究m 、n 之间是否满足某种数量关系,若是,请给出m 、n 的关系式,并证明;若不是,请说明理由．19. 已知函数f(x)=ln()x a x-, (1)若a=-1,证明:函数f(x)是(0,+∞)上的减函数；(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x ﹣y=0平行,求a 的值； (3)若x>0,证明: ln(1)1x x xx e +>-(其中e=2.71828…是自然对数的底数).参考答案一、选择题:(每小题3分,共24分） 1. D 2. B 3. A 4. D 5. C6. A7. B8. C二、填空题:(每小题4分,共24分) 9. -310. (-2，3]11. ∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+1≤0 12. (-∞，2) 13. (-2，1) 14. (2，+∞)三、解答题:(共5题,52分) 15. 解：（1）设x 的取值分别为0，1，2，3，4（超几何分布）4644()(0,1,2,3,4)k kC C P x k k C -=== ()01234.2103572114105E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）设选出4人中至少有3名男生事件为A8119()(3)(4).211442P A P x P x ==+==+= 16. 解：（1）设第一次实验恰好摸到一个红球和一个白球事件为A1126283()=.7C C P A C =（2）设x 的取值分别为1，2，3，42112262821126242228622211642222228642222642222286413(1)=28()9(2)=28(+)5(3)=281(4)=28C C C P x C C C C C P x C C C C C C C P x C C C C C C C P x C C C +==+======()1234.2828282814E x =⨯+⨯+⨯+⨯=17. 解： （1）1'()21f x x x a=--+由'(0)0f = 即1101a a-=∴=2(23)()ln(1)'()1x x f x x x xf x x -+=+--=+经检验1a =符合题意.（2）由5()+2f x x b =-可知， 23=ln(1)2b x x x +-+设23()ln(1)+([0,2])2g x x x x x =+-∈ 13(1)(45)'()2x x g x x --+=-+=1(1)ln2+2g =(2)ln31g =-证明可知b 的值范围是：1ln31ln 2.2b -≤<+ 18. 解：（1）1212(0,),(0,).(1,),(1,)C b C b AC b AC b -=-=--由12AC AC C ⎧⋅⎪⎨=⎪⎩ 即21b C ⎧=⎪⎨=⎪⎩a =椭圆方程：2213x y +=（2）当直线MN 为x轴时，0),(0)M N =2,3MB BP NB n K K K m -===-由2+BP MB NB K K K =即2(2)3n m -=-1m n ∴-=当直线MN 方程：1122221(,),(,)230x ty M x y N x y x y =+⎧⎨+-=⎩22(3)220t y ty +++=12122121222222,,3333223MB BP NB BP MB NB t y n y y y K K K t x m x y y K K K t ----⎧+====⎪+---⎪⎨-⎪==+⎪+⎩由 1212121221212122(2)2222()2()82(2),3332()43n y y ty y y y t y y n m x x t y y t y y m ----+-++-=+=----++- 2(2)=23n m--1m n ∴-= 综上 1.m n -=19. 解：（1）当1a =-时，ln(1)()x f x x+=的定义域(1,0)(0,)-⋃+∞ 22ln(1)(1)ln(1)1'()(1)xx x x x x f x x x x -+-+++==+设()(1)ln(1)(0)g x x x x x =-++>'()1ln(1)1ln(1)0g x x x =-+-=-+< ()g x ∴在(0,)+∞上递减 ()(0)0g x g <= '()0f x ∴<()f x ∴在(0,)+∞上减函数（2）22ln()()ln()'()=()xx a x x a x a x a f x x x x a ------=- 由'(1)=1f 可知1ln(1)11a a--=- ln(1)1aa a =-- =0a ∴（3）由ln(11)1x x xx e e e-+=- 需证明ln(1)1x x xx e +>- 只需证明ln(1)ln(11)1x x x e x e +-+>- 由（1）可知()f x 在(0,)+∞是减函数故只需证明1xx e <-对0x ∀>成立设()1xh x e x =--'()10x h x e =->()h x ∴在(0,)+∞上递增 ()(0)0h x h >=故1xx e <- 故ln(1)1x x x x e +>-成立。
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2-2 2天津一中 2018-2019-1 高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第 I 卷(选择题填空题)、第II 卷(答题纸)两部分,共100 分,考试用时90 分钟。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分）2 21. 已知椭圆x+ y =1 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三25 16角形的三个顶点,则点 p 到 x 轴的距离为A. 95x2B.4 D. 1652. 已知双曲线-a2 b=1(a > 0, b> 0)的一条渐近线过点且双曲线的一个焦点在抛物线 x2= 的准线上,则双曲线的方程为A. x2 y2- =1 B.x2 y2- =1 C. y2 x2-=1 D. x2 y2-=121 28x2 y228 21 4 3 3 43.已知双曲线-a2 b2=1(a> 0, b> 0)的左右焦点F1、F2.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线的渐近线方程为A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=04.已知双曲线方程x2m2 +ny2- =1 ,且双曲线两焦点间距离为 4,则 n 的取值范围为3m2 -nA.(-1,3) C.(0,3)5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-26.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为A.108B.216C.648D.12967.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有A.5 种B.12 种C.24 种D.30 种8.(x+1)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11,则 a1+a2+…+a11=A.-64B.-65C.64D.659.已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 与直线 l2,直线 l1 与抛物线交于 A、B 两点,直线 l2 与抛物线交于 C、D 两点,则|AB|+|CD|的最小值为A.10B.12C.14D.1610.过双曲线x y2 2=1(a> 0, b> 0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A、B 两a b点,D 为虚轴上一个端点,且∆ABD 为钝角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为∪∞)二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分)11.分别标有 1、2、3、4 的 4 张卡片,放入分别标号为 1、2、3、4 的 4 个盒中,每盒不空, 且 3 号卡片不能放入 3 号盒中,则有种不同的方法.12.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有种.13.(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,则实数 a 的值为.14.若抛物线 x2=2py(p>0)的准线经过双曲线 y2-x2=1 的一个焦点,则 p= .15.P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 m 恒成立, 则是实数 m 的最大值为.2 216.已知椭圆x +y=1(a >b > 0) ,A、B 为椭圆左右顶点，F 为左焦点,点 P 为椭圆上一点, a2 b2且 PF⊥x 轴,过点 A 的直线与线段 PF 交于 M 点,与 y 轴交于 E 点,若直线 BM 经过 OE 中点,则椭圆的离心率为.三.解答题:(共 4 题,46 分)2 217.已知 F 为椭圆x +y=1(a >b > 0) 的左焦点,，过 F 且垂直于 x 轴的直线被a2 b2(1)求该椭圆方程;(2)设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2=4x 各恰有一个公共交点,求直线 l 的方程.18.过椭圆x2 y2+ =1(a >b > 0) 的右焦点 F 作直线交椭圆于 M、N 两点,H 为a2 b2线段 MN 的中点,且 OH 的斜率为1 ,设点 A(1, 1 ).4 2(1)求该椭圆的方程;(2)若点 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 G 的轨迹方程;(3)过原点的直线交椭圆于 B、C 两点,求∆ABC 面积的最大值.19.已知点 M(-2,0)、N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足|PM|+|PN|=6(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若(1-cos∠MPN)|PM|∙|PN|=2,求点 P 的坐标.20.已知椭圆x2 y2+ =1(a >b > 0) ,四个点P1(1,1)、P2(0,1)、P3、P4中恰有a2 b2三个点在椭圆上.(1)求该椭圆方程;(2)设直线 l 不经过点 P2,且与椭圆交于 A、B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率之和为-1,证明直线 l 过定点.2一.选择题:(每小题 3 分,共 30 分）参考答案1. D2. C3. C4. A5. B6. D7. C8. B9. D 10. D二.填空题:(每小题 4 分,共 24 分)11. 1812. 7013. 114.15.216. 13三.解答题:(共 4 题,46 分)17. 解：(1)椭圆方程：x+y2 =12⎧y =kx +m⎧y =kx +m(2)设直线l 方程：⎨⎩x2 + 2 y2 = 2⎧⎪(2k 2 +1) x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0⎨⎪⎩k 2 x2 + 2(km - 2) x+m2 = 0与⎨⎩y2 = 4x由相切等价于⎧⎪1=16k 2m2 -8(m2 -1)(2k 2 +1) = 0⎨= 4(km - 2)2 - 4k 2m2 = 0⎩⎪2⎧⎧m2 = 2k 2 +1k =⎧k =⎪ ⎪⎨ ⎨ 2 ⎨ 2⎩km =1 ⎪ ⎪⎩m ⎩m =故直线l 方程：y =or y =x or y =±118. 解：⎩1 2 1 2 1 2 1 2 ⎨d = 1 2(1)设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)则⎧⎪b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ⎧ y 1 - y 2= -1,y 1 + y 2 = 1 ⎨ 1 1 两式相减 ⎪ x - x x + x 4⎪b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ⎨ 1 2 1 2 ⎩ 2 2 ⎪ x + y = 0 令 y = 0 c =b 2 ( x + x )( x - x ) + a 2( y + y )( y - y ) = 0⎧⎪a 2 = 4b 2即⎨⎪⎧3 = a 2 - b 2∴ ⎨⎪⎧b 2= 1 ∴ ⎨ ⎪⎩c =2⎪⎩a 2= 4b 2⎪⎩a 2= 4 椭圆方程 : x4+ y 2 = 1⎧2x = x '+ 1(2) 设 G(x ，y)，P(x ’，y ’)则有 ⎪ ⎨2 y = y '+ 1⎩ 2⎧ x ' =2x -1 即 ⎪ 1 y ' = 2 y - ⎩ 2代入 x + y '2= 1中42故点G 轨迹方程(2 x -1) ： + (2 y - 1)2 = 1 4 2 (3)当直线 BC ⊥ x 轴时⎧| BC |= 2 ⎩⎧ y = kxS ∆ABC =1 设直线 BC 方程 ⎨ ⎩ x 2+ 4 y 2= 4(4k 2 + 1) x 2 - 4 = 0⎧ ⎪| BC |=⎪⎨ ⎪⎪d ⎪⎩| k - 1 |1 S ∆ABC = | BC | d2 =24k + 1∈ (-∞, - 4] ⋃ [4, + ∞)k2 2 2 当且仅当4k + 1 = -4 k 即k = - 1时2S ∆ABC max =故S ∆ABC =max19. 解：(1)设动点 p(x ，y)内|PM|+|PN|=6 ⎧a = 3 可知点 P 是以 M 、N 为焦点 ⎨⎩c = 2的椭圆x 2 故点 P 轨迹方程： y 2+ = 1 (2)9 5| PM |2 + | PN |2 -16 在∆MPN 中，cos ∠MPN ==2 | PM | ⋅ | PN | (| PM | + | PN |)2 - 2 | PM | ⋅ | PN | -16 2 | PM | ⋅ | PN | =10- | PM | ⋅ | PN | | PM | ⋅ | PN |内(1 - cos ∠MPN ) | PM | ⋅ | PN |= 2(1 - 10- | PM | ⋅ | PN |) | PM | ⋅ | PN | =2| PM | ⋅ | PN | ⎧| PM | ⋅ | PN | =6⎨⎩| PM | + | PN | =6∴| | PM | - | PN |⎧⎪a 故点P 在以M , N 为焦点 ⎨⎪⎩c = 2 ⎧ x 2 ⎪ y 2+ = 1⎨ 9 5 P ( - (- (- - )⎪ x 2 ⎪⎩ 3- y 2 =1 2 2 2 2 2 2 2 220. 解：⎩ 2 2(1)由于 P 3 与 P 4 关于 y 轴对称，故椭圆必过 P 2、P 3、P 4⎧b = 1故 ⎪1 3⎧a = 2⎨x 2 椭圆方程：+ y 2 = 1⎨+ = 1 ⎩b = 14⎪⎩ a 2 4(2)当直线 l ⊥x 轴时设直线 l 方程：x =t ，t ∈（-2，0）∪（0，2）A (tB (t , P 2 (0, 1) - 2 + 2则有k + k = -1 即 ⎪ 2 - 2 = -1∴t = 2(舍) P 2 A P 2 B ⎨ t t⎧ y = kx + m⎪-2 < t < 0 or 0 < t < 2设直线l 方程 ⎨ ⎩ x 2 + 4 y 2=4A ( x 1 , y 1 ),B ( x 2 , y 2 ), m ≠ 1 (4k 2 + 1) x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0方程是∆ = 64k 2m 2 -16(m 2 -1)(4k 2 + 1) > 0⎧ ⎪ x 1 + x 2 = -8km 2 即m 2 < 4k 2 + 1 ⎪ ⎨ ⎪ x x = ⎪⎩ 1 2 4k + 14m 2- 4 4k 2 + 1由k P A + k P B = y 1 - 1 + y 2 - 1 = kx 1 + m - 1 + kx 2 + m - 1x 1 x 2 x 1 x 2=2kx 1x 2 + (m -1)( x 1 + x 2 )= -1x 1 x 2(2k + 1) x 1x 2 + (m -1)( x 1 + x 2 ) = 04m 2 - 4 (-8km )(2k + 1) + (m -1) = 0 4k 2+ 1 4k 2 + 1⎧(m -1)(2k + m + 1) = 0⎨⎩m ≠ 1即m = -2k - 1 故直线l 方程：y = kx - 2k - 1即 y + 1 = k ( x - 2)故直线l 过定点(2, -1)。