《应用举例》教案1
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
一次函数应用举例：生活中的数学教案
一次函数应用举例：生活中的数学教案数学是一门非常重要的学科，无处不在，应用广泛。
在我们平时的生活中，有很多地方都可以看到数学的影子，而且数学的运用也是非常实际的。
本篇文章将重点介绍一次函数在生活中的应用及其教学案例。
一次函数是初中数学中的重要基础知识，通过本文的讲解，希望能够让大家更好地理解一次函数的含义及应用。
一、一次函数的定义及性质一次函数是指函数 y=kx+b 中 kx 和 b 都是一次项，k 和 b 是常数，k≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为 k，截距为 b。
一次函数的性质主要有以下几点：1、当 x 取不同的值时，y 的取值也会随之而变化。
即一次函数的定义域和值域都是实数集。
2、一次函数的图像是一条直线。
斜率 k 的绝对值表示直线与 x 轴的夹角大小，其正负表示直线的走向。
3、截距 b 表示图像与 y 轴的交点坐标。
4、斜率 k 越大，则函数图像越陡峭，越小则越平缓。
5、当 k>0 时，函数图像在右移动作用下，图像向上。
当 k<0 时，函数图像在右移动作用下，图像向下。
6、当 b>0 时，函数图像在上移动作用下，图像向上。
当 b<0 时，函数图像在下移动作用下，图像向下。
二、一次函数在生活中的应用在我们的生活中，一次函数是经常被运用到的，下面就让我们一起来看看一次函数在那些方面被广泛应用了。
1、消费计算在购物过程中，消费计算往往需要用到一次函数。
以超市购物为例，会员折扣价格为 y，商品价格为 x，超市制定了一种折扣政策，会员折扣以 8 折为例，因此消费金额 y=0.8x+b。
如果我们想要知道商品的原价，则可通过 y=kx+b的计算方法来求解。
2、速度计算一次函数的斜率可以表示速度，而截距则可表示起始点。
例如汽车的路程函数 y=60x+20，其中斜率 60 表示车的速度为 60 公里/小时，截距 20 表示车从起点出发时已经开了 20 公里。
这样，就可以通过一次函数来求解汽车的位置、时间及速度等数据。
中职数学-4.2.2指数函数应用举例(教案)
学科中职数学课题 4.2.2 指数函数应用举例课型新授课授课班级授课人
教学目标知识与技能
1.通过具体例子使学生了解指数型函数在社会生活中的广泛应
用
2.结合实例理解和体会指数型函数增长（或递减）的函数模型
的意义。
过程与方法
通过对现实生活中指数型函数的研究和探讨，灵活运用得到的函
数模型去解决实际问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力
情感态度价
值观
经历合作学习过程，培养学生合作意识，加深学生感情。
培养学生勇于提出问题、分析和解决问题的能力。
培养和提升学生数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养。
让学生充分体会到数学与自然社会的关系的重要性，进一步感受
用数学解决问题的方法，体会数学的价值。
教学重难点教学重点指数型函数的应用
教学难点
1.学生对题意的理解
2.数学建模比较困难
3.计算比较复杂
教学准备学生准备课前完成预设导学案，熟悉指数型函数教师准备教学课件（PPT）
教学方式讲练结合、合作探究
教学
环节
项目与任务教师活动学生活动设计意图
知识回顾播放课件
和学生一
起回顾上
节课指数
函数图像
和性质
结合课件回
顾指数函数
图像和性质
并记忆
加深记忆
承上启下
教材分析：本节课是学生在已掌握了指数函数及其性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数模型及在生活自然社会中的应用，并归纳解函数应用题的一般思路。
经常听到有的学生问：学数学有什么用？它很好的诠释了数学并不是特立独行，而是与生活，与自然社会等各方面息息相关的。
函数的实际应用举例教案
函数的实际应用举例教案
教学目标
1.理解实际函数的概念。
2.能建立简单实际应用的分段函数的关系式。
3.会求分段函数的定义域和函数值。
过程与方法目标：在对实际问题探索、分析、解决的过程中，学生学会数形结合、分类讨论的方法，用数学知识解决实际问题。
情感态度与价值观目标：充分体会数学来源于生活。
教学案例
1.第一题
师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法今天我们再专门研究函数的表示方法。
估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据从人口统计年鉴中可以查得我国从至人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？
1949年至1969年我国人口数据表
1949年542万人；1954年603万人；1959年672万人；1964年705万人；1969年807万人。
师：该题是用的什么方法来表示函数的？
生：这是一份表格。
师：这位同学说得很好这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。
2.第二题
一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？
师：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析式法这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案中卫市第一中学 俞清华教学目标：1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。
2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
教学重点：了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。
教学难点：数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。
教学过程：一．创设情境，回顾引入师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。
首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。
过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。
结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。
师：对！有姓“万”的。
员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。
通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。
） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。
那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。
例如等差数列通项公式的推导。
师：很好。
我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。
其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。
那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。
特点：特殊→一般。
新人教版数学九下教案28.2.2 应用举例(第二课时)
第二课时一、教学目标1．使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而将实际问题转化为数学问题来解决；使学生懂得什么是方位角、方向角，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2．通过研究解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，渗透转化思想，培养学生应用数学的意识．二、教学重难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程（教学案）一、问题引入【问题】如右图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A＝26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．学生交流、讨论后，师生共同分析：对照图形，根据题意，思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？二、互动新授（一）方位角在解直角三角形中的应用如教材图28.2－7，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B 处距离灯塔P有多远(结果取整数)?学生独自练习后，小组交流、讨论．教师多媒体出示解答过程，引导学生根据示意图，说明本题的已知是什么，求的是什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切中的哪一种解较为简便？（二）坡角在解直角三角形中的应用坡面问题广泛应用于修筑堤坝工程的计算中．三、精讲例题【例】如图所示，小明在大楼30米高(PH＝30米)的窗口P处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1∶3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.(1)山坡坡角(即∠ABC 的度数)等于__________．(2)求A 、B 两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)． 学生练习后，小组交流、讨论． 【解析】 (1)由i ＝tan ∠ABC ＝13＝33，得∠ABC ＝30°. (2)利用条件证明∠ABP ＝90°，解Rt △PBH ，求PB .在Rt △ABP 中求AB . 【解】 (1)30°(2)由题意得：∠PBH ＝60°，∠APB ＝45°. ∵∠ABC ＝30°，∴∠ABP ＝90°. 在Rt △PHB 中，PB ＝PHsin ∠PBH＝20 3.在Rt △PBA 中，AB ＝PB ＝203≈34.6(米)． 答：A 、B 两点间的距离为34.6米． 四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、板书设计六、教学反思通过设置具体问题情境，引导学生通过“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”来构建直角三角形．教学中营造合作学习的探究空间，要求学生尝试画出几何图形，通过数形结合，解决解直角三角形．锐角三角函数是解直角三角形的主要工具，学生在实际问题中要灵活加以应用．导学方案一、学法点津学生在学习中要结合解直角三角形的内容来解实际问题，要将实际问题转化为对应的几28．2.2 应用举例 第二课时 1．方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．2．坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)，用i 表示，记作i ＝hl ；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，于是i ＝hl ＝tan α，坡角越大，α越大，坡面就越陡．何图形，利用数形结合的思想来解题． 二、学点归纳总结1.知识要点总结) （1）方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角． （2）坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，用i 表示，记作i ＝h ∶l.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，于是i ＝hl＝tan α.2.规律方法总结（1）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象成数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形问题)； ②)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； ③得到数学问题的答案； ④得到实际问题的答案．（2）在学习本节内容时，要注意用转化思想将所求的线段转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知线段与未知线段的联系．第二课时作业设计一、选择题1．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝5m ，则坡面AB 的长度是( )．A ．10mB ．103mC ．15mD ．53m2．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，那么，由此可知B 、C 两地相距( )m.A ．100B ．200C ．300D ．400第1题图 第2题图二、填空题3．如图所示，是一张宽为m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M(点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的点P ，如果MC ＝n ，∠CMN ＝α，那么点P 到点B 的距离为__________．4．如图所示，是某广场到超市的地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、广场电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝135°，BC 的长约是52m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是__________m.5．从位于A 处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m 的B 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向的C 处，则B ，C 间的距离是__________m.第3题图 第4题图三、解答题6．一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C 处所需的时间．(提示：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6)【参考答案】1．A 2.B 3.m －ntan αtan α4.55.300＋300 36．解：过点C 作CD ⊥AB 交AB 延长线于D.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝80海里， ∴CD ＝12AC ＝40海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－37°＝53°. ∴BC ＝CD sin ∠CBD ≈400.8＝50(海里)．∴海警船到达事故船C 处所需的时间大致为： 50÷40＝54(小时)．。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。
2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。
2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。
3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。
六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。
3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。
七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。
九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。
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《应用举例》教案
一、教学目标
1．知识与技能
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角
形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式
及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了
事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联
系。
二、教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教学方法
方法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备
四、课时
1课时
五、教学过程
[创设情景]
思考：在ABC中，已知22acm，25bcm，0133A，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况
分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；
则0180()CAB
从而sinaCcA
1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sinabA，则有两解；
（2）若sinabA，则只有一解；
（3）若sinabA，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
sinbAab
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x）
例2．在ABC中，已知7a，5b，3c，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
222
222
222
是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcA
ABC是锐角三角形
（注意：是锐角AABC是锐角三角形）
解：222753，即222abc，
∴ABC是钝角三角形。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。
（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值
分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理
sinsinabABsincCsinsinsinabcABC
解：由13sin22SbcA得2c，
则2222cosabcbcA=3，即3a，
从而sinsinsinabcABC2sinaA
[随堂练习3]
（1）在ABC中，若55a，16b，且此三角形的面积2203S，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角C
（答案：（1）060或0120；（2）045）
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。