2020双基测试卷数学+解析

2020大连双基测试卷数学(理科)+解析数 学〔理科〕命题人：赵文莲、王爽、李飞、虞政华说明：1. 本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.第I 卷〔选择题 共60分〕一．选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.全集{2,4,6,8,10}U =，集合A ，B 满足(){8,10},{2}U U C A B A C B ==U I ,那么集合B = 〔A 〕{4,6}(B) {4}(C) {6}(D)Φ2.复数1z i =+，那么4z = 〔A 〕4i - (B) 4i(C) 4-(D) 43．函数()f x 定义域为R ，那么命题p ：〝函数()f x 为偶函数〞是命题q ：〝000,()()x R f x f x ∃∈=-〞的〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4．执行如图的程序框图，输出的C 的值为〔A 〕3 〔B 〕5 〔C 〕8 〔D 〕13 5.互不重合的直线,a b ,互不重合的平面,αβ,给出以下四个命题，错误．．的命题是〔A 〕假设a //α，a //β，b αβ=I，那么a //b(B)假设βα⊥，a α⊥，β⊥b 那么b a ⊥(C)假设βα⊥，γα⊥，a =γβI，那么a α⊥(D)假设α//β，a //α，那么a β各得几何.〞其意思为〝甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？〞〔〝钱〞是古代的一种重量单位〕.这个问题中，甲所得为 〔A 〕54钱 〔B 〕43钱 〔C 〕32钱 〔D 〕53钱 7．ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=o，那么cos C =〔第4题图〕〔A〔B〕 〔C〕 〔D8．点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =-的最大值为〔A 〕7- 〔B 〕1- 〔C 〕1 〔D 〕29．假设抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，那么OFP ∆的面积为 〔A 〕12〔B 〕1〔C 〕32〔D 〕210．直线m x y +=和圆122=+y x 交于B A 、两点，O 为坐标原点，假设32AO AB ⋅=u u u r u u u r ，那么实数=m〔A 〕1± 〔B 〕23±〔C 〕22± 〔D 〕21± 11．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,那么事件〝sin y x ≤〞发生的概率为〔A 〕1π〔B 〕2π〔C 〕21π 〔D 〕22π12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有3(()ln )2f f x x x --=，那么()f e =〔A 〕31e + 〔B 〕32e + 〔C 〕31e e ++ 〔D 〕32e e ++第二卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13．双曲线2221x y -=的渐近线方程为 . 14．101()2x x-的展开式中，4x 项的系数为 〔用数字作答〕. 15．数列{}n a 前n 项和2nn S =，那么n a = .16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，那么该多面体的外接球表面积为 . 三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．〔本小题总分值12分〕 函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><经过点7(,2),(,2)1212ππ-，且在区间7(,)1212ππ上为单调函数. 〔Ⅰ〕求,ωϕ的值； 〔Ⅱ〕设*()()3n n a nf n N π=∈，求数列{}n a 的前30项和30S . 18.〔本小题总分值12分〕〔第16题图〕2019年〝双十一〞当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：〔Ⅰ〕根据频数分布表，完成以下频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小〔其中方差大小给出判断即可，不必说明理由〕；(甲) 〔乙〕 〔Ⅱ〕 〔ⅰ〕根据上述数据，估计〝双十一〞当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率； 〔ⅱ〕现从〝双十一〞当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X ，试求出X 的期望和方差.19.〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，ο60=∠ABC .⊥PA 面ABCD ，且3=PA .F 在棱PA 上，且1=AF ，E 在棱PD 上.〔Ⅰ〕假设//CE 面BDF ，求ED PE :的值； 〔Ⅱ〕求二面角A DF B --的大小.20. 〔本小题总分值12分〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，满足2||6AF =. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的离心率；〔Ⅱ〕N M 、是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点〔异于椭圆C 的顶点〕，直线NP MP 、分别和x 轴相交于Q R 、两点，O 为坐标原点，假设4OR OQ ⋅=，求椭圆C 的方程.21. 〔本小题总分值12分〕 设函数2)(aax e x f x--=〔x R ∈，实数[0,)a ∈+∞, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数 1.64872=⋅⋅⋅〕. ))B〔Ⅰ〕假设0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕假设m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．〔本小题总分值10分〕选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，,,DA AB CB AB DO CO ⊥⊥⊥. 〔Ⅰ〕求证：CD 是⊙O 的切线；〔Ⅱ〕设CD 与⊙O 的公共点为E ，点E 到AB 的距离为2，求11CE DE+的值. 23. 〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos a y a a x 〔ϕ为参数，实数0>a 〕，曲线2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin cos b b y b x 〔ϕ为参数，实数0>b 〕.在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线)20,0(:παραθ≤≤≥=l 与1C 交于A O 、两点，与2C 交于B O 、两点.当0=α时，1||=OA ；当2πα=时，2||=OB .〔Ⅰ〕求b a ,的值；〔Ⅱ〕求||||||22OB OA OA ⋅+的最大值. 24. 〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲 设函数|1||2|)(ax a x x f -++=〔x R ∈，实数0a <〕. 〔Ⅰ〕假设25)0(>f ，求实数a 的取值范围； 〔Ⅱ〕求证：2)(≥x f .〔第22题图〕2016年大连市高三双基测试数学〔理科〕参考答案及评分标准说明：【一】本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．【二】对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．【三】解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 【四】只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题二．填空题13.2y x =±14. 15- 15.12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩16.34π 三．解答题 17.解： 〔Ⅰ〕由题可得72,2()122122k k k Z ωππωππϕπϕπ+=-+=+∈，……………………3分解得2ω=，22()3k k Z πϕπ=-∈，∵||ϕπ<，∴23πϕ=-. ………………………6分 〔Ⅱ〕∵*222sin()()33n n a n n N ππ=-∈，数列*22{2sin()}()33n n N ππ-∈的周期为3.前三项依次为9分∴32313(32)0(31)3(n n n a a a n n n --++=-⨯+-⨯=*()n N ∈，∴30123282930()()S a a a a a a =+++⋅⋅⋅+++=-………………………………12分 18. 〔Ⅰ〕频率分布直方图如以下图所示，…………………………………………………4分甲的中位数在区间)3,2[内，乙的中位数在区间[1,2)内，所以甲的中位数大. ……………………………………………………6分8分 ~X 10分 ∴65E =.12分19. 〔Ⅰ〕法一：过E 作//EG FD 交AP 于，连接，连接AC 交BD 于O ，连接FO .))∵//EG FD ，EG ⊄面BDF ，FD ⊂面BDF ， ,EG CE ⊂面CGE ,∴//EG 面BDF ，又EG CE E =I ，//CE 面BDF ，∴面//CGE 面BDF ，………………………………3分 又CG ⊂面CGE ，∴//CG 面BDF ，又面BDF I 面PAC FO =，CG ⊂面PAC ， ∴//FO CG .又O 为AC 中点，∴F 为AG 中点，∴1FG GP ==， ∴E 为PD 中点，:1:1PE ED =.…………………6分 法二:取BC 中点G ，连接AG ，∵ABCD 是ο60=∠ABC 的菱形，∴AG AD ⊥，又⊥PA 面ABCD ，∴分别以AG uuu r 、AD u u u r 、AP u u u r为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如下图.那么33(0,3,0),(,0),(,0),(0,0,1),(0,0,3),2222D B C F P -∴9(0,3,1),,0)2DF DB =-=-u u u r u u u r ，…………………………………………………2分 设面BDF 的一个法向量(,,)n x y z =r，那么由00n DF n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r可得30902y z x y -+=⎧-=，不妨令3z =，那么解得1x y ==，∴n =r. ……………………………………………………………………………4分设(0,3,3)PE PD λλλ==-u u u r u u u r，那么3(3,33)2CE CP PE λλ=+=-+-u u u r u u u r u u u r ， ∵//CE 面BDF ，∴0n CE ⋅=u u u r r ，即93399022λλ--++-=，解得12λ=.∴:1:1PE ED =.……………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕法一: 过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，……………………………………………8分 ∵⊥PA 面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ， ∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI IB ⊥，∴BIH ∠是二面角A DF B --的平面角.由题易得39,22AH BH HD ===，且HI AF HD DF ==，∴20HI =，∴tan BIH∠==10分∴二面角ADFB--的大小为arctan3.……………………………………………12分法二:接〔Ⅰ〕法二，显然面PAD的一个法向量(1,0,0)m=r，………………………8分∴cos,||||13m nm nm n⋅<>==⋅r rr rr r.………………………………………………………10分∴二面角ADFB--的大小为.…………………………………………12分20.解: 〔Ⅰ〕法一：A点横坐标为c，代入椭圆得22221c ya b+=，解得22||||by AFa==，∴26bca=.……………………………………………………2分即226a c ac-=，设cea=，∴2106e e+-=，解得2e=.…………………4分法二：直角12AF F∆中，122||2,||F F c AF==，∴由勾股定理得22211||412AF c c=+，即1||AF=，……………………………………………………………………………2分∴2a=+=，∴ca=e=4分〔Ⅱ〕设00(0,),(0,),(,)M b N b P x y-，那么MP方程为0y by x bx-=+，令0y=得到R点横坐标为0bxb y-；…………………6分NP方程为0y by x bx+=-，令0y=得到Q点横坐标为0bxb y+；……………………8分222202222222200()||||4,b ya bb x bOR OQ ab y b y-∴⋅====--∴223,1c b==,∴椭圆C的方程为2214xy+=.………………………………………12分21. 解：〔Ⅰ〕 法一：'()xf x e a =-.〔1〕当0a =时，()xf x e =，∴0)(≥x f 在x R ∈上恒成立；……………………1分〔2〕当0a >时，'()0f x >可得ln x a >，'()0f x <可得ln x a <.∴()f x 在(,ln )a -∞为减函数，在(ln ,)a +∞为增函数.∴()(ln )ln 2af x f a a a a ≥=--， 要使得0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，必有ln 02aa a a --≥，即a ≤ 综上实数a的取值范围为.…………………………………………………………4分 法二：假设0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，即1()2x e a x ≥+.(1) 当12x ≤-时，∵0a ≥，0x e >，∴原不等式显然成立；…………………………1分 (2)当12x >-时，有12x e a x ≤+，设()12xe h x x =+，那么21()2'()1()2xe x h x x -=+. ∴'()h x 在1(,)2+∞上大于0；在11(,)22-上小于0.∴()h x 在1(,)2+∞上单调递增；在11(,)22-上单调递减.min 1()()2h x h ==a ≤综上：实数a的取值范围为.………………………………………………………4分〔Ⅱ〕设()ln (0)2g x x x =+->，那么1'()(0)g x x x=>， '()0g x >，可得x >'()0g x <，可得0x <<. ∴()g x在)+∞上单调递增；在上单调递减. ……………………………8分∴()g x g ≥=1.64872=⋅⋅⋅1.6>，∴()2.3g x >.…10分由〔Ⅰ〕可得xe ≥+，∴ln x e x -的最小值大于2.3，假设m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，那么m 的最大值一定大于2.3.……………………………………………………12分 22．〔Ⅰ〕证明：由题可知,DA BC 为⊙O 的切线.∵90DOC ∠=o ，∴90AOD BOC ∠+∠=o ；∵90OBC ∠=o ，∴90OCB BOC ∠+∠=o ； ∴AOD OCB ∠=∠，∴AOD ∆∽BCO ∆，∴OC BCOD OA=，…………………………2分 又∵AO OB =，∴OC BCOD OB=，∴Rt OCD ∆∽Rt BCO ∆，∴OCD ∠=BCO ∠， ∴CO 是BCD ∠的平分线，∴圆心O 到CD 的距离等于半径OB ，∴CD 是⊙O 的切线.………………………………5分〔Ⅱ〕假设DA CB =，显然可得111CE DE +=.…………6分假设DA CB ≠，不妨设DA CB >. 过E 作EF AB ⊥交AB 于F ，过C 作CG AD ⊥交AD 于G ，交EF 于H .由〔Ⅰ〕可得,DA DE CB CE ==，在CGD ∆中， 有EH CE GD CD =，即2CE CE DE CE CE DE -=-+，化简得111CE DE+=.综上：111CE DE+=.………………………………………………………………………10分23.解：〔Ⅰ〕将1C 化为普通方程为222()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴12a =.……………………………………………2分 将2C 化为普通方程为222()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=,由题可得当2πθ=时，||2OB ρ==，∴1b =.………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=, ∴222||||||2cos 2sin cos sin 2cos 21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++)14πθ=++，………………………………………………………………………6分52[,],)14444ππππθθ+∈++Q 最大值为1，当2,428πππθθ+==时取到.……………………………………………………………………………………………10分 24. 〔Ⅰ〕∵0<a ，∴115(0)||||2f a a a a =+-=-->，即25102a a ++>， 解得2a <-或102a -<<.…………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕13,2111()|2|||,2113,a x a x a af x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩,…………………………………………………………………………………………………6分当2a x ≥-时，1()2a f x a ≥--；当12a x a <<-时，1()2a f x a >--； 当1x a ≤时，2()f x a a≥--.………………………………………………………………8分∴min 1()2a f x a =--≥=12a a-=-即a = ∴2)(≥x f .………………………………………………………………………………10分。