2014年湖南省高考理科数学试卷
数学高考真题-2014湖南卷理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A. 12＋12i B. 12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 33．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．205．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(┑q )；④(┒p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．执行如图所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]7． 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－19．已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且∫2π30f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3 D ．x ＝π610．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)11． 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．12．如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．13．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________． (二)必做题(14～16题)14． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.15．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a＝________．16．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． 19．（本小题满分12分）如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．20．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式． 21．（本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22．（本小题满分13分）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2x x＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．。
14年高考真题——理科数学(湖南卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z i i z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ） （A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p ==3．()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）34．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ） （A ）20- （B ）5-0 （C ）5 （D ）205．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >。
在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③ （D ）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1--（C ）[]4,5- （D ）[]3,6-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q + （B ）()()1112p q ++- （C（D1 9．已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π⎰=，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π= 10．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞（B ）(-∞（C）(-（D）( 二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________________。
2014年高考真题湖南卷(理科数学)小题解析版(答案不完整)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、满足1z z +=i （i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i --2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p ==3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则f （1）+g （1）=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A 、-20B 、-5C 、5D 、20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题 ①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨ 中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6] 6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++- CD1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9、已知函数发f （x ）=sin(x )ϕ-，且230()0xf x dx =⎰，则函数f （x ）的图象的一条对称轴是 A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10、已知函数f （x ）=2x1x +e -2（x<0）与g （x ）=2x +In x+a)（的图象在存在关于y 轴对称点，则a 的取值范围是A 、-∞（ B 、-∞（ C 、（ D 、（ 10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2xy e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a=+⎧⎨=+⎩（a 为参数） 交于A ，B 两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是_________。
2014年全国高考湖南省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，学科网当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 A ．123p p p =< B ．231p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxkA ．－20B ．－5C ．5D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A ．[6,2]--B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C pq D (1)(1)1p q ++ 9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(e -∞B ．()e -∞C ．()e eD ．(,e e - 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，学科网如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是12．如图3，已知,AB BC 是O e 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O e 的半径等于13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）14．若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k =15．如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．（I ） 求至少有一种新产品研发成功的概率；（II ） 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图5，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ （I ） 求cos CAD ∠的值； （II ） 若721cos ,sin ,6BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．19． （本小题满分12分）如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O ==I I 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．（I ） 证明：1;O O ABCD ⊥底面（II ）若1160,CBA C OB D ∠=--o求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（I ） 若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （II ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }学科网是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =- （I ） 求12,C C 的方程；（II ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 （I ） 讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（II ）若()f x 存在学科网两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题1、B2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、D9、A 10、B 二、填空题11、(cos sin )1p θθ-=12、3213、3- 14、2-15、12+ 16、17+三、解答题 17、（本小题满分12份） 解：（I ）记E=｛甲组研发新产品成功｝，F=｛乙组研发新产品成功｝.由题设知2132(),(),(),(),3355P E P E P F P F ====故所求的概率为（Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=, 133(100)()3515P X P EF ===⨯=224(120)()3515P X P EF===⨯=,235(220)()3515P X P EF===⨯=,故所求的分布为数学期望为2()015E X=⨯+310015⨯+412015⨯+622015⨯=300480132021001401515++==18、（本小题满分12份）解：（I）如图5，在ADC∆中，由余弦定理，得222cos.2AC AD CDCADAC AD+-∠=⋅故由题设知，27cos.27CAD∠==227321sin11().1414BAD COS BAD∠=-∠=--=于是sin x=sin()BAD CAD∠-∠=sin cos cos sinBAD CAD BAD CAD∠∠-∠∠=32127721()147⋅--⋅=3.2在ABC∆中，由正弦定理，BC=37sin23sin21AC aCBA⋅==∠19、（本小题满分12份）解：（I ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·湖南(理科数学)
2014·湖南卷(理科数学)1．[2014·湖南卷] 满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i1．B [解析]因为z ＋i z ＝i ，则z ＋i ＝z i ，所以z ＝ii －1＝i （－1－i ）（i －1）（－1－i ）＝1－i 2.2．[2014·湖南卷] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 32．D [解析]不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．C [解析]因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.4．[2014·湖南卷] ⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．204．A [解析]由题意可得通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫125－r(－2)r x 5－r y r ，令r ＝3，则C r 5⎝⎛⎭⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝⎛⎭⎫122×(－2)3＝－20. 5．[2014·湖南卷] 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④ C ．②③D ．②④5．C [解析]依题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题．由真值表可知p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假．6．[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]6．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，所以D 正确． 7．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打A ．1B ．2C ．3D ．47．B [解析]由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r ＝6＋8－102＝2.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－18．D [解析]设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 9．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且 ∫2π30f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π69．A [解析]因为∫2π30f(x)d x ＝0，即∫2π30f(x)d x ＝－cos (x －φ)2π30＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴．10．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎫－e ，1e10．B [解析]依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．11．ρcos θ－ρsin θ＝1 [解析]依题意可设直线l ：y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.由|AB |＝2可知圆心(2，1)在直线l ：y ＝x ＋b 上，即l ：y ＝x －1，所以l 的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.12．[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于12.32[解析]设圆的半径为r ，记AO 与BC 交于点D ，依题可知AD ＝1.由相交弦定理可得1×(2r －1)＝2×2，解得r ＝32.13．[2014·湖南卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．13．－3 [解析]依题意可得－3＜ax －2＜3，即－1＜ax ＜5，而－53＜x ＜13，即－1＜－3x ＜5，所以a ＝－3.(二)必做题(14～16题)14．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－2 [解析]画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.15．[2014·湖南卷] 如图1-4的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．15．1＋2 [解析]依题意可得C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即b a 2－2⎝⎛⎭⎫b a －1＝0，解得ba ＝1＋ 2. 16．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．16．1＋7 [解析]由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD |2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max ＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7＋1. 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝EF ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (EF )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (EF )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.18．、[2014·湖南卷] 如图1-5AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．18．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝32114×277－⎝⎛⎭⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD . 因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD . 由题设知，O 1O ∥C 1C .故O 1O ⊥底面ABCD .(2)方法一：如图(a)，过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ，连接HC 1.由(1)知，O 1O ⊥底面ABCD O 1O ⊥A 1C 1.又因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，因此A 1C 1⊥B 1D 1，从而A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，所以A 1C 1⊥OB 1，于是OB 1⊥平面O 1HC 1. 进而OB 1⊥C 1H .故∠C 1HO 1是二面角C 1OB 1D 的平面角．不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7.在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2＝1＋127＝197.故cos ∠C 1HO 1＝O 1HC 1H ＝237197＝25719.即二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1OB 1D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此错误!.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n ＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 22．、[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．22．解：(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减， 在区间(x 1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减， 从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.。
14年高考真题理科数学湖南卷
（B） 1 1 i 22
（C） 1 1 i 22
2．对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和
分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1, p2 , p3 ，则（
）
（A） p1 p2 p3
p1 p2 p3
（B） p2 p3 p1
（B）5, 1
（D）3, 6
x2
7．一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示，将该石
材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（
） （A）1
1/8
（B）2
y3
（C）3
的系数是（
（C）5
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年高考湖南理科数学精彩试题及问题详解(详解纯word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足i z iz =+（i 为虚数单位）的复数=z A. i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121--2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则 A. 321p p p <= B. 132p p p <=C. 231p p p <=D. 321p p p ==3. 已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA. 3-B. 1-C. 1D. 34. 5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5-C. 5D. 205. 已知命题:p 若y x >， 则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > . 在命题① q p ∧； ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧；④ q p ∨⌝)( 中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④6. 执行如图1所示的程序框图. 如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于 A. ]2,6[-- B. ]1,5[-- C. ]5,4[- D. ]6,3[-7. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 48. 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A.2q p + B. 21)1)(1(-++q p C. pq D. 1)1)(1(-++q p9. 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是A. 65π=xB. 127π=xC. 3π=xD. 6π=x 10. 已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是A. )1,(e -∞B. ),(e -∞C. ),1(e e -D. )1,(ee -二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一) 选做题 (请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C ⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2y x (α为参数) 交于A 、B 两点，且2||=AB . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是____________________. 12. 如图3，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，BC AO ⊥，3=AB ，22=BC ，则⊙O 的半径等于_______.13. 若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ， 则=a ________.（二）必做题（14~16题）14. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,k y y x x y ，且yx z +=2的最小值为6-，则=k ____.15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________. 16. 在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=CD ，则||OD OB OA ++的最大值是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.18. (本小题满分12分)如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1） 求CAD ∠cos 的值； （2） 若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.19. (本小题满分12分)如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC =I ，11111O D B C A =I ，四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;（2）若ο60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.图6D 1B DC20. (本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，nn n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.21. (本小题满分13分)如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F .（1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点. 当直线OM 与2C 交于QP ,两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.22. (本小题满分13分)已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x xax x f （1） 讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.2014年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题. 1.【答案】B【解析】由题可得i i z zi i z -=-⇒=+)1(，所以i i i z 21211-=--=，故选B 【考点定位】复数 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D 【考点定位】抽样调查 3.【答案】C【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，所以故选C. 或者观察求得1)(2+=x x f ，3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f .【考点定位】函数奇偶性 4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ,故选A.【考点定位】二项式定理 5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题, 故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词 6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-U ,故选D. 【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-=⇒=，故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球 8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-，故选D.【考点定位】实际应用问题 9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=，当0x 趋近于负无穷小时，()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的，所以ln ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二、填空题11.【答案】1)sin (cos =-θθρ （或22)4sin(-=-πθρ）【解析】曲线C 的普通方程为1)1()2(22=-+-y x ，直线l 截曲线C 所得弦长2|=AB ，知直线l 过圆心)1,2(，故直线l 的直角坐标方程为1-=x y 1cos sin -=⇒θρθρ.【考点定位】极坐标，参数方程 12.【答案】23【解析】设AD 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另一点E ，则2==CD BD ，在ABD∆中由勾股定理可得1=AD ，再由相交弦定理得2=DE ，从而直径3=AE ，半径23=R .【考点定位】勾股定理，相交弦定理等 13.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|a a ，解得3-=a .【考点定位】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】画出不等式（组）表示的平面区域，知当y x z +=2过点）（k k ,时取得最小值，所以62-=+k k ，2-=k . 【考点定位】线性规划 15.1+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=+,故填1+.【考点定位】抛物线 16.【答案】71+【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈，则OA OB OD ++=u u u r u u u r u u u r )sin(728ϕθ++=，所以OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的最大值为17728+=+，故填71+.或由题求得点D 的轨迹方程为1)3(22=+-y x ，数形结合求出OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值即为点)3,1(-到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) . 【考点定位】参数方程 圆 三角函数 数形结合 三、解答题17. 解： 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P , 31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P . 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1) 记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220. 又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .X 0100120220P152 153 154 156 数学期望为 14015152201512015100150)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18. 解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222.由题设知，77272417cos =-+=∠CAD . （2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ， 所以 721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ， 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD . 于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=. 在ABC ∆中，由正弦定理，CBA ACBC ∠=sin sin α，故 3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α. 19. 解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1. 由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又 O BD AC =I ，故 ⊥O O 1底面ABCD .(2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC . 由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是.⊥O O 111C A ，又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.不妨设2=AB ,因为ο60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，在11B OO Rt ∆中，易知73211111=⋅=OB B O OO H O ，719212111=+=H O C O H C ， 故19572719732cos 1111===∠HC HO HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥，又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.不妨设2=AB ,因为ο60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知 )0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01212OC n OB n ，即⎩⎨⎧=+=+02023z y z x ，取3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是|,cos |cos 21><=n n θ|||||2121n n n n ⋅=195721932==. 即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 20. 解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以nn n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ，但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p . (2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ① 且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④由③④即得 nn n n a a 2)1(11++-=-. 于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ 122)1(21211--++-+=n nΛ.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n nn故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-21. 解：（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 1222=+y x ，1222=-y x . (2) 由于AB 过)0,1(1-F 且不垂直y 轴，故可设直线AB 的方程为 1-=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 得 012)2(22=--+my y m易知此方程的判别式大于0，设),(,),(2211y x B y x A ，则21,y y 是上述方程的两个实根，所以 22221+=+m m y y ，21221+-=⋅m y y .因此242)(22121+-=-+=+m y y m x x ，于是AB 中点)2,22(22++-m mm M ， 因此直线PQ 的斜率为2m-，其方程为x m y 2-=.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=12222y x x m y 得 4)2(22=-x m ，所以022>-m ，2224m x -=，2222m m y -=， 从而 22222422||mm y x PQ -+=+=. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以4|2||2|222211++++=m y mx y mx d ，因为点A 、B 在直线PQ 的异侧， 所以0)2)(2(2211<++y mx y mx ，于是|22||2||2|22112211y mx y mx y mx y mx --+=+++从而 4||)2(22212+-+=m y y m d ，又21224)(||222122121++⋅=-+=-m m y y y y y y ， 所以 4122222++⋅=m m d ，故四边形APBQ 面积2222312221222||21m mm d PQ S -+-⋅=-+⋅=⋅=， 而 2202≤-<m ，故当0=m 时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.22. 解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*） 当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aax --=122舍去）， 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ，故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增. 综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增； 当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa上单调递增.（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点. 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是aax -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--a a ，解得21≠a . 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点. 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a .令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x . 并记22ln )(2-+=xx x g ，（i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ，因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f .(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ，因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f .综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(.。
2014年湖南省高考数学试卷(理科)教师版
2014年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵=i，∴z+i=zi，即z===﹣i，故选：B．2．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．3．（5分）（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．4．（5分）（2014•湖南）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20B．﹣5C．5D．20【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．=，【解答】解：由二项式定理可知：T r+1要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，所以r=3，所求系数为：=﹣20．故选：A．5．（5分）（2014•湖南）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q 为假命题，故选：C．6．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．7．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．8．（5分）（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．pq D．﹣1【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，解出即可．【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）=（1+x）2，解得x=﹣1，故选：D．9．（5分）（2014•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．10．（5分）（2014•湖南）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（）C．（）D．（，）【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A．二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．【解答】解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，曲线C：（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，故直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．12．（5分）（2014•湖南）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于 1.5．【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案为：1.513．（2014•湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=﹣3．【分析】由题意可得﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，故有，由此求得a的值．【解答】解：∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，∴﹣和是|ax﹣2|=3的两个根，∴，∴a=﹣3，故答案为：﹣3．（二）必做题（14-16题）14．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．15．（5分）（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．【解答】解：由题意可得，，，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．16．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得|++|≤|++|+||，可得|++|的最大值．【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为：+1．三、解答题：本大题共6小题，共75分17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：则数学期望E（X）==140．18．（12分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=319．（12分）（2014•湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，∴四边形ABCD为菱形，又∵AC∩BD=O，故O为BD的中点，同理O1也是B1D1的中点，又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴O1O⊥底面ABCD；解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵O1O⊥底面ABCD，∴OB，OC，OO1两两垂直，如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．设AB=2，∵∠CBA=60°，∴OA=OC=1，OB=OD=，则O（0，0，0），B1（，，），C1（0，1，2）易知，=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，设=（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则，即取z=﹣，则x=2，y=2，所以=（2，2，﹣）设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：cosθ=|cos＜，＞|=||==，故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为．20．（13分）（2014•湖南）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+ =﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，，为奇数，为偶数．21．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，，且．∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．∴，且．解得：，．∴椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．∵直线AB不垂直于y轴，∴设AB的方程为x=ny﹣1，联立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，，．则==．∵M在直线AB上，∴．直线PQ的方程为，联立，得．解得，代入得．由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．∴P，Q的坐标分别为，，，，则P，Q到AB的距离分别为：，．∵P，Q在直线A，B的两端，∴．则四边形APBQ的面积S=|AB|．∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．22．（13分）（2014•湖南）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f （x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1、满足1zz=i （i的虚数单位）的复数z=
A、1122i B、1122i C、1122i D、1122i
2、对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方
法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p、2p、3p，则
A、123ppp
B、123ppp
C、132ppp
D、132ppp
3、已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）= 321xx，则f（1）+g
（1）=
A、3 B、1 C、1 D、3
4、51(2)2xy的展开式中23xy的系数是
A、-20 B、-5 C、5 D、20
5、已知命题p：若x>y，则-x<-y ：命题q：若x>y，在命题
①pq ②pq ③()pq ④()pq
中，真命题是
A、①③ B、①④ C、②③ D、②④
6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t，则输出的S属于
A、[-6,-2] B、[-5,-1] C、[-4，5] D、[-3,6]
7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的
半径等于
A、1 B、2 C、3 D、4
8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总
值的年平均增长率为
A、2pq B、(1)(1)12pq
C、pq D、(1)(1)1pq
9、已知函数发f（x）=sin(x)，且230()0xfxdx，则函数f（x）的图象的一条对称轴是
A、5x=6 B、x=712 C、x=3 D、x=6
10、已知函数f（x）=2x1x+e-2（x<0）与g（x）=2x+Inx+a)（的图象在存在关于y轴对称点，则a的
取值范围是
A、1-e（，） B、-e（，） C、1-ee（，） D、1-ee（，）
二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分
(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线 l与曲线 2cos:1sinxaCya（a为参数）
交于A，B两点，且 2AB.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系，则直线l的极坐标方程是_________。
12.如图3，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB= 3，
BC=22，则O的半径等于________。
13．若关于x的不等式 23ax的解集为 51|33xx，则
a=________.
(二)必做题(14-16题)
14若变量 x,y满足约束条件 ,4,,yxxyyk且 2zxy的最小值为 原点O为AD的中点，抛物线 2y2(0)pxp经 过C、F两点，则ba_________。 某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23和35，现安排甲组研发新产品A， 18． （本小题满分l2分） 1,2,7ADCDAC (II)若1721cos,sin146BADCBA 19. （本小题满分l2分） ACCA 和四边形11BDDB均为矩形。 20. （本小题满分13分） (I)若na是递增数列，且123a,2a,3a成等差数列，求p的值； （Ⅰ）求1C、2C的的方程；
-6，则 k_______。
15.如图4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a
16．在平面直角坐标系中，O为原点 A(1,0),B(0,3),
C(3 0)动点D满足 1CD，则 OAOBOD的最
大值是__________。
三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17 .(本小题满分l2分)
乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立。
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(II)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万
元，求该企业可获利润的分布列和数学期望
如图5，在平面四边形ABCD中，
(I) 求cosCAD的值
求BC的长
如图6，四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，11111ACBD,OACBDO，四边形
11
(I)证明：1OO底面ABCD；
(II)若60CBA，求二面角11COBD的余弦值。
已知数列na满足111,,.nnnaaapnN
(II)若12p，且12na是递增数列，2na是递减数列，求数列na的通项公式。
21、如图7，O为坐标原点，椭圆1C:2222xy+=1ab（a>b>0）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为1e：
双曲线2C：2222xy-=1ab的左、右焦点分别为3F，4F，离心率为2e。已知12ee=32，且24=3-1FF。
（Ⅱ）过1F做1C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于P，Q两点时，求四边
形APBQ面积的最小值
22、已知常数a>0，函数f（x）=In（1+ax）-2xx+2。
（Ⅰ）讨论f（x）在区间0+（，）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点1x、2x，且f（1x）+f（2x）>0，求a的取值范围