3多维非稳态对流扩散问题
热流问题的数值计算
整理，得
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
rP r aE (x) e / e
rP r aW (x) w / w
0 P
rn x aN (y ) n / n
rs x aS (y ) s / s
( c) P V a t
0 0 0 a P a E aW a N a S a P S P V b S C V a P TP
aE , aW , aS , aN 都是相邻两节点间导热热阻的倒
0 a 数， 具有热惯性意义， P热惯性越大，上一
时层的温度对下一时层的影响越大。
4.3 源项及边界条件的处理
离散方程为：
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
r aE re ( ) e / e
r aW rw ( ) w / w
0 P
rn aN (r ) n / n
rs aS (r ) s / s
( c) P V a V 0.5(rn rs )r t
经整理，得
dT dT e Ae ( ) e w Aw ( ) w ( S C S p TP ) AP(3) x 0 dx dx
令
Ae e aE (x) e
Aw w aW (x) w
b S C AP x 则式（3）变为：
a P a E aW S P AP x
因为离散方程都可表示为
a PTP anbTnb b
aP anb S P V
线性代数方程迭代求解收敛的一个充分必 要条件是对角占优，即：
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
非稳态扩散名词解释
非稳态扩散名词解释非稳态扩散：非稳态扩散又称自发过程、非平衡扩散，是不需要外界能量的作用就能自发进行的一类扩散过程。
自然界中的扩散多数是非稳态扩散。
本文主要介绍非稳态扩散。
⑴非稳态扩散定义：在无限时间内，随着流体通过的断面面积变化而产生的浓度变化，称为非稳态扩散。
它是依靠单位时间通过的总面积或所有截面的总通量来描述的。
⑵非稳态扩散过程的分类(1)化学平衡理论解释的平衡分布过程(2)熵值理论解释的平衡分布过程(量子力学认为所有物质的微观运动形式都服从统计规律)。
⑶非稳态扩散机理研究意义：⑴使对象更加复杂；⑵导致各个部分的性质发生改变；⑶导致结构变得更加复杂；⑷使人们可以获取到更加丰富的信息。
非稳态扩散：非稳态扩散又称自发过程、非平衡扩散，是不需要外界能量的作用就能自发进行的一类扩散过程。
自然界中的扩散多数是非稳态扩散。
非稳态扩散分为两大类：吸附扩散和分子扩散。
吸附扩散是分子或颗粒物质因受其他物质吸引，相互接近而引起的一种扩散过程。
其特点是扩散的浓度比在空气中低，扩散的传质系数比在空气中大。
分子扩散是指由于温度差或化学反应等引起的扩散。
其特点是扩散的浓度比在空气中高，扩散的传质系数比在空气中小。
⑷扩散过程与状态变化特点：①属于等温、等压、等体积过程；②扩散速率不受浓度差的影响；③扩散的方向性；④存在固定的扩散系数；⑤有特定的传质系数。
⑸浓度梯度与传质系数：在某一瞬时，物料中每一点上的浓度梯度是该点处各个浓度单位的相应值的连乘积。
传质系数k是单位时间内从扩散体系一侧通过单位截面积物料的量，也就是单位时间内每单位面积上的物料浓度梯度除以物料的体积V。
⑹不稳态扩散与稳态扩散：稳态扩散与不稳态扩散之间的区别是前者有外力推动。
而后者则没有，这是非稳态扩散与稳态扩散最根本的区别。
⑺稳态扩散与不稳态扩散的比较：在稳态扩散中，由于断面面积变化而产生的浓度变化可忽略，所以其分析的方法与其他类型的扩散相同。
而在不稳态扩散中，外力推动必须满足浓度变化的情况下才有意义，故其分析方法不同。
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解
《流体力学中的湍流扩散方程解析解》
一、什么是湍流扩散方程？
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程，是一种常用的偏微分方程。
它是一种描述在空间中湍流的扩散过程的数学方程，其目的是描述物质和能量在湍流中的传播。
二、湍流扩散方程的公式：
湍流扩散方程的公式为：
∂C/∂t = D∇2C
左侧的第一项是物质的局部变化率，t 代表时间；右侧的第一项用来描述物质在空间中的传播，D 为扩散系数，∇2C 为Laplace 算子。
三、湍流扩散方程的解析解：
1.快速波动方法：即快速 Fourier 过程，是一种快速处理湍流扩散方程的方法，其大致操作是用离散傅立叶变换把扩散方程转化为一个秩为 0
的傅立叶方程，然后使用傅立叶级数解决得出结果；
2.有限差分方法：给定的湍流扩散方程先采用有限的体积分解，即在时间及空间的二维平面上将扩散方程的计算区域划分成均匀的小单元，然后在每个区间内建立一个线性的有限差分矩阵，把扩散方程就变为简单的线性方程组；
3.格式方法：即 Finite Element 方法，用此方法可以把湍流扩散方程从不同的坐标方程中任意变换到球形坐标系，然后用有限元计算机程序解决；
4.积分方法：则是用数值积分的方法解决湍流扩散方程，包括 Runge-Kutta 方法、Adams 方法及其它积分的方法。
四、总结
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程的数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程。
解决该方程有几种方法，即快速波动方法、有限差分方法、格式方法及积分方法。
以上是关于湍流扩散方程解析解的相关介绍，希望能够帮助到大家。
第四章扩散习题答案
第四章扩散习题答案4-1解：本题为非稳态扩散问题，采用菲克第二定律。
由题意知，初始条件和边界条件为：t=0时，x>0 C = C 0； t ≥0时，x=0 C = C s ；t ≥0时，x=∞ C = C 0所以，可应用误差函数解来求解。
c(x,t)= C s －(C s - C 0)erf (Dtx2)，其中，Cs=0, C 0=0.85%, 取C=0.8% 则：(C s –C)/( C s –C 0)= erf(Dt x2)∴(0-0.8%)/( 0-0.85%)= erf(3600*10*1.1211-x)∴erf(3600*10*1.1211-x)=0.94 查表知，3600*10*1.1211-x=1.33∴x=0.00053m=0.53mm∴ 应车去 0.53mm 的深度。
4-2解：本题为非稳态扩散问题，采用菲克第二定律。
由题意知，初始条件和边界条件为：t=0时，x>0 C = C 0； t ≥0时，x=0 C = C s ；t ≥0时，x=∞ C = C 0所以，可应用误差函数解来求解。
c(x,t)= C s －(C s - C 0)erf (Dt x 2)，其中，Cs=1.1%, C 0=0 ①β=Dt x2=10*10*5.825.02-=0.33∴ erf(β)=0.3593C= C s －( C s – C 0) erf(β)=1.1%－1.1%×0.5393=0.705%②β= Dt x2=10*10*5.820.12-=0.66∴ erf(β)=0.6494C= C s －( C s －C 0) erf(β)=1.1%－1.1%×0.6494=0.386%③β= Dt x2=10*10*5.822.12-=0.79∴ erf(β)=0.7361C= C s －( C s －C 0) erf(β)=1.1%－(1.1%－0)×0.7361=0.29%④β= Dt x2=10*10*5.825.12-=0.98∴ erf(β)=0.8342C= C s －( C s －C 0) erf(β)=1.1%－(1.1%－0)×0.8342=0.18%⑤β= Dt x2=10*10*5.8222-=1.31∴ erf(β)=0.9361C= C s －( C s －C 0) erf(β)=1.1%－(1.1%－0)×0.9361=0.07%渗层内碳的浓度分布曲线如下：4-3解：本题为非稳态扩散问题，采用菲克第二定律。
非稳态扩散名词解释
非稳态扩散名词解释非稳态扩散是指物理、材料、化学及生物系统中的扩散过程，它对应于热力学的熵的非稳态增加。
它的本质是物质或能量从一个地方向另一个地方转移，以满足不均衡态的需要和条件。
而且它还可以在某些情况下产生有益的结果，从而改善系统的性能和功能。
非稳态扩散涉及一系列不同的现象，如传热、传热和传质等。
扩散在热力学中是指物质穿过温度或其他物理变量时，将温度或其他物理变量不均匀分布于各处的过程。
热扩散可以在物体表面和内部之间传递热量，而扩散系数描述的是热传递的强度。
扩散过程的速率取决于物质的种类、浓度和热能等。
热扩散是通过物体温度从高温区至低温区的传热而实现的，它对于定义散热器的有效性至关重要。
传质扩散是指在不同区域之间物质的扩散过程，即使温度在整个系统中是均衡的，也可以发生物质的扩散。
传质扩散的驱动力是物质的溶质浓度差异。
当物质的浓度在某一位置大于其他位置时，物质就会从高浓度区域流向低浓度区域。
这种可能会导致不良的影响，如污染和气味的扩散，因此应该尽可能多地阻止传质扩散。
生物系统中的非稳态扩散是指物质或信息在生物体之间以及内部生物体内部的扩散。
在生物体之间，细胞间信号传导是一种重要的非稳态扩散过程，其涉及受体细胞、信号转导蛋白与接受信号的分子等，其中都包含扩散的本质。
生物体内部的非稳态扩散是指细胞的活性蛋白的扩散，涉及到细胞间质和细胞膜的传递，从而影响各种细胞活性及细胞内功能的分布。
从上述内容可以看出，非稳态扩散是一种普遍存在的物理现象，它可以发生在物理、材料、化学和生物系统中，对于系统的功能性和性能有着重要的影响。
非稳态扩散涉及不同的现象，包括热传导、传热和传质扩散，以及生物体内部的细胞间信号传导和细胞内蛋白的扩散。
因此，了解非稳态扩散的机制和其对系统性能影响的理解，对于提高材料或生物系统的效率以及可靠性具有重要的意义。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
第五章对流扩散问题(假扩散)
该问题的数值解如下：
1 n i
u t n u t n (1 ) i i 1 x x
MUD : du d ux d (( ) ) dx dx 2 dx
第五章 对流扩散问题———假扩散
由图可以看出，在区间 P 2 ，中心差分格式预报的 P 值优于迎风格式的预报值。对比这两种格式，其扩散项 的处理是完全相同的，所不同的仅仅是对流项的处理上 ，在中心差分格式中对流项的差分格式具有二阶精度， 而在迎风格式中对流项的差分格式只具有一阶精度。在 区间 P 2 ，两种格式预报 P值所表现出的差异性恰恰是 这两种格式精度不同的体现。观察上图，迎风格式所预 报的 P值具有该高不高和该低不低的特点，这一特点正 是由一阶精度迎风格式所引起的扩散系数为 ux / 2 的 假扩散项造成的。也反映了假扩散项的影响。
n n ux ut 2 n ( ) i u( ) i (1 )( 2 ) i O( x 2 , t 2 ) t x 2 x x
由此可以看出，我们前边得到的差分方程所逼近的是 一个非稳态对流扩散问题，而非原型问题所要求的非 稳态对流问题。
第五章 对流扩散问题———假扩散
1 n (1 P
ut n ut n ) P W x x
用编号法表示
1 n i
1 n , n 在点 (i, n) i i 1
u t n u t n (1 ) i i 1 x x
做Taylor展开
n n u 2 n 1 2 n ( ) i u( ) i ( 2 ) i x ( 2 ) i t O( x 2 , t 2 ) t x 2 x 2! t
第五章 对流扩散问题———假扩散
将 i 1 和 i 1 台劳 级数展开代入
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• 对一阶精度迎风格式加入适量的逆耗散，以减小 扩散系数 • 离散格式中包含更多邻节点个数
5.4.3 非常数源项引起的 虚假扩散
对称边界
• 由对称性，有
u v 0, 0, 0 y y
固壁边界
• 对粘性流体，壁面无渗透，其壁面速度为 零，即 u v 0 • 对于 ，可提1、2、3类边界条件。
出口边界
• 难点：除非实测，不可能获得出口截面信息
• 出口截面局部坐标单向化：假定出口截面节 点对它近邻的内节点无影响，从而令边界节 点对内节点的影响系数为零
aN Dn A( Pn ) Dn A Pn F , 0 n
aS Ds B( Ps ) Ds A Ps F , 0 s
• 根据采用的三点离散格式不同，选定A(|Βιβλιοθήκη |) 函数形式不同，参见前一节的表格
5.4.2 网格取向效应引起的 交叉扩散
由于网格线和流线之间并非平行或垂直 ，而是有一定角度的交叉而导致的扩散
虚假扩散逐渐抹平阶梯分布
0
0
来流与网格线平行和交叉时 迎风格式计算结果
P W
P W S 2
对 策
• 尽量减小流线与网格线间的倾斜和交叉。采用自 适应网格，如“旋转坐标”技术。 • 改进对流项格式设计方案,采用高阶精度迎风格式
• 连续方程积分结果
0 P P
t
xy ( Fe Fw ) ( Fn Fs ) 0
两式相减合并
0 0 P (P P )
t ( SC SPP )xy
xy ( J e FeP ) ( J w FwP ) ( J n FnP ) ( J s FsP )
• 需要注意：一定要跟连续方程联立，才能 得到正确的结果，才能适用于可压和不可 压的情况
最终表达式
aPP aEE aWW aNN aSS b
aE De A( Pe ) De A Pe F , 0 e aW Dw B( Pw ) Dw A Pw F , 0 w
J x t s w x dxdydt J x e J x w yt ( J e J w )t t t n e J y J y n J y s xt ( J n J s )t t s w y dxdydt
5.3.2 三维非稳态对流扩散方程
• 离散结果
aPP aEE aWW aNN aSS aT T aBB b
• 系数表达式见课本
5.3.3 多维对流扩散问题的 边界条件处理
几种可能的边界条件
• 以有回流的突扩通道为例
入口边界
• 一般规定入口边界上的函数值 和 流速 u 和 v 的分布
5.4 对流扩散方程离散格式的 虚假扩散问题
1. 人工粘性引起流向扩散 2. 网格取向引起交叉扩散 3. 非常数源项带来的虚假扩散
5.4.1人工粘性所引起的 流向扩散
修正的偏微分方程(MPDE)
• 一维对流方程(波动方程)
u u a 0 (a 0) t x
• 一阶迎风格式
1 n n n un u c ( u u j j j j 1 )
(c at x)
修正的偏微分方程(MPDE)
• 迎风格式的泰勒展开
t ax t 2 ax 2 ut aux utt uxx uttt uxxx 2 2 6 6
自循环消元过程
• MPDE
ax ax 2 ut aux (1 c)uxx (2c 1)(c 1)uxxx 2 6
• 连续方程
( u) ( v ) 0 t x y
引入通量密度
• 对流扩散总通量密度：
J x u , x J y v y
• 质量通量密度：
Fx u, Fy v
用通量表示的控制方程
• 控制方程：
( ) J x J y S t x y
• 连续方程
( ) Fx Fy 0 t x y
2．控制容积积分离散
• 非稳态项：假设沿空间为均匀分布
( ) 0 dtdxdy ( ) ( ) xy P P t
s
n
e
t t
w t
• 对流、扩散通量项：时间积分取隐式，空 间取均匀分布
5.3 多维非稳态对流扩散问题
5.3.1 二维非稳态对流扩散 方程的离散
1．直角坐标系下的对流扩散 方程和连续方程
• 控制方程
( ) ( u ) ( v ) S t x y x x y y
虚假的流向扩散
• MPDE中的二阶空间导数代表扩散作用(粘 性效应)，相当在原始方程中增加了扩散作 用(人工粘性作用)，这引入了原始方程中没 有的一种虚假扩散。 • 流向扩散(streamwise diffusion): 只要求解 函数顺流向存在不为零的一阶导数时，它 使方程的真解被光滑，导致数值计算误差
t t n e
源项
• 线化为
S SC SP ( SP 0)
• 时间、空间均取均匀分布
s
n
e
t t
w t
Sdtdxdy ( SC SP )xyt
积分结果
( ) P ( )0 P xy ( J e J w ) ( J n J s ) ( SC SPP )xy t