2017-2018年陕西省西安市雁塔区高新一中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
西安区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
）
3 4
B.
3 8
C.
1 4
D.
1 8
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 9． “互联网 ”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为 50 的样本进行调 查，已知该小区有老年人 600 人，中年人 600 人，青年人 800 人，则应从青年人抽取的人数为（ A．10 B．20 C．30 ） D．40
17． a b 0 1 （ ， ）的左、右焦点，点 在双曲线上，满足 P 1 2 0， a 2 b2 3 1 若 PF1 F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ，则该双曲线的离心率为______________. 2
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即函数的周期是 4． ∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0 时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）= ， ∴a2017=f（1）= 故选：D． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键． 5． 【答案】 B 【解析】解：画出 x，y 满足的可行域如下图：z=3x+y 的最大值为 8， 由 （ ，解得 y=0，x= ， ，0）代入 2x+y+k=0，∴k=﹣ ， ，
2 15．设曲线 f ( x) x 1 在点 ( x, f ( x)) 处的切线的斜率为 g ( x) ，则函数 y g ( x) cos x 的部分图象 可以为（ ）
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A．
B．
C.
陕西省西安市第一中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题理
时取得最大值，据图可知当目标函数直线经过3680024001216005(5,12)M故租金至值，成等比数列，则，，成等差数列，，，，9．已知，，bx0d0ycaxx cd）．是（
．DC．A．B．0412D
【答案】0y12x0mx表示的区域及直线【解析】画出不等式组如图，2x2y0my2，即结合图形可知点能使得．),mM(m2mm2m 3故选．A
y1=02x+ y+xO y=m)(m,mMmx=
bAc2．在11中，）．的形状为（，则ABC△△ABCsin c22C B A．正三角形．直角三角形．等腰直角三角形D．等腰三角形6
【答案】，，【解析】设，aBCbcACABcb， CBsinsin 322， 1Csin 2 3∴，sinC2或．∴60C120C个．满足条件的三角形有2故选．B
0≤2xyy2x）．4．已知正数、，则的最大值为（满足y2zx05x3y≥D C．A．B．．1686432B【答案】【解析】2
yAO
0≤xy2满足约束条件的平面区域如下图所示：x03y5≥0y2x，由得(1,2)A05x3y4yx2的最大值为．由图可知：当，时，1621x2y2z．故选B
3，则的长为（，且）．的面积为中，7．在，ABCABC△△BCA602AB2 3 ．CD．A．B．32322A
【答案】 3，，中，，且的面积为【解析】∵在ABC△ABC△A602AB2 31∴，sinABACA 22 313即，AC2 222解得：，1AC由余弦定理得：222，31A2ACBCABACABcos244
a）．，．等差数列5，，则此数列前项和等于（7824aaaaaa20n203119218D．．C．A．B220180160200B
2017-2018学年高二上期末数学试卷(含答案解析)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。
陕西省西安市西工大附中2017-2018学年高二上期末数学试题(理科)(无答案)
2017-2018学年度第一学期期末质量检测试卷高二数学(理)一、选择题(每小题3分,共36分)1.使不等式02-x -x 2＞成立的一个的充分不必要条件是( )A.x ≥0B.x ＜0或x ＞1C.{}5,3,1-x ∈D..x ≤-1或x ≥22.命题“()()n n n **≤∈∈∀f N n f N 且，”的否定形式是( ）A.()()n n *n n *＞且，f N f N ∉∈∀B.()()000*0n *n n ＞或，n f N f N ∉∈∃C.()()00*0*0n n n ≤∉∈∃f N n f N 且，D.()()n n n **≤∉∈∀f N n f N 或，3.已知向量a =(1,1,0),b =(-1,0,2),且b a k +与b -a 2互相垂直,则k=( ） A.1 B.51 C.53 D.57 4.已知A(-3,0)、B(3,4),动点P 满足|PA|-|PB|=5,则P 点的轨迹为( )A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一支D.一条射线5.已知F 为双曲线14y -x 22=的右焦点,过F 点向双曲线的渐近线作垂线,垂足为A,则|FA|的值为( ) A.54 B.4 C.2 D.与点A 的位置有关 6.抛物线2ax y =的准线方程为y=2,则a 的值为( ） A.81 B.81- C.8 D.-8 7.已知抛物线方程为x 4y 2=,直线l 的方程为4x-3y+16=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,P 到直线的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（ ）A.1653B.27 C.4 D.3 8.设P 是椭圆14y 5x 22=+上的的一点，21F F 、是两个焦点，若21PF F ∠=60°，则△21PF F 的面积是( ) A.34 B.334 C.332 D.32 9.己知直三棱柱ABC-111C B A 中,∠ABC=90°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ） A.23 B.1015 C.1010 D.33 10.过双曲线1y -ax 222=(a ＞0)的左焦点F 1作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若使得|AB|=3的直线恰有四条,则a 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2332， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛，，23320 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 11.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线px 2y 2=(p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.32 C.22 D.1 12.已知双曲线1by -a x 2222=(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)、F 2（c ，0），若双曲线上存在点P 满足1221sin c sin a F PF F PF ∠=∠,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.()121+， B.()31， C.()∞+，3 D.()∞++，12 二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知=(x,4,1)，=(-2,y,-1)，=(3,-2,z)，∥，⊥，则z=__________。
陕西省西安市雁塔区高新一中2017-2018学年高三上学期中考试数学(理)试题
高二数学试题（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|ln ,1A y y x x ==≥，{}|12,x B y t x ==-∈R 则A B = （ ）． A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(,1]-∞ D ．[0,)+∞【答案】B【解析】1x ≥时，ln ln10x =≥，故[0,)A =+∞， 因为20x >，所以121x -<，故(,1)B --∞， 故[0,1)A B = ． 故选B ．2．已知i 为虚数单位，复数12z =-+的共轭复数为z ，则||z z +=（ ）．A ．12-+B ．12-C ．12D ．12-【答案】B【解析】∵12z =-+的共轭复数为z ，∴12z =--，||1z =，则11||122z z z +=--+==． 故选B ．3．已知在m ，n ，1l ，2l 表示直线，α、β表示平面．若m α⊂，n α⊂，1l β⊂，2l β⊂，12l l M = ，则αβ∥的一个充分条件是（ ）．A ．m β∥且1l α∥B ．m β∥且n β∥C ．m β∥且2n l ∥D ．1m l ∥且2n l ∥【答案】【解析】由题意得，m ，n 是平面α内的两条直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线， 要使αβ∥，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可．故选D ．4．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（ ）．A ．《雷雨》只能在周二上演B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D ．四部话剧都有可能在周二上演【解析】由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》． 故选C ．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）．A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得0S =，2n =， 满足条件，12S =，4n =， 满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n =，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112， 故判断框中填写的内容可以是6n ≤． 故选C ．6．已知1sin cos 3αα-=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）．A ．118B ．19C ．1718D 【答案】C【解析】本题主要考查三角函数．因为1sin cos 3αα-=，故21(sin cos )12sin cos 9αααα-=-=，82sin cos 9αα=，所以22π117cos (12sin cos )4218ααααα⎫⎛⎫-====⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．7．已知ABC △的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P与ABC △的关系为（ ）． A ．P 在ABC △内部 B ．P 在ABC △外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在ABC △的AC 边的一个三等分点上 【答案】D【解析】∵PA PB PC AB ++= ， ∴PA PB PC PB PA ++=- ， ∴22PC PA AP =-= ，∴P 是AC 边的一个三等分点．故选D ． 8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）． A ．3π120- B ．3π20C ．3π120-D ．3π10【答案】A17，设内切圆的半径为r ，则81517r r -+-=，解得3r =， ∴内切圆的面积为2π9πr =， ∴豆子落在内切圆外部的概率19π3π11208152P -==-⨯⨯．故选A ．r815rr9．若实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则sin(2)z x y =+的最小值与最大值和是（ ）．A ．1sin 2+B ．sin 2C ．0D ．1【答案】D【解析】如图，可行域，∴2(0,2]x y +∈，∴sin(2)x y +的最小值为1，最大值为0． 故选D ．10．四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为（ ）．A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【答案】A【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P ABCD -的五个顶点位于 同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，设该正方体的棱长为a ，设处接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心， 设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG ，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为即正方体面对角线也是AG =， 所以正方体棱长2a =，∴Rt OGA △中，112OG a ==，AO =即外接球半径R = ∴外接球表面积为24π12πR =． 故答案为：12π．ODG ABCEF P11．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是1A ，2A ，1B ，2B ，焦点为1F ，2F ，延长12B F 与22A B 交于P 点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）．ABCD【答案】B【解析】由题意，1222B F A B ⊥， 1(0,)B b -，1(,0)F c ， 2(,0)A a ，2(0,)B b ， ∴12(,)B F c b =， 22(,)A B a b =-， 212220B F A B ca b ⋅=-+=，即222b ac a c ==-， 即2e 1e =-，2e e 10+-=，∴e =， 由椭圆0e 1<<，∴e =故选B ．12．定义：如果函数()f x 在[,]a b 上存在1x ，2x ，12()a x x b <<<，满足1()()()f b f a f x b a-'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-，则称数1x ，2x 为[,]a b 上的“对望数”，函数()f x 为[,]a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m =-+是[0,]m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．331,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(2,3)D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可知，在区间[0,]m 存在1x ，212(0)x x x m <<<， 满足1()(0)()f m f f x m-'=3213m m m -= 213m m =+， ∵321()3f x x x m =-+，∴2()2f x x x '=-，∴方程22123x x m m -=-在区间(0,)m 有两个解，令221()2(0)3g x x x m m x m =--+<<，则222444031()031()031m m g x m m g m m m m ⎧∆=+->⎪⎪⎪=-+>⎪⎨⎪=-->⎪⎪⎪>⎩，解得332m <<， ∴实数m 的取值范围是3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选D ．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校对高三年级一次考试进行抽样分析．如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[)96,98，[)98,100，[)100,102，[)102,104，[104,106]．已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是__________．【答案】90【解析】本题主要考查频率分布直方图．成绩小于100分的频率是(0.0500.100)20.300⨯=，频数是36，故样本容量是361200.300=人， 成绩大于或等于98分且小于104分的频率是(0.1000.1500.125)20.750⨯=， 所以成绩大于或等于98分且小于104分的人数是1200.75090⨯=．14．函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，的零点个数为__________．【答案】3【解析】①当1x ≤时，令2()10f x x =-=， 解得1x =或1x =-．②当1x >时，令2()log (1)0f x x =-=， 解得2x =，故函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的零点个数为3．故答案为：3．15．已知离心率为2的双曲线221(,)x y m n m n+=∈R 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn=__________． 【答案】13【解析】由题意可得1m n +=，4m n m +=，解得14m =，34n =，所以13m n =．16．在ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC =∠，则ABD S =△__________． 【答案】330 【解析】解：如图，由5sin 13B =，得12cos 13B =， 又∵3cos 5ADC =∠，∴3cos 5ADB =-∠，4sin 5ADB =∠，∴sin sin()BAD B BDA =+∠∠sin cos cos sin B BDA B BDA =+⋅∠∠53124135135⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 1548336565-+==， 由正弦定理得 33||sin sin AB BAD ADB=∠∠，∴4335||4135265AB ⨯==⨯=，∴1||||sin 2ABD S AB AD B =⋅⋅△∠153352213=⨯⨯⨯ 330=．33ABC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共70分）．17．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项为正数，且23269a a a =，3229a a =+． （1）求{}n a 的通项公式．（2）设31323log log log n n nb a a a =+++ ，若数列{}n b 的前n 和为n S ，求100S ． 【答案】见解析．【解析】（1）设数列N 的公比为q ，∵23269a a a =，即2242229a q a a q =⋅，解得29q =， 又0q >，则3q =，∵3229a a =+，即11969a a =+，解得13a =， ∴3n n a =．（2）31323log log log n a a a +++ 3123log n a a a a =⋅⋅1233log 3n ++++=(1)2n n +=， ∴(1)122n n n n b n ++==， ∴10010110012103002S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 18．（本题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）． （1）求这15名乘客的平均候车时间．（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数．（3）若从下表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【答案】见解析．【解析】（1）11(2.527.5612.5417.5222.51)157.710.5min 1515⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=． （2）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=， 所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人．（3）将第三组乘客编号为1a ，2a ，3a ，4a ，第四组乘客编号为1b ，2b ， 从6人中任选两人有包含以下15个基本事件： 12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ， 23(,)a a，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ， 31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以概率为815．19．（本题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，底面边长和侧棱长均为2，1A B （1）求证：平面11A BC ⊥平面1AB C ． （2）求四棱锥111A BCC B -的体积．ABCA 1B 1C 1【答案】见解析．【解析】（1）证明：取AC 的中点O ，1A O ，BO ， 因为ABC △是等边三角形，所以BO AC ⊥，因为侧面11A ACC ⊥底面ABC ，侧面11A ACC 底面ABC AC =，BO AC ⊥， 所以BO ⊥侧面1ACC A ，1AO ⊂侧面1ACC A ， ∴1BO AO ⊥， 在1Rt A BO △中，因为1A B =BO所以1AO 12AA =，1AO =， 所以22211AO AO AA +=， 所以1A AO △为直角三角形， 所以1AO AC ⊥，又BO AC ⊥，1AO BO O = ， 所以AC ⊥平面1A BO ，1A B ⊂平面1A BO ， 所以1A B AC ⊥，因为四边形11ABB A 为菱形， 所以11A B AB ⊥，因为1A B AC A = ，所以1A B ⊥平面1AB C ．DC 1B 1A 1CBAO（2）由（1）知，1AO ⊥底面ABC，1AO 所以三棱锥1A ABC -的体积为1113A ABC ABC V S AO -=⋅△11432=⨯⨯1=，所以四棱锥111A BB C C -的体积为2，过1C 作1C D AC ⊥交AC 的延长线于D ，连BD ，则1C D ⊥底面ABC ，11C D AO ==在1Rt C DC △，得1CD =，在BDC △中，22221221cos1207BD =+-⨯⨯⨯=°，∴BD =在1Rt BC D △中，得1BC菱形11BB C C 中，得1B C =所以菱形11BB C C设所求为h ，可得123h =，解得h =所以点1A 到平面11BB C C ．20．（本题满分12分）设函数 2()(1)e x f x ax x =+-，(0)a <． （1）讨论()f x 的单调性．（2）当1a =-时，函数()y f x =与3211()32g x x x m =++的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围．【答案】见解析．【解析】（1）∵2()(1)e x f x ax x =+-，∴2221()(21)e (1)e ((21))e e x x xx a f x ax ax x ax a x ax x a +⎛⎫'=+++-=++=+ ⎪⎝⎭，当12a =-时，()0f x '≤恒成立，故函数()f x 在R 上单调递减；当12a -<时，21a x a +-<时，()0f x '<；210a x a+-<<时，()0f x '>； 当0x >时，()0f x '<；故函数()f x 在21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 当102a -<<时，0x <时，()0f x '<，210a x a +-<<时，()0f x '>；当21a x a+->时，()0f x '<；故函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）当1a =时，23211()()(1)e 32xf xg x x x x x m ⎛⎫-=-+--++ ⎪⎝⎭，故23211(1)e 32xm x x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，令23211()(1)e 32xh x x x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，则22()()e ()(1)(e 1)x x h x x x x x x x '=-+-+=-++， 故当1x -<时，()0h x '<； 当10x -<<时，()0h x '>； 当0x >时，()0h x '<； 31(1)e 6h -=--，(0)1h =-，故311e 6m ---<<．21．（本题满分12分）已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M += ． （1）求椭圆的标准方程．（2）⊙O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ．当OA OB λ⋅= ，且满足2334λ≤≤时，求AOB △面积S 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵20PM F M +=，∴点M 是线段2PF 的中点， ∴OM 是12PF F △的中位线， 又∵12OM F F ⊥， ∴112PF F F ⊥，∴2222211112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得22a =，21b =，21c =，∴椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）∵圆O 与直线l 相切，1=，即221m k =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，222(12)4220k x kmx m +++-=，∵直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴222(4)4(12)(22)0km k m ∆=-+->， ∴20k >，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -⋅=+，∴2221212121221()()()12k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，212122112k OA OB x x y y k λ+⋅=+==+ ，∴222133124k k ++≤≤，∴2112k ≤≤， ABO S S =△1||12AB =⋅⋅12=12==设42u k k =+，则324u ≤≤，S =3,24u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∵S 关于u 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，34S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2(2)3S =，23S ≤． 22．（本题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知圆22:4O x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程．（2）设直线:220l x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m 过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，求直线m 的极坐标方程． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设曲线C 上任意一点(,)P x y ，则点(,2)Q x y 在圆O 上，∴22(2)4x y +=，即2214x y +=，∴曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（2）联立2222044x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩， 得(2,0)A -，(0,1)B ，∴线段AB 的中点N 的坐标11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线l 的倾斜角为α，则1tan 2α=，2122tan 42tan 211tan 314ααα⨯===--， ∴直线m 的方程为：41(1)32y x =++，即86110x y -+=，∴直线m 的极坐标方程为：8cos 6sin 110ρθρθ-+=．23．（本题满分10分）选修45-：不等式选讲在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的直角距离为1212(,)||||L P Q x x y y =-+-，已知点(,1)A x ，(1,2)B ，(5,3)C ．（1）若(,)(,)L A B L A C >，求x 的取值范围．（2）当x ∈R 时，不等式(,)(,)L A B t L A C +≤恒成立，求t 的最小值． 【答案】见解析．【解析】（1）由定义得|1|1|5|2x x -+-+>，即|1||5|1x x --->， 当5x ≥时，不等式化为41>，解得5x ≥； 当15x <<，不等式化为261x ->，解得752x <<； 当1x ≤时，不等式化为41->无解，故不等式的解集为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）当x ∈R 时，不等式|1|1|5|2x t x -++-+≤恒成立，也就是|1||5|1t x x ----≥恒成立，函数令()|1||5|f x x x =---，所以max ()4f x =， 4,126,154,5x x x x -⎧⎪=-⎨⎪⎩≤≤<>， 要使原不等式恒成立只要3t ≥即可，故min 3t =．。
2017-2018学年陕西省西安一中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年陕西省西安一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知全集U={0，1，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则∁U A∪B等于（）A. {0,1，8，10}B. {1,2，4，6}C. {0,8，10}D. ⌀2.函数y=x−1的定义域是（）A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)3.函数y=x2+2x-1在[0，3]上最小值为（）A. 0B. −4C. −1D. −24.函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A. (0,1)B. (0,3)C. (1,0)D. (3,0)5.在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）A. E，F，G，H一定是各边的中点B. G，H一定是CD，DA的中点C. BE：EA=BF：FC，且DH：HA=DG：GCD. AE：EB=AH：HD且BF：FC=DG：GC6.如图，在ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连结AC．在四面体A-BCD的四个面中，互相垂直的平面有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. 1+3B. 2+3C. 1+2D. 28.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中假命题的是（）A. 若m⊥α，m⊥β则α//βB. 若m//n，m⊥α，则n⊥αC. 若m//α，α∩β=n，则m//nD. 若m⊥α，m⊂β则α⊥β9.在空间直角坐标系中，若P（3，-2，1）则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为（）A. (−3,−2,−1)B. (3,2，1)C. (−3,2，−1)D. (3,−2,−1)10.某个几何体的三视图如图所示（单位：m），该几何体的体积为（）A. 8−23B. 8−43C. 8+4π3D. 8+2π311.以（2，1）为圆心且与直线y+1=0相切的圆的方程为（）A. (x−2)2+(y−1)2=4B. (x−2)2+(y−1)2=2C. (x+2)2+(y+1)2=4D. (x+2)2+(y+1)2=212.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（）A. 1B. 2C. 0D. −1二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.若函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是______．14.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为2，则其外接球的表面积是______．15.长宽高分别为5、4、3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，由顶点A沿其表面到顶点C1的最近距离为______．16.已知圆x2+y2=4，则圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点个数为______．2x−a,x≤0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．17.若函数f（x）=lnx,x>0三、解答题（本大题共4小题，共49.0分）18.已知函数f（x）=x2+1．x（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．19.如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1C⊥平面BDE．20.已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x-3y-3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．21.已知⊙C：x2+y2+2x-4y+1=0．（1）若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程．（2）从圆外一点P（x0，y0）向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={0，1，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，∴∁U A={0，1，8，10}，又∵集合B={1}，∴∁U A∪B={0，1，8，10}，故选：A由已知中全集U={0，1，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵x-1≥0，∴x≥1，故选D．利用被开方数大于等于0可解．本题主要考查二次根式函数的定义域，只需要被开方数大于等于0，属于基础题3.【答案】C【解析】解：y=x2+2x-1=（x+1）2-2，其图象对称轴为x=-1，开口向上，函数在区间[0，3]上单调递增，所以当x=0时函数取得最小值为-1．故选：C．通过函数图象可判断函数在区间[0，3]上的单调性，据单调性即可求得其最小值．本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，数形结合是解决该类问题的强有力工具．4.【答案】B【解析】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），故选：B．由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），可得函数y=a x+2图象一定过点（0，3），由此得到答案．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，BD∥平面EFGH，∴BD∥EH，BD∥FG，∴AE：EB=AH：HD且BF：FC=DG：GC．故选：D．由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，从而AE：EB=AH：HD且BF：FC=DG：GC．本题考查命题真假的判断，考查线面平行的性质定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵在ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，∴AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，∴根据面面垂直的判定定理得出：面ABC⊥平面BCD，面ACD⊥面ABD，∴在四面体A-BCD的四个面中，互相垂直的平面有3对，故选：C．运用2个图形得出，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，根据面面垂直的判定定理得出：面ABC⊥平面BCD，面ACD⊥面ABD，确定答案．本题考查了折叠问题，运用原来的几何体中的直线平面的为关系判断，关键是确定需要的直线，平面．7.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S=S△PAC+2S△PAB+S△ABC表面积=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8.【答案】C【解析】解：对于A，若m⊥α，m⊥β根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理得到α∥β；故A正确；对于B，若m∥n，m⊥α，根据线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理得到n⊥α；故B正确；对于C，若m∥α，α∩β=n，则m∥n异面或者相交；故C错误；对于D，若m⊥α，m⊂β根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；故D正确；故选C．利用线面垂直、线面平行的判定定理和性质定理对选项分别分析选择．本题考查了空间线面关系的判断；考查了空间想象能力；熟练掌握相关的定理是关键．解：设所求的点为Q（x，y，z），∵点Q（x，y，z）与点P（3，-2，1）关于平面xoz的对称，∴P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x=3，y=2，z=1，得Q坐标为（3，2，1）故选：B．根据空间直角坐标系中点两点关于坐标平面对称的规律，可得与点P（1，2，3）关于平面xoz的对称点，它的横坐标和竖坐标与P相等，而纵坐标与P互为相反数，因此不难得到正确答案．本题考查了空间点与点关于平面对称的知识点，借助于两点关于一个平面对称，已知其中一点坐标的情况下求另一点的坐标，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由已知可得已知的几何体是一个半球和正方体的组合体，其中上部的半球的半径为1，下部的正方体棱长为：2，=•π•12=π，则V半球=2×2×2=8，V正方体则V=8+π，故选：D．由已知中的三视图，判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．解：∵圆心到切线的距离d=r，即r=d=1+1=2，圆心C（2，1），∴圆C方程为（x-2）2+（y-1）2=4．故选A．根据题意得圆心到切线的距离即为圆的半径，利用点到直线的距离公式求出，写出圆的标准方程即可．此题考查了圆的标准方程，求出圆的半径是解本题的关键．12.【答案】C【解析】解：∵四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，∴△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0．故选：C．由已知得四边形OAMB为菱形，弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，由此能求出结果．本题考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．13.【答案】a≤-3【解析】解：二次函数的对称轴为：x=1-a∵函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是减函数∴1-a≥4解得a≤-3利用二次函数的对称轴公式求出二次函数的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令1-a≥4求出a的范围．解决二次函数的有关问题：单调性、最值首先要解决二次函数的对称轴与所给区间的位置关系．14.【答案】12π【解析】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长均为2，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，所以求出正方体的对角线的长为：2×，所以球的直径是2，半径为，所以球的表面积为：4π×（）2=12π．故答案为：12π．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长均为2，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题．15.【答案】74【解析】解：从A点沿不同的表面到C1，其距离可采用将长方体展开的方式求得，分别是=，=4，=3∴从A点沿表面到C 1的最短距离为．根据题意，画出三种展开的图形，求出A、C1两点间的距离，比较大小，从而找出最小值即为所求．本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：圆x2+y2=4，是一个以（0，0）为圆心，以2为半径的圆．圆心到3x-4y+5=0的距离为d==1，所以圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点个数为3．故答案为：3．由圆x2+y2=4，得到圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个点．本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，以及数形结合思想．17.【答案】（0，1]【解析】解：当x＞0时，由f（x）=lnx=0，得x=1．∵函数f（x）有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f（x）=2x-a还有一个零点，令f（x）=0得a=2x，∵0＜2x≤20=1，∴0＜a≤1，∴实数a的取值范围是0＜a≤1．故答案为：（0，1]．由f（x）=lnx=0，得x=1．由题意得，当x≤0时，函数f（x）=2x-a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．本题考查指数函数的单调性和运用，考查对数的性质及应用，函数的零点问题，属于基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x2+1x，则f（-1）=0，f（1）=2；则有f（-1）≠-f（1），且f（-1）≠f（1）；则f（x）为非奇非偶函数；（Ⅱ）根据题意，f（x）在[2，+∞）上为增函数．证明：设x1＞x2≥2，则f（x1）-f（x2）=（x12+1x1）-（x22+1x2）=（x1+x2）（x1-x2）+x2−x1x1x2=（x1-x2）（x1+x2-1x1x2），又由x1＞x2≥2；则x1-x2＞0，x1x2＞4，1 x1x2＜1，x1+x2-1x1x2＞0，则f（x1）＞f（x2）；故f（x）在[2，+∞）上为增函数．【解析】（1）根据题意，利用函数的解析式可得f（-1）=0，f（1）=2，则有f（-1）≠-f（1），且f （-1）≠f（1）；结合函数的奇偶性分析可得答案；（2）根据题意，设x1＞x2≥2，利用作差法分析可得结论．本题考查函数奇偶性以及单调性的判断，关键是掌握函数的奇偶性、单调性的定义．19.【答案】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，∵E，F分别是B1C，BC的中点，∴EF−//12BB1，又D是AA1的中点，∴AD−//12AA1−//12BB1，∴EF−//AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，又DE⊄平面ABC，AF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．（2）∵△ABC是正三角形，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，又BB1∩BC=F，∴AF⊥平面BCB1，∴AF⊥B1C，又AF∥DE，∴DE⊥B1C，∵BB1=BC，E是B1C的中点，第11页，共13页第12页，共13页 ∴BE ⊥B 1C ，又BE ∩DE =E ，∴B 1C ⊥平面BDE ．【解析】（1）取BC 中点F ，连结EF ，AF ，通过证明四边形ADEF 是平行四边形得出DE ∥AF ，故而DE ∥平面ABC ；（2）证明AF ⊥平面B 1BC 得出AF ⊥B 1C ，故而DE ⊥B 1C ，结合BE ⊥B 1C 得出B 1C ⊥平面BDE ．本题考查了线面平行和线面垂直的判定，属于中档题．20.【答案】（12分）解：（1）∵CE ⊥AB ，且直线CE 的斜率为−43，∴直线AB 的斜率为43，∴直线AB 的方程为y +3=34(x +1)，即3x -4y -9=0．…（6分）（2）设D （a ，b ），则C （2a +1，2b +3），∴ 4(2a +1)+3(2b +3)−7=0a−3b−3=0，解得 b =−1a =0， ∴D （0，-1），C （1，1）．…（12分）【解析】（1）由CE ⊥AB ，且直线CE 的斜率为，得直线AB 的斜率为，由此能求出直线AB 的方程．（2）设D （a ，b ），则C （2a+1，2b+3），列出方程组，能求出点C 的坐标．本题考查直线方程、点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．21.【答案】解：⊙C ：（x +1）2+（y -2）2=4，圆心C （-1，2），半径r =2， （1）若切线过原点设为y =kx ，则1+k 2=2， 解得：k =0或43，若切线不过原点，设为x +y =a ，则2=2，解得：a =1±2 2， 则切线方程为：y =0，y =43x ，x +y =1+2 2和x +y =1-2 2；第13页，共13页 （2）∵|PM |=|PO |，即 x 02+y 02+2x 0−4y 0+1= x 02+y 02， ∴2x 0-4y 0+1=0，对于|PM |= x 02+y 02+2x 0−4y 0+1= 5y 02−2y 0+14， ∵P 在⊙C 外，∴（x 0 +1）2+（y 0-2）2＞4，将x 0=2y 0-12代入得5y 02-2y 0+14＞0，∴当y 0=15时，5y 02-2y 0+14最小，此时|PM |最小，x 0=2y 0-12=-110， ∴|PM |min=120，此时P （-110，15）．【解析】将圆C 的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，（1）分两种情况：当切线过原点时设为y=kx ，由圆心到切线的距离等于圆的半径列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值；当切线不过原点时，设为x+y=a ，同理求出a 的值，即可确定出切线方程；（2）根据|PM|=|PO|，利用两点间的距离公式列出关系式，得到x 0与y 0的关系式，用y 0表示出x 0，代入|PM|中，利用二次函数的性质求出|PM|最小时y 0的值，进而确定出x 0的值，即可确定出此时P 的坐标．此题考查了圆的切线方程，圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．。
陕西省西安市雁塔区高新三中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题
西安高新第三中学2017-2018学年第一学期高二年级期中教学质量检测数学（文）试卷一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．已知_，_，则_是_的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由_，即_，即_，即_，由_，得_，即_，则_是_的充分不必要条件．故选_．2．曲线_与曲线_的（）．A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【答案】D【解析】曲线_表示焦点在_轴上，长轴长为_，短轴长为_，离心率为_，焦距为_．曲线_表示焦点在_轴上，长轴长为_，短轴长为_，离心率为_，焦距为_．对照选项，则_正确．故选_．3．抛物线_的焦点坐标是（）．A．_B．_C．_D．_【答案】A【解析】整理抛物线方程得_，_，∴焦点坐标为_．故选_．4．曲线_在点_处的切线方程是（）．A．_B．_C．_D．_【答案】D【解析】本题主要考查导数的几何意义．由题意，曲线_，∴_，∴_，_，故在点_处的切线斜率为_，那么由点斜式方程表示为_，整理_，即_．故选_．5．与圆_及圆_都外切的圆的圆心在（）．A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上【答案】B【解析】设动圆的圆心为_，半径为_，而圆_的圆心为_，半径为_；圆_的圆心为_，半径为_．依题意得_，_，则_，所以点_的轨迹是双曲线的一支．故选_．6．设椭圆的两个焦点分别为_、_，过_作椭圆长轴的垂线交椭圆于丹_，若_为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）．A．_B．_C．_D．_【答案】D【解析】设椭圆的方程为_，设点_，则_，_，∴_，由题意得_，_，_中，_，∴_，_，∴_，综上所述：答案为_．故选_．7．已知点_是曲线_上任意一点，则点_到直线_的距离的最小值是（）．A．_B．_C．_D．_【答案】D【解析】由题意作图如下，_当点_是曲线的切线中与直线_平行的直线的切点时，最近；故令_解得，_；故点_的坐标为_；故点_到直线_的最小值为_．故选_．8．平面内有一长度为_的线段_和一动点_，若满足_，则_的取值范围是（）．A．_B．_C．_D．_【答案】C【解析】动点_的轨迹是以_，_为左，右焦点，定长_的椭圆，∵_，∴_，∴_，∵_为椭圆长轴端点时，_分别取最大，最小值，∴_，_，∴_的取值范围是：_．故选_．9．已知_、_分别为椭圆_的左、右焦点，椭圆的弦_过焦点_，若直线_的倾斜角为_，则_的周长为（）．A．_B．_C．_D．随_变化而变化【答案】C【解析】由椭圆的定义可得：_，_，∴_的周长为_．故选_．10．曲线_在_点处的切线平行于直线_，则_点坐标为（）．A．_B．_C．_和_ D．_和_【答案】C【解析】因为直线_的斜率为_，且切线平行于直线_，所以函数在_处的切线斜率_，即_．因为函数的导数为_，由_，解得_或_．当_时，_，当_时，_．所以_的坐标为_或_．故选_．11．若方程_表示双曲线，则实数_的取值范围是（）．A．_B．_C．_或_D．以上答案均不对【答案】B【解析】由题意知_，解得_．故选_．12．已知双曲线_的焦点为_、_，点_在双曲线上，且_轴，则_到直线_的距离为（）．A．_B．_C．_D．_【答案】C【解析】如图所示．_∵_，∴_．∵_轴，∴_，∴_．∵_，∴_，在_中，_，由等积法可得_，∴_．故选_．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在下列四个命题中，正确的有__________．（填序号）①若_是_的必要不充分条件，则非_也是非_的必要不充分条件．②“_”是“一元二次不等式_的解集为_”的充要条件”．③“_”是“_”的充分不必要条件．④“_”是“_”的必要不充分条件．【答案】①②④【解析】①∵_是_的必要不充分条件，∴_，∴_，∴_也是_的必要不充分条件，故①正确；②∵“_”_“一元二次不等式_的解集为_”的充要条件，∴“_”是“一元二次不等式_的解集为_”的充要条件．故②正确；③“_”不能推出“_”反例：_，“_”_“_，或_”，故“_”是“_”的不充分不必要条件，故③错误；_推不出_，反例_．但_，∴“_”是“_”的必要不充分条件．故④正确．故答案为：①②④．14．已知自由下落物体的路程为_，则物体在_时刻的瞬时加速度为__________．【答案】_【解析】因为物体运动过程中的瞬时速度是位移关于时间的函数的导数，所以只需求导，再求_的导数即可．∵_，∴_，∴物体在_时刻的瞬时速度为_，故答案为_．15．过抛物线_的焦点，作倾斜角为_的直线交抛物线于_、_两点，_为坐标原点，则_的面积为__________．【答案】_【解析】设_，_，则_．过抛物线_的焦点_，倾斜角为_的直线为_，即_，代入_得：_，即_，∴_，_，∴_，∴_．故答案为：_．16．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为_，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是_，_，则卫星轨道的离心率___________．【答案】_【解析】_椭圆的离心率：_，（_，半焦距；_长半轴），所以只要求出椭圆的_和_，由题意，结合图形可知，_，___．所以___．综上所述，答案为_．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（_分）命题_“方程_有两个相异负根”，命题_“方程_无实根”，若_为真，_为假，试求实数_的取值范围．【答案】见解析．【解析】若_真，则_，解得：_；若_真，则_，解得：_；∵_或_为真，_且_为假，∴_与_一真一假，当_真_假，解得_；当_假_真，解得_．综上所述，_或_．18．（_分）已知曲线_，求：（_）与直线_平行的曲线的切线方程．（_）求过_且与曲线相切的直线的方程．【答案】见解析．【解析】解：（_）若切线与直线_平行，则切线的斜率_，∵_得导数_，由_，得_，则_，即切点坐标为_，则曲线的切线方程为_，即_．（_）设切点_，则_，∴切线方程为：_，将点_代入可得_，即_，∴_，当直线为_时，直线_也与_相切．∴直线方程为：_或_．19．（_分）求证：_是等边三角形的充要条件是_，这里_，_，_是_的三条边．【答案】见解析．【解析】证明：（_）充分性：如果_，则_，所以_，所以_，_，_，即_．所以_是等边三角形．（_）必要性：如果_是等边三角形，则_．所以_，所以_，所以_，综上可知：_是等边三角形的充要条件是_．20．（_分）已知_，求方程_所表示的曲线．【答案】见解析．【解析】①当_时，_，曲线_即_．②当_时，_，曲线_．③当_时，_，曲线_表示椭圆．④当_时，_，曲线_表示双曲线．21．（_分）点_是椭圆_上的一点，_、_是左右焦点，_，求_的面积．【答案】见解析．【解析】解：由_，得_，_，_．根据椭圆定义，有_．在_中，由余弦定理，得到_，即_，_，计算得出_．_的面积为：_．22．（_分）在平面直角坐标系中，已知曲线_上任意一点_到两个定点_和_的距离之和为_．（_）求曲线_的方程．（_）设过_的直线_与曲线_交于_、_两点，以线段_为直径作圆，试问：该圆能否经过坐标原点？若能，请写出此时直线_的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（_）根据椭圆的定义，可知动点_的轨迹为椭圆，其中_，_，则_，所以动点_的轨迹方程为_．（_）当直线_的斜率不存在时，不满足题意．当直线_的斜率存在时，设直线_的方程为_，设_，_，若_，则_．∵_，_，∴_．∴_，①由方程组_，得_，_，∴_．②则_，_，代入①，得_，即_，∴_或_，满足②式，所以，存在直线_，其方程为_或_．。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析)
陕西省西安市长安一中2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学试题（文科）一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是( ) A. 若α≠4π，则tanα≠1 B. 若α=4π，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠4π D. 若tanα≠1，则α=4π 【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( ) A. 抽签法 B. 系统抽样法C. 分层抽样法D. 随机数法【答案】C 【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C考点：本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.3.双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A. 2B. 1C.D.【答案】D 【解析】不妨取双曲线的顶点2,0（），双曲线的一条渐近线12y x =，由点到直线的距离公式得5d ==，故选D.4.设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A. 2e B. eC.1ln 22D. 2ln 2【答案】B 【解析】()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B.5.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x 1，x 2，…，x n 的平均数 B. x 1，x 2，…，x n 的标准差 C. x 1，x 2，…，x n 的最大值 D. x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．6.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 【答案】B【解析】【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴5662657074596167657855x+++++++++=，解得x＝3．故选B．【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错； 对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确； 对于选项C ，D ，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题. 8.根据如下样本数据 x 345678y 4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A. 0,0a b >< B. 0,0a b >>C. 0,0a b <<D. 0,0a b <>【答案】A 【解析】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以．考点：1．散点图；2．线性回归方程；9.“1a =”是“22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当1a =时，22cos sin =cos 2y ax ax x =-，所以周期为2==2T ππ，当22cos sin =cos2ax y ax ax =-的最小正周期为π时，2aππ= ，所以1a =±，因此“1a =”是“22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件.故选A.10.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像，则下列判断正确的是（ ）A. 在区间()2,1-上，()f x 是增函数B. 在区间()1,3上，()f x 是减函数C. 在区间()4,5上，()f x 是增函数D. 2x =时，()f x 取到极小值 【答案】C 【解析】根据导函数的图象可知，当在区间()4,5上时，()0f x '> ，所以()f x 是增函数，故选C. 11.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥0．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ￢∧C. p q ∧￢D. p q ∧￢￢【答案】B 【解析】【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题p ：∃x=0∈R ，使x 2-x+1≥0成立． 故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立，故命题q 为假命题， 故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题；命题p ∧￢q 为真命题， 故选B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．12.【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A. 221412x y -=B. 221124x y -=C. 2213x y -=D. 2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.13.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A. 0.852 B. 0.8192C. 0.8D. 0.75【答案】D 【解析】 【分析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,即可求得答案. 【详解】射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,∴ 射击4次至少击中3次的概率约为510.7520-=, 故选:D.【点睛】本题考查了根据随机模拟的方法估计概率,解题关键是掌握随机模拟的方法估计概率的方法,考查了分析能力,属于基础题.14.若函数()f x 满足()()2(x f x f x xe e ='-为自然对数底数），(0)1,f =其中()f x '为()f x 的导函数，则当0x >时，()()f x f x '的取值范围是（ ） A. ](,2-∞ B. (]0,2C. ](1,2D. ](2,3【答案】C 【解析】 由题意，构造函数()xf x y e =，则()=2xf x x e'（），所以2()x f x x b e=+，2()()x f x x b e =+，(0)1,1f b =∴=，因此22()(1),()(1)xxf x x e f x x e '=+=+，2()21()1f x xf x x =++'，当0x >时，221121xx <+≤+，当且仅当1x =时，等号成立，故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.15.记函数()f x =的定义域为D ,在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是________． 【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是()()325549--=--，故答案为59. 16.若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1(,)9-+∞ 【解析】【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为 22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．17.设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.【答案】12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x +=，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 18.已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 【答案】3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】∵4e 1x y =+，∴224e 4e 41(e 1)e 2e 1e 2e x x x x x x xy ---===+++++'. ∵e x >0，∴1e 2e xx +≥，当且仅当1e e xx=，即x ＝0时等号成立． ∴y ′∈[−1，0)，∴tanα∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.三、解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率． 【答案】（1）15P = ；（2）29P = 【解析】试题分析：利用列举法把试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率.试题解析：（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==. （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =. 【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.20.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切．(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f(x)在上的最大值．【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.（2）f (x )max ＝12-.【解析】 【分析】（1）对f (x )进行求导()'fx ， 欲求出切线方程，只需求出其斜率即可，故先利用导数求出在1x =处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于a ，b 的方程求解即可；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值.【详解】(1)f ′(x )＝－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切，∴'(1)211(1)2f a b f b =-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩解得(2)由(1)知，f (x )＝ln x －x 2，f ′(x )＝－x ＝，当≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[，1)上是增加的，在(1，e]上是减少的， ∴f (x )max ＝f (1)＝－点睛：本题主要考查函数单调性的应用，利用导数研究曲线上某点的切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想.21.某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： [20,30),[30,40),[80,90]⋯ ，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】(1)0.4. (2)20人.(3) 3:2. 【解析】【详解】分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于70的频率，进而得到 分数小于70的概率；(2)根据题意，根据样本中分数不小于50的频率为0.9，求得分数在区间[40,50)内的人数为5人，进而求得总体中分数在区间[40,50)内的人数；（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为60人，求得样本中分数不小于70的男生人数，即可求解.详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为 (0.02+0.04)×10=0.6 ,样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4 (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为()0.010.020.040.02100.9+++⨯=，分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯= 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2= 点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.22.设椭圆2221(3)3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】(1) 椭圆方程为22143x y +=;(2) 直线l 的斜率的取值范围为66(,][,)-∞-+∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，由113e OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用222a c b -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H ，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（Ⅰ）解：设(c,0)F ，由113e OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（Ⅰ）知，，设，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k k BF k k -=++.由，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在MAO 中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．23.已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a =-+-∈R .（1）若对任意()0,x ∈+∞，恒有不等式()()12f x g x ≥，求a 的取值范围； （2）证明：对任意()0,x ∈+∞，有12ln e e x x x>-. 【答案】（1）(],4-∞；（2）见解析 【解析】【详解】（1）当0x >时，()()()2113ln 32ln 22f x g x x x ax a x x x≥⇔≥-+-⇔≤++. 令()()32ln 0h x x x x x=++>. 则()min a h x ≤. 由()()()231x x h x x +'-=，知函数()h x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.所以，()()min 14h x h ==. 故a 的取值范围是(],4-∞. （2）要证12ln e e x x x >-，只要证()2ln e ex x f x x x =>-. 由()ln 1f x x ='+，知()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 于是，当0x >时，()11e e f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. ①令()()20e e x x x x ϕ=->. 则()1ex xx ϕ='-.所以，()()11ex ϕϕ≤=-. ②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当0x >时，()()f x x ϕ>，即12ln e e x x x>-。
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2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题绐出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（3分）复效z满足，i为虚数单位，则为（）A．B．C．D．2．（3分）下列结论中正确的是（）A．若直线l与平面a内无数条直线平行，则l一定与a平行B．若直线l写平面α垂直，则l一定垂直于直于α内意一条直线C．若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α一定平行于βD．空间中，经过三点一定可以确定一个平面3．（3分）由抛物线y=x2与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（）A．8B．C．D．44．（3分）已如直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角形，则m=（）A．2或14B．2C．14D．15．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）7．（3分）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y| 8．（3分）若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3﹣3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是（）A．1B．C．1或D．1或﹣9．（3分）如果函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在区间[0，]上递增，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）10．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若∠PBQ=∠PBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0，l2：6x+（2m﹣1）y=5，若l1∥l1，则实数m等于．12．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．13．（4分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为．14．（4分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC=1，AB=3，BC=，，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC．PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求三棱锥P﹣MAC的体积．16．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）求二面角D﹣BF﹣C的平面角的正弦值．17．（12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值．18．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．请考生在19、20两题中任选一题[极坐标与参数方程]19．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．[不等式选讲]20．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|；（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|有实数解，求实数a的取值范围．六、附加题21．设点P（x1，y2）在椭圆上，点Q（x2，y2）在直线x+2y﹣8=0上，求：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|最小值．22．已知α、β均为锐角，满足sin2α+sin2β=sin（α+β），求α+β的值．2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题绐出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（3分）复效z满足，i为虚数单位，则为（）A．B．C．D．【解答】解：由，得z=（z﹣i）i=zi+1，∴z=，∴．故选：B．2．（3分）下列结论中正确的是（）A．若直线l与平面a内无数条直线平行，则l一定与a平行B．若直线l写平面α垂直，则l一定垂直于直于α内意一条直线C．若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α一定平行于βD．空间中，经过三点一定可以确定一个平面【解答】解：对于A，直线l与平面a内无数条直线平行，则l不一定与a平行，可能直线l在平面a内；对于B，若直线l与平面α垂直，则l一定垂直于直于α内任意一条直线，正确；对于C，若平面α与平面β均垂直于平面γ，则α不一定平行于β，比如墙角，α和β相交；对于D，空间中，经过不共线的三点一定可以确定一个平面，则D不正确．故选：B．3．（3分）由抛物线y=x2与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（）A．8B．C．D．4【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（2，4），∴所求的封闭图形的面积为S==（x2﹣）=4﹣=，故选：C．4．（3分）已如直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角形，则m=（）A．2或14B．2C．14D．1【解答】解：由题意得△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（m，0）到直线2x+my﹣8=0的距离d=rsin45°，即=，整理得m2﹣16m+28=0，解得m=2或14．故选：A．5．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．6．（3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）【解答】解：由已知中函数f（x）的图象可得：当x＜﹣1时，函数为增函数，此时f′（x）＞0，x2﹣2x﹣3＞0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，函数为减函数，此时f′（x）＜0，x2﹣2x﹣3＜0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；当x＞1时，函数为增函数，此时f′（x）＞0；当1＜x＜3时，x2﹣2x﹣3＜0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＜0，当x＞3时，x2﹣2x﹣3＞0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；综上可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：C．7．（3分）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|【解答】解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2|y|，故（A）错误．由z2 =x2﹣y2+2xyi，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．故选：D．8．（3分）若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3﹣3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是（）A．1B．C．1或D．1或﹣【解答】解：设直线l：y=kx．∵y′=3x2﹣6x+2，∴y′|x=0=2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x3﹣3x2+2相切于原点时，k=2．直线l的方程为2x﹣y=0若直线与曲线f（x）=x3﹣3x2+2x切于点（x0，y0）（x0≠0），则k=，∵y0=x03﹣3x02+2x0，∴=x02﹣3x0+2，又∵k=y′|_x=x0=3x02﹣6x0+2，∴x02﹣3x0+2=3x02﹣6x0+2，∴2x02﹣3x0=0，∵x0≠0，∴x0=，∴k=x02﹣3x0+2=﹣，直线l的方程为x+4y=0．直线l的方程为2x﹣y=0与y=x2+a联立，可得x2﹣2x+a=0，其中△=0，即（﹣2）2﹣4a=0，解得a=1；直线l的方程为x+4y=0与y=x2+a联立，可得x2+x+a=0，其中△=0，即（）2﹣4a=0，解得a=．故选：C．9．（3分）如果函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在区间[0，]上递增，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）【解答】解：由题意得，f′（x）=1﹣cos2x+acosx，∵函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在区间[0，]上递增，∴函数f′（x）≥0在区间[0，]上恒成立，则1﹣cos2x+acosx≥0，即﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（0≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，∵y=4t﹣在（0，1]递增，∴t=1时，取得最大值﹣1，即3a≥﹣1，解得a≥，综上可得a的范围是[）．故选：C．10．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若∠PBQ=∠PBD，则动点Q的轨迹所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：∵∠PBQ=∠PBD，∴∠PBQ是定值，∵平面DCC1D1∥BP，∴动点Q的轨迹所在曲线为双曲线，故选：C．二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0，l2：6x+（2m﹣1）y=5，若l1∥l1，则实数m等于﹣．【解答】解：∵两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0，l2：6x+（2m﹣1）y=5，l1∥l1，∴，解得m=﹣．实数m等于﹣．故答案为：﹣．12．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为3+．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方体，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是2，∴该几何体的表面积包括5部分，S=1×1+2××2×1+2×××1=3+，故答案为：3+．13．（4分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：由题意知，|AF1|﹣|AF2|=2a，又|AF1|=3|AF2|，∴|AF1|=3a，|AF2|=a，∵∠F1AF2=90°，∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，，即（3a）2+a2=2c2，即5a2=2c2∴e=．故答案为：．14．（4分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC=1，AB=3，BC=，，则该三棱锥外接球的表面积为10π．【解答】解：底面△ABC，AC=b=1，AB=c=3，BC=a=，由余弦定理：可得cosA=，即A=60°．正弦定理：2r==∴r=．∵PA⊥底面ABC，∴球心与圆心的距离为AP=球心与圆心接线垂直，构成直接三角形：∴R2=，∴R2=．该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=10π．故答案为：10π．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC．PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求三棱锥P﹣MAC的体积．【解答】证明（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．解（2）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，∵PM=CN且PM∥CN，∴MN∥PC，从而MN⊥平面ABC，作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，从而∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角，直线AM与直线PC所成的角为60°，∴∠AMN=60°，在△ACN中，由余弦定理得AN=．在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=1．在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=，=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN=．∴PCMN为正方形．∴V P﹣MAC16．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）求二面角D﹣BF﹣C的平面角的正弦值．【解答】（1）证明：取CD中点N，连结MN、FN，因为N，M分别为CD，BC 中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，所以FN∥平面BDE，又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．（2）解：取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz由题意得，A（2，0，0），，，D（﹣2，0，0），，.，，，设平面BDF的法向量为则，即令x=1，则，z=0所以．设平面BCF的法向量为则，即令z=1，则y=2，x=0所以．∴．二面角D﹣BF﹣C平面角的正弦值为．17．（12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值．【解答】解：（1）由题意可知a=2b且，∴a=2，b=1，…2分∴椭圆的方程为；（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2=k1k2=∴﹣4k2m2+m2=0，∴k=，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，）∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2∴|OA|2+|OB|2==[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，∴|OA|2+|OB|2是定值为5．…（3）S=|AB|d====1，当且仅当m=±1时，S的最大值为1．18．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…（1分）因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2分）当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…（3分）当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…（1分）令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…（2分）故时，函数g（x）取得最大值．…（3分）因而函数有零点，则．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…（6分）于是，当a≥时，．①…（7分）令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…（8分）于是，当x＞0时，．②…（9分）显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…（10分）因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…（11分）所以，即．…（12分）请考生在19、20两题中任选一题[极坐标与参数方程]19．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．【解答】解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为：=4，展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，∴t1+t2=﹣2cosφ，t1t2=﹣3．∴|MN|=|t1﹣t2|==2，∵φ∈[0，]，∴cosφ∈，cos2φ∈．∴|MN|∈．[不等式选讲]20．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|；（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f （x ）的最大值为|a +6|， ∴或，解得：a ≥﹣．六、附加题21．设点P （x 1，y 2）在椭圆上，点Q （x 2，y 2）在直线x +2y ﹣8=0上，求：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|最小值． 【解答】解：①取x 1=x 2∈[0，2]，则y 1=，y 2=（8﹣x 2）=（8﹣x 1），则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|=|y 1﹣y 2|=（8﹣x 1）﹣=4﹣（x 1+），令（），则|y 1﹣y 2|=4﹣（）=4﹣2sin （）≥4﹣2=2．②取y 1=y 2∈[0，]，则，x 2=8﹣2y 2，则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|=|x 1﹣x 2|=8﹣2y 1﹣=8﹣（2y 1+），令y 1=sinθ，（θ∈[0，]），则|x 1﹣x 2|=8﹣（2sinθ+2cosθ）=8﹣4sin （）≥4．综上可得：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|的最小值是2．22．已知α、β均为锐角，满足sin 2α+sin 2β=sin （α+β），求α+β的值．【解答】解：α、β均为锐角，满足sin 2α+sin 2β=sin （α+β），即sin 2α+sin 2β=sinαcosβ+cosαsinβ，∴sinα（sinα﹣cosβ）+sinβ（sinβ﹣cosα）=0 ①． 若sinα﹣cosβ＞0，即sinα＞cosβ=sin （﹣β），∴α＞﹣β，即β＞﹣α，∴sinβ＞sin（﹣α）=cosα，即s inβ﹣cosα＞0，此时，①不成立． 若sinα﹣cosβ＜0，即sinα＜cosβ=sin （﹣β），∴α＜﹣β，即β＜﹣α，∴sinβ＜sin （﹣α）=cosα，即sinβ﹣cosα＜0，此时，①不成立． 故有sinα=cosβ=sin （﹣β），∴α=﹣β，∴α+β=．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。