递归与递推深入32页PPT
递归算法 ppt课件
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int fib(int n) { if (n==0) return 0; if (n==1) return 1; return (fib(n-1)+fib(n-2)); }
输入 15 输出 fib(15)=610
//满足边界条件，递归返回 //满足边界条件，递归返回 //递归公式，进一步递归
//调用下一层递归
}
int main()
{
int n,k;
cin >> n >> k;
cout << s(n,k);
return 0;
}
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【例6】数的计数(Noip2001)
【问题描述】
我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一 个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：
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假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片 捆在一起，视为一片）：
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所以可按“N=2”的移动步骤设计：
①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;
②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程mov(n-1,
a,b,c);
本题是典型的递归程序设计题。 (1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C; (2)当N=2时，则需要移动三次：
A------ 1 ------> B, A ------ 2 ------> C, B ------ 1------> C. (3)如果N=3，则具体移动步骤为：
算法总结之递推与递归
算法总结之递推与递归递推算法递归算法⼤致包括两⽅⾯的内容：1）递归起点； 2）递归关系递推起点递归起点⼀般由题⽬或者实际情况确定，不由递归关系推出。
如果⽆法确定递归起点，那么递归算法就⽆法实现。
可见，递归起点是递归算法中的重要⼀笔。
递推关系递归关系是递归算法的核⼼。
常见的递归关系有以下⼏项：1）⼀阶递推；2）多阶递推；3）间接递推；4）逆向递推；5）多维递推。
下⾯通过栗⼦来详细介绍⼀下上述类别的递推关系。
1. ⼀阶递推在计算f(i)时，只⽤到前⾯项中的⼀项，如等差数列。
公差为3的等差数列，其递推关系为：f(i)=f(i-1)+3eg. 平⾯上10条直线最多能把平⾯分成⼏部分？分析：以直线数⽬为递推变量，假定i条直线把平⾯最多分成f(i)部分，则f(i-1)表⽰i-1条直线把平⾯分成的最多部分。
在i-1条直线的平⾯上增加直线i，易得i与平⾯上已经存在了的i-1条直线最多各有⼀个交点，即直线i最多被分成i段，⽽这i段将会依次将平⾯⼀分为⼆，即直线i将最多使平⾯多增加i部分。
所以，递推关系可表⽰为：f(i)=f(i-1)+i易得当0条直线时，平⾯为1部分。
所以f(0)=1为递推起点。
上述分析可⽤下⾯代码表⽰（c++）：#define MAX 100int f[MAX] //存放f（i）int lines(int n){//输⼊n为直线数⽬//输出最多部分数int i;f(0)=1;for(i=1;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+3;}return f[i];}2. 多阶递推在计算f(i)时，要⽤到前⾯计算过的多项，如Fibonacci数列。
eg.求Fibonacci的第10项。
分析：总所周知，Fibonacci数列中的第n项等于第n-1项加上n-2项。
所以递推关系为f(i)=f(i-1)+f(i-2);且f[0]=f[1]=1。
C++代码如下：#define MAX 100int f[MAX];int fib(int n){//输⼊n为项数//输出第n个fib数int i;f[0]=0;f[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}return f[n]}3. 间接递推在计算f[i]时需要中间量，⽽计算中间量要⽤到之前计算过的项。
离散数学中的递归函数和递推式
离散数学是应用数学的一个重要分支，它研究离散对象和离散结构之间的关系。
递归函数和递推式是离散数学中两个重要的概念，在解决问题和理解数学概念中起到了重要的作用。
递归函数是指定义的函数可以通过对自身的调用来实现计算的过程。
递归函数需要满足两个条件：首先，必须有一个基本情况，这个基本情况是递归函数能够直接计算出结果而不需要再递归调用；其次，递归函数必须能够将问题规模减小，使得递归函数能够趋近于基本情况。
递归函数一般采用递归调用的方式进行计算，通过多次调用最终得到结果。
递归函数的定义通常使用递归方程来表达。
递归函数的应用非常广泛。
比如在计算数列中的斐波那契数列，递归函数可以非常方便地计算当前数列项的值。
斐波那契数列的定义如下：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2）。
我们可以通过递归函数来计算出任意一项的值，只需要将问题规模n减小到1时，就可以直接得到结果。
另一个例子是阶乘函数。
阶乘函数的定义是：n！=n×(n-1)！，其中0！=1。
通过递归函数的调用，我们可以直接计算出给定正整数n的阶乘值。
递推式是一种通过前一项推导出后一项的数学表达式。
递推式可以看做递归方程的一种特殊形式。
递推式的求解往往是从已知条件出发，通过逐步推导得到问题的解。
递推式的求解方法一般有两种：一种是直接法，通过简单的代入运算得到递推式的解；另一种是递推法，通过已知条件推导出递推关系式并进行逐步求解。
递推式在离散数学中的应用非常广泛，比如在解决递推关系问题、计算数列中的元素等方面都有重要的作用。
递推式的一个典型应用是求解斐波那契数列的第n项的值。
斐波那契数列的递推式是：F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2）。
通过已知条件F(0)=0，F(1)=1，我们可以逐步推导出递推关系式并进行逐步求解，最终得到第n项的值。
递推式还可以用来解决概率问题中的递推关系，比如生存概率、病毒传播概率等。
递推式在离散数学中有着广泛的应用，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
C++函数、递推、递归ppt课件
i = 7 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(7) = 2 * (S(8) + 1) // s2 = s1 = S(7)
i = 6 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(6) = 2 * (S(7) + 1) // s2 = s1 = S(6)
看一个简单的例子：
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第九讲——函数、递推、递归
递归
有 5 个人坐在一起，问第 5 个人多少岁？ 他说比第 4 个人 大两岁。问第 4 个人岁数，他说比第 3 个人大两岁。问第 3 个人，又说比第 2 个人大两岁。问第 2 个人，说比第 1 个人 大两岁。最后问第 1 个人，他说是 10 岁。请问第 5 个人多 大？
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第九讲——函数、递推、递归
解题思路：
假设用 S(i) 表示第 i 天没吃之前的桃子数目；
则
S(1) 即为第 1 天所摘的桃子数； S(2) = S(1) * 1/2 – 1 第 2 天没吃之前的桃子数
S(3) = S(2) * 1/2 - 1 第 3 天没吃之前的桃子数
…
…
S(9) = S(8) * 1/2 - 1 第 9 天没吃之前的桃子数
= age(2) + 2 + 2 + 2 // c = age(2) + 2
= age(1) + 2 + 2 + 2 + 2；// c = 10;
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计算年龄程序
第九讲——函数、递推、递归
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第九讲——函数、递推、递归
递归算例（2）
用递归方法计算 n! 算法思路：
第五讲递推与递归PPT课件
开始，每1项等于前面3项的和。
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)-----递推公式 f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=4 --------递推边界
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① #include <stdio.h> //上楼问题
② void main( )
③ { int x,n,i,a,b,c;
3)第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一 个，它也吃掉这个桃子，并拿走了其中一堆。
第三只，第四只，第五只猴子都依次如此分食桃子。 问：五只猴子采得一堆桃子数最少应该有几个呢？
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例2：猴子分食桃子---逆推法
算法分析：
先要找第N只猴子和其面前桃子数的关系。如 果从第1只开始往第5只找，不好找，但如果思路 一变，从第N到第1去，可得出下面的推导式：
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例11.2 骨牌问题---顺推法
➢长度为n时的骨牌铺放方案？ ➢从最简单的情况开始寻找问题解决的规律？--- 顺推 ➢以 f(i) 表示n=i时的铺放方案数目。 ➢当n=1时，只有1种铺法，即f(1)=1，如下左图所示： ➢当n=2时，只有2种铺法，即f(2)=2，如下右图所示。
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例11.2 骨牌问题---顺推法
n=1
f(n)=1
n=2
f(n)=2
n=3
f(n)=3
n=4
f(n)=3 + 1 =f[3]+ f[1]=4
n=5
f(n)=f(4)+f(2)
n=6
f(n)=f(5)+f(3)
n=7
f(n)=f(6)+f(4)
规律： f(n)=f(n-1)+f(n-3) (n>=4) 17
PPT-07递推和递归思想
① 定 义 数 组 fish[6]， 并 初 始 化 为 1； 定 义 循 环 控 制 变 量 i， 并 初 始 化 为 0。
fish[5]=fish[5]+5; // ② .1
②
for ( i=4; i>=1; i-- ) // ② .2
fish[i+1]% 4 != 0
tru e
false
break; //退 出 for 循 环
为了把这个问题说得再透彻一点。我们画了如下的流 程图：
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fact(3)
真 3＝＝1
假
调用 fact(2)
计算 3*fact(2)
fact(2)
真 2＝＝1
假
调用 fact(1)
计算 2*fact(1)
fact(1)
真 1＝＝1
假
fact(1) ＝1
返回
返回
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为了形象地描述递归过程，将上图改画成下图
B
C
D
A 结点的值最终为 D 的值，但为了求 D 需先求 B 和 C。从图上看, 先求左边的点才能求最右边的点的 值，我们约定最右边 D 点的值就是 A 结点的值。
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下面我们以 3！为例来画与或结点图，目的是体会 递归的含义。
A
fact(3)
3>1
B fact(2) 2>1
E 3*fact(2)
int i=0;
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do { fish[5]=fish[5]+5;
for (i=4; i>=1; i=i-1)
{ if ( fish[i+1]%4 !=0 ) break; // 跳出for循环
else fish[i]=fish[i+1]*5/4+1; }
递推算法.完美版PPT
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38
810
2744
45265 【算法分析】
此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第I 层向第I+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方 向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i,j]存放从i,j 出发到达n层的最 大值，则a[i,j]=max{a[i,j]+a[i+1,j]，a[i,j]+a[i+1,j+1]}，a[1,1] 即为所求的数字总 和的最大值。
1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1)边长Biblioteka 3的正方形个数为(n-2)*(m-2)
………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
m inm{,n}1
s1= (ni)*(mi) i0
（4）当N=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排 骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排 列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如上右图，再无其他排 列方法，因此铺法总数表示为x3=3. 由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。
第三章 递推算法
递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都 有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。 这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知 条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算 时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式）， 那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无 论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的 方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出 计算机擅长于重复处理的特点。
《数据结构与算法》PPT课堂课件-第5章-递归
(2) if(n==1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
(7)
hanoi(n-1,y,x,z);
(8) }
(9) }
A
B
C
2BAC 8 3ABC 0
1BCA6 2BAC 8 3ABC 0
A
B
C
2BAC 8 3 A B C 0 15
O(n)。对比循环结构的Fib2(n)和递归结构的Fib(n)可发现，循环结构
的Fib2(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时保存了当前已经计算得到
的第n-1项和第n-2项的斐波那契数列，因此其时间复杂度为O(n)；而递
归结构的Fib(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时，必须首先计算第n -1项和第n-2项的斐波那契数列，而某次递归计算得出的斐波那契数列， 如Fib(n-1)、Fib(n-2)等无法保存，下一次要用到时还需要重新递归计
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else {y = Fact(n - 1); /*递归调用*/
return n * y; }
}
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为说明该递归算法的执行过程，设计主函数如下
void main(void) {
long int fn;
fn = Fact(3); }
(1) {
(2) if(n= =1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);