高中数学必修一 函数单调性教案(知识点+例题+练习)

学员姓名年级辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题函数的单调性课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次授课日期及时段教学目标1.掌握函数单调性的定义和求单调性的方法2.掌握复合函数单调性判断的方法3.掌握分段函数的单调性判断方法重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】知识点一函数单调性定义：单调区间的定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

即我们所说的“同增异减”规律。

【重难点例题启发与方法总结】题型一求函数单调性区间2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()【解析】 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 【答案】 C7．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．【解析】 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.【答案】 38．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图象如图所示，其递减区间为[0，1)．【答案】 [0，1)9．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．【解析】 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.∵函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.【答案】 －610．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：例3 (89·全国·理)已知函数f(x)=8+2x -x 2，如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x) ( ) (A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数； (C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.解：令g(x)=f(u)=-(u -1) 2+9，u=2-x 2，则(1) g(x) =-(u -1) 2+9在u ∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x 2具有相同的增减性， 由2-x 2≤1得 x ≤-1或x ≥1，而u 在x ∈(-∞，-1]上是增函数， u 在x ∈[1,+∞)上是减函数，∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.(2) g(x) =-(u -1) 2+9在u ∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x 2具有相反的增减性， 由2-x 2≥1得 -1≤x ≤1，而u=2-x 2在x ∈ [-1,0] 上是增函数， 在x ∈(0， 1)上是减函数，∴g(x) =-(u -1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数. 故选(A).题型四 分段函数分段函数的单调性问题，一定要保证各段上同增（减）和上、下段间端点值间的大小关系．例：(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______． 【分析】因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围是[)4,8．【易错点】忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误． 【练一练】1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________.【答案】 (0，2]【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＞0，a －3＋5≥2a ，解得0＜a ≤2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138【课堂随练】【1-3】讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．【答案】f(x)在(－1,1)上为减函数 【解析】设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数【1-4】函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. 求证：f (x )在R 上是增函数； 【答案】详见解析【解析】证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．【思想方法】判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．【温馨提醒】在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的，二是单调区间的表述要正确．如函数f (x )＝1x的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)[或(－∞，0)，(0，＋∞)]，而不能表述为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 【课堂强化巩固练习与方法总结】一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】函数2()2(1)2f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是 ．[来源:学科网] 【答案】(,0][5,)-∞+∞ 【解析】试题分析：由题意得141150a a a a -≥-≤-⇒≥≤或或2 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设函数22,0,(),0,x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．[来源:学科网]【答案】2a ≤【解析】试题分析：结合图像知(())2()22f f a f a a ≤⇒≥-⇒≤3. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(1，3] 【解析】试题分析：当0x <时，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =，所以()f x 的单调增区间为[1,1]-，因此[1,2][1,1]12113a a a --⊂-⇒-<-≤⇒<≤4. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________． 【答案】1122m -≤< 【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m ,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得1122m -≤<.故应填答案1122m -≤<. 5. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】设函数()xf x e x a =+-，（,a R e ∈为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在一点()00,x y ，使得()()0ff y y =，则a 的取值范围是______________．【答案】[]1,e 【解析】6.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是_________．【答案】[0,1)．【解析】g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．7.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 【解析】由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.[来源:学科网ZXXK]8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是____________． 【答案】①③④9.设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤K ，K ，f x >K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为 ________.【答案】(－∞，－1)．10. 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x)＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)的值等于________. 【答案】3.[来源:学#科#网Z#X#X#K]【解析】由f (x )的单调性知存在唯一的实数k 使f (k )＝e ＋1，即f (x )＝e x ＋k ，令x ＝k 得f (k )＝e k＋k ＝e ＋1，所以k ＝1，从而f (x )＝e x＋1，则f (ln 2)＝eln 2＋1＝3.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。