三角函数解答题专题练习
六大解答题之三角函数
六大解答题之三角函数1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．2. 在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒ （1）求sin sin a bA B++的值； （2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆。
3．设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知A A cos 6sin =⎪⎭⎫⎝⎛-π． （Ⅰ）求角Ａ的大小； （Ⅱ）若2=a ，求c b +的最大值.4，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知.412cos -=C（1）求C sin 的值； （2）当2a =，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长.5，已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（1）求角C 的最大值；（2）若72c =，ABC ∆的面积S =C 取最大值时a b +的值．7．已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.8．在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为,x ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.9．三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c →→=--=+，若m →//n →．（I ）求角B 的大小；（II ）求sin sin A C +的取值范围．10．三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c →→=--=+，若m →//n →．（I ）求角B 的大小；（II ）求sin sin A C +的取值范围．11． 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -. （1）求sin 2tan αα-的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=---，求函数2(2)2()2y x f x π=--在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．12．设向量α＝2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α⋅β．⑴求f (x ) 的最小正周期；⑵若f (θ)，其中0＜θ＜π2，求cos(θ＋π6)的值．13．设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b 。
三角函数单招(大题)
三角函数解答题专项训练1.设向量a=（√3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈[0，π/2].（1）若∣a∣=∣b∣，求x的值；（2）设函数f（x）=a*b，求f（x）的最大值.2.已知函数f（x）=2sin（x-π/3）.（1）写出函数f（x）的周期；（2）将函数f（x）图象上所有的点向左平移π/3个单位，得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式，并判断函数g（x）的奇偶性.3.已知函数f（x）=sinx+√3 cosx-√3.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0,2π/3]上的最小值.4.在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C=45°，b=4√5，sinB= （1）求c 的值； （2）求sinA 的值.5.已知函数f （x ）=sinx+√3cosx-√3.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[0,2π/3]上的最小值.6. 已知函数f （x ）=sinx+cosx ，x ∈R.（1）求f （x ）的最小正周期和最大值；（2）函数f （x ）的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到？2√5 57.已知函数f（x）=2cos²x+√3sin2x-1；（1）求f（π/6）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间.8.已知函数f（x）=4cosx sin（x+π/6）-1.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-π/6,π/4]上的最大值和最小值.9.已知函数f（x）=2sinwxcoswx+cos2wx（w＞0）的最小正周期为π.（1）求w的值；（2）求f（x）的单调递增区间.10.已知函数f （x ）=cosx sin （x+π/3）-√3cos ²x+x ∈R. （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[-π/4,π/4]上的最大值和最小值.11.已知函数f （x ）=√3sinx cosx-cos （2x+π/3）-cos ²x.（1）求f （x ）的最小正周期、最值和单调区间.12.已知函数f （x ）=sin ²x+√3sinx cosx+2cos ²x （x ∈R ）.（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数的单调区间；（3）求函数图象的对称中心.√3 4。
高中三角函数专题练习题含答案
高中三角函数专题练习题含答案一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.4．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.5．log sin()3y x ππ=+的单调增区间为________.6．设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c 与向量a c -的夹角为3π，则||||c c b -的取值范围是____________．7．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________. 9．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．已知30.4tan(1),tan0.1,a b c πππ=+-==，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<12．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1213．已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3 14．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1615．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．116．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1B C ．1D ．217．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18518．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④19．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3420．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.23．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.24．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数ω的取值范围.25．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.26．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．27．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.28．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？29．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．①③3．14032425．(2,2)(Z)36k k k ππππ-++∈6． 7．258．910．12+二、单选题 11．D 12．A 13．C 14．B 15．C 16．D 17．A 18．B 19．A 20．B 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-.（2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u ⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u =当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养. 22．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+=，cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩， 又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 23．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值.【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3θ=时，()min 33f θ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题. 24．（1）2()sin(3)3g x x π=+；（2）6π；（3）4083ω<≤.【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以有()0sin[3()]0()(0)9933f k k Z ππππϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=，()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以2()sin[3()]sin(3)933g x x x πππ=++=+；（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而()sin3h x x =的单调递增区间为：22232()()226363k k k x k k Z x k Z ππππππππ-+≤≤+∈⇒-+≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06x π≤≤，因此实数t 的最大值为：6π；（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+，其最小正周期23T πω=， 而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54T π>，解得：4083ω<≤. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.25．（1）()23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222x x x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.26．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ. 由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()02f θ===列表如下：由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanα取最大值2时，α也取得最大值．故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 27．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题. 28．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()4g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()g x =当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题29．（1）1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】 【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立 令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2Tπω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π，∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin 6π=2×12=1，∵f （x ）=2sin （2x +6π），∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π，∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
高考解答题专题：三角函数
高考解答题专题：三角函数1.已知()cos()sin 3f x x k x π=+-，且3()62f π=．（1）求实数k 的值；（2）求函数()f x 的最大值和最小值．2.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2An A = ，且72m n ⋅= ．（1）求角A 的大小；（2）若3a =，试判断b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．3.已知)2sin(3)2cos()(x x x f -+-=ππ∈x (R ).（1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值4.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,所对的边分别为cb a ,,（ac >）,A C A C sin sin cos cos -= ，31sin =B（1）求A sin 的值，（2）若边长6=b ，求ABC ∆的面积5.记ABC ∆的内角ABC 的对边分别为abc ，函数()23=sin sin 122Bf x B ++（1）求函数()f B 值域（2）若()3,2,232f B b c ===，求a 的值6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域。
7.在ABC 中，C-A=， sinB=。
（I ）求sinA 的值；(II)设AC=，求ABC 的面积。
8.设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值9.在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.。
三角函数专题复习练习题
三角函数专题复习练习题一．解答题（共25小题）1．（2015•惠州模拟）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．2．（2015•惠州模拟）设函数f（x）=cosx+sinx+1（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（2）当f（a）=，且＜α＜时，求sin（2α+）的值．3．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．4．（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．5．（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．6．（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．7．（2014•荆州模拟）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的定义域；（2）当x∈[﹣]时，求f（x）的值域；（3）若f（x）=，且x∈[]，求cos2x的值．8．（2014•安徽模拟）设函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；9．（2014•甘肃二模）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，），求α的值．10．（2014•和平区三模）函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA，（x∈R）在x=处取得最大值，且A∈[0，π]．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．11．（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最大值．12．（2014•房山区一模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的取值范围．13．（2014•奉贤区一模）已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）当x，求函数y=f（x）的值域．14．（2014•安徽模拟）已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）﹣1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣π，]时，求函数f（x）的取值范围．15．（2014•虹口区二模）已知函数y=f（x）=2sinxcos+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．16．（2014•益阳模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin（﹣2x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出相应的x值的集合；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．17．（2014•朝阳区一模）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）•cosx+sin2x﹣cos2x，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调减区间．18．（2014•四川二模）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），=，求A以及f（B）的值．19．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA ﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．21．（2014•顺义区二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象过点（，0）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及最大值．22．（2014•江西模拟）已知向量=（cos（x﹣），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），sin（x+）），f（x）=2•﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．23．（2014•南昌模拟）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试判断△ABC 的形状．24．（2012•黑龙江）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．25．（2011•山东）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．三角函数专题复习练习题参考答案与试题解析）由，∴=由（=cotx+1=．cosx+x+））+2k x+，，解得﹣≤﹣+2k），得），∵＜，∴＜），））+××=（=2x+，（sin﹣，，，∴）cos+cos=，且，∴，）﹣（）﹣=．）﹣=sin2x+cos2x=）﹣2x+≤，≤，（sinx））的最小正周期==，]，]，则[，]当﹣时，即）取到最小值是：时，即时，）取到最大值是：，，最小值为=x+x+sinx+cosx sinx=﹣sinx+（﹣﹣，]﹣），（﹣，（=﹣．，可得﹣﹣×，﹣．综上可得，所求的．）由题意，或，）∈，]﹣]]，得﹣=[∈]）﹣+）cos﹣﹣sin=sinxcosxsin2x2x+T=，∴，∴∴x+2﹣+1=2x+）T== +2k2x+≤，即﹣+k+k，2x+））∵，∴，．x=×﹣+，A=．），），]﹣，上的最大值和最小值分别为1=）∴T=，]∈，）]）cos2x=﹣T==﹣≤+，即﹣+k≤﹣+k[，]，∴﹣≤≤﹣≤[，]，cos（sin cos）cos=0=k++cos tan=，，（，sinx+（x++]x+[，]x+[[]）﹣+sinxsin）﹣1=2sin2x）T=﹣，，]∈，y=1+cos2x+sin2x+a=2sin）T==2x+=k++（+（=满足．cos2x=））×﹣=sin）2k∈上的单调减区间x+2sinxcosx=cos2x+2x+ ]）[，2x+﹣）sinC=，，∵，∴=，sinB=，∴B=B=B=（舍去），∴×）cosA=，∴=B=A+．∴A+，=，∴•×=3，B=A+∴，=sinAcosB+cosAsinB=×）×=S=a××=，B=sinBcosB∴﹣sin2A sin2Bcos2B=﹣=2，∴A+B=C=．sinA=，C=＜＞cosA=．由正弦定理可得，，即，∴．sinA=﹣（﹣×=×sin2x的图象过点（，∴sin﹣cos）=，最大值为•﹣）））﹣函数的最小正周期为﹣]∈，]，向量=∵，∴，∴∴∴cosB=∵，∴∴或A=或C=∴acosC+asinCsinAcosC+sinAsinCsinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin∴）由）由正弦定理设===2cosB=①）可知=S=acsinB=。
高中三角函数专题练习题(附答案)
高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()3cos 33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+若4AD AF =，则λ-μ的值为___________3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 4．已知)2,0F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为___________. 5．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，32b =7sin BAD ∠=，2cos BAC ∠=，则AD =__________. 7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．9．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知30.4tan(1),tan0.1,a b c πππ=+-==，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<13．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则91()()44t t t --最大值为（ ） A ．1B ．27764C ．1693192D ．9816．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数17．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒C ．27C ︒D ．28C ︒18．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞19．已知函数()2sin cos 3cos2f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．163三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c . 22．已知()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值.（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点3,64A π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集. 23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.25．已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==-， 设函数(),0,2f x a b x π⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的值域（Ⅱ）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．26．已知函数()223cos sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.27．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.28．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值29．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=+-->，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值. 30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦， 2．473 4．5．()135,2166．4 7．①③8．229．12+10．6二、单选题 11．D 12．D 13．A 14．A 15．B 16．A 17．C 18．B 19．B 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长； ②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.22．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω，然后即可得到()f x 的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭21332sin cos sin sin cos 3sin 322x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 11cos 2133sin 233sin 2cos 222222x x x x ωωωω-=-⨯+=++3sin 232x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时3()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，T π=（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为33sin 2sin 243262y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为3sin 62y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为：方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得104a <≤（3）设(),P x y ，()00,Q x y因为点,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+所以0012612x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00232x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点所以2sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．23．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.24．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=,在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin AC βα=, ∴sin sin AC βα=,∴sin sin CD βα=, ∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-,12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.25．（Ⅰ）11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数()f x 的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得()h x 的解析式，要使()()sin 20f x h x x m ++-<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，即不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令()()sin2y f x h x x =++求出函数的最小值，即可得实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()222991sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ()211cos 28f x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 0cos 1x ∴≤≤()1188f x ∴-≤≤()f x ∴的值域为11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）函数()21cos cos 8f x x x =-+-的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设()()5sin2cos sin sin24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin ,0,42y x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∴ min 94m y >=- 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.26．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可 【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π， 22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题27．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a =【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤ 1t ≤①当2a <a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a ≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a >，即2a >时当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.28．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．29．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-．∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
三角函数练习题及解析
三角函数练习题及解析一、单选题1. 已知直角三角形ABC，角A的对边BC=5，斜边AC=13，则角B 的邻边AB等于：A) 5B) 12C) 4D) 3解析：根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，因此选项B) 12.2. 在单位圆上，点A的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，则角A的度数为：A) 45°B) 60°C) 90°D) 120°解析：单位圆上的点A的坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$对应的角A的度数为$60^\circ$，因此选项B) 60°.3. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$的值等于：A) 0B) 1C) $\frac{3}{4}$D) $\frac{1}{2}$解析：$\sin^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，$\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，因此$\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，因此选项D)$\frac{1}{2}$.二、填空题4. 对于任意角θ，$\sin(90^\circ - \theta)$的值等于 __________。
答案：$\cos \theta$解析：根据“余角公式”，$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$.5. $\cos(\frac{3\pi}{4})$的值等于 __________。
答案：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$解析：根据单位圆上角度为 $\frac{3\pi}{4}$ 的点坐标为 $(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，因此 $\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$.三、解答题6. 解方程 $\sin x = \frac{1}{2}$，其中 $0 \leq x < 2\pi$。
三角函数解答题50道试题(1)
三角函数解答题50道1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知向量m - cos A ,cos B , n = 2c +b ,a ,且 m ⊥ n 。
（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 若a =4 3，b +c =8，求△ABC 的面积。
2．已知向量 a =sin x , 32, b =12,cos x ,f (x )= a ⋅ b .(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)求函数y =f (x )的单调递增区间.3.已知函数f (x )= 32sin2x -cos 2x - 12，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =3，f (C )=9，sin B =2sin A ，求a ,b 的值．4．在△ABC 中 ，角 A ,B , C 的对边分别为a ,b ,c 且满足(2c -a )cosB -b cos A =0.（1）若b =7,a +c =13，求此三角形的面积;（2）求3sin A +sin (C - π6)的取值范围。
5．已知 a =(2cos x +23sin x ,1)， b =(y ,cos x )，且 a // b ．（I ）将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；（II ）记f (x )的最大值为M ，a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 对应的边长，若fA2=M ,且a =2，求bc 的最大值．6．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a -2c sin A =0．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =2，求a +b 的最大值.7．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c 且a sin A +b sin B =c sin C + 2a sin B(I)求角C;(II)求 3sin A -cosB + π4的最大值.8．在△ABC 中，a ,b ,c 分别为三个内角A ,B ,C 的对边，锐角B 满足sin B = 53．(1)求sin2B +cos 2 A +C2的值；(2) 若b = 2，当ac 取最大值时，求cosA + π3的值．9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知 a 3cos A= c sin C ,(Ⅰ)求y =f (x )的大小;(Ⅱ)若△ABC ,求△ABC 的周长的取值范围.10．设λ∈R ,f (x )=cos x λsin x -cos x +cos 2 π2-x 满足f- π3=f 0.(1) 求函数f (x )的单调递增区间;(2)设△ABC 三内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c 且 a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2= c 2a -c,求f (x )在 0,B 上的值域.11．在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对边长,且满足sin 2A =sin ( π3+B )⋅sin ( π3-B )+sin 2B .(1)求角A 的大小;(2)若 AB ⋅ AC =12,a =27,求b ,c (b <c )12．函数f (x )=6cos 2ωx 2+ 3sin ωx −3(ω>0)的最小正周期是8(Ⅰ)求ω的值及函数f (x )的值域;(Ⅱ)若f (x 0)= 8 35,且x 0∈(- 103, 23),求f (x 0+1)的值.13．已知△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,设向量m =(c -2b ,a ),n =(cos A ,cos C ),且 m ⊥ n .(1)求角A 的大小;(2)若 AB ⋅AC =4,求边长a 的最小值.14．已知向量 m =(sin B ,1-cos B ),向量 n =(2,0),且 m 与 n 所成角为 π3,其中A 、B 、C 是△ABC 的内角(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)求sin A +sin C 的取值范围.15．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，满足:c cos B +b cos C =4a cos A .(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若 AB ⋅AC =b +c ,求△ABC 的面积S 的最小值.16．已知函数f x =cos ωx ( 3sin ωx −cos ωx )+ 12(ω>0)的周期为2π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满足2b cos A =2c −3a ,求f (B )的值.17．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,C = π3,b =5,△ABC 的面积为10 3.(Ⅰ)求a ,c 的值; (Ⅱ)求sinA + π6的值.18．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足 a +c b = sin A −sin Bsin A −sin C.(Ⅰ)求角C ;(Ⅱ)求 a +bc的取值范围.19．已知a =( 12, 12sin x +32cos x ),b =(1,y ),且a//b .设函数y =f (x )(1) 求函数y =f (x )的解析式;(2) 若在锐角△ABC 中,fA − π3= 3,边BC = 3,求△ABC 周长的最大值.20．已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边, 2b -c a = cos Ccos A.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)求函数y = 3sin B +sinC - π6的值域.21．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 cos A cos B= b a ,且∠C = 2π3.(Ⅰ)求角A ,B 的大小;(Ⅱ)设函数f (x )=sin (x +A )+cos x ,求f (x )在- π6, π3上的值域.22．已知向量 a =sin 2 π+2x4,cos x +sin x , b =(4sin x ,cos x -sin x ),f (x )= a ⋅ b (Ⅰ)求f (x )的解析式;(Ⅱ)求由f (x )的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积.23．已知向量 a = sin ωx ,1, b =3cos ωx , 12cos2ωx , ω>0,函数f x = a ⋅ b 的最小正周期为π.(1)求ω及函数的单调递减区间;(2)将函数y =f (x )的图象向左平移 π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象.求g (x )在 0, 5π24上的值域.24．已知函数f (x )=-2sin x cos x +2cos 2x +1(1)设方程f (x )-1=0在(0,π)内有两个零点x 1、x 2,求x 1+x 2的值;(2)若把函数y =f (x )的图像向左移动m (m >0)个单位,再向下平移2个单位,使所得函数的图象关于y 轴对称,求m 的最小值.25．在△ABC 中,A ,B ,C 所对边分别为a 、b 、c ,且满足cos A 2= 255，b +c =6,AB ⋅AC =3.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求 2sin A + π4sinB +C +π41-cos2A的值.26．已知函数f (x )=sin x 2cos x 2+cos 2 x2-2.(Ⅰ)将函数f (x )化简成A sin ωx +ϕ+B A >0,ω>0,ϕ∈ 0,2π的形式,并指出f (x )的周期;(Ⅱ)求函数f (x )在π, 17π12上的最大值和最小值27．已知函数f (x )=2sin 2π4+x - 3cos2x ,x ∈π4， π2.(I)求f (x )的最大值和最小值;(II)若不等式 f (x )-m <2在x ∈π4， π2上恒成立,求实数m 的取值范围.28．已知函数f (x )=tan13x -π6(I)求f (x )的最小正周期;(II)求f 3π2的值;(III)设f3α+ 7π2=- 12,求 sin (π-α)+cos (α-π) 2sin (α+ π4)的值.29．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知函数f (x )=cos x ∙cos x -A - 12cos Ax ∈R (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值;(2)若函数f (x )在x = π3处取得最大值,求 a cos B +cos C b +c sin A的值.30．已知△ABC 的面积为S ,且 AB ⋅AC =S .(1)求tan2A 的值;(2)若B = π4, CB - CA =3,求△ABC 的面积S .31．已知△ABC 的内角A 的大小为120°,面积为3.(1)若AB =22,求△ABC 的另外两条边长;(2)设O 为△ABC 的外心,当BC =21时,求 AO ⋅ BC 的值.32．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C = sin A +sin Bcos A +cos B.(1)求角C 的大小;(2)若△ABC 的外接圆直径为1,求a 2+b 2的取值范围.33．已知函数f (x )= 32sin2x -cos 2x - 12,x ∈R .](1)求函数f (x )的最小值和最小正周期;(2)设ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且c =3,f (C )=0,若sin B =2sin A ,求a ,b 的值.34．已知向量 a =(sin x , 34), b =(cos x ,-1).(1)当 a //b 时,求cos 2x -sin2x 的值;(2)设函数f (x )=2( a + b )⋅b ,已知在△ ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a = 3,b =2,sin B =63,求f (x )+4cos2A + π6(x ∈ 0, π3)的取值范围.35．△ABC 中角A ,B ,C 所对的边之长依次为a ,b ,c ,且cos A = 255,5(a 2+b 2-c 2)=310ab .(Ⅰ)求cos2C 和角B 的值;(Ⅱ)若a -c =2-1,求△ABC 的面积.36．已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角，a ,b ,c 为其对应边，向量 m = -1,3,n = cos A ,sin A 且 m ∙ n =1（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若 AB = 2,1, cos B cos C = b c ,求△ABC 的面积S .37．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边a ,b ,c 成等比数列.(1)求证:0<B ≤ π3;(2)求y = 1+sin2Bsin B +cos B 的取值范围.38．已知 m = 2 3,1, n =cos 2 A2,sin B +C ,其中A ,B ,C 是△ABC 的内角.(1)当A = π2时,求 n 的值(2)若BC =1, AB = 3,当m ⋅ n 取最大值时,求A 大小及AC 边长.39．设△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a , b , c ,向量 m =(a ，b ),n =(sin B ，sin A ),p =(b -2， a -2).(1)若 m //n ,求证:△ABC 为等腰三角形;(2)若 m ⊥ p ,边长c =2,角C = π3,求ΔABC 的面积.40．已知向量 m =sin A -B ,sin π2-A , n = 1,2sin B , m ∙ n =-sin2C ,其中A ,B ,C分别为△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若sin A +sin B =2sin C ,且S △ABC =3,求边c 的长.41．函数f (x )=M sinωx - π4(M >0,ω>0)的部分图像如右图所示.(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;(Ⅱ)ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若fA 2+ π8= 3,其中A ∈0, π2,且a 2+c 2-b 2=ac ,求角A ,B ,C 的大小.42．设f (x )=6cos 2x -3sin2x (x ∈R )..(Ⅰ)求f (x )的最大值及最小正周期;(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A 满足f (A )=3-23,B =π12,求 a c的值.43．已知sin θ+cos θ= 1+ 32,θ∈0, π4,(1)求θ的值;(2)求函数f (x )=sin (x −θ)+cos x 在x ∈[0,π]上的单调递增区间.44．已知函数f (x )= 12sin2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ- 12sinπ2+ϕ 0<ϕ<π,其图象过点π6, 12;(1)求ϕ的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在0, π4上的最大值和最小值.45．设函数f (x )=(sin ωx +cos ωx )2+2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为 2π3.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f x 在区间- π6， π3上的值域;(Ⅲ)若函数y=g(x)的图像是由y=f(x)的图像向右平移 π2个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.46．已知函数f(x)=sin2x+23sin x cos x+3cos2x,x∈R.求:(I) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(II) 求函数f(x)在区间- π6, π3上的值域.47.已知函数f(x)=A cosωx+ϕ(A>0,ω>0,- π2<ϕ<0)的图像与y轴的交点为0,1,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为x0,2和x0+2π,-2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若锐角θ满足cosθ= 13,求f2θ的值.48．已知函数f(x)=sin x cos x sinϕ+cos2x cosϕ+ 12cos(π+ϕ)(0<ϕ<π),其图象过点( π3, 14).(1)求ϕ的值;(2)将函数y=f(x)图象上各点向左平移 π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在- π4, 2π3上的单调递增区间.49．已知函数f(x)=cos( π3+x)cos( π3-x)-sin x cos x+ 14(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数f x单调递增区间50．已知函数f(x)=A sin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,- π2<ϕ< π2),其部分图像如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 已知横坐标分别为-1.1.5的三点M,N,P都在函数f(x)的图像上,求sin∠MNP的值.。
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三角函数解答题专题练习 班级 姓名解答题1．已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC.（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),(6,1),m A A n m n ==⋅求的最大值。
3.设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ 的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C..4.设向量(sin ,1),(1,cos )a x b x ==，记()f x a b =⋅，()f x '是()f x 的导函数. （1）求函数2()()()()F x f x f x f x '=+的最大值和最小正周期；（2）若()2()f x f x '=，求2212sin cos sin cos xx x x+-的值.5．已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且0=⋅n m ，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边。
（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin +的取值范围；6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.2cos sin sin ,32222C B A bc a c b =+=+ （1）求角A ，B ，C 的大小；（2）若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积。
7. (本小题满分12分) ) 已知ABC △中满足ACB AC B cos cos cos 2sin sin sin --=+，函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减.（1）证明：a c b 2=+；（2）若A f cos )9(=π，证明ABC △为等边三角形．8．（本小题满分13分) 是否存在实数a ，使函数2385cos sin 2-++=a x a x y 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由.三角函数解答题专题练习 班级 姓名解答题1．已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．解：（1）∵()()sin f x x ϕ=+，∴函数()f x 的最小正周期为2π．（2）∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=． 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC.（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),(6,1),m A A n m n ==⋅求的最大值。
解：（I ）∵(2a－c)cosB=bcosC ，∴（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=21. ∵0<B<π，∴B=3π. （II ）n m ⋅=6sinA+cos2A.=－2sin 2A+6sinA+1，A∈（0，23π）设sinA=t ，则t∈]1,0(.则n m ⋅=－2t 2+6t+1=－2(t －23)2+112,t∈]1,0(.∴t=1时，n m ⋅取最大值.5 3.设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ 的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C..解:（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=（2）因为23)(=A f ,所以cos A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a bA B=,也就是sin 1sin 22b A B a ===, 因为b a >,所以4π=B 或43π=B .当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=.4.设向量(sin ,1),(1,cos )a x b x ==，记()f x a b =⋅，()f x '是()f x 的导函数. （1）求函数2()()()()F x f x f x f x '=+的最大值和最小正周期；（2）若()2()f x f x '=，求2212sin cos sin cos xx x x+-的值. 解：（1）()sin cos f x x x =+ …1分()cos sin f x x x '∴=-， ……2分∴2()()()()F x f x f x f x '=+22cos sin 12sin cos x x x x =-++1sin 2cos2x x =++1)4x π=+ …5分∴当2242x k πππ+=+8x k ππ⇒=+（k Z ∈）时，max ()1F x =最小正周期为22T ππ== 7分 （2）∵()2()f x f x '=sin cos 2cos 2sin x x x x ⇒+=-∴cos 3sin x x =1tan 3x ⇒= …………10分∴22222212sin 3sin cos 3tan 1232cos sin cos cos sin cos 1tan 3x x x x x x x x x x x+++====--- ……14分 5．已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且0=⋅n m ，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边。
（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin +的取值范围；解：（I ）由0=⋅n m 得ab c b a a b b c a c a =-+⇒=-+-+2220)())((… …2分由余弦定理2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ……4分 又π<<C 0，则3π=C … …6分 （II ）由（I ）得3π=C ，则32π=+B A )6sin(3cos 23sin 23)32sin(sin sin sin ππ+=+=-+=+A A A A A B A …9分 320π<<A 6566πππ<+<∴A ………10分 1)6sin(21≤+<∴πA 3)6sin(323<+<∴πA 即B A sin sin +得取值范围是]3,23[………………12分 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.2cos sin sin ,32222C B A bc a c b =+=+ （1）求角A ，B ，C 的大小；（2）若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积。
解：（1）在bc a c b bc a c b ABC 3,3,222222=-++=+∆得由中，所以.232cos 222=-+=bc a c b A .6,0,ππ=<<∆A A ABC 所以因为中在 …2分又因为,2cos 1sin 21,2cos sin sin 2CB C B A +==所以 即.cos 1sin C B += ① …… ……4分.65,,C B C B A ABC -==++∆ππ所以因为中在代入①得,cos 1)65sin(C C +=-π,1cos 21sin 23,cos 1sin 23cos 21=-+=+C C C C C 即即 .1)6sin(=-πC 即 ② … …6分,6566,0ππππ<-<-<<C C 所以因为所以，由②得.32,26πππ==-C C 即 所以.63265πππ=-=B综上，.32,6,6πππ===C B A … ……8分（2）在△ABC 中，由于BC 边上中线AM 的长为7，故在△ABM 中，由余弦定理得6cos 224222π⋅⋅-+=a c a c AM ， 即.234722ac a c -+= ③ … …10分 在△ABC 中，由正弦定理得,32sin6sin6sinπππcb a ==即.3c b a == ④ ………………12分由③④解得.32,2,2===c b a故.3232221sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 的面积 … ……14分 7. (本小题满分12分) ) 已知ABC △中满足ACB AC B cos cos cos 2sin sin sin --=+，函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减.（1）证明：a c b 2=+；（2）若A f cos )9(=π，证明ABC △为等边三角形．解：（Ⅰ）根据题意，由于ACB AC B cos cos cos 2sin sin sin --=+，根据正弦定理，可知sin sin cos =2cos cos sin sin()sin()2sin sin sin 2sin B C A B C AA B A C A C B A+--⇔+++=⇔+=（）（）,故可知a c b 2=+（Ⅱ）由题意知：由题意知：243ππω=，解得：32ω=， 8分 因为1()sincos 962f A ππ===, (0,)A π∈,所以3A π= 9分 由余弦定理知：222-1cos 22b c a A bc +== 10分 所以222-b c a bc += 因为2b c a +=，所以222-()2b c b c bc ++=， 即：22-20b c bc +=所以b c = 11分 又3π=A ，所以ABC △为等边三角形. 12分8．（本小题满分13分) 是否存在实数a ，使函数2385cos sin 2-++=a x a x y 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由.解2185cos cos 2385cos sin 22-++-=-++=a x a x a x a x y 21854)2(cos 22-++--=a a a x当20π≤≤x 时，1cos 0≤≤x ，令x t cos =，则21854222-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a aa t y ，10≤≤t -----4分（1）当120≤≤a ，即20≤≤a 时，则当2at =时，1218542max =-+=a a y 解得23=a 或4-=a ，又20≤≤a ，23=∴a ---------------------------------------7分 （2）当02<a ，即0<a 时，则当0=t 时，12185max =-=a y ， 解得512=a ，又0<a 故这种情况下不存在满足条件的a 值. ------------------------------9分 （3）当12>a ，即2>a 时，则当1=t 时，123813max =-=a y 解得1320=a ，又2>a 故这种情况下不存在满足条件的a 值. -------------------------------11分 综上，存在23=a 符合题意． -------------------------------------12分2015届高三数学立体几何解答题专题练习班级 姓名1. 已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =。