2018届中考数学第5章四边形第17讲特殊的平行四边形(精讲)试题

第十七讲特殊的平行四边形,考标完全解读),感受宜宾中考)1．(2017宜宾中考)如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( C)A．3 B.245C．5 D.8916,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2016宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A)A．4.8 B．5 C．6 D．7.23．(2013宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( B)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等4．(2014宜宾中考)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是3__cm__.5．(2015宜宾中考)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为__3__．,(第5题图)) ,(第6题图))6．(2013宜宾中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连结BG ，DF.若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为__20__．7．(2015宜宾中考)如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连结BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H.给出下列结论：①△ABE ≌△DCF ；②FP PH ＝35；③DP 2＝PH·PB；④S △BPD S 正方形ABCD ＝3－14.其中正确的是__①③④__．(写出所有正确结论的序号),核心知识梳理)矩形的性质和判定1．矩形的性质(1)定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫矩形； (2)边：矩形的对边__平行且相等__，邻边互相__垂直__； (3)角：矩形的四个角都是__直角__；(4)对角线：矩形的对角线__互相平分且相等__；(5)对称性：矩形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．2．矩形的判定(1)角：有__一个__角是直角的平行四边形是矩形；__三__个角都是直角的四边形是矩形； (2)对角线：对角线相等的__平行四边形__是矩形；对角线__互相平分且相等__的四边形是矩形．【温馨提示】矩形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四个角都是直角、对角线互相平分且相等等性质．菱形的性质和判定3．菱形的性质(1)定义：有一组邻边__相等__的平行四边形叫菱形； (2)边：菱形的四条边都__相等__；(3)对角线：菱形的对角线__互相垂直平分__且每一条对角线都__平分__一组对角；(4)对称性：菱形既是__中心对称__图形又是__轴对称__图形，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．4．菱形的判定(1)边：有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形；四条边都相等的__四边形__是菱形；(2)对角线：对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；对角线互相平分且相等的__四边形__是菱形；(3)对称性：菱形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．【温馨提示】菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角等性质．正方形的性质和判定5．正方形的性质(1)定义：有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形是正方形；(2)边：正方形的对边__平行__，四边都__相等__；(3)角：正方形的四个角都是__直角__；(4)对角线：正方形的对角线__互相垂直平分且相等__，每一条对角线都__平分__一组对角；(5)对称性：正方形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__4__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．6．正方形的判定(1)边：有一组邻边__相等__的矩形是正方形；(2)角：有一角是__直角__的菱形是正方形；(3)对角线：对角线__互相垂直__的矩形是正方形；对角线互相平分的__菱形__是正方形．【温馨提示】正方形具有矩形和菱形所具有的所有性质，因此正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系,重点难点解析)矩形、菱形、正方形的性质和判定【例1】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．【答案】C【针对训练】1．(2017益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．下列命题中，真命题是( A)A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形【例2】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连结EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为________．【解析】根据EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．【答案】2 2【针对训练】3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥A C.若AC＝4，则四边形CODE的周长是__8__．,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是__正方形__(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是2__cm__．矩形、菱形、正方形的应用【例3】如图①，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.(1)求证：CE＝CF；(2)如图②，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.【解析】(1)由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE≌△DCF(S.A.S.)，则可得CE＝CF ；(2)由平行线的性质，可得AG ＝AB ，∠G ＝∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE＝∠DCF，然后由∠CHB＝2∠ECB，易证得∠G＝∠HCG，则可得CH ＝GH ，则可证得结果．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝CD ＝AD. ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD.∴BE ＝DF.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠C，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF(S .A .S .)，∴CE ＝CF ； (2)延长BA 与CF ，交于点G. ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AF ∥BC ，AB ∥CD ， ∴∠G ＝∠FCD.∵点F 分别为AD 的中点，且AG∥CD， ∴AG ＝DC ＝AB.∵△BCE ≌△DCF ，∴∠ECB ＝∠DCF. ∵∠CHB ＝2∠ECB，∴∠CHB ＝2∠G. ∵∠CHB ＝∠G＋∠HCG，∴∠G ＝∠HCG， ∴GH ＝CH ，∴CH ＝AH ＋AG ＝AH ＋AB.【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【针对训练】5．(2017贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC，AC ⊥BD ，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积． 解：(1)∵AB＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠CBD， ∴∠ADB ＝∠CBD.∵AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴BO ＝DO ， 在△AOD 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOD ＝∠COB，OD ＝OB ，∠ADB ＝∠CBD，∴△AOD ≌△COB ，∴AO ＝OC. ∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝5，∴OC ＝CD 2－OD 2＝2，∴AC ＝4， ∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝4 5.6．(2017陕西中考)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE ＝CF ，连结AF ，CE 交于点G.求证：AG ＝CG.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD.∵AE ＝CF ，∴DE ＝DF.在△ADF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠D ＝∠D，DF ＝DE ，∴△ADF ≌△CDE(S .A .S .)， ∴∠DAF ＝∠DCE.在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF，∠AGE ＝∠CGF，AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF(A .A .S .)， ∴AG ＝CG.矩形、菱形、正方形的探究【例4】(2017常州中考)如图①，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________(填写图形名称)一定是等角线四边形；②若M ，N ，P ，Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，当对角线AC ，BD 还要满足__________时，四边形MNPQ 是正方形．(2)如图②，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平面内一点．①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是；②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．【解析】(1)①只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当AC⊥BD 时，四边形MNPQ 是正方形，首先证明四边形MNPQ 是菱形，再证明有一个角是直角即可；(2)①作DE⊥AB 于E.根据S 四边形ABCD ＝S △ADE ＋S 梯形DEBC 计算，求出相关线段即可；②如图，设AE 与BD 相交于点Q ，连接CE ，只要证明当AC⊥BD 且A ，C ，E 共线时，四边形ABED 的面积最大即可．【答案】解：(1)①矩形；②AC⊥BD；(2)①3＋221；②如答图中，设AE 与BD 相交于点Q ，连结CE ，作DH⊥AE 于H ，BG ⊥AE 于G.则DH≤DQ，BG ≤BQ. ∵四边形ABED 是等角线四边形， ∴AE ＝BD ，∵S 四边形ABED ＝S △ABE ＋S △ADE ＝12·AE ·DH ＋12·AE ·BG ＝12·AE ·(GB ＋DH)≤12·AE ·(BQ ＋QD)，即S 四边形ABED ≤12AE ·BD ，∴当G ，H 重合时，即BD⊥AE 时，等号成立． ∵AE ＝BD ， ∴S 四边形ABED ≤12AE 2，即线段AE 最大时，四边形ABED 的面积最大， ∵AE ≤AC ＋CE ， ∴AE ≤5＋1， ∴AE ≤6，∴AE 的最大值为6，∴当A ，C ，E 共线时，取等号，∴四边形ABED 的面积的最大值为12×62＝18.【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，会求圆上一点到圆外一定点的距离的最大值或最小值，属于中考压轴题．【针对训练】7．(2017衢州中考)在直角坐标系中，过原点O 及点A(8，0)，C(0，6)作矩形OABC ，连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF⊥DE，交OA 于点F ，连结EF.已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t s .(1)如图①，当t ＝3时，求DF 的长；(2)如图②，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值；(3)连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1∶2时，求相应的t 的值． 解：(1)当t ＝3时，点E 为AB 的中点． ∵A(8，0)，C(0，6)， ∴OA ＝8，OC ＝6. ∵点D 为OB 的中点， ∴DE ∥OA ，DE ＝12OA ＝4.∵四边形OABC 是矩形， ∴OA ⊥AB ， ∴DE ⊥AB ，∴∠OAB ＝∠DEA＝90°. 又∵DF⊥DE， ∴∠EDF ＝90°， ∴四边形DFAE 是矩形， ∴DF ＝AE ＝3；(2)∠DEF 的大小不变．理由如下： 作DM⊥OA 于M ，DN ⊥AB 于N ，如答图①： ∵四边形OABC 是矩形，∴OA ⊥AB ， ∴四边形DMAN 是矩形，∴∠MDN ＝90°，DM ∥AB ，DN ∥OA ， ∴BD DO ＝BN NA ，DO BD ＝OM MA. ∵点D 为OB 的中点，∴M ，N 分别是OA ，AB 的中点， ∴DM ＝12AB ＝3，DN ＝12OA ＝4.∵∠EDF ＝90°，∴∠FDM ＝∠EDN. 又∵∠DMF＝∠DNE＝90°， ∴△DMF ∽△DNE ，∴DF DE ＝DM DN ＝34.∵∠EDF ＝90°，∴tan ∠DEF ＝DF DE ＝34；(3)作DM⊥OA 于M ，DN ⊥AB 于N ，若AD 将△DEF 的面积分成1∶2的两部分， 设AD 交EF 于点G ，则点G 为EF 的三等分点； ①当点E 到达中点之前时，如答图②，NE ＝3－t ， 由△DMF∽△DNE，得MF ＝34(3－t)，∴AF ＝4＋MF ＝－34t ＋254.∵点G 为EF 的三等分点， ∴G ⎝⎛⎭⎪⎫3t ＋7112，23t ， 设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b ，把A(8，0)，D(4，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝6，∴直线AD 的表达式为y ＝－34x ＋6，把G ⎝⎛⎭⎪⎫3t ＋7112，23t 代入，得t ＝7541；②当点E 越过中点之后，如答图③，NE ＝t －3， 由△DMF∽△DNE，得MF ＝34(t －3)，∴AF ＝4－MF ＝－34t ＋254.∵点G 为EF 的三等分点，∴G ⎝⎛⎭⎪⎫3t ＋236，13t ，代入直线AD 的表达式y ＝－34x ＋6，得t ＝7517；综上所述，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1∶2时，t 的值为7541或7517.,当堂过关检测)1.下列四边形中不一定为菱形的是( A )A ．对角线相等的平行四边形B ．每条对角线平分一组对角的四边形C ．对角线互相垂直的平行四边形D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD 的面积为．,(第2题图)),(第3题图))3．(2017辽阳中考)如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连结CE.若BC ＝7，AE ＝4，则CE ＝__5__．4．(2017青岛中考)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连结CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由． 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ， OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△B CE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(S .A .S .)；(2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下： 由(1)得：AE ＝OE ＝OF ＝A F ， ∴四边形AEOF 是菱形． ∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ， ∴OE ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°， ∴四边形AEOF 是正方形．。