测度的概念和相关
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论是数学中的一个重要分支，主要研究测度空间及其上的可测集合和测度函数。
测度论在实分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础理论之一。
本文将简要介绍测度论的基本概念、性质和应用。
一、测度的基本概念1.1 测度空间在测度论中，我们首先要定义测度空间。
测度空间是一个三元组$(X, \Sigma, \mu)$，其中$X$是一个集合，$\Sigma$是$X$上的一个$\sigma$代数，$\mu$是定义在$\Sigma$上的测度。
测度通常用来度量集合的大小，类似于长度、面积和体积等概念。
1.2 可测集合在测度空间中，$\Sigma$中的元素称为可测集合。
对于一个给定的测度空间，我们可以定义一个测度函数$\mu$，用来度量可测集合的大小。
常见的测度包括勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
1.3 测度的性质测度函数$\mu$通常具有以下性质：（1）非负性：对于任意可测集合$E$，$\mu(E) \geq 0$；（2）空集的测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$；（3）可数可加性：对于任意可数个两两不相交的可测集合$\{E_n\}$，有$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$。
二、测度论的应用2.1 实分析中的应用在实分析中，测度论被广泛应用于研究函数的性质、积分的定义和性质等问题。
勒贝格积分就是建立在测度论的基础上，通过对可测函数的积分来定义积分运算，为实分析提供了坚实的理论基础。
2.2 概率论中的应用在概率论中，测度论也扮演着重要角色。
概率空间可以看作是一个测度空间，样本空间是全集，事件是可测集合，概率测度则是定义在事件上的测度函数。
通过测度论的方法，我们可以建立概率论的基本理论，研究随机变量、随机过程等概率模型。
2.3 数学物理中的应用在数学物理领域，测度论也有着重要的应用。
测度与外测度的区别
测度与外测度的区别在数学中，测度和外测度是两个重要的概念，它们在测度论、实分析等领域有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到度量空间中集合的大小或长度，但它们之间存在着一些明显的区别。
本文将从定义、性质和应用等方面对测度和外测度进行详细的比较，以便更好地理解它们之间的异同。
### 1. 测度的定义与性质**测度**是一种函数，它将集合系统映射到实数集合，用来度量集合的大小。
设X是一个非空集合，Σ是X的幂集（即X的所有子集构成的集合），如果定义在Σ上的函数μ满足以下三个性质，则称μ为X上的一个测度：1. 非负性：对于任意E∈Σ，有μ(E)≥0；2. 空集的测度为0：μ(∅)=0；3. 可数可加性：对于任意可数个两两不相交的集合{Ei}，有μ(∪Ei)=Σμ(Ei)。
测度的定义主要用于度量集合的大小，常见的测度有勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
### 2. 外测度的定义与性质**外测度**是一种更一般的测度概念，它可以应用于任意集合，不仅限于幂集。
给定一个集合X，对X的任意子集E，定义一个函数m*，称为E的外测度，如果m*满足以下性质：1. 非负性：对于任意E⊆X，有m*(E)≥0；2. 空集的外测度为0：m*(∅)=0；3. 单调性：若A⊆B，则m*(A)≤m*(B)；4. 可数次可加性：对于任意可数个集合{Ei}，有m*(∪Ei)≤Σm*(Ei)。
外测度的定义更加一般化，适用范围更广，但也更加复杂。
### 3. 测度与外测度的区别1. **定义范围不同**：测度是定义在集合的幂集上的函数，而外测度是定义在任意集合的子集上的函数，因此外测度的适用范围更广。
2. **性质要求不同**：测度要求可数可加性，而外测度只要求可数次可加性，这导致了外测度的性质相对于测度来说更弱一些。
3. **应用领域不同**：测度常用于度量空间中的集合大小，如勒贝格测度用于测量实数集合中的长度，而外测度则更广泛地应用于测度论、拓扑学等领域。
测度的意思是什么
测度的意思是什么本文是关于测度的意思是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。
测度的意思[释义](动)推测。
[构成]并列式：测+度[例句]根据风向测度;今天不会下雨。
(作谓语)揣测、推测、估计、推断、揣摸测度详细解释◎测度 cèduó[conjecture;estimate;infer] 猜测揣度测度他今日不来猜测，料想。
南朝宋谢灵运《入华子冈是麻源第三谷》诗：“险逕无测度，天路非术阡。
”宋王禹偁《答张扶书》：“天地毕矣，何难测度哉!”冰心《寄小读者》六：“大人的思想，竟是极高深奥妙的，不是我们所能测度的。
”测度造句(1) 嗟乎!凡夫例登补处，奇倡极谈，不可测度。
华严所禀，却在此经。
而天下古今，信少疑多，辞繁义蚀，余唯有剖心沥血而已!(2) 从政处理实际事务的时候，揣摩测度，刻意的让事情的处理归复于大道，然而这其中有很多事情没有得到妥善的处理，在仓促匆忙、造次颠沛的时候也是这样的。
(3) 而运用标准差和平均差极大化方法构造一种综合评价测度指标，并吸取述上述五个指标的长处，可对基金绩效作出唯一和合理的评价。
(4) 作者在对方向信息测度研究的基础上，认为从方向信息测度中可以得到更多的信息，因此对其定义进行了改进。
(5) 根据所建立的测度模型,用回归、德尔菲法等数学统计方法对综合信息竞争力进行了权重计算.(6) 在局部紧空间上的测度论中，正则性是一个比较重要的概念。
(7) 同时，利用对称性测度法对定位的车辆进行确认。
(8) 利用比较定理、矩阵范数和矩阵测度的有关性质，提出了简单不确定时滞系统及对称组合不确定时滞系统的稳定条件。
(9) 摘要本文测度各省四部门乘数及其差异.(10) 讨论一类可数离散半群上概率测度卷积幂的弱收敛性，主要结果是利用局部群化的观点给出了概率测度卷积幂弱收敛的一个充分条件。
(11) 本文提出了一种基于置信测度的自适应模型适配算法用于音乐分割。
(12) 以未确知测度为隶属函数抽象出论域上的未确知集合概念，定义未确知集合的运算。
第三章测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
研究测度论的相关概念和方法
研究测度论的相关概念和方法测度论是数学和统计学中的一个分支，研究如何测量和比较不同种类的事物。
测度论的核心是测度，而测度又是一个复杂的概念。
本文的目的是介绍测度论中的相关概念和方法，以便于更深入地研究该领域。
测度在数学中，测度指的是一种函数，它可以将集合映射到有序实数集合中。
自从勒贝格提出测度的概念以来，测度就扮演着极为重要的角色。
测度一般由以下三个性质确定：1. 非负性：对于任意一个集合，其测度值应该为非负实数。
2. 空集测度为0：空集的测度为0。
3. 可加性：对于两个不相交的集合，其测度的和等于集合的并的测度之和。
在实际问题中，测度论的应用非常广泛。
例如，在几何学中，勒贝格测度可以用于测量平面上的任意形状的面积。
在统计学中，概率测度可以用于测量概率分布的形式。
在经济学中，福利经济学中的测度可以用于度量社会利益、效用或资源分配标准。
因此，了解测度的概念和性质是研究测度论的前提。
度量空间度量空间也是测度论中的一个重要概念。
度量空间指的是一个集合，其中每个元素都需要定义一个度量，以便于测量两个元素间的距离。
度量有以下三个性质：1. 正定性：对于任意两个元素x和y，其度量d(x,y)必须为非负实数，且当且仅当x=y时，d(x,y)等于0。
2. 对称性：对于任意两个元素x和y，其度量d(x,y)必须等于d(y,x)。
3. 三角不等式：对于任意三个元素x、y和z，在任意度量d下，d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)。
度量空间的概念与测度的概念有着紧密的联系，可以说度量空间是测度论的一种具体应用。
常见的例子包括欧氏空间、闵可夫斯基空间等。
拓扑空间拓扑空间也是测度论中的一个概念。
拓扑空间指的是一个集合和该集合上定义的一组特殊性质，以便于描述该集合中元素的“接近程度”。
拓扑空间的本质是非度量性质，但这并不妨碍它在测度论中的重要性。
拓扑空间的概念与度量空间类似，也有着确定的性质。
在拓扑空间中，开集合、闭集合、连通性等概念都是非常重要的。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
由 于 An ↑ ,
容 易 知 道 有
Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ), 并且 An = ∪ Bi ,
i =1
∞
∪ Ai = ∪ Bi . .
i =1 i =1
n
∞
∞
由测度的可数可加性, 我们
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( Bn ) = lim ∑ µ ( Bi )
n =1 n =1 n →∞ i =1
例 3 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数. 对任意 A ∈ F , 另外令 µ (∅) = 0, 则 µ 是 F 上的测度. 例 4 设 X = {a1 , a 2 ,
若 A ≠ ∅, 则令 µ ( A) = +∞ .
} 是可数集, P ( X ) 是 X 的全体子集所成的 σ − 代数 . 又设
n =1
∞
µ ( ∪ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
(5) 上连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↓ 并且 ∩ An ∈ R , µ ( A1 ) < +∞, 则
n =1
∞
µ ( ∩ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
证明 (1). 由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ ( B − A). 由于 A ∩ ( B − A) = ∅, 由测度的有限可 加性得到
现代概率论03：测度空间（1）
现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
第三章_测度论
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度 设E为 R n 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
| 做出它的体积总和 | I i （ 可以等于
i 1 i 1
S 也可测。
i i 1
n
（5）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。 （6）设{Si } 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m Si mSi i 1 i 1
i 1
推广：设 {Si }是一列可测集，则 Si ， Si 也是可测集。
ðS 可测。
（3）设S1 , S2可测，则 S1 S2 也可测，并且当S1 S2 ,对于任 意集合T总有 m T S1 S 2 m (T S1 ) m (T S 2 )
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si也可测，并且当 Si S j ,
i 1 n
3、勒贝格测度性质 （1） m() 0 （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（4）可列可加性：设 {Ei } 是一列互不相交的可测集 m Ei mEi i 1 i 1
为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要
的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理： 设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每
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数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。
传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
目录[隐藏]• 1 定义• 2 性质o 2.1 单调性o 2.2 可数个可测集的并集的测度o 2.3 可数个可测集的交集的测度• 3 σ有限测度• 4 完备性• 5 例子• 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论•7 相关条目•8 参考文献[编辑]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。
设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：•空集的测度为零：。
•可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。
这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。
[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。
进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。
例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑]σ有限测度详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。
如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。
称测度空间中的一个集合具有σ有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。
为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。
作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。
这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。
σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
[编辑]完备性一个可测集称为零测集，如果。
零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。
如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集，它与某个可测集仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。
由这些子集生成的σ代数，并定义的值就等于。
[编辑]例子下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。
•计数测度定义为的“元素个数”。
•一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。
•Circular angle 测度是旋转不变的。
•局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
•恒零测度定义为，对任意的。
•每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。
这就是所谓概率测度。
见概率论公理。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、约当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
[编辑]自相似分形测度的分维微积分基础引论分维微积分在理论基础上主要依据分维导数相对邻近规整导数的位置假设，目前此方法尚不能给出一般函数分维导数的具体解析形式。
分维微积分与分数阶微积分有所不同，分数阶微积分的基础主要依据规整积分变换对分数阶的默认外推，能给出一般函数分数阶微积分的具体形式。
上述这二个研究方向在理论基础上都依赖于规整微积分的表述，但也都缺少严格的证明。
可能的情况是这些表述皆是趋向一个较为基本理论的过渡性近似形式。
而未来可能建立的这个较为基本的理论，将包含更为深刻普适的核心概念定义及基础假设，Newton 微积分将成为其导出结论。
下面的分维微积分主线脉络内容旨在为未来的分维数学解析体系提供前期探讨途径及框架参照。
自相似分形测度的分维微积分计算方法主要是依据上述分维微积分的表述形式，可给出能够直接进行测度计算的方程。
这种方法的分析过程及得到的自相似分形测度与目前普遍采用Hausdorff测度方法（覆盖方法）得到的结果不同，覆盖方法分析过程较为复杂，得到的测度一般依赖于所使用的覆盖方式及迭代技巧，计算方法的普适性较弱。
[1] [编辑]相关条目•外测度(Outer measure)•几乎处处(Almost everywhere)•勒贝格测度(Lebesgue measure)[编辑]参考文献1.^/papers/paper-pdf/celestialand maths-pdf.pdf/spires/find/hep/www?j=005 45,22,451/abs/2007PrGeo..22..451Y•R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability.Cambridge University Press.• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin. •Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.•M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.•Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.Emphasizes the Daniell integral.•阎坤. 天体运行轨道的背景介质理论导引与自相似分形测度计算的分维微积分基础[J]. 地球物理学进展，2007，22(2)：451～462. YAN Kun. Introduction on background medium theory about celestial body motion orbit and foundation of fractional-dimension calculus about self-similar fractalmeasure calculation[J]. Progress in Geophysics(inChinese with abstract in English)，2007，22(2)：451～462. 取自"/wiki/%E6%B5%8B%E5%BA%A6" 2个分类: 测度论| 数学结构MeasureIn mathematics, more specifically measure theory, a measure is intuitively a certain association between subsets of a given set X and the (extended set) of non-negative real numbers. Often, some subsets of a given set X are not required to be associated to a non-negative real number; the subsets which are required to be associated to a non-negative real number are known as the measurable subsets of X. The collection of all measurable subsets of X is required to form what is known as a sigma algebra; namely, a sigma algebra is a subcollection of the collection of all subsets of X that in addition, satisfies certain axioms.Measures can be thought of as a generalization of the notions: 'length,' 'area' and 'volume.' The Lebesgue measure defines this for subsets of a Euclidean space, and an arbitrary measuregeneralizes this notion to subsets of any set. The original intent for measure was to define the Lebesgue integral, which increases the set of integrable functions considerably. It has since found numerous applications in probability theory, in addition to several other areas of academia, particularly in mathematical analysis. There is a related notion of volume form used in differential topology.Contents[hide]• 1 Definition• 2 Propertieso 2.1 Monotonicityo 2.2 Measures of infinite unions of measurable setso 2.3 Measures of infinite intersections of measurable sets• 3 Sigma-finite measures• 4 Completeness• 5 Examples• 6 Non-measurable sets•7 Generalizations•8 See also•9 References•10 External links[edit] DefinitionFormally, a measure μ is a function (usually denoted by a Greek letter such as μ) defined on a σ-algebra Σ over a set X and taking values in the extended interval [0,∞] such that the following properties are satisfied:•The empty set has measure zero:•Countable additivity or σ-additivity: if E1, E2, E3, … is a countable sequence of pairwise disjoint sets in Σ, themeasure of the union of all the E i is equal to the sum of the measures of each E i:The triple (X, Σ, μ) is then called a measure space, and the members of Σ are called measurable sets.A probability measure is a measure with total measure one (i.e., μ(X) = 1); a probability space is a measure space with a probability measure.For measure spaces that are also topological spaces various compatibility conditions can be placed for the measure and the topology. Most measures met in practice in analysis (and in many cases also in probability theory) are Radon measures. Radon measures have an alternative definition in terms of linear functionals on the locally convex space of continuous functions with compact support. This approach is taken by Bourbaki (2004) and a number of other authors. For more details see Radon measure.[edit] PropertiesSeveral further properties can be derived from the definition of a countably additive measure.[edit] MonotonicityA measure μ is monotonic: If E1 and E2 are measurable sets with E1⊆ E2 then[edit] Measures of infinite unions of measurable setsA measure μ is countably subadditive: If E1, E2, E3, … is a countable sequence of sets in Σ, not ne cessarily disjoint, thenA measure μ is continuous from below: If E1, E2, E3, … are measurable sets and E n is a subset of E n + 1 for all n, then the union of the sets E n is measurable, and[edit] Measures of infinite intersections of measurable setsA measure μ is cont inuous from above: If E1, E2, E3, … are measurable sets and E n + 1 is a subset of E n for all n, then the intersection of the sets E n is measurable; furthermore, if at least one of the E n has finite measure, thenThis property is false without the assumption that at least one of the E n has finite measure. For instance, for each n∈ N, letwhich all have infinite measure, but the intersection is empty. [edit] Sigma-finite measuresMain article: Sigma-finite measureA measure space (X, Σ, μ) is called finite if μ(X) is a finite real number (rather than ∞). It is called σ-finite if X can be decomposed into a countable union of measurable sets of finite measure. A set in a measure space has σ-finite measure if it is a countable union of sets with finite measure.For example, the real numbers with the standard Lebesgue measure are σ-finite but not finite. Consider the closed intervals [k,k+1] for all integers k; there are countably many such intervals, each has measure 1, and their union is the entire real line. Alternatively, consider the real numbers with the counting measure, which assigns to each finite set of reals the number of points in the set. This measure space is not σ-finite, because every set with finite measure contains only finitely many points, and it would take uncountably many such sets to cover the entire real line. The σ-finite measure spaces have some very convenient properties; σ-finiteness can be compared in this respect to the Lindelöf property of topological spaces. They canbe also thought of as a vague generalization of the idea that a measure space may have 'uncountable measure'.[edit] CompletenessA measurable set X is called a null set if μ(X)=0. A subset of a null set is called a negligible set. A negligible set need not be measurable, but every measurable negligible set is automatically a null set. A measure is called complete if every negligible set is measurable.A measure can be extended to a complete one by considering the σ-algebra of subsets Y which differ by a negligible set from a measurable set X, that is, such that the symmetric difference of X and Y is contained in a null set. One defines μ(Y) to equal μ(X). [edit] ExamplesSome important measures are listed here.•The counting measure is defined by μ(S) = number of elements in S.•The Lebesgue measure on R is a completetranslation-invariant measure on a σ-algebra containingthe intervals in R such that μ([0,1]) = 1; and every othermeasure with these properties extends Lebesgue measure.•Circular angle measure is invariant under rotation.•The Haar measure for a locally compact topological group is a generalization of the Lebesgue measure (and also ofcounting measure and circular angle measure) and hassimilar uniqueness properties.•The Hausdorff measure which is a refinement of the Lebesgue measure to some fractal sets.•Every probability space gives rise to a measure which takes the value 1 on the whole space (and therefore takes all its values in the unit interval [0,1]). Such a measure is calleda probability measure. See probability axioms.•The D irac measure μa (cf. Dirac delta function) is given by μa(S) = χS(a) = [a∈ S], where χS is the characteristicfunction of S and the brackets signify the Iverson bracket.The measure of a set is 1 if it contains the point a and 0otherwise.Other 'named' measures include: Borel measure, Jordan measure, ergodic measure, Euler measure, Gauss measure, Baire measure, Radon measure.[edit] Non-measurable setsMain article: Non-measurable setIf the axiom of choice is assumed to be true, not all subsets of Euclidean space are Lebesgue measurable; examples of such sets include the Vitali set, and the non-measurable sets postulated by the Hausdorff paradox and the Banach–Tarski paradox.[edit] GeneralizationsFor certain purposes, it is useful to have a "measure" whose values are not restricted to the non-negative reals or infinity. For instance, a countably additive set function with values in the (signed) real numbers is called a signed measure, while such a function with values in the complex numbers is called a complex measure. Measures that take values in Banach spaces have been studied extensively. A measure that takes values in the set of self-adjoint projections on a Hilbert space is called a projection-valued measure; these are used mainly in functional analysis for the spectral theorem. When it is necessary to distinguish the usual measures which take non-negative values from generalizations, the term "positive measure" is used.Another generalization is the finitely additive measure. This is the same as a measure except that instead of requiring countable additivity we require only finite additivity. Historically, this definition was used first, but proved to be not so useful. It turns out that in general, finitely additive measures are connected with notions such as Banach limits, the dual of L∞ and theStone–Čech co mpactification. All these are linked in one way or another to the axiom of choice.The remarkable result in integral geometry known as Hadwiger's theorem states that the space of translation-invariant, finitely additive, not-necessarily-nonnegative set functions defined on finite unions of compact convex sets in R n consists (up to scalar multiples) of one "measure" that is "homogeneous of degree k" for each k = 0, 1, 2, ..., n, and linear combinations of those "measures". "Homogeneous of degree k" means that rescaling any set by any factor c > 0 multiplies the set's "measure" by c k. The one that is homogeneous of degree n is the ordinaryn-dimensional volume. The one that is homogeneous of degree n−1 is the "surface volume". The one that is homogeneous of degree 1 is a mysterious function called the "mean width", a misnomer. The one that is homogeneous of degree 0 is the Euler characteristic.A measure is a special kind of content.[edit] See alsoLook up measurable inWiktionary, the free dictionary.•Outer measure•Inner measure•Hausdorff measure•Product measure•Pushforward measure•Lebesgue measure•Vector measure•Almost everywhere•Lebesgue integration•Caratheodory extension theorem•Measurable function•Geometric measure theory•Volume form[edit] References•R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.•Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1 Chapter III.•R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability.Cambridge University Press.•Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons,ISBN 0-471-317160-0 Second edition.• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.•Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.•R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v.3, pp. 428-32.•M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.•Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.Emphasizes the Daniell integral.[edit] External links•Measure theory for dummies, pdf articleRetrieved from"/wiki/Measure_(mathematics)" Categories: Mathematical structures | Measure theory | Measures (measure theory)。