竞赛中的三角函数例题选讲附答案
三角函数竞赛试题与方法
三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。
例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。
【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。
初中数学竞赛：锐角三角函数(附练习题及答案)
初中数学竞赛：锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；（2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．专题训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( ) A ．3 B ．32 C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．10315．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。
高一三角函数竞赛题（含答案）
竞赛试题选讲：三角函数一1．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为的弧度数为（ ）A ．3 B ．π-3 C ．3-2p D ． 2p-3 2．若f (sin x )=cos2x ，则(cos )f x 等于（等于（ ）． A ．－cos2xB ．cos2xC ．－sin2xD ．sin2x答．Ａ ∵f (sin x )=cos2x ，∴(cos )=(sin())=cos2()=cos(2)=cos 222f x f x x x x p pp ----3．已知：集合þýüîíìÎ-==Z k k x x P ,3)3(sin |p ，集合，集合þýüîíìÎ--==Z k ky y Q ,3)21(sin |p ，则P 与Q 的关系是 （ ）．A ．P ÌQ B ．P ÉQ C ．P=Q D ．P ∩Q=φ 答．Ｃ∵(21)(3)(3)sinsin[8]sin333k k k pp p p ----=-+=，∴Ｐ＝Ｑ，∴Ｐ＝Ｑ4．化简sin(2)cos(2)tan(24)p p -+---所得的结果是（所得的结果是（ ））Ａ．2sin 2 Ｂ．０Ｂ．０ Ｃ．2sin 2- Ｄ．－１Ｄ．－１答．Ｃ答．Ｃ sin(2)cos(2)tan(24)=sin 2(cos 2)tan 22sin 2p p -+---+-=- 5．设99.9,412.721-==a a ，则21,a a 分别是第分别是第 象限的角象限的角若集合一、二若集合一、二 07.4122,2pp <-<得1a 是第一象限角；是第一象限角；9.994,2pp p <-+<得2a 是第二象限角是第二象限角6．|,3A x k x k k Z pp p p ìü=+££+Îíýîþ，{}|22B x x =-££，则B A =___[2,0][,2]3p-7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d =π10sin60t，其中[0,60]t Î。
三角函数10道大题(带答案解析)
三角函数1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.3、已知函数()tan(2),4f x x =+π（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小4、已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=.（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.5、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.6、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值.8、函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .10、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ．(Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1.2、【解析】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()m a xf x ，当2()444x x πππ+=-=-时，m i n ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】（I ）【解析】由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （II ）【解析】由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即4、解（1）：si n 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x xx-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==；（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】211()co242f x x π=++11sin222x =-， （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （II ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.6、【解析】（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.（2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.7、解：（1）()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0=x f （Ⅰ）有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 9..解：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔=， 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 10. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ．整理得：tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C＝．又由正弦定理知：sin sin a cA C =，故c = (1)对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b=or b舍去)．∴∆ABC的面积为：S．。
高一下学期三角函数部分竞赛题带答案
专题5三角函数部分竞赛题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.如图是五角星，已知AC a =，则五角星外接圆的直径为________(结果用含三角函数的式子表示，必须使用弧度制).2.已知θ为第二象限角，则三角函数()()sin cos cos sin θθ的符号为_______(填写正或负).3.设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+.当0x π≤<时，()0f x =，则236f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝_________.4.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-，那么()5f ＝___________.5.若角α的终边落在直线0x y +=cos α的值是______.6.函数2log sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_______________________.7.已知(]0,x π∈，关于x 的方程2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.8.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是______.9.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为__________.10.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.11.设函数()()sin f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>).若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为_______.12.△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为()sin cos ,cos sin A B A C --，则sin cos tan sin cos tan θθθθθθ++的值是_____.13.为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则m n -的最小值是____________.14.如图所示，函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，0ω>，2πϕ≤)的图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足()2,0P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =，则A 的值为_______.二、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题12分)已知()tan 0m m α=≠，求sin α和cos α.16.(本小题12分)(1)设2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最大值与最小值；(2)求函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域.17.(本小题12分)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1//l l ，l 与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点．设弧FG 的长为x（0＜x＜π），y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，求函数()y f x =的解析式，并作出大致图像.18.(本小题14分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期上的简图如图所示，求：(1)函数()f x 的解析式；(2)方程()lg 0f x x -=的实根的个数.19.(本小题14分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,2x 和()03,2x π+-.(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，写出()g x 的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象.20.(本小题16分)在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由.1.cos10a π 2.负 3.124.05.06.()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭7.)28.38π9.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.211.π12.1-13.23π14.163315.解：由已知得22sin tan cos sin cos 1m ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩①②，由①得sin cos m αα=，代入②得222cos cos 1m αα+=，解得21cos 1m α=±+.当21cos 1m α=时，21sin cos 1m m αα==；当21cos 1m α=-+时，21sin cos 1m m αα==-+.综上可知，22sin 11cos 1m m αα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩或22sin 11cos 1m m αα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.16.解：(1)令sin x μ=，∵2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1,12μ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22341214102y μμμ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∵1,12μ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且函数单调递减，∴当12μ=-，即6x π=-时，y 有最大值6；当1μ=，即2x π=时，y 有最小值9-.(2)将3sin 1sin 2x y x +=+整理得，()3sin 1sin 2x y x +=+，∴12sin 3yx y -=-.又∵1sin 1x -≤≤，∴12113y y --≤≤-，即1213yy -≤-.∴2244169y y y y -+≤-+，解得423y -≤≤.∴函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域为42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.解：由题图知正三角形的高为1，则边长为233，显然当0x =时，233y =，且函数()y f x =是递增函数，由平行线分线段成比例定理可知，1cos 21x BE AB -=，即1cos 32x BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而BE CD =，所以()2032xy EB BC x π=+=<<.大致图像如下：18.解：(1)显然A＝2，由图象过()0,1点，∴()01f =，即1sin 2ϕ=，∵2πϕ<，∴6πϕ=.由图象结合“五点法”可知，11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对应函数sin y x =图象的点()2,0π，∴112126ππωπ+=,解得2ω=.所以所求的函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)在同一坐标系中作函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和函数lg y x =的大致图象：∵()f x 的最大值是2，令lg 2x =，得100x =，令()1710012k k Z ππ+<∈，得()30k k Z ≤∈，而113110012ππ+>，∴在区间(]0,100上有31个形如()1117,,0301212k k k Z k ππππ⎡⎤++∈≤≤⎢⎥⎣⎦的区间，在每个区间上两函数的图象都有2个交点，故两函数在11,10012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2×31＝62个交点，另外在110,12π⎛⎫⎪⎝⎭上还有1个交点，故所给方程共有实根63个.19.解：(1)由已知，易得2A =，()00332T x x ππ=+-=，解得6T π=，∴13ω=.把()0,1代入解析式2sin 3x y ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得2sin 1ϕ=.又2πϕ<，解得6πϕ=.∴2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)压缩后的函数的解析式为2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再平移得()2sin 2sin 366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.列表：图象：20.[解析]时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，秒针每分钟走360度，本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60＝1440分钟，时针和分针每重合一次间隔时间为36060.5-分钟，所以一昼夜时针与分针重合14402236060.5=-次.(2)假设时针不动，分针转一圈与时针两次成直角，但一昼夜时针转了两圈，则少了4次垂直，于是一共有24×2－4＝44次时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为3603606-分，而由于36060.5-与3603606-的最小公倍数为720分钟，即12个小时，所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.答案页1._____________2._____________3.________________4._________________5._____________6._____________7.________________8._________________9._____________10._____________11.________________12._________________13.____________14._____________15.16.17.18.19.20.21.。
三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐
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三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。
但既有联系，又有区别。
定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
三角函数及解直角三角形竞赛试题
《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系 （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。
三角函数的化简与求值2
三角函数的化简与求值 （2）一、小题训练1．（A ）已知tan α=4，tan β=3，那么tan(α+β)= .2．（A ）计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .3．（A ）已知tan -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan +6πβ⎛⎫ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 4．（B ）已知sin α=35，那么cos 2α= .5．（B ）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=3，则cos 2α= . 6.（B ）已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，则βαtan tan 的值为 .二、例题选讲例1．（A）目标角与已知角之间的变换已知α，β均为锐角，且sin α=35，tan(α-β)= 1-3.(1)求sin(α-β)的值；(2)求cos β的值.3 5，cos(α+β)=5-13，求sin β的值.变式（B）已知α，β均为锐角，且sin α=例2．（B）二倍角的三角函数公式的简单应用已知sin α=1213，且α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.变式（A ） (1)已知sin 2 cos α= . (2)设α为第二象限角，sin α=35，则sin2α= .例3．（B ） 二倍角的化简与求值(1sin cos )sin -cos θθθθ⎛⎫++ ⎪0<θ<π.变式 （B ） (1)化简：0205-cos203-cos 10= .(2)求证：= 21sin4cos41-tan θθθ++1sin4-cos42tan θθθ+例4 ．（C ）二倍角公式的简单应用已知函数f (x )2x cos 2x 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[-π，0]上的最小值.变式 （C ）已知函数f (x )=sin 2x-sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例5．与三角函数的图象与性质综合运用已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f(α)=32，求sin26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.ππ0022A Aωϕωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭其中，，为常数，且，，变式 已知函数f (x )=12sin 2x 2x . (1) 求f (x )的最小正周期和最小值；(2) 将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 得到函数g (x )的图象，当x ∈2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求g (x )的值域.四、巩固练习1．（A ）计算：sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= .2．（A ）若α，β为锐角，cos α=17，cos(α+β)=-1114，则β= .3．（A ）已知α，β均为锐角，且tan β=cos -sin cos sin αααα+，则tan(α+β)= .4．（A ）已知sin2θ=45，cos 2θ =3-5，那么角θ在第 象限. 5．（A ）已知sin α+2cos α=0，则sin 2α+cos 2α= .6．（B ）已知sin -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=13，那么cos 2+23πα⎛⎫⎪⎝⎭= .7．（B ）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4).(1)求sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)若点P 关于x 轴的对称点为点Q ，求OP ·OQ 的值.8．（B ）设α为锐角，若cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，求sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.9．（B ）已知sin α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan β=13.(1)求tan α的值； (2)求tan(α+2β)的值.10．（C ）设函数f (x )=A cos 46x π⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈R ，且f 3π⎛⎫⎪⎝⎭(1)求A 的值；(2)已知α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且f443πα⎛⎫+⎪⎝⎭=3017-，f 243πβ⎛⎫-⎪⎝⎭=85， 求cos(α+β)的值.参考答案一、小题训练1．7-11 2 3．1 4．725 5．6．23 二、例题选讲 例1．【解析】(1)因为α，β∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以-2π<α-β<2π，又tan(α-β)= 1-3<0，所以-2π<α-β<0，所以sin(α-β)=-10.(2)由(1)可得cos(α-β).因为α为锐角，sin α=35，所以cos α=45，所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β). 变式．【解析】因为sin α=35，α为锐角，所以cos α=45， 又α，β均为锐角，cos(α+β)=5-13，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)=1213，所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=6365. 例2．【解析】 【思维引导】直接使用二倍角公式即可.因为α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，sin α=1213，所以cos α=5-13， 所以sin 2α=2sin αcos α=120-169， cos 2α=cos 2α-sin 2α=119-169， tan 2α=sin2cos2αα=120119．【精要点评】求cos α的值时，要注意正负的判断.变式【解析】(1)13 (2)2425- (1)cos α=1-2sin 22α=13.(2)直接求得cos α=45-，代入正弦的二倍角公式即可.例3．【解析】 【思维引导】考虑通过把角θ统一化为2θ，同时去掉根号.因为0<θ<π，所以0<2θ<2π，所以cos2θ>0，原式22cos 2sin cos sin -cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=2cos sin cos sin -cos 222222cos2θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=sin 22θ-cos 22θ=-cos θ.变式．【解析】 (1) 2【解析】0205-cos203-cos 10=005-cos201cos203-2+=002(5-cos20)5-cos20=2例4．【解析】(1)因为f (x )=2sinx-2(1-cos x )=sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0，所以34π-≤x+4π≤4π. 当x+4π=-2π，即x=-34π时，f (x )取得最小值，所以f (x )在区间[-π，0]上的最小值为f 34π⎛⎫⎪⎝⎭=-1-2. 变式【解析】(1)由题意得f (x )=1cos 2x 2--1cos 232x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=11cos 2222x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 22x -=1sin 226x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)当2k π-π2<2x-π6<2k π+π2，k ∈Z ，即k π-π6<x<k π+π3(k ∈Z )时，f (x )单调递增；当2k π+π2<2x-π6<2k π+3π2，k ∈Z ，即k π+π3<x<k π+5π6(k ∈Z )时，f (x )单调递减，所以f (x )在区间π,36π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，f -3π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-4，f -6π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12-，f 4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4，所以f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为12-.例5．【解析】(1) 由图可知，A=2，T=2π，故ω=1，所以f (x )=2sin (x +φ).又f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，且-π2<φ<π2，故φ=-π6，于是f (x ) =2sin π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2) 由f (α)=32，得sin π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以sin π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π2-62πα⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos π26α⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =1-2sin 2π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-2×234⎛⎫ ⎪⎝⎭=-18.变式：【解答】(1) f (x )=12sin 2x2x =12sin 2x-(1+cos 2x )=12sin 2x-cos 2x-=sinπ2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-， 故f (x )的最小正周期为π，最小值为-.(2) 由条件可知g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-2.当x ∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，有x -π3∈π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 从而sin π1-132x ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为，，所以g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的值域为⎣⎦. 巩固练习 1．122．3π 3．1 4．θ是第三象限角 5．7-5 6．7-97．(1)因为角α的终边经过点P (3，4)，所以sin α=45，cos α=35，所以sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sinαcos4π+cos αsin 4π. (2)因为P (3，4)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q (3，-4).所以OP =(3，4)，OQ =(3，-4)，所以OP ·OQ =3×3+4×(-4)=-7． 8．由cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，得cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2+6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=725. 因为cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，α为锐角，所以2α+3π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2425，所以sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π234πα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=50.9．(1)因为sinα∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cosα=tan α=sin cos αα=12.(2)因为tan β=13，所以tan 2β=22tan 1-tan ββ=212311-3⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以tan(α+2β)=tan tan21-tan tan2αβαβ+=1324131-24+⨯=2．10．(1)fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=A cosππ126⎛⎫+⎪⎝⎭=A cosπ4=A=2．(2)f4π43α⎛⎫+⎪⎝⎭=2cosππ36α⎛⎫++⎪⎝⎭=2cosπ2α⎛⎫+⎪⎝⎭=-2sin α=-3017，即sin α=15 17.f2π4-3β⎛⎫⎪⎝⎭=2cosππ-66β⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos β=85，即cos β=45.因为α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cosα=817，sin35，所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsinβ=817×45-1517×35=-1385.。
三角函数习题及答案解析
解三角形3一、选择题1．在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．2．在中，若，则的值为（）A．B．C．D．3．在中，若，则这个三角形中角的值是（）A．或B．或C．或D．或4．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是（）A．B．C．D．二、填空题1．在中，若，则最大角的余弦值等于_________________．2．在中，，，，则此三角形的最大边的长为____________．3．在△ABC中，若_________。
4．在△ABC中，若_________。
5．在△ABC中，若A∶B∶C=7∶8∶13，则C=_____________。
6．若A、B是锐角三角形的两内角，则_____1（填>或<）7．若在△ABC中，∠A=则=_______。
三、解答题1．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．2．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．3. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。
若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？解三角形4一、选择题1．在中，如果，那么角等于（）A．B．C．D．2．在中，若，，此三角形面积，则的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）A．B．C．D．4．在中，若，，，则（）A．B．C．D．5．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（）A．B．C．D．或二、填空题1．在中，已知，，，则__________________．2．在中，，，，则_______________，_______________．3．在△ABC中，∠C=30，则AC+BC的最大值是________。
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竞赛中的三角函数例题选讲
【内容综述】 一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性
对任意角，
，
2．奇偶性与图象的对称性
正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx 的图象还关于直线
对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx 的图象关于y
轴对称，并且其图象还关于直线
对称 3．单调性 y=sinx 在上单调递增，在
上单调递减：y=cosx 在上单调递增，在
上单调递减；y=tanx 在
上都是单调递增的；y=cotx 在
上都是单调递减的。
4．周期性
y=sinx 与y=cosx 的最小正周期是2π，y=tanx 与y=cosxr 的最小正周期是π。
【例题分析】
例1 已知圆222k y x =+至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小
值点，求实数k 的取值范围。
解 因为
是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222k y x =+也关
于原点对称，所以，图222k y x =+只需覆盖的一个最值点即可。
令
，可解得
的图象上距原点最近的一个最大值点
，依题意，
此点到原点的距离不超过|k|，即
综上可知，所求的K 为满足的一切实数。
例2 已知
，且
求 cos(x+2y)的值。
解原方程组可化为
因为所以令，则在
上是单调递增的，于是由
得 f(x)=f(-2y)
得 x=-2y
即 x+2y=0
例3 求出（并予以证明）函数
解首先，对任意，均有
这表明，是函数f(x)的一个周期
其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有
在上式中，令x=0，则有。
两边平方，可知
即sin2T=0，这表明，矛盾。
综上可知，函数的最小正周期为。
例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得
sin(cosc)=c, cos(sind)=d
证，构造函数
f(x)=cos(sinx)-x
f(x)在区间内是单调递减的，由于
f(0)=cos(sin0)-0=1>0.
故存在唯一的，使f(d)=0，即
cos(sind)=d
对上述两边取正弦，并令c=sind，有
sin(cos(sind))=sind
sin(cosc)=c
显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且
例4 已知对任意实数x，均有
求证：
证首先，f(x)可以写成
①
其中是常数，且，
在①式中，分别令和得
②
③
②+③，得
又在①式中分别令，得
④
⑤
由④+⑤，得
【能力训练】
（A组）
1．求函数的单调递增区间
2．已知是偶函数，，求
3．设，，试比较
的大小。
4．证明：对所以实数x,y，均有
5．已知为偶函数，且t满足不等式，求t的值。
（B组）
6．已知，且满足：
（1）；（2）；
（3）。
求f(x)的解析式
7．证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式
8．已知当时，不等式
恒成立，求的取值范围。
9．设，，求乘积的最大值和最小值。
参考答案
【能力训练】
A组
1．
2．由偶函数的定义，有
上式对任意成立，故
所以
3．首先，又
，
即
4．只需证明不能同时成立，若不然，则存在整数m,n,k,使得
即
矛盾
5．由题设，得
即
由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-1<t<4 可知
B组
6．由可得a+2b+4c=1524①
（1）当且b>0时，有
此方程组与①联立后无解
（2）当且b<0 有
此时a=4,b=-40, c=400
（3）当a>0且有
此方程组与①联立后无解。
（4）当a<0且，有
此方程组与①联立后无解，
得上可知，。
7．原不等式等价于
若，则
若
故原不等式成立
8．令，由条件可得所以在第I象限，原不等式可化为
由于结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即
9．由条件知，于是。