广州市113中学05-06学年上学期高二数学期中考试题
广州市113中学05-06学年下学期高二数学3月考试题
广州市113中学05-06学年下学期高二数学3月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(1－i)2·i ＝（ ） A ．2－2i B ．2+2i C ． 2 D ．－22.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于（ ）A.319 B.316 C.313 D.3103.不等式x 2－4x －5＜0的解集是( )A.｛x ｜－1＜x ＜5}B.｛x ｜x ＞5或x ＜－1}C.｛x ｜0＜x ＜5}D.以上均不对4．平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 5．复数534+i的共轭复数是（ ）A ．34-iB ．3545+iC ．34+iD ．3545-i 6.在下列函数中，最小值是2的是( )A.y ＝xx 55+(x ∈R ，x ≠0) B.y ＝lg x ＋x lg 1 (1＜x ＜10) C.y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋x sin 1 (0＜x ＜2π) 7．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足（ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6(C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠6 8.函数y =xxsin 的导数为（ ） A.y ′=2sin cos x x x x + B.y ′=2sin cos x x x x - C.y ′=2cos sin x x x x - D.y ′=2cos sin xx x x + 9.双曲线22a x -22b y =1两渐近线互相垂直，则它离心率为( )A.2 B.3 C.2 D. 2310．过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 一，选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 910 答 案二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 11.实数x 、y 满足（1–i ）x+(1+i)y=2,则xy 的值是 .12.已知函数f (x )=2x 2＋382+x ，则函数f (x )的最小值是 .13.曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________.14.已知椭圆m x 2＋n y 2=1与双曲线p x 2－qy 2=1（m ，n ，p ，q ∈R ＋）有共同的焦点F 1、F 2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|= ．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、(本小题13分)实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？16. (本小题13分)解不等式322322--+-x x x x ＜0.17. (本小题13分)物体作直线运动的方程s ＝t ２+２t-３，求物体在t ＝２秒时的速度和加速度。
2023-2024学年广东省广州113中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州113中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥c →，b →⊥c →B ．a →∥b →，a →⊥c →C ．a →∥c →，a →⊥b →D ．以上都不对2．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y ﹣3＝0垂直，则sin θ＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√553．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则AC 1＝（ ）A ．2√2B ．√10C ．2√3D ．√144．已知F 1（﹣8，3），F 2（2，3），动点P 满足|PF 1|﹣|PF 2|＝10，则P 点轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线一支 C ．直线D ．一条射线5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 24+y 2=1C ．x 22+y 2=1D ．x 2+y 24=1 6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，中心在原点，点A 的坐标为(2，2√3)，P 为双曲线右支上一动点，则|PF 1|+|P A |的最小值为（ ） A ．2√2+2B ．2√2+4C ．4√2+2D ．4√2+47．点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分8．如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．√3B ．2C ．2√3−1D ．√3+1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线l ：mx +y +2﹣m ＝0恒过定点（1，﹣2）D ．直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2，则a ＝﹣3或0 10．已知曲线C ：mx 2﹣ny 2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．若mn ＞0，则C 为双曲线B ．若m ＞0且m +n ＜0，则C 为焦点在x 轴的椭圆 C ．若m ＞0，n ＜0，则C 不可能表示圆D ．若m ＞0，n ＝0，则C 为两条直线 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的方程为x 28+y 22=1 B ．k OM =12C ．﹣2＜m ＜2D ．m ≤﹣2或m ≥212．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线D 1P 与AC 所成的角可能是π6B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APC ．三棱锥D 1﹣CDP 的体积为定值D ．平面APD 1截正方体所得的截面可能是直角三角形 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线l 1：ax +2y +3a ﹣2＝0与l 2：x +（a +1）y +4＝0平行，则实数a 的值为 ．14．已知圆（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝169，过点（1，1）的直线交圆于A ，B 两点，则|AB |的取值范围为 ．15．如图，所示的几何体是由正四棱锥P ﹣ABCD 和正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1组成的，其中AB ＝2，P A =√6，则B 1到平面P AD 的距离为 ．16．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√3，当a ＝1时，直线x ﹣y +m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2＝5上，则m 的值 ．四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知△ABC 的顶点A （﹣2，4），B （4，﹣6），C （5，1）． （1）求AB 边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程． 18．（12分）已知圆C 1：x 2+y 2﹣2x ﹣6y ﹣1＝0和C 2：x 2+y 2﹣10x ﹣12y +45＝0． （1）求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长；（2）求过点P （9，1）且与圆C 2相切的直线方程． 19．（12分）已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，一个焦点到该渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）经过点M （1，4）的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程．20．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．21．（12分）已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3x +4y ﹣8＝0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l ：y ＝kx +2与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且CF →⋅CB →=1． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ﹣2与椭圆E 交于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程．2023-2024学年广东省广州113中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥c →，b →⊥c →B ．a →∥b →，a →⊥c →C ．a →∥c →，a →⊥b →D ．以上都不对解：∵a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2）， ∴a →⋅b →=−4+4=0，c →=2a →， ∴a →∥c →，a →⊥b →． 故选：C ．2．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y ﹣3＝0垂直，则sin θ＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√55解：倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y ﹣3＝0垂直， ∴tan θ=−1−12=2． 则sin θ=2√2+1=2√55．故选：D ．3．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则AC 1＝（ ）A ．2√2B ．√10C ．2√3D ．√14解：因为在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，所以AB →2=AD →2=1，AA 1→2=4，所以AB →⋅AD →=0，AB →⋅AA →1=1，AD →⋅AA 1→=1 又因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→， 所以AC 1→2=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA →1+2AD →⋅AA 1→=1+1+4+0+2×1+2×1＝10， 因此|AC 1→|=√10，即AC 1=√10． 故选：B ．4．已知F 1（﹣8，3），F 2（2，3），动点P 满足|PF 1|﹣|PF 2|＝10，则P 点轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线一支 C ．直线D ．一条射线解：由于|F 1F 2|＝2+8＝10，即|PF 1|﹣|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以P 点轨迹是一条射线， 故选：D ．5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 24+y 2=1C ．x 22+y 2=1D ．x 2+y 24=1 解：根据题意，要求椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1，（a ＞b ＞0）若右焦点到短轴端点的距离为2，则c 2+b 2＝4，即a 2＝4，则a ＝2， 又右焦点到左顶点的距离为3，则a +c ＝3，即c ＝1， 则b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3； 故椭圆的方程为：x 24+y 23=1；故选：A ．6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，中心在原点，点A 的坐标为(2，2√3)，P 为双曲线右支上一动点，则|PF 1|+|P A |的最小值为（ ） A ．2√2+2B ．2√2+4C ．4√2+2D ．4√2+4解：由题意知，a ＝b ，2c ＝8，∵a2+b2＝c2，∴a＝b=2√2，c＝4，∴点F1（﹣4，0），F2（4，0），∵点A的坐标为(2，2√3)，∴点A在双曲线外，如图所示，由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a=4√2，∴|PF1|+|P A|＝|PF2|+4√2+|P A|≥|AF2|+4√2=√(2−4)2+(2√3)2+4√2=4+4√2，当A、P、F2三点共线时，取等号，∴|PF1|+|P A|的最小值为4+4√2．故选：D．7．点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点，若△APD与△BCP的面积之比等于2，则点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：由题意得，若△APD与△BCP的面积之比等于2，因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2：1；动点P到侧棱BC的距离实际上是P点到点C的距离，点P到侧棱AD的距离就是P到点D的距离．即PD＝2PC；建立如图所示的坐标系；则C（0，0），D（a，0），设P（x，y）故有：PD2＝（2PC）2；∴（x﹣a）2+y2＝4（x2+y2）；∴3x2+2ax+3y2﹣a2＝0；故点P的轨迹是圆的一部分．故选：A．8．如图，F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．√3B．2C．2√3−1D．√3+1解：连结AF1，则根据题意可得：AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝30°，∴|AF1|＝c，|AF2|=√3c，∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，即(√3−1)c=2a，∴c a=√3−1=√3+1．故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线l ：mx +y +2﹣m ＝0恒过定点（1，﹣2）D ．直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2，则a ＝﹣3或0解：对于A ，直线√3x +y +1=0的斜率k =−√3，∴该直线的倾斜角为120°，故A 正确； 对于B ，当直线的横截距a ＝0时，该直线过点（2，1）和（0，0）， 直线方程为yx=12，即x ﹣2y ＝0；当a ≠0时，纵截距为﹣a ，直线方程为x a−y a=1，把P （2，1）代入得：2a−1a=1，解得a ＝1，∴直线方程为x ﹣y ﹣1＝0，综上，经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣2y ＝0或x ﹣y ﹣1＝0，故B 错误；对于C ，直线l ：mx +y +2﹣m ＝0转化为（x ﹣1）m +（y +2）＝0， 由{x −1=0y +2=0，解得x ＝1，y ＝﹣2， ∴直线l 恒过定点（1，﹣2），故C 正确；对于D ，直线l 1：ax +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣（a +1）y ﹣4＝0，l 1⊥l 2， ∴a （a ﹣1）+2a （﹣a ﹣1）＝0，解得a ＝﹣3或0，当a ＝0时，直线l 1：ax +2ay +1＝0没有意义，故a ＝﹣3，故D 错误． 故选：AC ．10．已知曲线C ：mx 2﹣ny 2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．若mn ＞0，则C 为双曲线B ．若m ＞0且m +n ＜0，则C 为焦点在x 轴的椭圆 C ．若m ＞0，n ＜0，则C 不可能表示圆D ．若m ＞0，n ＝0，则C 为两条直线 解：若mn ＞0，则C 为双曲线，所以A 正确；若m ＞0且m +n ＜0，可得n ＜0，|n |＞m ＞0，所以则C 为焦点在x 轴的椭圆，所以B 正确；若m ＞0，n ＜0，则C 不可能表示圆，显然不正确，反例m ＝1，n ＝﹣1，是单位圆，所以C 不正确； 若m ＞0，n ＝0，则C 为两条直线，所以D 正确； 故选：ABD ． 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的方程为x 28+y 22=1 B ．k OM =12C ．﹣2＜m ＜2D ．m ≤﹣2或m ≥2解：（1）C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上． 可得：{ c a=√324a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2，解得a 2＝8，b 2＝2，所求的椭圆方程为：x 28+y 22=1．故A 正确；直线OM 斜率k OM =1−02−0=12，故B 正确； 由直线l 平行于OM ，得l 的斜率k =12．l 在y 轴上的截距为m ，l 的方程为y =12x +m ， 联立{y =12x +m x 28+y22=1，得x 2+2mx +2m 2﹣4＝0， l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，Δ＝4m 2﹣4（2m 2﹣4）＞0，得﹣2＜m ＜2．故C 正确；D 错误． 故选：ABC ．12．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线D 1P 与AC 所成的角可能是π6B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APC ．三棱锥D 1﹣CDP 的体积为定值D ．平面APD 1截正方体所得的截面可能是直角三角形解：对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，D 1（0，0，1），A （1，0，0），C （0，1，0），设P （1，a ，b ），（0＜a ＜1，0＜b ＜1）， D 1P →=（1，a ，b ﹣1），AC →=（﹣1，1，0）， cos ＜D 1P →，AC →＞=D 1P →⋅AC→|D 1P →|⋅|AC →|=a−1√1+a 2+(b−1)⋅√20，∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，又当a ＝1时，＜D 1P →，AC →＞=π2， 当a ＝0，b ＝1时，＜D 1P →，AC →＞=3π4， ∴π2＜＜D 1P →，AC →＞＜3π4，∴直线D 1P 与AC 所成的角为（π4，π2），故A 错误；对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1∩AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确； 对于C ，∵S △CDD 1=12×1×1=12，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：V D1−CDP =V P−CDD1=13×12×1=16，为定值，故C正确；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误．故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线l1：ax+2y+3a﹣2＝0与l2：x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值为1．解：因为直线l1：ax+2y+3a﹣2＝0与l2：x+（a+1）y+4＝0平行，所以a（a+1）﹣2＝0，解得a＝1或a＝﹣2，当a＝﹣2时，直线l1：﹣2x+2y﹣8＝0与l2：x﹣y+4＝0重合，不符合题意．故答案为：1．14．已知圆（x﹣4）2+（y﹣5）2＝169，过点（1，1）的直线交圆于A，B两点，则|AB|的取值范围为[24，26]．解：圆（x﹣4）2+（y﹣5）2＝169的圆心（4，5）与半径为13，过点（1，1）的直线交圆于A，B两点，可得弦心距为：√(4−1)2+(5−1)2=5，则|AB|的最小值为：2√132−52=24，|AB|的最大值为26，∴|AB|的取值范围：[24，26]．15．如图，所示的几何体是由正四棱锥P﹣ABCD和正方体ABCD﹣A1B1C1D1组成的，其中AB＝2，P A=√6，则B1到平面P AD的距离为6√55．解：以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易知点P 到平面ABCD 的距离为√6−2=2，则A （0，0，2），D （0，2，2），P （1，1，4），B 1（2，0，0）， 所以AD →=(0，2，0)，AP →=(1，1，2)， 设平面P AD 的法向量是m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AD →=2y =0m →⋅AP →=x +y +2z =0， 取z ＝1，得m →=(−2，0，1)， 连接B 1A ，则B 1A →=(−2，0，2)， ∴B 1到平面P AD 的距离d =|B 1A →⋅m →m→|=6√55．16．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√3，当a ＝1时，直线x ﹣y +m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2＝5上，则m 的值 ±1 ． 解：当a ＝1时，e =ca =√3，所以c =√3，又c 2＝a 2+b 2，得b 2＝2；所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由{x 2−y 22=1x +y +m =0，得x 2﹣2mx ﹣m 2﹣2＝0（判别式Δ＞0），∴x 0=x 1+x 22=m ，y 0=x 0+m =2m ； ∵点M （x 0，y 0），在圆x 2+y 2＝5上，∴m 2+4m 2＝5， ∴m ＝±1． 故答案为：±1．四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知△ABC的顶点A（﹣2，4），B（4，﹣6），C（5，1）．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．解：（1）由题意得，AB中点坐标为（1，﹣1），则AB边上的中线过点（1，﹣1），斜率k=1+15−1=12，∴AB边上的中线所在直线的方程为y+1=12（x﹣1），即x﹣2y﹣3＝0．（2）当截距为0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，则k=4−2=−2，∴直线方程为y＝﹣2x；当截距不为0时，直线方程为xa +ya=1，∵直线过点A（﹣2，4），则−2a+4a=1，解得，a＝2，∴直线方程为x+y﹣2＝0．综上，经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程为y＝﹣2x或x+y﹣2＝0．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0．（1）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长；（2）求过点P（9，1）且与圆C2相切的直线方程．解：（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：8x+6y﹣46＝0，也即4x+3y﹣23＝0，故圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程为4x+3y﹣23＝0，圆C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0可化为（x﹣5）2+（y﹣6）2＝16，圆心坐标C2（5，6），半径r2＝4，由点到直线的距离公式可得：C2（5，6）到公共弦的距离d=√4+3=155=3，由垂径定理可知：公共弦长l=2√r22−d2=2×√42−32=2√7，（2）由（1）知：圆C2：（x﹣5）2+（y﹣6）2＝16，圆心坐标C2（5，6），半径r2＝4，过点P（9，1）作圆C2的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝9；当切线斜率存在时，设切线方程为y＝k（x﹣9）+1，也即kx﹣y+1﹣9k＝0，由点到直线的距离公式可得：d′=|5k−6+1−9k|√k+1=r2=4，解得：k =−940，所以此时切线方程为：9x +40y ﹣121＝0， 综上：过点P （9，1）且与圆C 2相切的直线方程为x ＝9或9x +40y ﹣121＝0．19．（12分）已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，一个焦点到该渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）经过点M （1，4）的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程． 解：（1）由点到直线的距离公式易得：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ＝1， 又双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，∴ab =2，∴a ＝2b ＝2，∴双曲线C 的方程为y 24−x 2=1；（2）设两交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点都满足方程y 24−x 2=1，∴{y 12−4x 12=4y 22−4x 22=4， 两式相减可得(y 12−y 22)−4(x 12−x 22)=0，两边同时除以x 12−x 22展开可得：(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)−4=0，又k AB=y 1−y 2x 1−x 2，且y 1+y 2x 1+x 2=y 1+y 22x 1+x 22=y M x M =41=4， ∴k AB •4﹣4＝0，∴k AB ＝1，又M （1，4）在AB 直线上， ∴AB 直线方程为y ﹣4＝x ﹣1，即x ﹣y +3＝0， 又点M （1，4）在双曲线开口内，且斜率为1≠2， ∴直线AB 与双曲线有两个交点， 故AB 直线方程为x ﹣y +3＝0， 即直线l 的方程为x ﹣y +3＝0．20．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．解：（1）证明：以C 为坐标原点，CD ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则C （0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1）， 所以B 2C 2→=(0，−2，1)，A 2D 2→=(0，−2，1)， 所以B 2C 2→=A 2D 2→， 所以B 2C 2→∥A 2D 2→，又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上， 所以B 2C 2∥A 2D 2．（2）设平面A 2C 2D 2的法向量m →=(a ，b ，c)，则m →=(1，1，2)， 设P （0，2，λ）（0≤λ≤4），又A 2C 2→=(−2，−2，2)，PC 2→=(0，−2，3−λ)，D 2C 2→=(−2，0，1)，设平面P A 2C 2的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 2C 2→=−2x −2y +2z =0n →⋅PC 2→=−2y +(3−λ)z =0，令z ＝2，得y ＝3﹣λ，x ＝λ﹣1，所以n →=(λ−1，3−λ，2)，所以|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=6√6√4+(λ−1)+(3−λ)=|cos150°|=√32，化简可得，λ2﹣4λ+3＝0，解得λ＝1或λ＝3， 所以P （0，2，1）或P （0，2，3）， 所以B 2P ＝1．21．（12分）已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3x +4y ﹣8＝0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l ：y ＝kx +2与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．解：（1）设圆C 的圆心坐标为C （a ，0），其中a ＞0，半径为r ， ∵圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上， ∴r ＝a ，又∵圆C 与直线3x +4y ﹣8＝0相切， ∴√32+42=r =a ，解得a ＝1或a ＝﹣4（舍去），∴圆心C （1，0），r ＝1，故圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝1．（2）①联立直线与圆的方程{y =kx +2(x −1)2+y 2=1，可得（k 2+1）x 2+（4k ﹣2）x +4＝0， ∵直线l 交圆C 与A ，B 两点，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（4k ﹣2）2﹣16（k 2+1）＞0，解得k ＜−34， 故k 的取值范围为(−∞，−34)． ②证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理，可得x 1+x 2=−4k−2k 2+1，x 1x 2=4k 2+1，又∵k OA +k OB =y1x 1+y2x 2=kx 1+2x 1+kx 2+2x 2=2(x 1+x 2)x 1x 2+2k =−8k−4k 2+14k 2+1+2k =2k ﹣2k +1＝1，∴直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值，即得证．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且CF →⋅CB →=1． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ﹣2与椭圆E 交于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程．解：（1）易知C （0，b ），B （a ，0），F （﹣1，0）， 所以CF →=(−1，−b)，CB →=(a ，−b)， 因为CF →⋅CB →=1， 所以b 2﹣a ＝1，① 又b 2＝a 2﹣c 2，c ＝1②联立①②，解得a ＝2或a ＝﹣1（舍去）， 所以a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx −2x 24+y 23=1，消去y 并整理得（3+4k 2）x 2﹣16kx +4＝0，所以x 1+x 2=16k 3+4k2，x 1x 2=43+4k2，此时Δ＝16（12k 2﹣3）＞0， 解得k 2＞14， 所以|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•4√3⋅√4k 2−13+4k 2，而原点O 到直线AB 的距离d =2√1+k ，所以S △AOB=12|AB|⋅d =4√3√4k 2−13+4k2，令√4k 2−1=t ，(t ＞0)， 可得4k 2＝1+t 2， 所以S △AOB =4√3t t 2+4=4√3t+4t≤4√3√t⋅√4t=√3，当且仅当t＝2，即k=±√52时，等号成立，此时△OAB面积取得最大值√3，直线方程为y=±√52x−2．。
广州市执信中学2005-2006高一第二学期数学期中测试卷AqHAPq
广州市执信中学2005-2006高一第二学期数学期中测试卷高一数学（三角函数、数列、不等式）本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分．考试用时120分钟．第一部分选择题(共50分)一．选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. sin(300)-o的值是（* ）A ．;21 B ．;21- C ．;23- D ． ;23 2．已知数列{12-5n}, 那么S n 的最大值是（* ） A ．1S B ．2S C ．3S D ．4S3．在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列各式成立的是 A ．sin sin αβ= B ．cos cos αβ= C ．tan α= tan β D ．以上都不对4．在等差数列}{n a 中,1280a a +=,3460a a +=,那么=+65a a A.30 B.40 C.50 D.605．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（* ）A.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0，则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0，则a b ＞ba 6．函数5cos(2)6y x π=+图象的一条对称轴方程是（* ）A ．;12x π=B ．;6x π=C ． 5;12x π=D ．;3π=x 7．函数sin(2)3y x π=-的单调递减区间是（* ）A ．2,;63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．5112,2;1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．22,2;63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．511,;1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8．若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是（* ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．不确定 9．不等式0)44)(32(22<+---x x x x 的解集是 A ．}31|{>-<x x x 或 B ．}31|{<<-x xC ．}13|{>-<x x x 或D ．}3221|{<<<<-x x x 或10．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（* ）第二部分非选择题(共100分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 11．半径为a （0>a ）的圆中，6π弧度圆心角所对的弧长是_____* ______，长为a 2的弧所对的圆周角为______* ______弧度． 12． 若tan 2α=, 则5sin cos 2cos 3sin αααα-++= * ．13． b 克糖水中 有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了.试根据这个事实,提炼一个不等式:_____*_____ ．14．已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，方程在区间(]10,8-中的根有 * 个．三．解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．化简或求值（本小题满分18分，每小题6分）（1）化简：sin()cos()sin()cos()222cos()sin()πππααπααπαπα+⋅--⋅++++； （2）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，求sin cos x x -的值．16．解不等式（本小题满分8分）(ax 1)(x-1)>0-17．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++．求：⑴求数列{}n a 的通项公式． ⑵求数列11{}n n a a +的前n 项和．A B C D18．（本小题满分15分）已知函数)2||,0,0A )(x sin(A )x (f π<φ>ω>φ+ω=的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(,2)π和(4,2)π-. (1)试求)x (f 的解析式；(2)将)x (f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变），然后再将新的图象向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数)x (g y =的图象.写出函数)x (g y =的解析式，并用列表作图的方法画出)x (g y =在长度为一个周期的闭区间上的图象.19．（本小题满分13分）已知函数f(x)=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f(x)=0有实数解时，求a 的取值范围； （2）若2x [,]63ππ∈，有1≤f(x)≤417，求a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 、{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为S n ，且对任意自然数n ，总有n n S p(a 1)=-,（p 是常数且p ≠0，p ≠1）．数列{}n b 中，q n b n +=2（q 是常数），且,,2211b a b a <=求p 的取值范围.参考答案一．选择题DBABB CDCDA 二．填空题11．a 6π,2 ; 12．98- 13．a m ab m b +>+ 11．9 三．解答题15．（1）解：原式=cos sin sin (sin )-cos sin αααααα⋅⋅-+- ……………3分 =sin sin αα-+ ……………4分= 0 ……………5分（2） 解：∵1sin x cos x 5+=∴ 222(sin x+cosx)sin x 2sin xcosx+cos x =+……………1分 =1+2sinxcosx =125……………2分 ∴2sinxcosx =12412525-=-……………3分 ∴222(sin x-cosx)sin x-2sin xcosx+cos x = ……………4分=1-2sinxcosx =4925……………5分 ∵0,2x π-<<∴sin x<0,cosx>0 ……………6分∴sin x cos x 0-> ……………7分∴7sin x cos x=5- ……………8分16．解：由ax-1x 10（）(-)< 1．a 0=时，原不等式可化为x -1>0 , 则不等式的解集是{}x x>1………3分 2．a=1时，1a=1,不等式的解集是Ф．……………6分 3．a 0<时，1a <1, 不等式的解集是1x x x 1a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或……………9分4．0<a<1时，1a >1,不等式的解集是1x 1x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；5．a>1时，1a <1,不等式的解集是1x x 1a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；……………12分 17．解：⑴∵21n S n n =++，∴n ≥2时n n n 122a S S =n n 1(n 1)(n 1)-1=2n-=-++---- ……………2分n=1时，11a S 1113==++= ……………4分 当n=1时，n a =21a ≠ ……………5分∴3(1)2(2)n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ……………6分⑵2n ≥时，111111()4(1)41n n a a n n n n +==-++ ……………8分 ∴122334111n T a a a a a a =+++ (1)1n n a a ++ ……………9分 111111(1242334=+-+-+…11)1n n +-+……………10分 11151(2)128124(1)n n n n n --=+⋅=≥++，……………11分 又1112T =，……………12分 满足此式，∴51()24(1)n n T n N n *-=∈+．………13分18．解：（1）由题意可得：∵ π6=T ， 2=A ，∴1()2sin()3f x x ϕ=+，……………3分Θ函数图像过（π，2），sin()13πϕ∴+=，……………4分2πϕ<Θ，6πϕ=∴ ，……………5分)63sin(2)(π+=∴x x f ；……………6分（2）依题意得)sin(2)(π-=x x g ； ……………10分………13分…………16分19．解：（1）f(x)=0，即a=sin 2x －sinx ……………1分=(sinx －21)2－41……………3分 ∴当sinx=21时，a min =41……………4分当sinx=－1时，a max =2， ……………5分 ∴[41-，2]为所求法2：∵-sin 2x+sinx+a=0 设t= sinx ，则t ∈[-1,1]那么依题意有方程2t t a 0-++=有两个根12x ,x ，且121x ,x 1-≤≤∴f (1)0f (1)00-≤⎧⎪≤⎨⎪∆≥⎩ ……………3分 解得：11a 011a 01+4a 0--+≤⎧⎪-++≤⎨⎪≥⎩……………4分∴1a 24-≤≤……………5分 （2）由1≤f(x)≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a ……7分 ∵2x [,]63ππ∈ ∴12≤sinx ≤1 ……8分 ∴u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4 …10分 u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤1 …12分∴ 1≤a ≤4 ……………13分20．解：∵.1),1(1111-=∴-==p pa a p S a ………2分.)1().(,2111---=--=-=≥n n n n n n n pa a p a a p S S a n 即时}{n a ∴成等比数列，且公比为,1-p p………4分 .)1()1(11n n n p p p p p p a -=-⋅-=∴-………6分 （2）由已知，得：22,()4.11p p p q p p =+<+--…8分 消去q 并整理得：.021)1(2<----p p p p …9分 解得：.221,211><∴<-<-p p p p 或…11分 p 的取值范围是：),2()21,0()0,(+∞⋃⋃-∞…12分。
广东省广州市第六中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(无答案)
2021级高二上学期数学期中考试命题人：张萍 审题人：刘旭升本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3,{13}A B xx =---=-<<∣，则A B ⋂的真子集的个数为（ ）A.7B.8C.15D.162.若复数z 满足()2i i z ⋅-=，其中i 为虚数单位，则其共轭复数z =（ ） A.12i 55-+ B.12i 55-- C.12i 55+ D.12i 55- 3.“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要4.ABC 中，90,2,C AC P ∠==为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（ ）A.8B.4C.2D.65.若将函数()y f x =的图象1C 向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象2C ，再将2C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数sin y x =的图象3C ，则()f x =（ ）A.cos2x -B.sin2x -C.cos2xD.sin2x6.已知()()3,1,5,2A B --，点P 在直线0x y +=上，则PA PB +的最小值是（ ）A.1 217153+ 17 D.2 7.过点()2,1P 作圆22:(1)4M x y -+=的最短弦，延长该弦与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，则ABM 的面积为（ ）A.3B.4C.92D.5 8.设直线系:cos sin 1,02M x y θθθπ+=≤<，对于下列四个命题： （1）M 中所有直线均经过某定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数,3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图是某市5月1日至10日 2.5PM 的日均值（单位：3μg/m ）变化的折线图，关于2.5PM 日均值说法错误的是（ ）A.这10天日均值的83%分位数为78B.这10天的日均值的中位数为41C.前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差10.已知圆22:4O x y +=和圆22:2440M x y x y +-++=相交于A B ､两点，下列说法正确的是（ ）A.圆M 的圆心为()1,2-，半径为1B.直线AB 的方程为240x y --=C.线段AB 25D.圆M 上点C 到直线AB 55+11.设定义在R 上的连续函数()g x 满足()()()()()4,113,10g x g x g x g x g =-+=-=，下列命题正确的有（ ）（注：函数()f x 在区间D 上连续指的是在区间D 上函数()f x 的图象连续不断.）A.10为()y g x =的一个周期B.12x =是()y g x =的一条对称轴C.函数()y g x =有无数个对称中心D.方程()0g x =在区间[]0,2022上至少有405个解12.如下图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是（ ）A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B.点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为1CC 的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的三等分点三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设,x y ∈R ，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2a x b y c ===-，且,a c c ⊥∥，则x y +的值为__________.14.已知圆22(1)(3)9x y ++-=上存在两点关于直线10(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是__________. 15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，AC BD O ⋂=，若23,3PD PAD BAD π∠∠===，则三棱锥P COD -的外接球表面积为__________.16.已知函数()322xf x =⋅+，对于任意的[]20,1x ∈，都存在[]10,1x ∈，使得()()12213f x f x m ++=成立，则实数m 的取值范围为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知()223cos sin 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()f x 的最小正周期为π.（1）化简函数()y f x =并求ω的值；（2）求函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间. 18.（本小题满分12分）甲､乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲贏的概率为34，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为34，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为12.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.（1）求第四盘棋甲赢的概率；（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.19.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos sin 3a C a C b -=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求BC 边上的中线AD 长度的最小值.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且3AC BC BF ==.（1）证明：平面11A B F ⊥平面1CC E ；（2）若160,2ABC AA AB ∠==，且三棱锥11E A B F -的体积为439，求CE 与平面11A B F 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A ，直线:24l y x =-，圆C ：2264120x y x y +--+=（1）过点A 作圆C 的切线m ，求m 的方程；（2）有一动圆M 5l 上，若动圆M 上存在点N ，使NA NQ =，其中，点Q 为过点N 作圆C 的切线所得的切点.求圆心M 的横坐标0x 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知函数()()21,ln 4f x x axg x x =++=-. （1）若函数()f x 在()0,1上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}min ,(0)h x f x g x x =>，讨论()h x零点的个数.。
广州市113中学05-06学年上学期高二数学期中考试题
天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=，)37cos ,53(cos ︒︒=，=⋅ （ ）(A)23 (B)21(C)－23 (D)－212．若1||||==b a ，⊥且32+与k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)33. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=0不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－5P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-)10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
广州天河区一一三中2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析
所以“ a 1”是“直线 l1 : ax 3y 4 0 与 l2 : a 2 x y 1 0 互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
9、8
【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，
2
【详解】 f (x) 为偶函数，且 f (x)dx 4 ， 0
2
2
f (x)dx 2 f (x)dx 2 4 8 .
离心率为 c 1 ，D 选项正确. a2
故选：D
4、D
【解析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解.
【详解】解：将一枚均匀的筛子先后抛掷 3 次，每次出现点数为 3 的概率都是 1 6
至少出现两次点数为
3
的概率为：
P=C32
1 6
2
5 6
+
1 6
3
（2）设过点 M 0,3 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OADB ．是否存在
这样的直线 l ，使得直线 OD 与 MC 恰好平行？如果存在，求出 l 的方程，如果不存在，请说明理由
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C
A. 3, 2 5
C. 4, 6
B. 4, 2 5
D. 2 5,6
7．用 2, 3, 4 这 3 个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于 342” （）
A.是互斥但不对立事件 C.是对立事件
B.不是互斥事件 D.是不可能事件
8． “ a 1”是“直线 l1 : ax 3y 4 0 与 l2 : a 2 x y 1 0 互相垂直”的（）
2021-2022学年广东省广州市三中、四中、南武、培正中学高二上学期期中数学+答案解析(附后)
2021-2022学年广东省广州市三中、四中、南武、培正中学高二上学期期中数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则选项中与向量相等的是( )A. B. C. D.2.已知三角形的三个顶点，，，则BC边上的中线所在直线的方程为( )A. B.C. D.3.已知空间向量，空间向量满足且，则( )A. B. C. D.4.已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程是( )A. B. C. D.5.若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.6.已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内( )A. B. C. D.7.一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )A. 或B. 或C. 或D. 或8.已知空间三点：，，，设，，，则下列命题错误的是( )A.B. 在方向上的投影向量等于C. 是等边三角形D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基底B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N 四点共面D. 已知是空间的一组基底，若，则不是空间的一组基底10.下列命题正确的有( )A.两平行线、间的距离为2B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条C. 直线的方向向量可以是D. 直线与直线平行，则或211.已知直线，，，以下结论正确的是( )A. 不论a为何值时，与都互相垂直B. 当a变化时，与分别经过定点和C. 不论a为何值时，与都关于直线对称D. 如果与交于点M，则的最大值是12.在正三棱柱中，，，与交于点F，点E是线段上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 存在点E，使得C. 三棱锥的体积为D. 直线AF与平面所成角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市高二数学上学期期中试题新人教A版
MN2012-2013学年度第一学期 高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}Z k k x x N x x M ∈+==≤<=,12,30， 则图中阴影部分表示的集合是A ． φB ．{}1C ． {}3,1 D ．{}3,1,02. “0=x ”是“0=xy ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ． 既不充分也不必要条件3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是 A 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定4. 已知向量),,2(t a =ρ满足5=a ρ，则实数t 值是 A ．1-或1 B. 1- C. 33或- D. 21-或215.命题:p x y =在R 上是增函数;命题:q 若x x f 2log )(=,则有: )()()(y f x f y x f +=⋅ A.真q p ∧ B. 假p ⌝ C. 真q ⌝ D. 真q p ∨ 6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图 (或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰 三角形．则该儿何体的侧面积为A. 13820+B.13410+C. 36D. 60 7. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = A. 1631 B. 87 C. 3231 D. 16158. 当42<<x ，则 22,log ,2x x x的大小关系是 A ．xx x 2log 22>> B ． 22log 2x x x>> C. x x x22log 2>> D ． x x x22log 2>>9. 已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =u u u r u u u r，则 点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+10.若对任意实数x ,022sin 2cos 2<--+k x k x 恒成立,则实数k 的取值范围是 A. 2121+<<-k B. 21->k C. 121≤<-k D.1->k第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11．已知椭圆1162522=+y x ，则椭圆的焦点坐标是 ＊ 12.数列{}n a 是等差数列，27=a ，则前13项和=13S _*____13.设y x , 满足约束条件,0,00132013⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-y x y x y x 若目标函数()0,0>>+=b a by ax z的最大值为1,则正数b a ,满足的关系是___*_____,ba 21+的最小值是__*___14.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足：)()2(x f x f -=+，且在[]0,2-上 是增函数，下面是关于)(x f 的判断：（1）)(x f 是周期函数； （2）)(x f 在[]2,0上是增函数； （3）)(x f 在[]4,2上是减函数； （4）)(x f 的图象关于直线2=x 对称. 则正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）ABC ∆的面积是,4角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,53cos ,2==A b (1) 求212cos 2cos2++A A 的值； (2) 分别求a c ,的值.16．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率； （2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.17.（本题满分14分）如图所示,四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，ο60B =∠AD ，E 为PC 的中点， （1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：AD PB ⊥； （3）(文科)求三棱锥PDB C -的体积. (3)(理科) 求直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值.18. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足()*2121N n a S n n ∈-=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a n c ⋅=,求数列{}n c 的前n 项和n T ,并证明43<n T .PABCD E19． （本题满分14分）已知圆:C ()()42122=-++y x（1）若直线l :)2(-=x k y 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）（文科）若过)0,2(的直线m 被圆C 截得的弦长为14，求直线m 的方程； （2）（理科）若斜率为1的直线m 被圆C 截得的弦AB 满足OB OA ⊥（O 是坐标 原点），求直线m 的方程.20．（本题满分14分）已知函数12)(2-+-=a x ax x f ，R a ∈（1）若函数)(x f 满足)1()1(x f x f +=-，求实数a 的值；（2）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上总是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点，求实数a 的取值范围.2012-2013学年度第一学期 高二级数学科期中试题答案一、选择题：CABA D AD C BB二、填空题：11. )0,3(),0,3(-; 12. 26 13. 12=+b a ；8 14.（1），（4） 三、解答题 15．（本题满分12分） 15.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2cos cos 22A A += ……3分505153212592=⋅+⋅= ……………… 6分 （2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 8分代入解得5=c …… 9分由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………11分 17=∴a ………12分16．（本题满分12分） 16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分，基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分， 其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分， 所以甲.乙两人在同一天服务的概率611221==P ……………………6分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分.“其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分. 所以甲.乙两人在同一天服务的概率811622==P ……………………12分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分） 17(本题满分14分)证明（1）连接AC 交BD 于为O ，连接EO ，∵ E 为PC 的中点，O 为AC 的中点，在△PAC 中，PA ∥EO BDE EO 平面⊂Θ，BDE PA 平面⊄，PA ∥平面BDE, ……………5分 （2）则F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA =Θ,AD PF ⊥∴. ……………6分ABCD Θ是菱形，︒=∠60BAD ,ABD ∆是等边三角形..AD BF ⊥∴ ………7分 ,F BF PF =I Θ………8分⊥∴AD 平面PBF ………9分.⊂PB Θ平面PBF ,A D ⊥∴PB .……………10分 （3）(文科） ABD ∆Q 为正三角形,PF 是三棱锥BDC P -的体高, PF S V V V BDC PDB C BDC P PDB C ⋅=∴=∆---31,Θ∴=⨯⨯⨯=∆,360sin 2221οBDC S 13331=⋅⋅=-PDB C V ……………14分（3）（理科）ABD ∆Q 为正三角形,.ABCD PC PCF CF,所成的角与平面是直线则连接∠ 7cos120212-41CF .120CDF 1CF 2CD CDF =⋅⋅⋅+==∠==∆οο由余弦定理，，中，在72173tan .3PF PFC Rt ===∠=∆CF PF PCF 中，在……………………………14分18．（本题满分14分）,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥Q 面面面面面,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥Q 面面面面面（1）当1=n 时，31,21211111=-==a a S a ．…………3分 当2≥n 时，n n n n n n n a a a a S S a 2121)2121()2121(111-=---=-=---，………5分即131-=n n a a ,…………6分 又,0311≠=a 所以数列{}n a 是首项为,31公比为31的等比数列, …………8分n n n a 3131311=⋅=∴-)(*N n ∈．…………9分（2）由（1）可知n n n c 31⋅=， 所以n n n n n T 3131)1(313312311132⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=-Λ． ① ①⨯3得122103131)1(3133123113--⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T Λ． ②………11分 ②-①得：122103131311311313112--+⋅++⨯+⨯+⋅-⨯=n n n n n T Λ…………12分3113113131121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-=-n n n n T 13212131-⋅-+-=n n n …………13分 ．43343243<⋅+-=n n n T …………14分 19.（本题满分14分）（1）直线l 与圆C 有公共点，所以圆心)2,1(-到直线l 的距离r d ≤（r=2），……2分1223212222+≤+⇔≤+---=∴k k k k k d ………………5分两边平方，整理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴≤+0,512.01252k k k ………………7分（2）（文科）设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分由222d r l -=，221234214⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=k k ………………9分两边平方，整理得：0724172=++k k ………………10分解得,1-=k 或,177-=k 均在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,512上，………………12分 直线方程为：)2(1-⋅-=x y 或),2(177-⋅-=x y 即：,02=-+y x 或014177=-+y x …………14分(2)（理科）存在，253±+=x y 解法1：设直线l 的方程：m x y +=，设(),,11y x A ()22,y x B ………………8分则02121=+⇔⊥⇔⊥y y x x OB OA ，因为()2212121m x x m x x y y +++= ⇔=+∴02121y y x x ()221212m x x m x x +++①………………10分把m x y +=代入()()42122=-++y x 整理得()01422222=+-+--m m x m x()()016,014822222<+->+---=∆m m m m m 即223223+<<-⇔m （*）,121m x x -=+,214221+-=m m x x ………………12分将上式代入①得,0)1(1422=+-++-m m m m m 即,0132=+-m m 得253±=m 满足（*）………………13分所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 解法2：设直线l 的方程：m x y +=，………………8分设AB 的中点为D ，则,AB CD ⊥又DA AB OD OB OA ==∴⊥21,，………………9分则CD 的方程是()112+-=-x y ，即1+-=x y ，………………10分联立m x y +=与1+-=x y 得)21,21(mm D +-………………11分圆心)2,1(-到直线m x y +=的距离223223223+<<-⇔<+-=m m d2222342121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m m m ………………12分 整理得,0132=+-m m 得253±=m ，满足2=≤r d ………………13分 所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 20. （本题满分14分）(1) )1()1(x f x f +=-知函数12)(2-+-=a x ax x f 关于直线1=x 对称……………1分.1,11,0==≠∴a aa ……………………2分 （2）①,0=a 12)(--=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………3分②⎪⎩⎪⎨⎧≤>2110a a 即2≥a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增……………………4分 ③⎪⎩⎪⎨⎧≥>210aa 即210≤<a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………5分 ④,0<a )(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………6分综上所述，21≤a 或2≥a ，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上是单调函数…………………7分 （3）解法1：当0a =时，函数12)(--=x x f 的零点是∉-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上没有零点 当0≠a 时，…………………8分①若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个相等的实根，则,0)1(44=--=∆a a 且2121≤≤a 即221≤≤a 当,0)1(44=--=∆a a 则∈+=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，∉-=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，251+=∴a ………9分 ②若)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21上有一个实根，则0)2()21(<f f ，即()()045585<--a a 得581<<a …………………10分③若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个的不同实根，则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-=≥-=≤≤>++-=∆>055)2(0485)21(21210)1(402a f a f a a a a 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-=≤-=≤≤>++-=∆<055)2(0485)21(21210)1(402a f a f aa a a 解得21558+≤≤a 或空集…………12分 综上2151+≤<a ，检验,1,0)2(==a f x x x f 2)(2-=的零点是0，2，其中2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21，符合；综上所述2151+≤≤a …………………14分 解法2当0a ≠时，函数12)(2-+-=a x ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点⇔()x x a 2112+=+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解⇔2121x x a ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解，问题转化为求函数2121x xy ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域……8分设[]5,221∈+=x t ，21-=t x ，则 25425421122-+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=t tt t t t ty ……9分 设tt t g 5)(+=，可以证明当())(,5,2t g t ∈递减，())(,5,5t g t ∈递增 事实上，设,5021<<<t t 则()()()212121*********)(t t t t t t t t t t t g t g --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-， 由,5021<<<t t ，得120t t -<，5021<<t t ，即()()120g t g t ->． ……10分所以()g t 在()5,2上单调递减．同理得 ()g t 在()5,5上单调递增，……11分又5.4)2(6)5(=>=g g 故∴≤≤),5()()5(g t g g ∴≤≤,6)(52t g ,42)(2520≤-≤-<t g ……12分,25242)(41-≤-≤∴t g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∴+≤-≤∴215,1,2152)(41y t g ． 13分 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+215,1．……14分。
广东省广州市高二上学期数学期中考试试卷
广东省广州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A . 12B . 6C . 4D . 32. （2分）(2017·武汉模拟) 下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增是（）A . f（x）=|sinx|B . f（x）=lnC . f（x）= （ex﹣e﹣x）D . f（x）=ln（﹣x）3. （2分）(2018·河北模拟) 已知等差数列的前项和为，且，则（）A . 31B . 12C . 13D . 524. （2分）(2017·日照模拟) 已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量 =（2λ﹣1，λ+1），若∥ ，则实数λ等于（）B .C .D .5. （2分）(2017·渝中模拟) 若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·滕州期末) 某运动员进行射击训练，若该运动员进行了5次射击，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 恰好击中3次，击中奇数次B . 击中不少于3次，击中不多于4次C . 恰好击中3次，恰好击中4次D . 击中不多于3次，击中不少于4次7. （2分） (2019高一下·武宁期末) 已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）A .B .C .8. （2分）下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A . 68B . 70C . 69D . 719. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）(2020·晋城模拟) 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（）A . 甲得分的平均数比乙的大B . 乙的成绩更稳定C . 甲得分的中位数比乙的大D . 甲的成绩更稳定11. （2分）如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·漳州模拟) 如图，已知的三个顶点均在抛物线上，AB经过抛物线的焦点F ，点D为AC中点.若点D的纵坐标等于线段AC的长度减去1，则当最大时，线段AB的长度为（）A . 12B . 14C . 10D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·山西月考) 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为________．14. （1分） (2016高一下·韶关期末) 若一三角形三边所在的直线方程分别为x+2y﹣5=0，y﹣2=0，x+y﹣4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．15. （1分）(2019·丽水月考) 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则 ________；若，则 ________.16. （1分）已知函数f（x）=log3 的值域为[0，1]，则b与c的和为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·漳州期末) 设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y= + x﹣a2（x∈R），a 为常数．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．18. （10分） (2016高一下·信阳期末) 某市政府为了实施政府绩效管理、创新政府公共服务模式、提高公共服务效率．实施了“政府承诺，等你打分”民意调查活动，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，统计结果表不幸被污损，如表：学生在职人员退休人员满意78不满意512若在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．（1）求满意学生的人数；（2）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取多少人？（3）若满意的在职人员为77，则从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈，求这2人中包含了两类人员的概率．19. （10分） (2018高二上·台州期末) 已知直线过点，且在轴上的截距为．（I）求直线的方程；（II）求直线被圆所截得的弦长．20. （10分） (2019高一下·南宁期末) 下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润（单位：万元）的有关数据．星期星期2星期3星期4星期5星期6利润23569参考公式：（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；（2）估计星期日获得的利润为多少万元．21. （10分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=， AD=DE=2．（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求直线BF与平面ADEB所成角的正弦值．22. （10分） (2018高三上·酉阳期末) 已知，，动点P满足，其中分别表示直线的斜率，t为常数，当t=-1时，点P的轨迹为；当时，点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线l，使得成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
广州市天河区05--06学年下学期高二数学期中考试试卷(文科)AqqPHP
广州市天河区05--06学年下学期高二数学期中考试试卷（文科）考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ） A ．45 B ．55 C ．50 D ．56 7．以下是计算201614121++++Λ的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 6 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．2310．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =- B ．22147y x x y =-=或C ．27x y =D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分） 15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。
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天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=a ，)37cos ,53(cos ︒︒=b ，=⋅b a （ ）(A)23 (B)21 (C)－23(D)－212．若1||||==b a ，b a ⊥且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)33. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=05.下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－59.设P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-)10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
12．若对n 个向量1a ，2a ，……，n a 存在n 个不全为零的实数1k ，2k ，……，n k ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量1a ，2a ，……，n a 为“线性相关”，依此规定，能说明)0,1(1=a ，)1,1(2-=a ，)2,2(3=a “线性相关”的实数1k ，2k ，3k 依次可以取___________________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）13、过圆：x 2+y 2=r 2外一点P （x 0,y 0）引此圆的两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为__________________________.14、对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题：①存在∈α（0，2π），使34)(=αf ；②存在∈α（0，2π），使)3()(αα+=+x f x f 恒成立；③存在∈ϕR ，使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称；④函数)(x f 的图象关于（43π，0）对称．其中正确命题的序号是三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题13分)设)sin ,cos 1(αα+=a )s i n ,c o s 1(ββ-=b )0,1(=c)2,(),,0(ππβπα∈∈，a 与c 的夹角为b ,1θ与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-,求4sinβα-的值．16. (本小题13分) 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE17. (本小题13分) 已知实数x,y 满足x 2+y 2=3(y ≥0)，试求m =31++x y 及b =2x +y 的取值范围.18. (本小题13分) 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 在北偏东75°，航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北端东60°。
若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？19. (本小题14分)设a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ） ①若a 与b起点相同，t为何值时，a ，t b ，31（a +b ）三向量的终点在一直线上？②若|a |=|b |且a 与b夹角为60°，那末t 为何值时|a－t b |的值最小？20. (本小题14分) 已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a 、b 是常数且a ≠0）满足条件：f （2）＝0且方程f （x ）＝x 有等根． （1）求f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m 、n （m ＜n ）使f （x ）的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］，如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=a ，)37cos ,53(cos ︒︒=b ，=⋅b a （ ）(A)23 (B)21 (C)－23(D)－211．A2．若1||||==b a ，b a ⊥且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)3 2．B3. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根 3.C4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=0 4.Ｃ5.下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 5.D6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π 6．A7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心 7、C8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－5 8：根据奇函数的图象关于原点对称． 答案：B9.设P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-) 9、解：根据直线对于平面区域划分的定理，要使x +y +c ≥0 恒成立，圆x 2+(y -1)2=1必须在直线x +y +c =0的上方，即c >0,且圆心（0，1）到直线x +y +c =0的距离大于或等于1，于是.12c .0,12|10|-≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥++解得c c ∴应选B 10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.10． 2sin,2ld r r=故选C 。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
11．191<≤m12．若对n 个向量1a ，2a ，……，n a 存在n 个不全为零的实数1k ，2k ，……，n k ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量1a ，2a ，……，n a 为“线性相关”，依此规定，能说明)0,1(1=a ，)1,1(2-=a ，)2,2(3=a “线性相关”的实数1k ，2k ，3k 依次可以取___________________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 12．1:2:4::321-=k k k13、过圆：x 2+y 2=r 2外一点P （x 0,y 0）引此圆的两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为__________________________.13、分析：此题注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点.解：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）则过点A 的圆的切线为x 1x +y 1y =r 2过点B 的圆的切线为x 2x +y 2y =r 2又点P （x 0,y 0）是两切线的交点，所以：x 0x 1+y 0y 1=r 2，说明点A （x 1,y 1）在直线x 0x +y 0y =r 2上x 0x 2+y 0y 2=r 2，说明点B （x 2,y 2）在直线x 0x +y 0y =r 2上所以直线AB 方程为：x 0x +y 0y =r 2 14、对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题：①存在∈α（0，2π），使34)(=αf ；②存在∈α（0，2π），使)3()(αα+=+x f x f 恒成立；③存在∈ϕR ，使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称；④函数)(x f 的图象关于（43π，0）对称．其中正确命题的序号是14．①，③，④ 三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题13分)设)sin ,cos 1(αα+=a )s i n ,c o s 1(ββ-=b )0,1(=c)2,(),,0(ππβπα∈∈，a 与c 的夹角为b ,1θ与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-,求4sinβα-的值．15、解：)2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2αααααα==a ∴21αθ=)2c o s ,2(s i n 2s i n 2)2c o s 2s i n 2,2s i n 2(2ββββββ==b ∴222πβθ-=326222621πβαππβαπθθ-=-⇒=+-⇒=-∴21)6sin(4sin-=-=-πβα 16. (本小题13分) 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE16.证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC .而PC ∩AC =C ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE 在平面P AC 内，∴BC ⊥AE . ∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC =C ， ∴AE ⊥平面PBC .17. (本小题13分) 已知实数x,y 满足x 2+y 2=3(y ≥0)，试求m =31++x y 及b =2x +y 的取值范围.17、解 m 可看作半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上的点与定点A （－3，－1）连线的斜率，b 可以看作过半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上的点P 且斜率为－2的直线在y 轴上的截距.由图得633-≤m ≤6213+,32-≤b ≤1518. (本小题13分) 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。