全等几何模型讲解
全等三角形的10个模型(一)
全等三角形的10个模型（一）引言概述：全等三角形是指两个或多个三角形的对应边和对应角完全相等的情况。
全等三角形在几何学中有广泛的应用，不仅在证明和推导定理时起到重要的作用，还在实际问题的解决中提供了有力的工具。
本文将介绍十个关于全等三角形的模型。
这些模型旨在帮助读者更好地理解和运用全等三角形的性质和应用。
正文：1. 模型一：完全相等的三边- 全等三角形的基本条件就是三边相等。
- 通过边的对应关系确定两个三角形是否全等。
- 证明时可利用边长相等的性质进行推导。
2. 模型二：完全相等的两边和夹角- 如果已知两个三角形的两边和夹角都相等，则这两个三角形全等。
- 通过边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
3. 模型三：完全相等的两角和夹边- 如果已知两个三角形的两角和夹边都相等，则这两个三角形全等。
- 边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
4. 模型四：等腰三角形和全等条件- 等腰三角形是指两边相等或两角相等的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是等腰三角形，且两个等腰三角形的两边或两角都相等，则这两个三角形全等。
5. 模型五：直角三角形和全等条件- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是直角三角形，且两个直角三角形的两边或两个锐角均相等，则这两个三角形全等。
总结：通过十个模型的介绍，我们可以看到全等三角形是几何学中一个重要而广泛应用的概念。
理解全等三角形的性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。
在实际问题中，我们常常可以利用全等三角形的模型来推导和证明定理，从而得出更深入的结论。
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型是初中数学中非常重要的一个概念，也是初中数学中比较难理解的一个概念。
全等是指具有相同形状和大小的两个或多个图形，全等的概念是几何学中最基本的概念之一。
本文将对初中数学全等几何模型进行详细介绍。
首先，全等的概念非常重要，因为在几何学中，全等是进行几何证明的基础。
全等的证明方法有很多种，包括SSS、SAS、ASA、AAS
等方法。
其中，SSS法是指两个三角形的三边相等，SAS法是指两个
三角形的两边和夹角相等，ASA法是指两个三角形的一边和两个夹角相等，AAS法是指两个三角形的两个夹角和一边相等。
其次，全等的几何模型也非常重要。
全等的几何模型有很多种，其中包括三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形等。
这些几何模型具有相同的形状和大小，因此它们可以相互转化。
例如，一个矩形可以通过对角线对折变成两个全等的直角三角形，而一个平行四边形可以通过平移和旋转变成另一个全等的平行四边形。
最后，全等的几何模型在初中数学中也有很多应用。
例如，可以利用全等的几何模型来解决关于角度、距离和面积等问题。
在解决这些问题时，需要注意到全等的几何模型在转化过程中必须保证形状和大小不变，否则结果可能会出现错误。
总之，初中数学全等几何模型是初中数学中非常重要的一个概念。
掌握全等的概念和几何模型可以帮助学生更好地理解几何学的基础
知识，同时也有助于学生在应用数学中更加准确地解决问题。
6、全等模型汇总--陆老师
全等模型汇总编辑：陆老师2023.10.15【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
全等模型-手拉手模型--常见几何模型归纳(学生版)
全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(手拉手(旋转)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型(三角形)【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手(即连结BD)，右手拉右手(即连结CE)，得△ABD≅△ACE。
【常见模型及证法】(等边)(等腰直角)(等腰)1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP的数量关系，并证明；(2)当∠BPC=120°时， ①直接写出∠P BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+ PB=PC(或PA+PC=PB)成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3(2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为()A.15°B.20°C.30°D.45°4(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图25(2022秋·江苏·八年级期中)点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；模型2.手拉手模型(正多边形型)【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型
初中数学全等几何模型是初中数学教学中一个非常重要的概念。
全等几何模型是指两个几何图形在形状和大小上完全相同。
在初中数学中，我们常常使用全等几何模型来解决各种问题。
例如，在计算几何图形的面积和周长时，我们需要先判断这些图形是否全等。
在初中数学中，我们学习了很多关于全等几何模型的知识。
首先，我们需要学习如何判断两个几何图形是否全等。
这包括学习各种全等条件，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
其次，我们需要学习全等几何模型的性质，例如：对于全等的三角形，对应的角度和边长是相等的；对于全等的平行四边形，对应的角度和对边是相等的；对于全等的圆，半径和直径是相等的。
最后，我们需要学习如何利用全等几何模型来解决各种问题。
例如，在解决角度问题时，我们可以利用全等三角形的角度相等的性质来求解。
在解决长度问题时，我们可以利用全等三角形的边长比例相等的性质来求解。
总之，初中数学全等几何模型是初中数学教学中非常重要的一部分，它帮助我们更好地理解几何图形的性质和关系，提高了我们的数学思维水平和解题能力。
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(完整版)全等正方体常见的几何模型
(完整版)全等正方体常见的几何模型全等正方体常见的几何模型
全等正方体是指具有相同边长和相同角度的正方体。
它是一种非常常见的几何模型，广泛应用于数学、工程和制造领域。
下面介绍几种常见的全等正方体模型。
1. 立方体：立方体是最基本的全等正方体模型。
它具有六个相等的正方形面和八个相等的顶点，每个角度都为90度。
立方体常用于几何学教学、建筑设计和游戏开发等领域。
2. 魔方：魔方，也称为魔方立方体或鲁比克方块，是一种三维拼图游戏。
它由27个小正方体组成，每个面上有一个大正方体。
魔方的六个面都是全等并且可以自由旋转，目标是将魔方还原成六个完整的单色面。
3. 雪花立方体：雪花立方体是指一种全等正方体模型，其六个面上各有一个凹入，使得整个模型形状类似于雪花的外观。
雪花立方体常用于装饰和艺术领域，为空间增添独特的美感。
4. 六面体骰子：六面体骰子，也称作骰子或者色子，是一种常用的博弈工具。
每个面上分别标有1至6个点数，六个面都是全等的正方形。
骰子常用于各种棋类游戏和赌博等活动。
5. 三维液晶显示器：三维液晶显示器是一种先进的显示技术，其中的像素采用全等正方体结构排列。
这种显示器可以呈现更加真实和立体的图像，广泛应用于电视、电脑和虚拟现实等领域。
以上是几种常见的全等正方体模型，它们在不同领域发挥着重要的作用。
全等正方体的几何特性和结构使得它们成为设计和制造中不可或缺的元素。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
正方体中常见的全等模型
正方体中常见的全等模型引言正方体是一种常见的三维几何形体，具有六个面、八个顶点和十二条棱。
在正方体中，有许多有趣的全等模型，即通过旋转、镜像等操作可以重合的模型。
本文将介绍一些常见的正方体中的全等模型。
1. 底面相同的正方体首先，考虑两个正方体，其底面相同，边长分别为a和b。
若满足a=b，则可以通过共面旋转将两个正方体重合，因为它们的底面相同。
这样的全等模型称为底面相同的正方体。
2. 对角面对应的正方体其次，考虑两个正方体，它们的对角面分别为A和B。
若满足正方体A的一面与正方体B的一面完全重合，且另一面与另一面完全重合，则可以通过旋转将两个正方体重合。
这样的全等模型称为对角面对应的正方体。
3. 棱对应的正方体再次，考虑两个正方体，它们的一个棱分别为a和b。
若满足正方体A的一条棱与正方体B的一条棱完全重合，且其它棱也对应地重合，则可以通过旋转将两个正方体重合。
这样的全等模型称为棱对应的正方体。
4. 面对应的正方体最后，考虑两个正方体，它们的一个面分别为A和B。
若满足正方体A的一面与正方体B的一面完全重合，而其它面也对应地重合，则可以通过旋转将两个正方体重合。
这样的全等模型称为面对应的正方体。
结论在正方体中，有许多不同类型的全等模型。
本文介绍了底面相同的正方体、对角面对应的正方体、棱对应的正方体和面对应的正方体。
这些全等模型让我们可以更好地理解和探索正方体的性质和特点。
希望本文能对读者在研究和应用正方体时提供帮助。
以上就是正方体中常见的全等模型的介绍。
希望本文能够启发您对正方体的认识，并能够在具体问题中应用这些全等模型。
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常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
１．绕点型(手拉手模型）（１）自旋转:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060例题讲解：1. 如图所示,P 是等边三角形ＡＢC 内的一个点,PA=2，PB=32，PC ＝４,求△ABC 的边长。
CA BP2. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点,已知:∠A ＯB=11５°,∠B ＯC=１２5°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？3。
如图,Ｐ是正方形ABCD 内一点,且满足PA ：ＰD ：P Ｃ＝1：２:３，则∠AP Ｄ= ．A BCO4．如图(2—１）:P是正方形AＢCＤ内一点，点Ｐ到正方形的三个顶点Ａ、B、Ｃ的距离分别为PA=１，ＰＢ=2，PC=3.求此正方形ABCＤ面积.（2）共旋转(典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形例题讲解：1。
已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点Ｄ不与B ，C 重合）,以AD 为边作菱形A ＤEF(按A,D,Ｅ,F 逆时针排列)，使∠ＤA Ｆ=60°，连接CF. （１） 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=ＣF+C Ｄ.(２）如图2,当点D 在边ＢC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF+CD 是否成立?若不成立,请写出A Ｃ、C Ｆ、CD 之间存在的数量关系,并说明理由;(３)如图3，当点Ｄ在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出A Ｃ、CF 、CD 之间存在的数量关系.2．(13北京中考）在△ABC 中，AB=AC,∠BAC ＝α(︒<<︒600α），将线段BC 绕点Ｂ逆时针旋转60°得 到线段B Ｄ。
（1)如图1,直接写出∠AB Ｄ的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BC Ｅ＝1５0°，∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结ＤE,若∠D ＥＣ=45°，求α的值。
２.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例题：1。
在等腰直角△ABCD 的斜边上取两点M ，N ，使得45=︒∠MCN ，记ＡM=m ，ＭN=x,ＢN=n ， 求证以m ，x,n 为边长的三角形为直角三角形。
m xnBCAMN2。
如图，正方形AB ＣD 的边长为1,ＡB ，ＡＤ上各存在一点P 、ﻩQ ，若△A ＰQ 的周长为2， 求PCQ ∠的度数。
D ACBQ P3.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =︒∠，AH EF ⊥,H 为 垂足,求证:AH AB =．4。
已知,正方形ABCD 中，∠ＭAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交ＣB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N,A Ｈ⊥MN 于点H 。
（1）如图①，当∠MAN 点A 旋转到ＢM=D Ｎ时,请你直接写出ＡＨ与AB 的数量关系:ＡH=ＡB ；（２）如图②,当∠ＭAN 绕点A 旋转到BM≠ＤN 时,（1）中发现的AH 与A Ｂ的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③，已知∠MA Ｎ=45°，A Ｈ⊥MN 于点H ，且ＭH=２，NH=3,求AH 的长．（可利用(2）得到的结论）知：正方形A 5。
已BC Ｄ中，∠M ＡN=45°，∠CHFED BAMAN绕点Ａ顺时针旋转，它的两边分别交CＢ，DC（或它们的延长线）于点Ｍ，Ｎ．当∠MＡN绕点Ａ旋转到BM=DN时（如图１）,易证BM+DN＝MN。
（1)当∠ＭAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2),线段BM，DＮ和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。
（２)当∠MAＮ绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，ＤN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.6．(14房山２模）。
边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB边交DF于点M，BC边交DG于点N。
（1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中,当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？请(3)如图３，设MBN证明你的结论．7。
(２0１1石景山一模）已知：如图，正方形ABCD 中，ＡＣ，ＢD 为对角线,将∠BAC 绕顶点A 逆时针旋转α°（0<α＜45）,旋转后角的两边分别交ＢD 于点P 、点Q ，交ＢC ，ＣD 于点E 、点Ｆ，连接EF,E Ｑ．（1）在∠BＡＣ的旋转过程中，∠AＥQ 的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明); （2）探究△APＱ与△ＡＥF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．8．已知在ABC △中,90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上,CD DE 21=，点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点．（1)如图1，若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：__＿____＿_＿＿,___＿___＿___;（2）在（１)的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时,求证:45=∠CNE ;(３）当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ，使得45=∠CNE 。
若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由。
AB EMDCBA９.（２014平谷一模２4）(1）如图１，点E 、Ｆ分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠E ＡF =45°，连接EF ，则ＥF 、B Ｅ、FD 之间的数量关系是：ＥF =B Ｅ+ＦD .连结B Ｄ，交AE 、AF 于点M 、Ｎ，且MN 、ＢM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系; (2)在△AB Ｃ中， AB ＝AC ，点Ｄ、Ｅ分别为BC 边上的两点。
①如图2,当∠BAC =60°，∠DAE =3０°时,ＢD 、DE 、EC 应满足的等量关系是②如图３,当∠ＢA Ｃ=α，（0°〈α＜9０°）,∠DA Ｅ=α21时，BD 、D Ｅ、ＥC 应满足的等量关系是＿＿___＿_____．【参考：1cos sin 22=+αα】注意：2222AM BM DM =+A B CD EF 图1B CDE 图2AB CDE 图3AMN(１） 在正方形ＡBCD 中，ＡB =ＡD ，∠BAD ＝９0°,∠ABM =∠A ＤＮ=45°.NM FED CBA把△ＡBM 绕点A 逆时针旋转9０°得到M AD '∆． 连结M N '。
则，，AM AM BM M D ==''， ︒=∠='∠45ABM M AD ,BAM M DA ∠='∠．∵∠ＥAF =45°,∴∠BAM +∠DAN =４5°,∠DAM′+∠DAF =45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆. ∴N M '=M Ｎ．在N DM '∆中，︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M , 222''DM DN N M +=∴222BM DN MN +=(２）① 222EC EC BD BD DE +⋅+=； ② 222cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=α3.空翻模型例题：1．如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =。
过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠,120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =.２．如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线 交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =．在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =。
3．【探究发现】如图１,ABC ∆是等边三角形，60AEF ︒∠=，ＥF 交等边三角形外角平分线ＣF 所在的直线于点F ．当点E 是ＢC 的中点时，有AE =EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究ＡＥ、EF 的关系时,运用“从特殊到一般"的数学思想，通过验证得出如下结论:当点Ｅ是直线B Ｃ上(B ,C 除外）任意一点时(其它条件不变),结论ＡE =EＦ仍然成立。
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段B Ｃ上的任意一点"；“点E 是线段ＢC 延长线上的任意一点”;“ 点E 是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明。
【拓展应用】当点E 在线段B Ｃ的延长线上时，若CE ＝ ＢC ，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出:ABC AEF S S ∆∆的值．4。
弦图模型外弦图 内弦图 总统图 例题:１。
两个全等的30°，60°三角板ＡＤE,ＢA Ｃ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线BBFAB上，连接B Ｄ,取ＢD 的 中点M ,连接ＭE,ＭC 。
(1)求证：△E ＤM ≌△CAM ；（２）求证：△E ＭC 为等腰直角三角形．2.如图△AB Ｃ中，已知∠Ａ=9０°，AB=ＡC,(１)D 为AC 中点,AE ⊥ＢＤ于E ，延长ＡE 交BC 于F ，求证：∠A ＤＢ=∠C ＤF(2)若D,M 为AC 上的三等分点,如图2，连ＢD ，过A 作AE ⊥BD 于点E ，交ＢC 于点F,连MF ，判断∠ADB 与∠C ＭＦ的大小关系并证明．3。