七下 平行线的判定及其性质一对一讲义
第3讲 平行线的性质 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册
第3讲 平行线的性质【教学目标】：1. 掌握平行线的性质，并能运用这些性质进行简单的推理或计算2. 能够灵活运用平行线的性质和判定解题。
【教学重难点】：性质和判定的综合运用。
【考点解析】考点一平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
例1. （1）如图1，如果AD//BC ，那么根据 ，可得∠B=∠1； 如果AB//CD ，那么根据 ，可得∠D=∠1。
（2）如图2，n m //，∠2=50°，那么∠1= °，∠3= °，∠4= ° （3）同一平面内，如果直线l n m 、、有关系m //l ，n //l ,那么直线n m 、的关系是 。
（4）如图3，直线MN 、PQ 被直线EF 所截，若∠1=∠2，则∠MEF+∠PFE= °图1 图2 图3例2. 如图：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，则∠2等于多少度？EC DG1 2 FA B例3.如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF,求证：DE∥BC。
请将下面推理补充完整证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠2=∠3（）∴∠1+∠3=180°∴∥（）∴∠B= （）∵∠B=∠DEF（已知）∴∠DEF= （）∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）例4.如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、P，MN、PO分别平分∠AME和∠DPF。
（1）试说明：∠AMN=∠DPQ（2）试说明：MN∥PQ针对练习11.如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．35°D．30°第1题第2题第3题2.如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠F AG的度数是（）A．155°B．145°C．110°D． 35°3.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（）A．17°B．62°C．63°D．73°4.如图，AB∥CD.AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，求∠D的度数。
七年级下册平行线性质与判定讲义
一、创设情境世界著名的意大利比萨斜塔，建于公元１１７３年，为８层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成塔高54.5米．目前，它与地面所成的较小的角为∠1=85º，它与地面所成的较大的角是多少度？复习与回顾（1）∵∠4 =∠___∴a∥b（同位角相等，两直线平行）（2）∵∠=∠2∴a∥b（内错角相等，两直线平行）（3）∵∠3 +∠=180°∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）提问：平行线的判定方法是什么？1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行思考：反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?二、合作交流、探索发现已知a∥b, 猜一猜∠1和∠2相等吗？合作交流一：方法一：量一量请同学们在自己的本子上画一张三线八角图，如图标上∠1和∠2，用事先准备好的量角器量出你的∠1和∠2的度数，看看它们是否相等？请两个同学说一说自己得出的结论。
方法二：拼一拼将画在纸上的三线八角图剪下来，把∠1和∠2移到一起，看看它们能否完全重合，如果能完全重合，那么就可以说明这两个角相等。
请同学们一起看PPT上面的演示。
性质发现：平行线的性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简写为：两直线平行，同位角相等符号语言:∵a∥b,∴∠1=∠2.合作交流二：如图：已知a//b,那么∠2与∠3相等吗？为什么?你能根据”两直线平行,同位角相等”,来证明你的猜想吗？解∵a∥b(已知),∴∠1=∠2(两直线平行, 同位角相等).又∵∠1=∠3(对顶角相等),∴∠2=∠3(等量代换).性质发现：平行线的性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简写为：两直线平行，内错角相等符号语言:∵a∥b,∴∠2=∠3.合作交流三：如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么?你能根据”两直线平行,同位角相等”,来证明你的猜想吗？解：∵a//b （已知）,∴∠ 1= ∠ 2（两直线平行，同位角相等）.∵∠ 1+ ∠ 4=180°（邻补角定义）,∴∠ 2+ ∠ 4=180°（等量代换）.性质发现：平行线的性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简写为：两直线平行，同旁内角互补符号语言:∵a∥b,∴∠ 2+ ∠4=180°.例1.如图,已知直线a∥b,∠1 = 500,求∠2的度数.解：∵a∥b (已知),∴∠ 2= ∠1(两直线平行,内错角相等).又∵ ∠ 1=500 °（已知）,∴∠ 2=500（等量代换）.变式１：已知条件不变，求∠3，∠4的度数？例2.如图,已知直线a∥b,∠1 = 500,求∠3的度数.解：∵a∥b (已知),∴∠ 3= ∠1(两直线平行,同位角相等).又∵ ∠ 1=500 °（已知）,∴∠ 3=500（等量代换）.例3.如图,已知直线a∥b,∠1 = 500,求∠4的度数.解：∵a∥b (已知),∴∠ 1+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵ ∠ 1=500 °（已知）,∴∠ 4 = 1800- ∠ 1 = 1300课堂练习：1．如图所示，AB∥CD∥EF，BC∥AD．AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，∠AOB的边OA为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点反射后，反射光线DE 恰好与OB平行，若∠AOB=40°，则∠BCD的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°4．如图若AB ∥CD,则下列结论中①∠B=∠2 ②∠3=∠A ③∠3=∠B④∠B + ∠BCD= 180°正确的是( )A ①②B ①③C ①④D ③④5．如图,若AB ∥ED,BC ∥FE,则∠B + ∠E=_______6．如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是．7．如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=．8．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是．9．已知 a ∥ b ，∠1=47°,求∠2的度数？10．已知∠3 =∠4，∠1=47°,求∠2的度数？11．如图，点B、C、D在一条直线上，AB∥CE, ∠A=55°, ∠B＝60°。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。
七年级数学下册同步精品讲义(人教版)：第03课 平行线的判定(教师版)
B、两条线段平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误；
C、两条射线平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误；
D、有公共端点的直线一定不平行，本选项正确，
故选 D.
【即学即练】若直线 a∥b，b∥c，则 a∥c 的依据是(
)
A．平行公理
B．等量代换
C．等式的性质
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
∵由题意 a⊥AB，b⊥AB， ∴∠1=∠2 ∴a∥b 所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 故选：B． 【点睛】 本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考法 02 平行线的判定
【典例 2】如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
【详解】
因为直线 a∥b,b∥c,所以 a∥c 的依据是平行于同一条直线的两条直线互相平行,
故选 D.
【即学即练】已知直线 AB 及一点 P，要过点 P 作一直线与 AB 平行，那么这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在
D．不存在或者只有一条
【答案】D
【分析】
根据平行公理判断即可；
【详解】
能力拓展
考法 01 平行线
【典例 1】在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行和垂直
B．平行和相交
C．垂直和相交
D．平行、垂直和相交
【答案】B
【分析】
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
【详解】
解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类． 【即学即练】下列说法正确的是( ) A．经过一点有无数条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可解题. 【详解】 解：A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误, B. 在同一平面内，（经过直线外一点）有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误, C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行,正确. 故选 C. 【点睛】 本题考查了平面内平行线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 【即学即练】下列结论正确的是 （ ） A．不相交的直线互相平行 B．不相交的线段互相平行 C．不相交的射线互相平行 D．有公共端点的直线一定不平行 【答案】D 【分析】 根据同一平面内，不相交的直线互相平行，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行，依次判断各项 即可． 【详解】 A、同一平面内，不相交的直线互相平行，故本选项错误；
七年级数学下册平行线的判定课件
在解决三角形的相关问题时，可以利用平行线的性质进行证明和计算，如证明三角形的相似、计算三 角形的面积等。
复杂几何图形中的平行线
复杂几何图形中的平行关系
在复杂的几何图形中，经常需要找出其中的平行线，并利用平行线的性质进行证明和计算。
平行线在复杂几何图形中的应用
平行线在解决复杂几何图形的问题时有着广泛的应用，如计算图形的面积、证明图形的相关性质等。同时，掌握 平行线的性质和判定方法也是解决这类问题的关键。
梯形中的平行线
梯形的一组对边是平行的
梯形只有一组对边是平行的，这也是梯形与平行四边形的主要区别之一。
平行线在梯形中的应用
在解决梯形的相关问题时，经常需要利用平行线的性质，如计算梯形的高、证 明梯形的相关性质等。
三角形中的平行线
三角形中的中位线
三角形的中位线与三角形的两边平行，并且等于第三边的一半。这是三角形中平行线的一个重要应用 。
04 平行线与实际问题联系
实际生活中平行线现象
铁路轨道
铁路轨道是平行线的典型实例， 它们保持固定的间距以确保列车
的平稳运行。
电线杆与电线
在电力传输中，电线杆上的电线 通常保持平行，以减少电磁干扰
和能量损失。
建筑物轮廓线
许多现代建筑物的轮廓线由平行 线构成，这种设计使建筑物显得
简洁、整齐。
平行线在建筑设计中的应用
两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方， 我们把这种位置关系的角称为同位角。
内错角
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条 被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
同旁内角
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角， 叫做同旁内角。
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博途教育学科教师辅导讲义(一）
学员姓名: 年级：七年级日期：2013.3.2 辅导科目：数学学科教师：刘云风时间：课题七下第一章平行线的判定及其性质
授课课时 2课时
教学目标1、复习平行线的判定和性质，体会几何说理的过程。
2、灵活运用平行线的判定和性质，提高分析和解决问题的能力。
3、激发学生学习数学的兴趣，体会合作学习的快乐与成功。
教学内容
平行线的判定及其性质
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：平行线的判定和性质的灵活运用。
掌握平行线的判定和性质之间的区别与联系。
◆教学难点：平行线的判定和性质的灵活运用。
〖教学过程〗
复习回忆知识检索
1、填表
平行线的平行线的
，两直线平行。
，两直线平行。
，两直线平行。
两直线平行，。
两直线平行，。
两直线平行，。
平行公理：经过一点，一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与平行，那么这两条直线。
【知识要点】
一.余角和补角:
1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ
+= 90º∴αβ
与互为角2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ
+= 180º∴αβ
与互为角
二.余角和补角的性质:同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等.
三.对顶角的性质:对角相等.
四.“三线八角”：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角
五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线行.
2、内错角相等, 两直线平行.
3、同旁内角互补, 两线平行.
4、同平行于一条直线的两条直线平行.
5、同垂直一条直线的两条直线平行.
六.平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等；
2.两直线平行,内错角相等；
3.两直线平行,同旁内角互补.
【典型例题】
一、余角和补角
例1. 如图所示，
互余的角有__________________________________；互补的角有__________________________________；
1 2
3
4
变式训练：1. 一个角的余角比它补角的1
3
还少20º，则这个角为_____________。
2. 如图所示，已知∠AOB 与∠AOE 互为补角，OD 是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE=1
2∠EOC, ∠DOE=72º, 求
∠EOC 的度数。
二、“三线八角”
例2 （1） 如图，哪些是同位角？内错角？同旁内角？
（2） 如图，下列说法错误的是（ ）
A. ∠1和∠3是同位角
B. ∠1和∠5是同位角
C. ∠1和∠6是内错角
D. ∠5和∠6是内错角 A
三、平行线的判定
例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2
∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____
∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180º
∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥BG ， （ ）
E
D
C
B A
O
A
B C D
E
F
1
2
3 4 5 6
7 8 2 3 4 5
6 1
A
B
C
D E
G
1 2 3 4
变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B
∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1=∠2
∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180º，
∴ AB ∥EF ( )
例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，说明AB ∥CD.
变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2， ∠3+∠4=180º, 则a ，c 平行吗？
五、平行线的性质
例5 如图所示，ABEF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，AB ∥CD ∥EF, 求 ∠BEC 的度数。
2 C A B
E
D 1
a b c
d e
1 2
3 4 A
B
C
D E
F 1
2
3
变式训练：1.（浙江省中考题）如图所示，L1//L2，则∠1=_____．
2．（兰州·中考题） 如图所示，AB ∥CD ，MN 交CD 于点E ，交AB 于点F ， 若∠DEM=•60°，求 ∠AFE 的度数。
随堂练习
1. 如图，∠BED=∠B+∠D, 则AB 与CD 有怎样的位置关系？请说明理由。
（2010·培优）
2.（2010武汉）如图，点P 是四边形ABCD 的边CD 上任意一动点，且∠C=∠1+∠2. 请问AD 与BC 有怎样的位置关系？请说明你判断的理由。
4.（第18届北京市“迎春杯”竞赛题）已知∠A 的两条边和∠B 的两条边分别平行， 且∠A 比∠B 的3倍少20°，求 ∠B 的度数。
B
C
D
E
A
A
B C
D P 1
2
5 .（2008·培优）如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 三点在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE 是∠DAC 的角平分线，求证：AE ∥BC 。
7.（2010湖北孝感）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OT ⊥AB 于O ，CE ∥AB ，若∠ECO=30°，则∠DOT=（ ） A.30° B.45° C. 60° D. 120°
8．如图，已知∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO ，CO 分别平分∠ABC ， ∠ACB ，EF 经过点O ，则∠BOC 的度数为__________．
9．如图，AD ∥EF ∥BC ，EG ∥AC ，若∠1=40°，则∠AHF=______．
解答题:
1. 如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线，∠1＝∠2， 求证：AB//CD 。
_3
_2
_1
_F
_E _D
_C
_B
_A
2
1
E
D C
B A
2. 如图,已知AB ∥DE ，∠B=80°，CM 平分∠BCE ，CN 垂直CM ，求∠DCN 的度数.
A
B C
D
M
N
E。