希望杯数学竞赛小学三年级试题知识讲解
三年级下册数学讲义-竞赛专题：第四讲-周期问题(含答案解析)人教版
周期问题知识概述1、在日常生活的数学中，我们常常看到有些事物按一定的顺序反复出现的现象，比如一年四季，“春、夏、秋、冬”的顺序交替更换的。
“星期日、星期一、星期二、。
星期六”交替出现，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题，此类现象称为“周期现象”它们都具有“周期性”。
2、研究周期问题就是要发现问题的周期性和确定周期，而从解决有关问题。
我们可以通过枚举法、图表法等方法确定一个周期和周期的长度，将某一变化过程按要求继续进行下去，从而找到变化的周期。
3、解决周期问题的基本步骤：（1）确定周期的长度；（2）确定第一周期；（3）确定指定的事物在周期中的位置。
1.使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的物体或图形。
2.使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略以及逐步实现方法的优化。
3.使学生能熟练解决各种常见周期问题。
名师点题我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。
已知如果1940年是龙年，那么，2000年是什么年？ 【解析】我们把1940年作为第一年，那么第一个周期的生肖为龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔，2000-1940+1=61，所以2000年是第61年或者说是周期中的第61个数，61÷12=5……1，所以2000年是龙年。
至慧兔和迷你猫玩跳跳毯，每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，至慧兔从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了 100 步，落在一个圆圈里．迷你猫也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 200 步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里的数乘积是多少？【解析】不论顺时针还是逆时针都是 7 步一个周期，那么顺时针跳100步：100 ÷ 7 = 14……2 ，相当于顺时针跳 2 步，落在3 号圈中；逆时针跳200步：200 ÷ 7 = 28……4 ，相当于逆时针跳 4 步，落在 4 号圈中， 乘积为3×4= 12．【巩固拓展】1、我国用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。
2023江苏省三年级奥数“希望杯”争夺赛竞赛数学试卷含答案
【竞赛专题】2023江苏省三年级奥数“希望杯”争夺赛试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二总分得分一．填空题（共14小题，满分68分）1．（5分）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，根据如图的示意图，判断这四个人从重到轻的顺序为．2．（5分）在2、4、6、8、9、10、12这列数中，有一个与众不同的数，这个数是．3．（5分）四个连续自然数的和是54，这四个数中最小是．4．（5分）一列火车上午7：30从合肥出发，当天下午3：30到达杭州，途中用去小时．5．（5分）数一数图中有个三角形．6．（5分）两层楼之间有22个台阶，每个台阶高15厘米，一楼到四楼高厘米．7．（4分）把“+、﹣、×、÷”分别填在适当的横线里（每个运算符号只能用一次），使下面的两个等式成立．1762＝1005147＝7．8．（5分）如图：●●●〇〇〇◎◎●●●〇〇〇◎◎…，按这样的顺序下去，第2002个珠子是．（画出来）9．（4分）已知：△＝〇+2，□＝△+△，☆＝△+□+5，☆＝〇+31问：△＝〇＝□＝☆＝．10．（5分）沿海5个省：广东、福建、浙江、江苏和山东，在地图上，隐去省名，用5个字母代替，请五个学生来辨认：甲答：A是福建，B是浙江乙答：C是浙江，D是山东丙答：D是广东，C是福建丁答：A是福建，E是江苏戊答：B是广东，E是江苏老师发现每人说对一个，说错一个，那么五个不同的字母各代表哪个省？A代表省；B代表省；C代表省；D代表省；E代表省．11．（5分）4个人参加乒乓球小组赛，每2个人比赛一场，一共要比赛场．12．（5分）在有余数的除法里，商是6，除数是7，余数是3，被除数是．13．（5分）被减数、减数、差相加得76，被减数是．14．（5分）一桶油连桶共重100千克，倒出半桶油后，连桶共重60千克，这桶油重千克．二．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）15．（8分）有两块一样长的木板，订成一块长1米30厘米的木板，中间订在一起的重叠部分是10厘米，这两块木板每块长多少厘米？16．（8分）有一堆木料，最下面一层是15根，每上一层减少1根，最上面一层是4根，这一堆木料一共有多少根？17．（8分）某炼钢厂在一周内炼了一批钢，前2天平均每天炼钢42吨，后5天平均每天炼钢49吨，这一周平均每天炼钢多少吨？18．（8分）两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各是多少千克？【竞赛专题】江苏省五年级奥数“希望杯”争夺赛试卷参考答案与试题解析一．填空题（共14小题，满分68分）1．（5分）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，根据如图的示意图，判断这四个人从重到轻的顺序为R＞S＞P＞Q．【答案】见试题解答内容2．（5分）在2、4、6、8、9、10、12这列数中，有一个与众不同的数，这个数是9．【答案】见试题解答内容3．（5分）四个连续自然数的和是54，这四个数中最小是12．【答案】见试题解答内容4．（5分）一列火车上午7：30从合肥出发，当天下午3：30到达杭州，途中用去8小时．【答案】见试题解答内容5．（5分）数一数图中有15个三角形．【答案】见试题解答内容6．（5分）两层楼之间有22个台阶，每个台阶高15厘米，一楼到四楼高990厘米．【答案】见试题解答内容7．（4分）把“+、﹣、×、÷”分别填在适当的横线里（每个运算符号只能用一次），使下面的两个等式成立．17×6﹣2＝1005+14÷7＝7．【答案】见试题解答内容8．（5分）如图：●●●〇〇〇◎◎●●●〇〇〇◎◎…，按这样的顺序下去，第2002个珠子是●．（画出来）【答案】见试题解答内容9．（4分）已知：△＝〇+2，□＝△+△，☆＝△+□+5，☆＝〇+31问：△＝12〇＝10□＝24☆＝41．【答案】见试题解答内容10．（5分）沿海5个省：广东、福建、浙江、江苏和山东，在地图上，隐去省名，用5个字母代替，请五个学生来辨认：甲答：A是福建，B是浙江乙答：C是浙江，D是山东丙答：D是广东，C是福建丁答：A是福建，E是江苏戊答：B是广东，E是江苏老师发现每人说对一个，说错一个，那么五个不同的字母各代表哪个省？A代表广东省；B代表浙江省；C代表福建省；D代表山东省；E代表江苏省．【答案】见试题解答内容11．（5分）4个人参加乒乓球小组赛，每2个人比赛一场，一共要比赛6场．【答案】见试题解答内容12．（5分）在有余数的除法里，商是6，除数是7，余数是3，被除数是45．【答案】见试题解答内容13．（5分）被减数、减数、差相加得76，被减数是38．【答案】见试题解答内容14．（5分）一桶油连桶共重100千克，倒出半桶油后，连桶共重60千克，这桶油重80千克．【答案】见试题解答内容二．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）15．（8分）有两块一样长的木板，订成一块长1米30厘米的木板，中间订在一起的重叠部分是10厘米，这两块木板每块长多少厘米？【答案】见试题解答内容16．（8分）有一堆木料，最下面一层是15根，每上一层减少1根，最上面一层是4根，这一堆木料一共有多少根？【答案】见试题解答内容17．（8分）某炼钢厂在一周内炼了一批钢，前2天平均每天炼钢42吨，后5天平均每天炼钢49吨，这一周平均每天炼钢多少吨？【答案】见试题解答内容18．（8分）两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各是多少千克？【答案】见试题解答内容。
三年级希望杯试题及答案
三年级希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是正确的加法运算？A. 3 + 5 = 8B. 4 + 6 = 10C. 2 + 7 = 9D. 5 + 5 = 112. 哪个数字是最小的质数？A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的周长是多少？A. 30厘米B. 25厘米C. 20厘米D. 15厘米4. 下列哪个选项是正确的乘法运算？A. 3 × 4 = 12B. 2 × 5 = 10C. 4 × 3 = 11D. 5 × 2 = 85. 一个数加上10等于35，这个数是多少？A. 25B. 30C. 15D. 20二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的3倍是18，这个数是______。
7. 一个数减去7等于8，这个数是______。
8. 一个数的一半是5，这个数是______。
9. 一个数乘以6等于24，这个数是______。
10. 一个数除以4等于3，这个数是______。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 一个班级有36个学生，如果每4个学生组成一个小组，那么可以组成多少个小组？12. 一个长方形的长是15厘米，宽是8厘米，它的面积是多少平方厘米？13. 如果一个数的5倍是50，这个数是多少？四、应用题（每题10分，共20分）14. 小明有20元钱，他买了3个苹果，每个苹果5元，请问小明还剩下多少钱？15. 一个班级有40个学生，如果每个学生需要一本练习册，每本练习册的价格是8元，那么班级总共需要多少钱购买练习册？答案：一、选择题1. B2. C3. B4. B5. A二、填空题6. 67. 158. 109. 410. 12三、简答题11. 9个小组12. 120平方厘米13. 10四、应用题14. 小明剩下5元钱15. 班级总共需要320元购买练习册结束语：希望同学们在本次希望杯的考试中取得优异的成绩，不断进步，不断超越自我。
希望杯2024三年级试题及答案
希望杯2024三年级试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 地球是圆的C. 地球是三角形的D. 地球是正方形的答案：B2. 以下哪个是太阳系中最大的行星？A. 地球B. 火星C. 木星D. 土星答案：C3. 一年中有多少个季节？A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个答案：C4. 以下哪种颜色的光波长最长？A. 红色B. 蓝色C. 绿色D. 紫色答案：A5. 以下哪种动物是哺乳动物？A. 鱼B. 鸟C. 蛇D. 猫答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 人体最大的器官是______。
答案：皮肤2. 世界上最大的海洋是______。
答案：太平洋3. 植物通过______进行光合作用。
答案：叶子4. 世界上最高的山峰是______。
答案：珠穆朗玛峰5. 血液的主要成分之一是______。
答案：红细胞三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述水循环的过程。
答案：水循环是指地球上水分子在大气、陆地和海洋之间不断循环的过程。
它包括蒸发、凝结、降水和径流等阶段。
2. 描述一下植物的光合作用。
答案：光合作用是植物通过叶子吸收阳光，利用水和二氧化碳，在叶绿体中合成葡萄糖和氧气的过程。
3. 解释一下为什么地球是圆的。
答案：地球是圆的，因为其自转和重力作用使得物质均匀分布，形成了球形。
此外，地球的重力也使得表面物质向中心聚集，形成了球形。
4. 简述一下四季的形成原因。
答案：四季的形成是由于地球围绕太阳公转时，地球的自转轴与公转轨道平面有一个约23.5度的倾斜角。
这个倾斜使得地球在不同季节接收到的太阳辐射量不同，导致了四季的变化。
四、计算题（每题5分，共10分）1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求它的周长。
答案：周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (10 + 5) = 30厘米2. 一个班级有30名学生，如果每名学生需要2本书，那么这个班级总共需要多少本书？答案：总共需要 = 学生数× 每名学生需要的书数= 30 × 2 = 60本书五、阅读理解题（每题5分，共20分）阅读以下短文，并回答问题。
希望杯竞赛数学试题详解(1-10题)
题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴.y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A（a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.由图象，显然有AB BC k k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t a t t =+-，tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB k ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.ABCxyO b-a b b+a图1ABOxyb 图2a ab +解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1aa b b>⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x ，322+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <.从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ） A 、y x > B 、y x ≥ C 、y x = D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题） 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- ABDCb图3 a a b +b a -b=b ac b b a --+-+b c a bb c-+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=c b b a --，即b c a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--， 则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,baa b R ab++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >> ， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y+∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222cb a zc y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈= ,则22111n i ni i ni iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n n x x x y y y === 时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++-- ．也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴---> ．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦--- ()()211111n -≥+++ 个 ()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设1232000200a a a a a >>>>> ，并且122320002001111m a a a a a a =+++--- ，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解 12320002001a a a a a >>>>> ，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( )A 、21()b a +B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 22222222()()()()222b b b m x n y m n x y a a a ++++++==.2b b a a b=+⋅nymx +∴,ab ab b =≤当且仅当b m x a =且,b n y a=即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=,mx ny ab ∴+≤当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法4 设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n+≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是22k b m n≤+，即()max ,k mx ny ab mx ny ab =+≤∴+=.解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴()()()2221212,z z mx ny nx my mx ny mx ny mx ny mx ny z z ⋅=++-≥+=+≥+∴+≤12z z =⋅2222,m n x y ab =+⋅+=当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=．解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max .mx ny ab mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90AC B AD B ︒∠=∠=,bA C m a=,bB Cna= ,,BD x AD y AB b ===为圆的直径，由托勒密定BCDA理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,b b m x n y b a a⋅+⋅≤，从而得mx ny ab +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ab ∴+=．评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++= 则()1122max n n a b a b a b +++pq =（当且仅当()1,2,,i i qa b i n p== 时取得最大值）. 证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q = 1122a b a b ∴+++ 1122n n n n p qqqa b a b a b a b q p pp ⎛⎫=⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭p q ≤2222221122222n n q q q a b a b a b p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq q p p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1m a x2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a ===2211时取等号）直接得到的一个结论．推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且求23a b cx y z++最大值． 解 ()()()222123234234,8a b c a b cx y z ++=⇒++=++=2212x y ⎛⎫⎛⎫⇒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23z ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝8．由推广知23a b c x y z ++123234842,a b c x y z =⋅+⋅+⋅≤⨯=当且仅当81,4a x =82832,3,44b c y z==即12ax by cz ===时取等号．max23a b c x y z ⎛⎫∴++= ⎪ ⎪⎝⎭.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x .解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x .又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a 2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当xa xx x a -=- 且x a x -=11, 即 2a x = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立,∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a .解法3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又 2122≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a . )22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则 2为222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22a XY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a ，即02a <≤ 2max =∴a .2O解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y xy x n n ==== 2211（常数）时取等号.” 0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a 4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11ax a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a ，得02a <≤ 2max =∴a .解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n n n a a a a a a a a a a a -->>>+++≥---- 若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a ，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min 22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x.故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广 1 若1210n x x x a -<<<<< ，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<< ，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭ 2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<< ，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k a b b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==ni ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即kik i c b 1+k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ⋅，则11111(1)()k nn nk i i i ki i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k n i ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ， ()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴， pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21s i n =θ，3cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫⎝⎛-x a的解是 .（第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2l o g 32321-⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log 121->-x ，即22121121lo glo g -⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又 对数函数12log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log -x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a a f x g x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aa f x g x <⇔<；⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a a f x g x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aa f x g x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log a c a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg 2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 .应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x xx f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是 （ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函直线应数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,距在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是yx122- -11 ot +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1,2]θθ∴-∈-.由题意得2>t .故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出． 根据这一结论，请回答下列问题：1.不等式213x x t -≥+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．2.不等式213x x t -≤+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．3.不等式213x x t -≥+有解，则实数t 的取值范围是 ．4.不等式213x x t -≤+有解，则实数t 的取值范围是 ．5.不等式213x x t ->+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．6.不等式213x x t -<+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案 1. ()2,+∞ 2.(),3-∞- 3.)3,⎡-+∞⎣4.(],2-∞5.(),3-∞- 6.()2,+∞题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法 1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或3535322x x ++≥∴≤<，. 综上，所求解集为3555,33,,22⎡⎫⎡⎤++⎪⎢⎢⎥⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、1 3A BC 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3].1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则 当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ； 当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ; 当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ; 当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ. 根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。
希望杯试题及答案三年级
希望杯试题及答案三年级一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 太阳从西边升起C. 一年有13个月D. 地球围绕太阳转答案：D2. 哪个数字是最小的？A. 3B. 2C. 1D. 0答案：D3. 以下哪个动物是哺乳动物？A. 乌龟B. 金鱼C. 猫D. 蚂蚁答案：C4. 哪个季节是收获的季节？A. 春季B. 夏季C. 秋季D. 冬季答案：C5. 以下哪个是正确的数学公式？A. 2+2=5B. 3×3=9C. 4÷2=1D. 5-3=2答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的周长是____厘米。
答案：302. 一年有____个季节。
答案：43. 100减去50等于____。
答案：504. 一个苹果加上两个苹果等于____个苹果。
答案：35. 6乘以7等于____。
答案：42三、判断题（每题2分，共10分）1. 地球是圆的。
（）答案：正确2. 一天有36小时。
（）答案：错误3. 猫是哺乳动物。
（）答案：正确4. 春天是播种的季节。
（）答案：正确5. 10加10等于20。
（）答案：正确四、简答题（每题5分，共10分）1. 请描述一下你最喜欢的季节，并说明为什么。
答案：我最喜欢的季节是春季，因为春天万物复苏，气温适中，是户外活动的好时机。
2. 请解释一下为什么我们要保护环境。
答案：保护环境是为了维持生态平衡，确保人类和其他生物的生存环境，同时也是为了我们自己的健康和未来。
希望杯数学竞赛小学三年级试题讲解
希望杯数学竞赛小学三年级试题讲解希望杯数学竞赛赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空．2．观察图2的图形的变化进行填空．3．图3中，第个图形与其它的图形不同．4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形．5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数．1，4，8，13，19，．2，3，5，8，13，21，．9，16，25，36，49，．1，2，3，4，5，8，7，16，9，．3，8，15，24，35，．6．寻找图5中规律填数．7．寻找图6中规律填数．第1 页共10 页8．如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．寻找图7中规律填空．9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是．10．图9、图10分别是汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来．11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是．13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？第 2 页共10 页14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是．16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：小李从未坐过船；海员年龄最大；小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员．17．用凑整法计算下面各题：1997+66678+104987-598 456-307 18．用简便方法计算下列各题：634+2011- 558-2010- 19．用基准法计算：108+99+93+102+97+105+103+94+95+10 420．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：这组数列共有多少项？第15项是多少？111是第几项的数？23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理．第 3 页共10 页24．如图13有一个宝塔算式，从上向下数，第一层的和为1，第二层的和为5第三层的和为15，…，第十层的和为多少？25．甲、乙、丙三位同学参加希望杯数学竞赛的平均成绩是75分，甲、丙的平均成绩是71分，那么乙得了多少分？26．6名同学在一起打乒乓球，两人轮流上；从上午9点打到上午11点；他们平均休息多少分钟？27．已知七个自然数的和是154，求这七个连续自然数各是什么数？28．张红、王莉、李月、赵兰四人的平均身高是158厘米，再加上刘辉，五人的平均身高是160厘米. 求刘辉的身高．29．从北京到上海的特快列车，中途要停靠7个大站. 这样，有几种不同价格的车票？30．1个五元纸币，2个五角硬币，3个一元硬币，一共可以组成多少种人民币值？31．从图14中O点出发又回到O点，每条线段不能重复走，共有几条不同路线？32．布袋里有五个彩色玻璃球，每次最多只能拿走一个或2个，可分多次取出．问取完五个球，有多少种不同的取法？33．简便计算下列各题. 125165312573225 34．简便计算下列各题. 5432538955 9928100137第 4 页共10 页35．简便计算下列各题.77 33637+6437 36．简便计算下列各题. 625 450252 225 430459 37．算式9=13…中，最大、最小的被除数分别是多少？38．30=…6中，除数和商各是多少？39．小胡在计算除法时，把除数87写成78，结果商是64，还余54，正确的商应该是多少？40．149除以一个两位数，余数是5，请写出所有这样的两位数。
希望杯2024三年级试题及答案
希望杯2024三年级试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是“希望杯”的举办年份？A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年答案：B2. 一个苹果的重量大约是多少？A. 100克B. 500克C. 1000克D. 2000克答案：A3. 下列哪个选项是“希望杯”的参赛年级？A. 一年级B. 二年级C. 三年级D. 四年级答案：C4. 一年中有多少个月？A. 10个月B. 11个月C. 12个月D. 13个月答案：C5. 下列哪个选项是“希望杯”的试题类型？A. 选择题B. 填空题C. 判断题D. 所有选项答案：D二、填空题（每题2分，共10分）6. 2024年是农历的____年。
答案：甲子7. 地球围绕太阳公转一周的时间是____年。
答案：18. 一个足球通常由____个五边形和____个六边形组成。
答案：12，209. 1小时等于____分钟。
答案：6010. 我国的国花是____。
答案：牡丹三、判断题（每题2分，共10分）11. 太阳从西方升起。
（）答案：错误12. 一年有365天。
（）答案：正确13. 地球是宇宙中唯一存在生命的星球。
（）答案：错误14. 希望杯是一项面向三年级学生的数学竞赛。
（）答案：正确15. 2024年是闰年。
（）答案：正确四、简答题（每题5分，共20分）16. 请简述“希望杯”竞赛的目的。
答案：希望杯竞赛旨在激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
17. 请列举三个适合三年级学生阅读的课外书籍。
答案：《格林童话》、《安徒生童话》、《小王子》。
18. 请描述一下“希望杯”竞赛的举办流程。
答案：竞赛通常包括报名、初赛、复赛和决赛四个阶段。
报名后，学生首先参加初赛，选拔出优秀者进入复赛，最后在决赛中决出优胜者。
19. 请解释一下什么是“闰年”。
答案：闰年是指公历年份可以被4整除的年份，但是可以被100整除而不能被400整除的年份不是闰年。
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希望杯数学竞赛小学三年级试题希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空．2．观察图2的图形的变化进行填空．3．图3中，第个图形与其它的图形不同．4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形．5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数．（1）1，4，8，13，19，（）．（2）2，3，5，8，13，21，（）．（3）9，16，25，36，49，（）．（4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）．（5）3，8，15，24，35，（）．6．寻找图5中规律填数．7．寻找图6中规律填数．8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空．9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是．10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来．11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是．13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是．16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员．17．用凑整法计算下面各题：（1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题：（1）634+（266-137）（2）2011-（364+611）（3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+10420．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+8921．求100以内的所有正偶数的和是多少？22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：（1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由．24．如图13有一个宝塔算式，从上向下数，第一层的和为1，第二层的和为5第三层的和为15，…，第十层的和为多少？25．甲、乙、丙三位同学参加希望杯数学竞赛的平均成绩是75分，甲、丙的平均成绩是71分，那么乙得了多少分？26． 6名同学在一起打乒乓球，两人轮流上；从上午9点打到上午11点；他们平均休息多少分钟？27．已知七个自然数的和是154，求这七个连续自然数各是什么数？28．张红、王莉、李月、赵兰四人的平均身高是158厘米，再加上刘辉，五人的平均身高是160厘米. 求刘辉的身高．29．从北京到上海的特快列车，中途要停靠7个大站. 这样，有几种不同价格的车票？30．1个五元纸币，2个五角硬币，3个一元硬币，一共可以组成多少种人民币值？31．从图14中O点出发又回到O点，每条线段不能重复走，共有几条不同路线？32．布袋里有五个彩色玻璃球，每次最多只能拿走一个或2个，可分多次取出．问取完五个球，有多少种不同的取法？33．简便计算下列各题.（1）125165 3 （2）1257322534．简便计算下列各题.（1）5432 5 （2）3895 5 （3）9928 （4）10013 735．简便计算下列各题.（1）（49+28+56）7 （2）（43+35+20）7（3）（96-33-39） 3 （4）3637+6437 36．简便计算下列各题.（1）625（255）（2）45025 2 （3）225（94）（4）430459 37．算式（）9=13…（）中，最大、最小的被除数分别是多少？38．30（）=（）…6中，除数和商各是多少？39．小胡在计算除法时，把除数87写成78，结果商是64，还余54，正确的商应该是多少？40．149除以一个两位数，余数是5，请写出所有这样的两位数。
41．2011年10月1日星期六，是国庆大典的日子，那么这一年的最后一天是星期几？42．在一列数2，2，4，8，2…中，从第3个数开始．每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字．按这个规律，这列数中的第2010个数是几?43．元宵节公园里从人口处起，按红、黄、绿、蓝、紫……这种排列顺序挂满了五彩灯笼，一直到出口处．请问第112个灯笼是什么颜色?当你数到第112个灯笼时，各种颜色的灯笼各有多少个？44．观察下表排列规律，回答下列问题：A B C A B C A B …上表每列上、中、下三个字符组成一组，例如第一组是（A天1），第四组是（A上7）．（1）写出第38组是什么？（2）如果（B上9）表示2000年，那么2010年对应的是哪一组？45．一个数加3，乘2，减10，除以4等于5，这个数就多少？46．某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，他原有存款多少元？47．甲、乙两个油桶各装了40千克油，售货员卖了32千克。
后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使乙桶油增加一倍，然后从乙桶倒入一部分油给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍。
问售货员从两个桶里各卖了多少千克油？48．某小孩付一元钱进入第一家商店，他在店里花了剩余的钱的一半，走出商店时又付了一元钱；之后，他又付一元钱进入第二家商店，他在店里花了剩余的钱的一半，走出商店时又付了一元钱；接着他又用同样的方式进入第三家商店和第四家商店，当他离开第四家商店后，这时他身上只剩一元钱．问：他进入第一家商店之前身上有多少钱？49．有一条公路长1080米，在公路的一侧从头到尾每隔10米竖一根电线杆，可竖多少根电线杆？50．某大学从校门口的门柱到教学楼墙根．有一条1000米的通道，每边相隔8米栽一棵白杨树，可以栽多少棵?51．一个湖泊周围长1800米，现每隔6米栽1棵柳树，每2棵柳树之间栽1棵桃树问湖泊周围一共栽了多少棵柳树，多少棵桃树？52．芳芳上楼，从第一层到第三层需要走36级台阶如果从第一层走到第六层要走多少级台阶?53．一个长方形和一个正方形的周长相等．已知正方形的边长是50厘米，长方形的长是62厘米，那么这个长方形的宽是多少厘米？54．图15中标出的数字表示某边长，单位是厘米，求图形中阴影部分的周长？55．如图16所示，将一边长为20厘米的正方形纸片剪成4个完全相同的小正方形，则这4个小正方形的周长的总和比原来的正方形的周长增加了多少厘米？56．如图17，把大长方形沿着图中的直线用剪刀剪成12个小长方形，那么这1 2个小长方形的周长的总和是多少？57．一客厅长8米，宽6米．用面积是16平方分米的正方形砖铺地，需要这样的方砖多少块？58．一个长方形若长增加2厘米，面积就增加16平方厘米；若宽减少2厘米，则面积减少20平方厘米．问原来的长方形的面积是多少平方厘米？59．如图18，一个长方形被分成四个小长方形，其中三个的面积如图中所示，求图中阴影部分的面积是多少？60．计算图19中的阴影部分面积．61.三年级学生参加文艺小组和科技小组的共有108人，参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的2倍，参加文艺小组的有多少人？62.同学们采集植物标本，六年级采集了120件，比五年级的2倍少12件．五年级采集了多少件？63．两个数之和是913，其中一个数的个位数字是0，如果把0去掉，就与另一个数相同．这两个数分别是多少？64．甲、乙、丙三个修路队合修一条长1800米的路．任务完成时，甲队修的是乙队修的米数的2倍，又知乙队比丙队多修200米．甲、乙、丙三个队各修了多少米？65．养鸡专业户王叔叔养的公鸡比母鸡少242只，养的母鸡是公鸡的3倍，问养的公鸡、母鸡各多少只?66.三年级男同学比女同学多118人，如果新学期转来2位女同学，那么男同学人数正好是女同学的2倍．问男同学有多少人?67．红星小学体育组有不少篮球和足球，篮球的个数比足球的4倍少1个，篮球比足球多26个．问篮球有多少个？68．在第21届世界大学生运动会上，中国得到的金牌数比美国的2倍多12枚，比美国的3倍少9枚．中国和美国各得金牌多少枚？69．“希望杯”竞赛考试中，张华和柳杨成绩的总和是174分，张华比柳杨少6分，张华和柳杨各考了多少分？70．一个两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本，原上、下层各放书多少本?71．小明家有5口人，明年全家人年龄的和正好是200岁，今年爷爷61岁，奶奶60岁，小明8岁，爸爸比妈妈大2岁今年爸爸多少岁？妈妈多少岁？72．甲、乙、丙参加“希望杯”数学竞赛的平均分是86分，甲比乙多6分，丙比乙少3分，求甲、乙、丙各得多少分？73．7+8+9=4+5+？，上式中，第6个方框内填，等式才成立．74．如图20所示，每个乒乓球重克．75．学校体育室有排球8只，羽毛球的只数是排球的3倍，乒乓球的只数是羽毛球的2倍，乒乓球的只数是排球的倍．76．把一批苹果装人筐中，每筐装的重量相等，能装56筐，如果每筐多装5千克，48筐正好装完，现在每筐装多少千克？77．父亲今年49岁，女儿今年23岁，几年前父亲的岁数是女儿的3倍?几年后父亲的岁数是女儿的2倍？78．今年爸爸的年龄是李芳年龄的4倍，再过18年，爸爸的年龄是李芳年龄的2倍，小红今年多少岁？79．冬冬问老师有多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你才3岁，当你长到我这么大时，我已经42岁了”请问老师和冬冬各有多少岁?80．哥哥年龄是弟弟年龄的6倍，5年后，哥哥的年龄比弟弟的年龄的3倍还少4岁，问现在哥哥、弟弟的年龄各是多少？81．甲、乙两客车分别从A、B两城同时开出，经过3小时在途中相遇，已知两城的路程是270千米，如果甲的平均速度为50千米/小时，那么乙的平均速度是多少千米/小时？82.一列客车以每秒20米的速度行驶，客车司机发现对面来了一列货车，速度是每秒15米，这列货车从他身边驶过，共用了14秒，求这列货车的长度是多少米？83．甲、乙两人从相距120米的两地同时同向行走，乙在前每分钟60米，甲在后面每分钟走70米，问几分钟后甲可以追上乙？84．小强和小华放学后在校门口分手正好向东、西方向各自回家，小强步行每分钟走50米，小华骑自行车每分钟行250米．10分钟后，小华发现借小强的数学书没有还给他，便立即转身去追小强，几分钟后能追上小强？85．图21是一个公园的平面图，要使游客走遍公园每条路而不重复，问入口应设在哪里?86．图22中每个小正方形的边长都是10米．某人沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？87．在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见图23)，它们比赛看谁能首先爬过所有的棱线，最终到达终点D．已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？88．一个邮递员投递信件要走的街道如图24所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局，怎样走才能使所走的行程最短，全程多少千米？89.据说，1972年2月21日美国总统尼克松访华时，尼克松夫人给给她送花的两个小朋友出了个小学数学题：4个5，1个1，加、减、乘、除各用一次等于24（括号使用次数不限）．现在请你也列出一个符合要求的算式．90．在下面算式合适的地方添上运算符号（可添括号），使算式成立．1 2 3 4 5 6 7 8 = 191．在下面11个9之间合适的地方添上运算符号（可添括号），使算式成立．9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 = 201092．在下列算式中，只添两个加号和两个减号，使等式成立．1 2 3 4 5 6 7 8 9=10093.老虎和鸡共10只，脚共26只，鸡只．94.小朋友们排成方阵做广播体操．小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数时他都排在第5个，无论是从左往右或者从右往左数时他都在第6个，则这个方阵中一共有位小朋友．95. 30名学生参加数学竞赛，已知这30名参赛者的任何10人里都至少有1名男生，那么男生至少有人．96．一条绳子对折3次，从中间剪开，绳子被剪成段．97.在图25中，共有个不同的三角形．98.甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共字．99.两个自然数，他们的和加上他们的积恰为34，这两个数中较大数为．100.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色．将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米大正方体木块．这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是平方厘米．。