论数学发展与人类文明的关系

论数学发展与人类文明的关系 法学Q1141班 孙越 11090033 数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类进化和智力法阵进程的反应。例如，埃及和巴比伦的数学源于人们生存的需要，希腊数学与哲学密切相关，中国数学的活力来自立法改革，印度的数学的源泉始于宗教，而波斯的数学和天文学互不分离。 文艺复兴是人类文明进程的一个里程碑，到了17世纪，微积分的产生解决了科学和工业革命的一系列的问题，而18世纪法国大革命时期的数学设计力学、军事和工程技术。19世纪前半叶。数学和诗歌几乎同时从古典进入现代，其标志分别是非交换代数和非欧几何学的诞生，而进入20世纪以后，抽象化成为数学和人文的共性。 哲学与数学的在此交汇产生了现代逻辑学。现代数学和现代文明的结合，更能理解各专业与数学的关系。 一、数学的起源 中东文明 数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万多年前，居住在岩洞里的原始人就有了数的概念。本来，对事物的要求出自人类的生存本能，慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1,2,3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道自己拥有多少绵羊。 在有文字记载之前，记数和简单的算术就发展起来了。后来，逐渐衍生出三种有代表性的记数方法，即石子记数、结绳记数、刻痕记数 。在古希腊的荷马史诗《奥德赛》故事告诉我们，很可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数学，正如诗歌起源于祈求丰收的祷告。 说来有点残酷，一些美洲印第安人用过手机被杀者的头皮来计算他们杀敌的数目，而非洲的原始猎人通过积累业主的牙齿来计算他们杀死野猪的数目。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩带铜环，其个数等于自己的年龄。以前，英国就报往往用粉笔在石板上画记号来技术顾客饮酒的杯数。后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。 据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万年以前，经过极其缓慢的发展，终于出现了书写记数和响应的数系。前者有古埃及的象形文字，希腊的阿提卡数字，中国的纵使筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字。 数系的出现使得数的书写和数与数之前的预算成为可能。在此基础上加、减、乘、除乃至于初等算数便在几个古老的文明地区发展起来。与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是在他们对形的直觉中萌发出来的。几何学边是建立在对这类从自然界提炼出来的“形”的总结的基础之上。 近东既是人类文明的摇篮，也是西方文明的发祥地。由于特殊的地理因素，造就了以古老的象形文字和巨大的金字塔为标志的绵延三千年的古埃及文明。 除了上面介绍的数学成绩以外，埃及人和巴比伦人还将数学大量的应用于实际生活中，他们在纸草、泥版书上记载账目、期票、信用卡、买卖单据、抵押契约、代发款项，以及分配利润等事项。还比如数字7，巴比伦人最早注意到了，它是上帝的威力和复杂的自然界之间的一个和谐点，到了希伯来人手里，7又成为一个星期的天数。 二、希腊数学与希腊文明、 与东方文明古国不同，希腊城邦始终处于割据状态，这当然与它的地理因素有关，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上，希腊的社会结构主要由贵族和平民两个阶段构成，他们并不彼此截然分开，在战争中同属一个国王领导，而这个国王不过是某个贵族家庭中的首领，这样一来，这个社会便容易产生民主和唯理主义氛围。在这个氛围中，经验的算术和几何法则被上升到具有逻辑结构和论证数学体系中。 第一个名扬后世的数学家是希腊的泰勒斯，他最有意义的工作是如今被称为“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。更为重要的是，他引入了命题的证明的思想，即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题来论证，可谓开启了论证数学之先河，这是数学史上一次不同寻常的飞跃。这些成就使得他获得了第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名。 另一位便是毕达哥拉斯，他的数学成就主要包括：毕达哥拉斯定理；特殊的数和数组的发现，如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数；正多面体作图；黄金分割；等等。 接下来，我们要谈论古希腊三大哲学家之一的柏拉图，还有两份分别是他的老师苏格拉底和他的学生亚里士多德。苏格拉底在数学方面并无太大建树，但是他在逻辑学上有两大贡献，即归纳法和一般定义法。虽然柏拉图本人并没有在数学研究方面作出特别突出的贡献，但他却是那个时代希腊数学活动的中心，例如，一般整数的平方根或高次方根的无理性研究，正8面体和正20面体的构造，圆锥曲线和穷竭法的发明，等等。甚至连大数学家欧几里德早年也在阿卡德米攻读几何学，这一切使得柏拉图赢得“数学家的缔造者”的美名。他不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，也把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格区分。这样一来，就把起始于毕达哥拉斯的对数学概念的抽象化定义又向前推进了一步。 亚里士多德在数学领域里最重要的贡献是将数学推理规范化和系统化，其中最基本的原理是矛盾律——一个命题不能即使真的又是假的；还有排他律——一个命题要么是真的，要么是假的，两者必居其一。这两条原理早已成为数学证明的核心。 三、中世纪的中国 与巴比伦和埃及一样，远古时代的中国就有数与形的萌芽，并发现有完整的10进制，至迟至春秋战国时代，已出现严格的筹算记数。 西汉后期的中国处于一个数学高峰的上升阶段。《九章算术》和《周髀算经》算是两部数学的著作。《周髀算经》中有两个著名的数学结果，其一当然是勾股定理，此外，《周髀算经》中还有分数的应用、惩罚的讨论以及寻找公分母的方法，这表明平方根已经被应用了。《九章算术》是从先秦至西汉中叶时期经过众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。它采用问题集的形式，264个问题分成九章，依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。在代数领域，《九章算术》的记载就更有意义了，已经有了线性联立方程组的解法。《九章算术》中提到的另外两个贡献也是非常值得称道：一是正负术，二是开方术。 所谓“魏晋风度”乃魏晋之际名士风度之谓也，名士们崇尚自然，超然物外，率真任性而风流自赏。他们言辞高妙，不务世事，喜好饮酒，以隐逸为乐。在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也星期了论证的热潮。刘徽用几何图形分割后重新拼合等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例。刘徽采用了极限和不可分量两种无限小的方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的，不过，他采用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功铺平了道路。祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，在《隋书》中，记载里祖冲之计算出了圆周率数值的上下限，3.1415926积的计算。刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，他们反映了魏晋南北朝时期中国古典数学研究中出现的论争倾向，以及这种倾向所达到的高度。 沈括有关数学方面的记载有几何方面和代数学方面。贾宪写过一部《黄帝九章算术细草》的著作，此书记载了它的高次开方法，这个方法以一张本源图为基础，它实际上是一张二项系数表，即后来的“杨辉三角”。 数学家杨辉和沈括同乡，在业余时间研究数学，杨辉独立完成了5部数学著作，他的书写的深入浅出，因此也被认为是一位重要的数学教育家。杨辉最有趣的数学贡献应该在幻方方面，他利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方。 1232年，蒙古人入侵中原，已经40岁的李冶换号平民服装，踏上漫长而艰苦的流亡之路。两年后金朝灭亡，可是他并没有逃往南宋，而是留在蒙古人统治下的北方，这是他一生的转折点。李冶一生著述甚多，他的得意之作《测圆海镜》奠定了中国数学中天元术的基础。天元术是一种用数学符号列方程的方法。他还引进记号“O”来替代空位，这样传统的10进制便有了完整的数码。 纵观包括中世纪在内的古代中国数学史，数学家们大多是在以八股文取得一定的功名之后，才从事自己喜欢的数学研究，他们没有希腊的亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心，只能以文养理或以官养理。不过，若是把中国古代数学与其他古代民族的数学，如埃及人、巴比伦人、印度人、阿拉伯人的数学，甚至中世纪的欧洲各国的数学进行比较，还是很值的骄傲的。在代数领域，中国人的成就不见得逊色，中国数学的最大的弱点是，缺少一种严格求证的思想，为数学而数学的情形极为罕见，这一点与探求功名的文人一样，归因于一种功利主义。 四、从文艺复兴到微积分的诞生 希腊数学和科学的经典著作开始传入西欧，那是科学史上有名的翻译时代，希腊人的学术著作在被阿拉伯人保存了数个世纪以后，完好无损的归还给了欧洲。 在相对开放的政治和人文氛围里，数学领域也不甘落后，出现了中世纪欧洲最杰出的数学家斐波那契。他出生在比萨，年轻时随担任政府官员的父亲前往阿尔及利亚，在那里接触到阿拉伯人的数学并学会了用印度数码计算，后又到了埃及、叙利亚、拜占庭和西西里等地，学习到了东方人和阿拉伯人的计算方法，回比萨不久，写成并出版了著名的《算经》。《算经》的第一部分介绍了数的基本算法，第二部分是商业应用题，第三部分是杂题和怪题。斐波那契序列还可以帮助解决诸如密封的繁殖、雏菊的花盘和艺术美感等方面的问题。斐波那契接下来写下的一部重要著作《平方数书》就是题献给腓特烈二世的，正是这部书奠定了斐波那契作为数论学家的地位，使他成为介于丢番图和17世纪法国人费尔马之间的最有影响的数论学家。 虽说文艺复兴时期的艺术家们对数学有着独到的见解，但数学的复兴乃至肩带数学的兴起要到16世纪，先数学的推进首先从代数学开始。韦达被认为是第一个引进了体统的代数符号，并对方程论作出了贡献。 法国数学家徳扎尔格成为透视法数学以及射影几何学这门数学分支的奠基人，德札尔格对几何学的一大贡献是，他提出了无穷远点的概念，从而使两条直线平行和相交完全统一，进而得出同一平面上的两条直线必相交的结论，这是射影几何学赖以建立的基本观点。 从本质上讲，近代数学就是关于变量的数学，这也是它与古代数学的区别所在，后者是关于关于常量的数学。变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，作为几何学的一个分支，解析几何的基本思想是在平面中引进坐标的概念。 解析几何不仅把代数方法应用于集合，也把变量引入了数学，为微积分的创立开辟了道路，但真正起关键作用的还是函数概念的建立，微积分的创立，主要还是为了解决17世纪面临的科学问题。 五、现代数学与现代艺术 正如古典艺术到现代艺术的变革以诗歌为先导，科学革命的最早动力来源与数学，尤其以几何学的变革为标志。他们的共同特点是，从模仿到机智，从形象到抽象。之所以能在同一个事端达到这一境界，我们相信是与现实世界的发展和人类大脑的思维方式的改变和进化有关。以非欧几何学为例，他的出现于哥白尼日心说、牛顿的万有引力定律、达尔文的进化论一样，遇到了重重阻力，并因此在科学、哲学、宗教等领域产生了革命性的影响。 作为人类精神、智慧与理性的最高代表之一，数学文化是人类文化的重要组成部分，是促进物质文明和强化精神文明的重要基础，因而在文化发展中占据着举足轻重的地位，是