北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳
北师大八年级上册数学第七章平行线的证明7.3 平行线的判定
1.对于图中标记的各角，下列条件能 够推理得到a∥b的是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,
则∠2等于( )
A.75° B.95°
C.105° D.115°
1
a
2
b
3.如图,直线AB,CD与EF相交于G，H，下列条件：
8.三边分别相等的两个三角形全等。
据说,人类知识的75%是在操作中学到的。小 明采用下面的方法作出了平行线，你能说出其中 的道理吗？
两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两条直线平行。
新知探究
Ⅰ、“平行线的判定”公理： 相等，两那条同么直位这线角两被相条第等直三，线条两平直直行线线。所平截行，。如果同位角
①∠1=∠2； ②∠3=∠6；
③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，
其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
4.如图，请填写一个你认为恰当的条件 ______，使AB∥CD.
5.如图,已知∠ABC=∠ADC,∠1=∠2,则AB与CD的关系
是___________.
A
∠ACB，∠DCB=40°，∠AED=80°。
求证：DE∥BC。
A
D
E
B
C
巩固练习
5、如图，木工师傅经常用一把直角尺画出两条平 行的直线a与b，你知道这样做的道理吗？
能力提高
1.如下图，∠1=∠2,∠3=120°,则∠4=_______.
3 1
a
2
4b
2.一条公路两次转弯后又回到原来的方向，（即AB∥CD，
新化县第八中学八年级数学上册 第七章 平行线的证明知识归纳 北师大版
《第七章平行线的证明》知识归纳【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.第1课时单项式与单项式、多项式相乘教学目标1．知识与技能理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．重、难点与关键1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．2．难点：单项式与多项式相乘的法则．3．关键：通过创设一定的问题情境，•推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．教学过程一、创设情境，操作导入【手工比赛】让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？【学生回答】加一个美丽的像框．【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】请同学们继续计算mx·54x=？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．mx·54x=m·54x·x=m·54x2=54mx2．【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【学生活动】独立完成，再与同学交流．【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．二、范例学习，应用所学【例1】计算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，•则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．三、问题讨论，加深理解【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化简：－3x2·（13xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3） 40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=19 34引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．四、随堂练习，巩固深化计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（12ab2+b4）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2五、课堂总结，发展潜能1.单项式乘以单项式运算法则：2．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．六、布置作业，专题突破课本习题．作轴对称图形一、学习目标：3.能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解决相应的数学问题。
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第4节 平行线的判定
B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠5
D．∠ABC+∠C＝180°
解：A、∠1＝∠3 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 A 错误；
B、∠4＝∠2 能判断 AD∥BC，故 B 正确；
C、∠A＝∠5 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 C 错误；
平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么 这两条直线平行.
简已述知为：知：如内图识错,∠点角1和相∠等2，是两直直线线a，平b行被.直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a// b. 证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
解：A、∵∠A＝∠BDF，∴DF∥AC，错误；
B、∵∠1＝∠3，∴DF∥AC，错误；
C、∵∠2＝∠4，∴DE∥BC，正确；
D、∵∠A+∠ADF＝180°，∴DF∥AC，错误；故选：C．
例 2：已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为 D，F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴EF∥BD，∴∠1＝∠EDB，
当∠3＝∠4 时，可知是 DE 和 AC 被 AB 所截得到的内错角，可得 DE∥AC，故 C 可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得 DE∥AC；故 D 可以；故选：B．
练习：如图，下列四个条件中，能判断 DE∥BC 的是（ ）
A．∠A＝∠BDF
B．∠l＝∠3
C．∠2＝∠4
D．∠A+∠ADF＝180°
练习：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线．求证：
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（1）证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC， ∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE. ∵∠ADE=∠BDF， ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC. ∵∠A=∠ABC， ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A.
（2）∠MBC=∠F+∠FEC. 证明：∵BM∥AC， ∴∠MBA=∠A. ∵∠A=∠ABC， ∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A， ∵∠F+∠FEC=2∠A， ∴∠MBC=∠F+∠FEC.
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提升考题
13. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分 线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 25 度.
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知识点3 .平行线的判定和性质
3. 如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且 ∠BAC=98°，若∠1=35°，则∠2= 47 度.
知识点4 .三角形的内角和
4. 如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验： 平面镜A与B之间夹角为120°，光线经平面镜A反射到 平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数 为 30° .
15. 如图，∠1=∠C，∠2+∠D=90°，BE⊥FD于点G.试 证明：AB∥CD.
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证明：∵BE⊥FD于点 G，∴∠1+∠D=90°. ∵∠1=∠C，∴∠C+∠D=90°. ∵∠2+∠D=90°，∴∠C=∠2，∴AB∥CD.
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习
4．如图；某湖上风景区有两个观望点A；C和两个度假村B；D．度假村D在C的正西方向；度假村B在C的南偏东30°方向；度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路；长为1km；D到A是环湖路；度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件；能够判定DC∥AB吗？若能；请写出判断过程；若不能；请你加上一个条件；判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图；直线AC∥BD；连接AB；直线AC；BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分；规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时；连接PA、PB；构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时；小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时；利用图1；过点P 作PQ∥BD；得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时；在图2中画出图形；写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○；4部分时；在图3、图4中画出图形；探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星；求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时；五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时；如图（3）所示；五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段；完成所提出的问题.CO的交点；通过分析发现的角平分线；的交点；试分析∠BOC与∠x的增大而增大”是一个4.如右图；已知∠1=∠B；∠2=∠C；则下列结论不成立的是( )A.AD∥BCB.∠B=∠CC.∠2+∠B=180°D.AB∥CD5.如右图；若AB∥CD；则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图；已知AB∥CD；∠B=65°；CM平分∠BCE；∠MCN=90°；求∠DCN的度数.2.如图；CD∥AB；∠DCB=70°；∠CBF=20°；∠EFB=130°；问直线EF与AB有怎样的位置关系；为什么？3.如图；如图；在三角形ABC中；∠C=70°；∠B=38°；AE是∠BAC的平分线；AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°；∠B=β°；试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系；并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图；y轴的负半轴平分∠AOB；P为y轴负半轴上的一动点；过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．（1）如图1；MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2；当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处；其他条件都不变时；等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点）；其他条件都不变时；试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在；请写出其关系式；并加以证明；若不存在；请说明理由．。
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习汇编
AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。
3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。
八年级数学上册第7章平行线的证明4平行线的性质课件新版北师大版
∴ ∠ DEF ＝ ∠ FEB (等量代换). ∴ EF 平分∠ DEB .
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知识点2 平行线性质和判定的综合应用 4. 如图， AB ⊥ AC ，点 D ， E 分别在线段 AC ， BF 上，
DF ， CE 分别与 AB 交于点 M ， N ， 若∠1＝∠2，∠ C ＝∠ F ，求证： AB ⊥ BF . 请完善解答过程，并在 括号内填写相应的依据.
证明：因为∠3＋∠ ABC ＝180°， 所以 DG ∥ BC . 所以∠ CBG ＝∠1. 因为∠1＝∠2， 所以∠ CBG ＝∠2. 所以 BG ∥ EF .
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6. 【新趋势 跨学科】光在不同介质中的传播速度不同，因
此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气
中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行
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∴∠ A ＝∠ B ( 两直线平行，内错角相等 ). ∵ AB ⊥ AC (已知)， ∴∠ A ＝90°. ∴∠ B ＝90°. ∴ AB ⊥ BF ( 垂直的定义 ).
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5. 如图，三角形 ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，点 F ， G 在 AC 上，连接 DG ， BG ， EF . 已知∠1＝∠2， ∠3＋∠ ABC ＝180°，求证： BG ∥ EF .
第七章 平行线的证明 4 平行线的性质
目 录
CONTENTS
01 1星题 夯实基础 02 2星题 提升能力 03 3星题 发展素养
知识点1 平行线的性质
1. 如图，直线 l1， l2被直线 l 所截， l1∥ l2，∠1＝α，则∠2 的大小为( D )
北师版八年级数学上册《平行线的证明》热门考点整合应用
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因为 AB∥CD，所以 FG∥CD. 所以∠CDF＝∠DFG. 所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°. 因为 BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF， 所以∠ABE＝12∠ABF，∠CDE＝12∠CDF.
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所以∠ABE＋∠CDE＝12(∠ABF＋∠CDF)＝12×120°＝60°. 过点 E 作 EH∥AB，所以∠BEH＝∠ABE. 因为 AB∥CD，所以 EH∥CD. 所以∠DEH＝∠CDE. 所以∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
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8 ． 如 图 ， CE平 分 ∠ BCD， DE 平 分 ∠ CDA， ∠ EDC＋ ∠ECD＝90°，∠A＝100°，求∠B的度数． 解：因为 CE 平分∠BCD，DE 平分∠CDA， 所以∠EDC＋∠ECD＝ 12(∠ADC＋∠BCD)＝90°.
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所以∠ADC＋∠BCD＝180°. 所以AD∥BC. 所以∠A＋∠B＝180°. 因为∠A＝100°， 所以∠B＝80°.
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北师大版八年级数学上册《平行线的证明》
知识点归纳
第七章平行线的证明
为什么要证明？实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有理有据
的证明。
定义与命题
定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
一般地，每
个命题都由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，
结论是由已知事项推断出的事项。
命题可以写成“如果. .....那么......”的形式，其中如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结论。
真命题：正确的命题称为真命题。
假命题：不正确的命题称为假命题。
要说明一低点命
题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例，
公理、定理
公理：公认的真命题称为公理。
证明：演绎推理的过程称为证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。
本书认定的真命题：
两点确定一条直线。
两点之间的距离最短。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
过直线外一点有且只有一条直线玙这条直线平行。
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
三边分别相等的两个三角形全等。
数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。
同角的补角相等。
同角的余角相等。
三角形的任意两边之和大于第三边。
对顶角相等。
平行线的判定;
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
两条直线被第三条直线所载，如果同旁内角互补，那
么这两条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
三角形内角和定理
三角形的内角和等于1800。
外角：ABc内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为ABc的外角。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
推论：
由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。
推论可以当定理使用。