求等底等高圆锥(圆柱)的体积
等底等高的圆锥和圆柱的关系
等底等高的圆锥和圆柱的关系
圆柱的体积与它等底等高的圆锥的体积是3倍的关系，即比值一定，成正比例。
设：等低等高的圆柱体与圆锥体的地面积为S,高为h。
则圆柱体的体积为V1=Sh。
圆锥体的体积V2=Shx1/3。
即V2=V1x1/3。
则圆柱体与圆锥体的体积比为三比一。
圆锥组成
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径，底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面，一个侧面，一个顶点，一条高，无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
圆锥体和等底等高的圆柱体的体积关系
圆锥体和等底等高的圆柱体的体积关系1. 引言1.1 引入圆锥体和等底等高的圆柱体的概念圆锥体是一种几何体，它的底面是一个圆，侧面是从底面到一个顶点的表面。
而等底等高的圆柱体则是底面为圆形，侧面和顶面平行且相等的圆柱体。
圆锥体和等底等高的圆柱体在几何形状上有一定的相似性，但在体积上有着明显的差异。
圆锥体的体积公式可以通过几何推导得到，即体积等于底面积乘以高度再除以3。
而等底等高的圆柱体的体积公式则是底面积乘以高度得到。
通过进一步的推导和比较，可以发现圆锥体的体积是等底等高的圆柱体的1/3，这是因为圆锥体的形状造成了体积的减小，因此在相同底面积和高度的情况下，圆锥体的体积要小于等底等高的圆柱体。
通过实例分析比较和数学证明推论，可以进一步验证这一体积关系，并发现其中的数学规律和特点。
这对于几何学的研究和应用有着重要的意义，并有望进一步深化相关领域的研究。
在未来的研究中，可以进一步探讨圆锥体和等底等高的圆柱体的体积关系，以及在实际应用中的具体价值和意义。
1.2 引出本文的研究目的引出本文的研究目的是为了探讨圆锥体和等底等高的圆柱体之间体积的关系，通过推导两者的体积公式及关系，从数学的角度深入分析它们之间的联系。
这不仅有助于我们更深入地理解圆锥体和圆柱体的性质，也可以为相关领域的研究提供理论基础和实际应用指导。
通过本文的研究，我们可以更好地认识到圆锥体和等底等高的圆柱体的特点和规律，为教学、工程建设以及科学研究等领域提供更准确的数据支持和科学依据。
深入探讨圆锥体和等底等高的圆柱体之间的体积关系，有助于我们在实际问题中灵活运用这些数学知识，提高解决实际问题的能力和效率。
本文的研究目的在于揭示圆锥体和等底等高的圆柱体之间体积关系的规律，为数学领域的研究和应用提供更深入的探讨和分析。
2. 正文2.1 圆锥体的体积公式推导假设圆锥体的底面半径为r，高度为h。
我们可以将圆锥体切割成无限多个薄圆锥体，每个薄圆锥体的底面半径为r，高度为Δh。
圆锥的体积推导过程和体积公式
圆锥的体积推导过程如下：
首先，考虑一个圆柱，其底面半径为r，高为h。
这个圆柱的体积公式是V_柱= πr^2h。
然后，考虑一个与这个圆柱等底等高的圆锥。
为了求这个圆锥的体积，我们可以尝试使用“切割法”。
想象将圆锥沿其高切成无数个薄片，每个薄片都是一个圆环。
当这些薄片叠加起来时，它们就构成了圆锥。
现在，考虑这些薄片中的一个，其厚度为Δh。
这个薄片的体积（即圆环的体积）可以近似为πr^2Δh。
由于圆锥是由无数个这样的薄片组成的，因此，圆锥的体积可以近似为无数个这样的薄片的体积之和，即：
V_锥≈ πr^2Δh + πr^2Δh + ... + πr^2Δh
由于薄片数量非常多，Δh非常小，因此可以将上式简化为：
V_锥≈ πr^2 × (h/Δh) × Δh
这里，h/Δh是薄片的数量，因此上式可以进一步简化为：
V_锥≈ πr^2h
这就是圆锥的体积公式。
需要注意的是，这个公式是通过近似方法推导出来的，但在实际应用中，它提供了足够精确的结果。
所以，圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr^2h，其中r为底面半径，h 为高。
制作等底等高的圆柱和圆锥：例如,半径是5厘米、高12厘米的圆
制作等底等高的圆柱和圆锥：例如，半径是5厘米、高12厘米的圆柱，底面周长是2∏r=31.4厘米,宽是12厘米的长方形纸就可做出.而要做等底等高的圆锥,要做的圆锥弧长必需是底面圆的周长即:2∏r=31.4厘米,而弧长等于2∏L×n360=∏Ln180,(L为圆锥的母线,n为圆锥展开扇形的圆心角),在圆锥中r2+h2=L2所以这里的L=14厘米,又弧长31.4=∏Ln180,这样就能求出n=128.570这样只要画出一个半径为L=14厘米的圆,取其圆心角为n=128.570的扇形即可折成和前面圆柱等底等高的圆锥.（记得选为最佳答案）举例来说，要做半径是5厘米、高12厘米的圆柱，只要长是2∏r=31.4厘米,宽是12厘米的长方形纸就可做出侧面积.底面就是半径为5厘米的圆.而要做等底等高的圆锥,要做的圆锥弧长必需是底面圆的周长即:2∏r=31.4厘米,所以这里的,取其1.知识圆锥的体1三个）3．圆锥又有几个面？（两个）它的侧面展开又是一个什么图形？（扇形）学完这些知识后，你们想不想亲手制作一个圆柱和圆锥呢？（想！）（课前提问，让学生回顾圆柱和圆锥的知识，通过回顾使学生对圆柱和圆锥的制作有了初步的思想准备）（板书：圆柱和圆锥的制作）请同学们将做好的圆柱粘好。
（动作要快）（教师巡视指导，及时表扬做得好的的小组并推荐他们好的制作方法及经验，这一点我觉得很重要，有些知识只能通过动手才能获取并吸收，这就是经验。
）2．制作一个底面直径为5厘米、高为6厘米的圆锥。
圆锥是怎样构成的呢？（一个底面圆和一个曲面）（先提问，制作一个圆锥需要做哪些方面的准备，需要哪些数据，然后再引导计算。
）（1）先剪一个侧面（扇形）：要使圆锥的底面直径为5厘米，高为6厘米，那么①扇形的半径得画多长？这个问题到了中学我们就可以自己计算了，今天我就先告诉你们扇形的半径R＝6.5厘米，至于如何得到的，有兴趣的同学课后可以自己探询。
（这里，扇形的半径学生目前的知识无法解答，所以教师有必要直接告知，然后鼓励学生课后去探讨）)○（让有兴趣）刚才的体积有何等底等高的察。
圆柱和圆锥体积公式推导课件
V=sh V= 兀r2 × h V=兀（d÷2）2 ×h
12平方分米 6 分 米
12×6
7分米
.
3 分 米
3.14 ×32 ×7
3.14 ×（6÷2）2 ×8
A
60
想一想、填一填：
把圆柱体切割拼成近似（ ），它们
的（ ）相等。长方体的高就是圆柱体的
（ ），长方体的底面积就是圆柱体的
(
)，因为长方体的体积=( 底面积×高
A
111
A
112
A
113
A
114
A
115
A
116
A
117
A
118
A
119
A
120
A
121
A
122
A
123
A
124
A
125
A
126
A
127
A
128
A
129
A
130
A
131
A
132
A
133
A
134
A
135
A
136
A
137
A
138
A
139
A
140
A
1
长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
底面积×高
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
A
9
A
10
A
11
A
12
A
13
A
14
A
15
六年级数学下册第二单元 圆柱与圆锥(2)
第二章圆柱与圆锥(2)姓名：一、填空。
1、一个圆柱底面半径是3厘米,高5厘米,侧面积是( )平方厘米,表面积是( )平方厘米,体积是( )立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。
2、圆锥形的一堆沙,底面积是4.8平方米,高2.5米,这堆沙共( )立方米。
3、将一张长30厘米,宽18厘米的长方形白纸卷成一个圆柱,这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。
4、一个圆锥的体积是15立方分米,高是3分米,底面积是( )平方分米。
5、一个圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小2倍，它的侧面积( ),体积（）。
6、等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积的和是80立方分米,这个圆柱的体积是( )立方分米,这个圆锥的体积是( )立方分米。
7、将一张长4厘米,宽3厘米的长方形纸以一条边为轴旋转一周,得到一个圆柱体,这个圆柱的体积是( )立方厘米。
8、把一个圆柱沿底面半径切开，等分后再拼成一个近似长方体，这个长方体长12.56厘米，高10厘米，这个圆柱的体积是（）立方厘米。
9、圆柱的高是圆锥高的3倍，圆柱的底面半径与圆锥底面半径的比是1：2，圆柱和圆锥的体积比是（）。
10、一个圆锥的底面直径是8厘米，高12厘米，沿底面直径将它切成两个完全相等的部分，表面积增加（）平方厘米。
二、判断。
1、塑料圆柱形容器的容积和体积一样大。
……………………………（）2、等底等高的圆柱和长方体的体积相等。
…………………………（）3、圆锥的侧面展开图是一个三角形。
…………………………（）4、用直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的图形是圆锥。
………（）三、选择。
1、一个圆柱体切拼成一个近似长方体后，（ ）A 表面积不变，体积不变；B 表面积变大，体积不变；C 表面积变大，体积变大。
2、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆柱体的是（ ），得出圆锥体的是（ ）。
A BC D3、右图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向看会看到不同的形状。
从上面看到的形状是（ ），从左面看到的形状是( ) 。
小升初必备：圆柱与圆锥典型及易错题型分析
小升初必备：圆柱与圆锥典型及易错题型分析圆柱与圆锥典型及易错题型（一）关于圆锥与圆柱相互之间的关系：1.若圆锥与圆柱等底等高，则它们的体积不等（圆锥的体积是圆柱的三分之一）；2.若圆锥与圆柱等底等体积，则它们的高不等（圆锥的高是圆柱的3倍）；3.若圆锥与圆柱等高等体积，则它们的底不等（圆锥的底面积是圆柱的3倍）。
练：1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是24立方分米，那么圆柱的体积是_________立方分米．2、一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是12立方分米，圆柱的体积是（）立方分米。
A12B36C4D8（二）、关于圆柱、圆锥的典型实际问题：1.实质求圆柱的侧面积：通风管（如圆柱形烟囱）压路机1、做一根长1米，底面周长是2分米的圆柱形通风管，需要铁皮多少平方分米？（管壁厚度忽略不计）2.求的滚轮转动一周所压过的路面面积就是求圆柱（滚轮）的侧面积；（所压过的路面面积=圆柱（滚轮）的侧面积×转动速度×时间）1、压路机的滚筒是个圆柱，它的宽是3米，滚筒横截面半径是1米，那么滚筒转一周可压路面多少平方米？如果压路机的滚筒每分钟转10周，那么5分钟可以行驶多少米？3.求无盖的圆柱形表面积。
1、求圆柱形水桶能装水多少升，是求它的（）；做一节圆柱形通风管要多少铁皮，是求它的（）A．侧面积B．表面积C．体积D．容积2、一个圆柱形儿童游泳池底面半径是4米，深0.5米．在它的四周和池底抹上水泥，每平方米需要水泥10千克，一共用水泥多少千克？3、一个无盖的圆柱形铁皮水桶,高50厘米,底面直径30厘米,做这个水桶约莫需用几何铁皮? (得数保留整数)4、做一个无盖的圆柱形鱼缸，底面半径3dm，高5dm。
（1）做这个鱼缸至少要几何平方分米？（得数保留整十平方分米）（2）这个鱼缸能装几何千克水？（1升水重1千克）5、圆柱的体积求底面积或高时，要用体积除以底面积或高，圆锥的体积求底面积或高时，要先乘以3再除以底面积或高。
圆锥的体积典型例题及答案
圆锥的体积答案典题探究例1．圆锥的体积是它等底等高圆柱体积的，所以圆柱的体积比它等底等高的圆锥体积大．×．（判断对错）考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：因为一个圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比与它等底等高的圆锥体积大2倍．解答：解：因为一个圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比与它等底等高的圆锥体积大：（3﹣1）÷2=2倍．故答案为：×．点评：此题是考查圆柱、圆锥的关系，要注意圆柱和圆锥在等底等高的条件下体积有3倍或的关系．例2．如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高．√．（判断对错）考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：因为等底等高的圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍，所以如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高．据此解答即可．解答：解：因为等底等高的圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍，所以如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高．说法正确．故答案为：√．点评：本题要结合圆柱的体积和圆锥的体积计算公式进行判断．例3．一个圆锥体的底面半径是3分米，高是6分米，它的体积是56.52立方分米．考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：圆锥的体积公式：V=sh=πr2h，已知底面半径是3分米，高是6分米．据此解答．解答：解：×3.14×32×6=×3.14×9×6=56.52（立方分米）答：它的体积是56.52立方分米．故答案为：56.52．点评：本题主要考查了学生对圆锥体积公式的掌握．例4．一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积相差20立方厘米，那么圆柱的体积是30立方厘米．考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，因此它们的体积差除以2就是圆锥的体积，用圆锥的体积乘3就是圆柱的体积．解答：解：20÷2=10（立方厘米）；10×3=30（立方厘米）．答：圆柱的体积是30立方厘米．故答案为：30立方厘米．点评：本题考查的目的是使学生理解掌握：等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系，即等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍．据出关系可以解决有关的实际问题．例5．一个圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是5厘米．如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少？考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：压轴题；立体图形的认识与计算．分析：根据题意可知，圆柱形橡皮泥捏成圆锥形后，体积不变，根据v=sh，所以先求出橡皮泥的体积，然后根据“s=v×3÷h”求出圆锥的高．解答：解：橡皮泥的体积：12×5=60（cm3），圆锥的高：60×3÷5=36（cm2）；答：圆锥的底面积是36厘米2．点评：此题主要考查圆柱的体积公式及有关圆锥体积公式的应用．例6．把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？考点：圆锥的体积．专题：压轴题．分析：由图1可知，圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，由图2可知，圆锥的底面半径是6厘米，高是3厘米，利用公式解答即可．解答：解：（1）3.14×32×6÷3=3.14×9×6÷3=56.52（立方厘米）；（2）3.14×62×3÷3=3.14×36×3÷3=113.04（立方厘米）；113.04﹣56.52=56.52（立方厘米）；答：图2的体积大，大56.52立方厘米．点评：此题主要考查圆锥体积的计算，可以直接利用公式解答．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共15小题）1．（•长寿区）一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍．则圆锥的体积（）圆柱的体积．A．小于B．等于C．大于D．无选项考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．分析：根据题干，设圆柱和圆锥的底面积相等是S，设圆柱的高是h，则圆锥的高是3h，由此利用圆柱和圆锥的体积公式求出它们的体积即可解答．解答：解：设圆柱和圆锥的底面积相等是S，设圆柱的高是h，则圆锥的高是3h，圆柱的体积是：Sh，圆锥的体积是：S×3h=Sh，所以圆柱的体积与圆锥的体积相等．故选：B．点评：此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用．2．（•北京模拟）如果一个圆锥体的底面半径扩大2倍，高缩小为原来的一半，它的体积是原来体积的（）A．2倍B．一半C．不变考点：圆锥的体积．分析：根据圆锥的体积公式，v=sh÷3，圆锥体的底面半径扩大2倍，它的底面积就扩大4倍，因为圆的半径扩大2倍圆的面积就扩大4倍，高缩小为原来的一半，由此得解．解答：解：圆锥体的底面半径扩大2倍，它的底面积就扩大4倍，又知高缩小为原来的一半，由此得此它的体积就扩大2倍．故选A．点评：此题的解答主要根据因数与积的变化规律来解答，3．（•福田区模拟）一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是12立方分米，圆柱的体积是（）立方分米．A．12B．36C．4考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．分析：一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，则它们的底面积就相等，根据圆柱和圆锥的体积公式即可解答．解答：解：一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，则它们的底面积就相等，圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=×底面积×高，圆锥的高是圆柱的3倍，所以圆柱和圆锥的体积相等，也是12立方分米．故选：A．点评：此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用．4．（•临川区模拟）用一个高是30厘米的圆锥体容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱体容器中，水的高度是（）厘米．A．10B．90C．20考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积；立体图形的容积．分析：由于水的体积没变，倒入和它等底等高的圆柱体容器中，水在圆柱体的容器的高是圆锥高的，由此解答即可．解答：解：30×=10（厘米）；答：水的高是10厘米；故选：A．点评：此题考查的目的是，理解和掌握等底等高圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的．5．（•广州模拟）大小两个圆柱的高相等，大圆柱的半径是小圆柱半径的2倍，大小两个圆柱的体积比是（）A．1：2B．1：4C．4：1D．2：1考点：圆锥的体积；比的意义；圆柱的侧面积、表面积和体积．分析：根据圆柱体的体积公式，v=sh，再利用因数与积的变化规律即可解答．解答：解：两个圆柱的高相等，大圆柱的半径是小圆柱半径的2倍，因为圆的半径扩大2倍圆的面积就扩大4倍，由此得出大圆柱的体积是小圆柱的4倍，即大小两个圆柱的体积比是：4：1．故选：C．点评：此题主要考查圆柱和圆锥的体积计算，及圆的半径扩大2倍圆的面积就扩大4倍．6．（•保靖县）右图中圆锥体积是圆柱体积的，那么圆锥的高是（）cm．A．2B．6C．18考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据题干可得：圆柱与圆锥的底面积相等，圆锥体积是圆柱体积的；因为等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，由此可得这个圆柱与圆锥的高相等．解答：解：根据题干分析可得：圆柱与圆锥的底面积相等，圆锥体积是圆柱体积的；因为等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，由此可得这个圆柱与圆锥的高相等，也是6厘米．故选：B．点评：此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用．7．（•和平区）一个圆柱和一个圆锥，底面积和高分别相等．若圆柱的体积是2.4立方米．则圆锥的体积是（）立方米．A．0.8B．3.6C．4.8D．7.2考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据题意，根据圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的，已知圆柱的体积是2.4立方米，据此解答．解答：解：2.4×=0.8（立方米），答：圆锥的体积是0.8立方米．故选：A．点评：此题主要根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，再根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．8．（•北京）把一个圆柱削成一个和它等底等高的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的（）A．3倍B．2倍C．考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：因为圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍，所以削去部分的体积是圆锥体积的2倍，是圆柱的体积的（1﹣）；据此解答即可．解答：解：由分析可知：把一个圆柱形的木块削成一个和它等底等高的圆锥，削去部分体积是这个圆柱体积的：1﹣=．答：削去部分的体积是圆柱体积的．故选：C．点评：此题利用“圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍”这一知识点来解答．9．（•铁山港区模拟）如果圆锥体的底面半径扩大2倍，高不变，那么这个圆锥体的体积扩大（）倍．A．2B．4C．8考点：圆锥的体积；积的变化规律．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据圆锥的底面积和体积公式和积的变化规律即可判断．解答：解：（1）圆锥的底面积=πr2，底面半径扩大2倍，根据积的变化规律可得：圆锥的底面积就扩大2×2=4倍，（2）圆锥的体积=×底面积×高，高一定时，根据积的变化规律可得：底面积扩大4倍，圆锥的体积就扩大4倍，故选：B．点评：此题考查了积的变化规律在圆锥的体积公式中的灵活应用．10．（•宝安区）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，圆柱的高与圆锥的高的比是（）A．1：1B．1：2C．1：3D．3：1考点：圆锥的体积；比的意义；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：比和比例；立体图形的认识与计算．分析：根据圆柱的体积公式V=sh，圆锥的体积公式V=sh，当圆柱和圆锥的体积、底面积分别相等时，圆柱的高是圆锥的高的，由此求出圆柱的高，进而做出选择．解答：解：因为，圆柱的体积公式V=sh，圆锥的体积公式V=sh，所以，当圆柱和圆锥的体积、底面积分别相等时，圆柱的高是圆锥的高的，故选：C．点评：此题主要考查了利用圆柱与圆锥的体积公式，推导出在体积、底面积分别相等时，圆柱的高与圆锥的高的关系．11．（•广汉市模拟）一个长方体和一个圆锥体的底面积和高分别相等，长方体体积是圆锥体积的（）A．3倍B．2倍C．D．无法确定考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．分析：长方体的体积=底面积×高；圆锥的体积=×底面积×高，由此公式即可得出长方体体积与圆锥的体积的倍数关系．解答：解：长方体的体积=底面积×高；圆锥的体积=×底面积×高，若它们的底面积和高分别相等，则：长方体的体积是圆锥的体积的3倍，故选：A．点评：此题考查了长方体和圆锥的体积公式的灵活应用，得出结论：等底等高的长方体体积是圆锥的体积的3倍．12．（•天河区）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是240立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米．A．640B．800C．720D．80考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：由圆锥体积公式的推导可知，当一个圆柱和一个圆锥等底等高时，则圆锥的体积应是圆柱体积的；也就是说，把圆柱的体积看作单位“1”，是3份，圆锥的体积是1份，已知圆柱体积是240立方厘米，用240除以3即得圆锥的体积．解答：解：一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么圆锥体积是圆柱体积的；圆锥的体积：240÷3=80（立方厘米）；答：圆锥的体积是80立方厘米．故选：D．点评：此题是考查圆柱、圆锥的关系，要明确等底等高的圆柱和圆锥体积有3倍或的关系．13．（•东兰县模拟）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．扩大6倍D．缩小6倍考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．分析：根据题意知道，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，再根据等底等高的圆锥形和圆柱形的关系，即可得到答案．解答：解：根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的，又因为，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍；故选：A．点评：解答此题的关键是，根据题意，结合等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的，即可得到答案．14．（•宿城区模拟）一个圆柱与一个圆锥体体积相等，底面积也相等．已知圆柱的高是9厘米，则圆锥的高是（）厘米．A．3B．9C．27D．54考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据圆柱的体积公式V=sh及圆锥的体积公式V=sh，知道当圆柱和圆锥的底面积和体积相等时，圆柱的高与圆锥的高的比是1：3，再根据圆柱的高为9厘米，由此即可求出圆锥的高．解答：解：因为，圆柱的体积公式是：V=sh，则h=圆锥的体积公式是：V=sh，则h=圆柱和圆锥的底面积和体积相等时圆柱的高与圆锥的高的比是：=：1：3圆锥的高为：9×3=27（厘米）答：圆锥的高为27厘米．故选：C．点评：解答此题的关键是，根据圆柱和圆锥的体积公式，得出圆柱和圆锥的高的关系．15．（•广州）底面积相等的圆柱和圆锥，它们的体积比是2：1，圆锥的高是9厘米，圆柱的高是（）厘米．A．3B．6C．9考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：平面图形的认识与计算．分析：由圆柱和圆锥的体积公式可得：圆柱的高：圆锥的高=2：3，由此即可解决．解答：解：由底面积相等的圆柱和圆锥的体积比是2：1可得：圆柱的高：圆锥的高=2：3，设圆柱的高为x厘米，根据题意可得：x：9=2：33x=2×93x=18x=6；答：圆柱的高是6厘米．故选：B．点评：此题是考查圆柱与圆锥体积公式的综合应用，利用公式的各种变换即可解决问题．二．填空题（共13小题）16．一个圆锥的高一定，它的底面半径和体积不成比例．考点：圆锥的体积；辨识成正比例的量与成反比例的量．分析：因为圆的半径和圆的面积不成比例，所以圆锥的底面半径和体积也不成比例．解答：解：根据公式：v=sh，因为圆的半径和圆的面积不成比例，所以圆锥的底面半径和体积也不成比例．故答案为：不成．点评：解答此题关键是判断圆的半径和面积不成比例．17．（•上高县模拟）圆锥的底面半径扩大3倍，高缩小3倍后，圆锥的体积不变．×．（判断对错）考点：圆锥的体积；积的变化规律．专题：立体图形的认识与计算．分析：圆锥的体积=πr2h，设原来圆锥的半径为2，高为3，则变化后的圆锥的半径为6，高为1，由此利用公式分别计算出它们的体积即可解答．解答：解：设原来圆锥的半径为2，高为3，则变化后的圆锥的半径为6，高为1，原来圆锥的体积是：×22×3=（）×4=4π变化后的圆锥的体积是：π×62×1×1=12π4π：12π=即变化后圆锥的体积是原来体积的，所以本题错误．故答案为：×．点评：此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用．18．（•蓝田县模拟）一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和体积分别相等，已知圆柱体的高4厘米，那么圆锥体的高是12厘米．考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据圆柱的体积公式V=sh及圆锥的体积公式V=sh，知道当圆柱和圆锥的底面积和体积相等时，圆柱的高与圆锥的高的比是1：3，再根据圆柱的高为4厘米，由此即可求出圆锥的高．解答：解：因为，圆柱的体积公式是：V=sh圆锥的体积公式是：V=sh圆柱和圆锥的底面积和体积相等时圆柱的高与圆锥的高的比是1：3圆锥的高为：4×3=12（厘米）答：圆锥的高为12厘米．故答案为：12．点评：解答此题的关键是，根据圆柱和圆锥的体积公式，得出圆柱和圆锥的高的关系．19．（•肃州区模拟）一个圆锥与一个长方体的底面积相等，高也相等，则长方体体积是圆锥体体积的3倍．√．（判断对错）考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：长方体的体积=底面积×高；圆锥的体积=×底面积×高，由此公式即可得出长方体体积与圆锥的体积的倍数关系．解答：解：长方体的体积=底面积×高；圆锥的体积=×底面积×高，若它们的底面积和高分别相等，则：长方体的体积是圆锥的体积的3倍．故答案为：√．点评：此题考查了长方体和圆锥的体积公式的灵活应用，得出结论：等底等高的长方体体积是圆锥的体积的3倍．20．圆柱体的体积是3立方米，与它等底等高的圆锥体体积是9立方米．×（判断对错）考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：平面图形的认识与计算．分析：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出圆锥的体积，然后与9立方米进行比较即可．据此判断．解答：解：3×=1（立方米），答：与它等底等高的圆锥体体积是1立方米．故答案为：×．点评：此题主要考查等底等高的圆锥与圆柱体积直接关系的灵活运用．21．如图，把直角三角形以直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形的体积最大是50.24立方厘米．（π取3.14）考点：圆锥的体积；作旋转一定角度后的图形．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据圆锥的定义，把一个直角三角形以直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是圆锥体，要使得到的圆锥的体积最大，也就是以3厘米的直角边为轴旋转，即得到的圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米，根据圆锥的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答即可．解答：解： 3.14×42×3，= 3.14×16×3，=50.24（立方厘米）；答：得到的立体图形的体积最大是50.24立方厘米．故答案为：50.24．点评：此题考查的目的是理解圆锥的定义，掌握圆锥体积的计算方法．22．一个圆锥体，高扩大2倍，底面半径缩小2倍，体积大小不变．×．考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：设原圆锥的底面半径为2r，高为h，则变化后的圆锥的底面半径为r，高为2h，由此根据圆锥的体积公式分别求出变化前后的圆锥的体积，即可解答．解答：解：设原圆锥的底面半径为2r，高为h，则变化后的圆锥的底面半径为r，高为2h，则：原来圆锥的体积是：×π×（2r）2×h=πr2h；变化后的圆锥的体积是：×π×r2×2h=πr2h；所以变化前后的体积之比是：πr2h：πr2h=2：1；答：一个圆锥体，高扩大2倍，底面半径缩小2倍，则体积会缩小2倍．故答案为：×．点评：此题主要考查了圆锥的体积公式的计算应用，分别求出这个圆锥变化前后的体积即可解答．23．把一个圆柱体剥成一个最大的圆锥，剥去部分的体积是圆锥体积的2倍．√（判断对错）考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据把“一个圆柱体剥成一个最大的圆锥”，实际是把一个圆柱体切削成一个和它等底等高的圆锥；根据等底等高的圆锥体是圆柱体的，得出剥去部分的体积是圆柱的，即剥去部分是圆锥体积的2倍．解答：解：由分析可知：把一个圆柱体剥成一个最大的圆锥，剥去部分的体积是圆锥体积的2倍；故答案为：√．点评：解答此题的关键是，知道如何把一个圆柱体剥成一个最大的圆锥，得出剥成的圆锥与圆柱的关系，进而得出剥去部分的体积与圆柱的关系．24．高1米，底面周长是18.84米的圆锥形沙堆的体积是9.42立方米．考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：沙堆的形状是圆锥形的，由底面周长是18.84米先求得底面半径，再利用圆锥的体积计算公式V=πr2h求得体积，问题得解．解答：解：×3.14×（18.84÷3.14÷2）2×1=×3.14×32×1=3.14×3=9.42（立方米）；答：这个圆锥形沙堆的体积是9.42立方米．故答案为：9.42．点评：此题主要考查圆锥的体积计算公式V=πr2h，运用公式计算时不要漏乘．25．（•北京）圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一．考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，据此解答即可．解答：解：圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一．故答案为：等底等高．点评：此题考查的目的是使学生牢固掌握圆柱和圆锥的体积之间的关系．26．（•紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的．正确．（判断对错）考点：圆锥的体积．分析：根据等底等的圆柱体与圆锥的体积关系，圆锥的体积是圆柱体体积的，由此得出答案．解答：解：把圆柱体的体积看作“1”，与它等底等高的圆锥的体积是圆柱体的，削求部分是圆柱体的．1﹣=；÷=×=；答：圆锥体体积是削去部分的．故答案为：正确．点评：此题考查的你的在于理解和掌握圆柱体与圆锥体积之间的关系，及圆锥的体积计算．27．（•福田区模拟）圆锥的底面半径是6厘米，高是20厘米，它的体积是0.0007536立方米．考点：圆锥的体积．分析：圆锥的体积=πr2h，由此代入数据即可计算出这个圆锥的体积．解答：解：×3.14×62×20，=×3.14×36×20，=753.6（立方厘米），=0.0007536（立方米），答：它的体积是0.0007536立方米．故答案为：0.0007536．点评：此题考查了圆锥的体积公式的计算应用，要求学生熟记公式即可解答．28．（•贵州模拟）如图，旋转一周所得图形的体积是37.68立方厘米．考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：旋转一周所得图形是一个圆锥，该圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，进而根据“圆锥的体积=πr2h”进行解答即可．解答：解：×3.14×32×4=9.42×4=37.68（立方厘米）；答：体积是37.68立方厘米；故答案为：37.68．点评：解答此题应根据圆锥的特征和圆锥的体积计算方法V=πr2h进行解答．B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．（•安徽模拟）圆柱和圆锥的底面积、体积分别相等，圆锥的高是圆柱的高的（）A．B．C．2倍D．3倍考点：圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据圆柱的体积公式，V=sh=πr2h，与圆锥的体积公式，V=sh=πr2h，知道在底面积和体积分别相等时，圆柱的高是圆锥的高的，即圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答即可得到答案．解答：解：因为，圆柱的体积是：V=πr2h1，圆锥的体积是：V=πr2h2，πr2h1=πr2h2，所以，h1=h2，即h2=3h1．故答案为：D．点评：此题主要是利用圆柱与圆锥的体积公式，推导出在底面积和体积分别相等时，圆柱的高与圆锥的高的关系．2．（•广州模拟）把底面积是18平方厘米，高是2厘米的圆柱形零件削成最大的圆锥，削成的圆锥体积是（）立方厘米．A．12B．18C．24D．36考点：圆锥的体积．分析：根据题意，削成的最大圆锥的底面积是18平方厘米，高是2厘米，可直接利用圆锥的体积公式计算即可得到答案．解答：解：×18×2，=6×2，=12（立方厘米）；答：削成最大的圆锥体积是12立方厘米．故选：A．点评：此题主要考查的是圆锥的体积公式：V=sh．3．（•高碑店市）圆锥体的底面积和高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的（）倍．A．．2B．、4C．、8考点：圆锥的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据圆锥的体积公式=底面积×高×，根据积的变化规律可知，圆锥体的底面积和高都扩大到原来的2倍，那么体积就会扩大到原来的（2×2）倍，列式解答即可得到答案．解答：解：2×2=4，答：圆锥体的底面积和高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的4倍．故选：B．点评：此题主要考查的是圆锥体的体积公式和积的变化规律的应用．4．（•福田区模拟）一个圆锥体的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，则体积（）A．扩大3倍B．扩大6倍C．缩小3倍D．不变考点：圆锥的体积．分析：设原圆锥的底面半径为r，高为3h，则变化后的圆锥的底面半径为3r，高为h，由此根据圆锥的体积公式分别求出变化前后的圆锥的体积，即可解答．解答：解：设原圆锥的底面半径为r，高为3h，则变化后的圆锥的底面半径为3r，高为h，则：原来圆锥的体积是：×π×r2×3h=πr2h；变化后的圆锥的体积是：×π×（3r）2×h=3πr2h；。
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1、求等底等高圆锥(圆柱)的体积
（1）V柱=15米3，V锥=( )米3
（2）V锥=75立方厘米，V柱=( ) 厘米3米
2、判断对
错：
（1）、圆柱体积是圆锥体积的3倍．（）
（2）、圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积。
（）
（3）、圆锥的高是圆柱高的3倍，它们的体积一定相等。
（）
（4）、把一个圆柱木块削成一个最大的圆锥，应削去圆柱体积的三分之二。
（）
（5）、一个圆锥，底面半径是6厘米，高是10厘米，体积是20立方厘米。
（）
（6）、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的二分之一。
（）
（7）、长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，它们的体积都等于底面积乘以高。
（）
（8）、一个圆锥底面积不变，高扩大2倍，它的体积就扩大6倍。
（）
3、填空：
（1）一个圆柱体积是27立方分米，与它等底等高的圆锥体积是（）立方分米。
（2）一个圆锥的体积是15立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。
（3）等底等高的圆锥和圆柱，圆柱体积是圆锥体积的（）。
圆锥体积是圆柱体积的（）。
圆柱体积比圆锥多（），圆锥体积比圆柱少（）。
（4）一个圆柱体积是96立方厘米，与它等底等高的圆锥体积是（）立方厘米，圆锥体积比圆柱体积少（）立方厘米。
（5）一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们体积之和是36立方分米，圆柱体积比圆锥大（）立方分米。