2018年秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时必修5
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探四、教学过程（一）创设问题情景课前给出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：队长30天借到的砖：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案
2.5.1 等比数列的前n项和一、教学内容分析1.教材的地位和作用《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体2．教学的重点等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．二、学情分析1.学情分析知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．2.教学难点基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．三、教学目标的确定课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学生的认知水平，我从三个方面确定教学目标：①知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．②过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．③情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.四、教法和学法课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案(2)
《等比数列的前n项和》教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是人教A版高中数学必修5第二章“数列”第五节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学设计说明1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2．问题探究活动化．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．辨析质疑结构化．在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.4．巩固提高梯度化．例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5．思路拓广数学化．从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．6．作业布置弹性化．通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用aa高一数学
法二：设 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3 ＋a6＋a9＋…＋a87， 因为 b1q＝b2，b2q＝b3，且 b1＋b2＋b3＝140， 所以 b1(1＋q＋q2)＝140，而 1＋q＋q2＝7，所以 b1＝20，b3＝q2b1＝ 4×20＝80. [答案] 80
第二十八页，共三十五页。
[错因与防范] 此题中，易把项数查错． 本题的求解利用定义显然比较麻烦．从题干以及待求式子的特征观 察，得 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋ a6＋a9＋…＋a87 三个等式，然后从等比数列的性质出发，寻找三者之 间的内在关系，即可求解，相对比较简单．
2.5 等比数列的前 n 项和
第 2 课时 等比数列的前 n 项和公式的性质及应用
第一页，共三十五页。
考纲定位
重难突破
1.灵活运用等比数列的 重点：掌握等比数列前
前 n 项和公式．
n 项和性质及其应用．
2．掌握等比数列前 n 项 难点：灵活处理 an 与 Sn
和性质的应用.
的关系.
第二页，共三十五页。
第四页，共三十五页。
[双基自测]
1．等比数列{an}的前 n 项和 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝( )
A．72
B．81
C．90
D．99
解析：a1＋a2＋a3＝9， a4＋a5＋a6＝S6－S3＝27， ∴a7＋a8＋a9＝81. 答案：B
第五页，共三十五页。
2．已知等比数列{an}中，an＝2·3n－1，则由此数列的偶数项所组成的 新数列的前 n 项和为( )
∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106，0.
2018高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和课件新人教b版必修8
等比数列的前n项和
课 标 阐 释 思 1.理解等比数列的前 n 项和 公式的推导过程. 2.掌握等比数列的前 n 项和 公式,并能用它解决有关等 比数列问题. 3.熟练掌握等比数列的五个 量 a1,q,n,an,Sn 的关系.
维 脉 络
一
二
一、等比数列的前n项和公式 【问题思考】 1.填空:
一
二
3.做一做:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2, S3n=14,则S4n等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16 解析:若q=1,由Sn=na1=2,知S3n=3na1=6≠14,
故 q≠1.则 解得 所以
答案:B
n
������������ =
������1 (1-������������ ) 1-������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
等比数列前n项和公式的应用 【例1】 在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=2,求a6,S6; (2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4; 3 9 (3)已知 a3=2,S3=2 ,求a1,q. 思路分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn, 只要已知任意三个,就可以求出其他两个.
所以 2q2-q-1=0,所以 q=1 或 q=-2. 当
1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素; 有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题 过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)利用等比数列的有关性质;(3) 注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
2018版高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和二课件新人教A版必修5
∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.
解析答案
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题型探究
重点突破
题型一 等比数列前n项和的性质 例1 (1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝______. 28 解析 ∵数列{an}是等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也是等比数列， 即7，S4－7,91－S4也是等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. 又∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2· (1＋q2)＞0， ∴S4＝28.
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(二)
学习 目标
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.应用方程的思想解决与等比数列前n项和有关的问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
等比数列前n项和的变式
a11－qn a1qn－1 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 当公比 q≠1 时， Sn＝ ＝ 1－q q－1 a1－anq a1qn a1 ＝ ＝ － ； 1－q q－1 q－1 当 q＝1 时，Sn＝ na1 .
解析答案
(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋„＋a2n－1)－(a2
＋a4＋„＋a2n)＝80，则公比q＝____. 2
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 A.2 8 C.3
S6 S9 (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 S ＝3 ， 则S 等于( 3 6 7 B.3 D.3
)
解析答案
高中数学课件：第二章 2.5 等比数列的前n项和 第二课时 常见的数列求和
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[自主解答]
当 x≠± 时， 1
n 12 2 1 2 1 2 Sn＝x＋x ＋x ＋x2 ＋…＋x ＋xn 2 2n 1 4 1 1 ＝x ＋2＋x2＋x ＋2＋x4＋…＋x ＋2＋x2n 1 1 1 )＋2n＋x2＋x4＋…＋x2n
[例 2]
前 n 项和 Sn.
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[自主解答]
n＋12＋1 n2＋2n＋2 数列的通项 an＝ ＝ 2 ＝1 n＋12－1 n ＋2n
2 1 1 ＋ 2 ＝1＋(n－ )， n ＋2n n＋2 1 1 1 1 1 1 所以 Sn ＝(1＋ 1 － 3 )＋(1＋ 2 － 4 )＋(1＋ 3 － 5 )＋…＋(1＋ 1 1 1 1 － )＋(1＋n－ ) n－1 n＋1 n＋2 1 1 1 1 1 3 ＝n＋1＋2－ － ＝n－ － ＋ . n＋1 n＋2 n＋1 n＋2 2
S2b2＝6＋dq＝64， 依题意有 S3b3＝9＋3dq2＝960，
－
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6 d＝2， d＝－5， 解得 或 q＝8 q＝40. 3
(舍去)
故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
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(2)∵Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 1 1 1 ∴S ＋S ＋…＋S 1 2 n 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋ ＋…＋ 1×3 2×4 3×5 nn＋2
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2a－an ＝1－(2n－1)an＋ . 1－a 又 1－a≠0， 1－2n－1an 2a－an ∴Sn＝ ＋ . 1－a 1－a2 综上知：当 a＝1 时，Sn＝n2； 1－2n－1an 2a－an 当 a≠1 时，Sn＝ ＋ . 1－a 1－a2