2015广东省东莞市高一上期末数学试卷A卷解析版
广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高一上学期期初数学试卷 Word版含解析
2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高一（上）期初数学试卷一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}4．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）5．已知y=f（x），x∈（﹣a，a），F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数6．函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A．B．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0C．f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）D．7．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣1），f （π），f（﹣3.14）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣1）B．f（π）＞f（﹣1）＞f（﹣3.14）C．f（π）=f（﹣3.14）＜f（﹣1）D．f（π）＜f（﹣1）＜f（﹣3.14）9．设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣，0]∪（1，+∞）B．[0，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，0]∪（2，+∞）10．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则g（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．311．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f （x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16 二．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．13．已知集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＜a}；若A⊆B，求实数a的取值范围．14．设函数f（x）满足＞0 （x1≠x2）且f（m）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是．15．若函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=．16．设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为．三．解答题(共6个小题，共70分）17．已知A⊆M={x|x2﹣px+15=0，x∈R}，B⊆N={x|x2﹣ax﹣b=0，x∈R}，又A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求实数p、a、b的值．18．已知集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|x＜﹣1或x＞16}，根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A⊆（A∩B）．19．已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=0，且f（﹣1﹣x）=f（x），令g（x）=f（x）﹣|x﹣1|．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的最小值．20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．21．已知：f（x）=，x∈（0，+∞）（1）若b≥1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；（2）是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列二个条件：①在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数；②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．3．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩C U M，又C U M={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩C U M={x|1＜x≤2}．故选：C．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题．4．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案【解答】解：由f（x）=x2+ax+，得f′（x）=2x+a﹣=，令g（x）=2x3+ax2﹣1，要使函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．5．已知y=f（x），x∈（﹣a，a），F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由于F（x）的定义域关于原点对称，且满足F（﹣x）=F（x），可得F（x）是偶函数．【解答】解：∵x∈（﹣a，a），F（x）=f（x）+f（﹣x），∴F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F （x），故F（x）是偶函数，故选B．【点评】本题主要考查对数函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．6．函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A．B．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0C．f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解答】解：f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），则当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），此时满足，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，，当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），此时满足，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，，故不正确的是C，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的应用，要求熟练掌握函数单调性的几种等价形式．7．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣1），f （π），f（﹣3.14）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣1）B．f（π）＞f（﹣1）＞f（﹣3.14）C．f（π）=f（﹣3.14）＜f（﹣1）D．f（π）＜f（﹣1）＜f（﹣3.14）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数的单调性以及奇偶性判断求解即可．【解答】解：偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，f（﹣1）=f（1），f（﹣3.14）=f（3.14），所以，f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣1），故选：A．【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．9．设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣，0]∪（1，+∞）B．[0，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，0]∪（2，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】当x＜g（x）时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25，其值域为：[﹣2.25，0]．由此能得到函数值域．【解答】解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，∴其最小值为f（﹣1）=2，其最大值为+∞，因此这个区间的值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25其最小值为f（0.5）=﹣2.25，其最大值为f（2）=0因此这区间的值域为：[﹣2.25，0]．综合得：函数值域为：[﹣2.25，0]U（2，+∞），故选D．【点评】本题考查f（x）的值域的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．10．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则g（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，利用函数的奇偶性可得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，即可得出．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）．∵f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，∴2g（x）=﹣2x3，即g（x）=﹣x3，∴g（﹣1）=1．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】不等式即＞0，即xf（x）＞0，数形结合可得x的范围．【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，故f（x）的图象如图所示：则不等式＞0，即＞0，即xf（x）＞0，∴﹣1＜x＜0，或0＜x＜1，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f （x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16【考点】函数的值域．【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．二．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．13．已知集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＜a}；若A⊆B，求实数a的取值范围{a|a≥2} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】通过画图，要使集合B包含集合A，观察图象即可解得．【解答】解：结合图象可知，∵A⊆B∴a值所对应的点必须要在2的右侧即a≥2故答案为{a|a≥2}【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，也是高考常会考的题型．14．设函数f（x）满足＞0 （x1≠x2）且f（m）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】判断函数的单调性，利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）满足＞0 （x1≠x2），可知函数是增函数，f（m）＞f（2m﹣1），可得m＞2m﹣1，解得m∈（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．15．若函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=﹣15．【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据题意，由f（x）是奇函数，可得g（﹣1）=﹣f（1），计算可得g（﹣1）=﹣3，进而可得f（g（﹣1））=﹣f（3），由x≥0时f（x）的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）=g（x），f（x）为奇函数，g（﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12+2×1）=﹣3，则f（g（﹣1））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32+2×3）=﹣15；故答案为﹣15．【点评】本题考查函奇偶性的运用，解题时不必求出g（x）的解析式，直接由奇函数的性质转化为x＞0时的解析式即可．16．设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为3．【考点】函数最值的应用．【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴的最大值为3，故答案为：3．【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．三．解答题(共6个小题，共70分）17．已知A⊆M={x|x2﹣px+15=0，x∈R}，B⊆N={x|x2﹣ax﹣b=0，x∈R}，又A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求实数p、a、b的值．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a，b，从而解决问题．【解答】解：因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，所以A={3，5}又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，所以B={2，3}．所以方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a=5，b=﹣6综上可知p=8，a=5，b=﹣6．【点评】本题考查学生的等价转化能力，将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答案，正确进行转化是解决该题的关键．18．已知集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|x＜﹣1或x＞16}，根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A⊆（A∩B）．【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）根据A∩B=∅，可得﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16，即可得出结论；（2）分类讨论，建立不等式，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A∩B=∅，∴﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16或2a+1＞3a﹣5∴﹣1≤2a+1，3a﹣5≤16，2a+1≤3a﹣5，或2a+1＞3a﹣5∴a≥﹣1，a≤7，a≥6，或a＜6，∴a≤7．（2）①2a+1≤x≤3a﹣5＜﹣1，∴2a+1≤3a﹣5，且3a﹣5＜﹣1，∴a≥6，且a＜，没有解；②16＜2a+1≤x≤3a﹣5，∴16＜2a+1，且2a+1≤3a﹣5，∴a＞7.5且a≥6，③A=∅时，2a+1＞3a﹣5，即为a＜6也成立，∴a＞7.5或a＜6．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查学生的计算能力，比较基础．19．已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=0，且f（﹣1﹣x）=f（x），令g（x）=f（x）﹣|x﹣1|．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用已知条件求出b，c即可推出函数的解析式．（2）g（x）=f（x）﹣|x﹣1|表示为分段函数的形式，然后求解最小值．【解答】（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．…∵对于任意x∈R都有，f（﹣1﹣x）=f（x）∴函数f（x）的对称轴为，即b=1．…∴f（x）=x2+x．﹣﹣﹣﹣（2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x≥1时g（x）=x2+1 函数的最小值为2当x＜1时g（x）=x2+2x﹣1 函数的最小值为1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数的最小值为1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查计算能力．20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x﹣16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f （2）=3解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x﹣2）+3=f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质21．已知：f（x）=，x∈（0，+∞）（1）若b≥1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；（2）是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列二个条件：①在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数；②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）求f′（x），所以只要证明b≥1时，对于x∈（0，1），f′（x）＜0即可；（2）根据条件①知，方程f′（x）=0在（0，+∞）上有解，并且解为x=，所以令b=1，便满足条件①了，再根据x=1时，f（x）取最小值3求出a即可．【解答】解：（1）f′（x）=；x∈（0，1）时，x2∈（0，1）；∴若b≥1，则：f′（x）＜0；∴f（x）在（0，1）上是减函数；（2）令f′（x）=0，若满足第一个条件，则该方程在（0，+∞）上有解；并且解为；∴x时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0；∴f（x）在（0，）上是减函数，在上是增函数；∴令b=1，便得到f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，即满足①；∴此时x=1时f（x）取到最小值，a=1；∴最后得到存在a=1，b=1使f（x）满足条件①②．【点评】考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数在极值点处的导数为0，以及根据导数求函数最值的方法与过程．22．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【考点】二次函数的性质．【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。
2015年高一数学上期末联考试卷(含答案)
2015年高一数学上期末联考试卷(含答案)2014-2015学年广东省广州二中、珠海一中联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合M={�1，1，2}，N={x∈R|x2�5x+4=0}，则M∪N=（） A．ϕB． {1} C． {1，4} D． {�1，1，2，4} 【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】：解：N={x∈R|x2�5x+4=0}={1，4}，∵M={�1，1，2}，∴M∪N={�1，1，2，4}，故选：D 【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）函数y=lnx�6+2x的零点为x0，则x0∈（） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）【考点】：二分法求方程的近似解．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：可判断函数y=lnx�6+2x连续，从而由零点的判定定理求解．【解答】：解：函数y=lnx�6+2x连续，且y|x=2=ln2�6+4=ln2�2＜0， y|x=3=ln3�6+6=ln3＞0；故函数y=lnx�6+2x的零点在（2，3）之间，故x0∈（2，3）；故选B．【点评】：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 3．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A． log0.89＜0.89＜90.8 B． 0.89＜90.8＜log0.89 C． log0.89＜90.8＜0.89 D． 0.89＜log0.89＜90.8【考点】：指数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据对数的性质，指数的性质，分别确定log0.89，0.89，90.8数值的大小，然后判定选项．【解答】：解：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，所以：log0.89＜0.89＜90.8，故选：A 【点评】：本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题． 4．（5分）与直线l：3x�4y�1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（） A． 3x�4y�11=0或3x�4y+9=0 B． 3x�4y�11=0 C． 3x�4y+11=0或3x�4y�9=0D． 3x�4y+9=0【考点】：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：根据平行线的直线系方程设所求的直线方程为3x�4y+c=0，再由题意和两平行线间的距离公式列方程，求出c的值，代入所设的方程即可．【解答】：解：由题意设所求的直线方程为3x�4y+c=0，根据与直线3x�4y�1=0的距离为2得 =2，解得c=�11，或 c=9，故所求的直线方程为3x�4y�11=0或3x�4y+9=0．故选：A．【点评】：本题考查两直线平行的性质，两平行线间的距离公式，设出所求的直线方程为3x�4y+c=0，是解题的突破口． 5．已知sinx=�，且x 在第三象限，则tan2x=（） A． B． C． D．【考点】：二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由已知和同角三角函数关系式可求cosx，tanx，从而由二倍角的正切函数公式可求tan2x的值．【解答】：解：∵sinx=�，且x在第三象限，∴cosx=�=�，∴tanx= = ，∴tan2x= =�，故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题． 6．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（） A． B． C． D．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解【解答】：解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为： a=2R，可得a= ，∴正方体的体积为a3=（）3= ，故选：D．【点评】：此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式，考查学生的计算能力，是一道基础题，难度不大． 7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 =（） A．（2，4） B．（�2，�4） C．（3，5） D．（�3，�5）【考点】：平面向量的坐标运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，画出图形，结合图形以及平行四边形中的向量相等关系，求出．【解答】：解：根据题意，画出图形，如图所示；∵平行四边形ABCD中， =（2，4）， =（1，3），∴ = � =（�1，�1），∴ = + = + = � =（�3，�5）．故选：D．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示以及平行四边形法则，是基础题目． 8．（5分）（2013•广州二模）直线y=kx+1与圆x2+y2�2y=0的位置关系是（） A．相交 B．相切 C．相离 D．取决于k的值【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．【解答】：解：圆x2+y2�2y=0 即 x2+（y�1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为 =0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．【点评】：本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题． 9．已知向量，满足，| |=1， |=2，则|2 � |=（） A． B． C． 8 D． 12【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的数量积运算，以及向量的模的方法，即遇模则平方，问题得以解决【解答】：解：∵ ，∴ =0 ∵| |=1， |=2，∴|2 �|2=4| |2+| |2�4 =4+4�0=8，∴|2 �|=2 ，故选：A 【点评】：本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）10．A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n 【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：阅读型；空间位置关系与距离．【分析】：由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B；由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D．【解答】：解：由于直线m、n共面，对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．故选C．【点评】：本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题． 11．求值：tan42°+tan78°�tan42°•tan78°=（） A． B． C． D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：观察发现：78°+42°=120°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（78°+42°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值【解答】：解：由tan120°=tan （78°+42°）= =�，得到tan78°+tan42°=�（1�tan78°tan42°），则tan78°+tan42°�tan18°•tan42°=�．故选：C．【点评】：此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为120°，联想到利用120°角的正切函数公式是解本题的关键，属于基础题． 12．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（） A．π B．π C．π D．π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积．【解答】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，∴该半圆锥个高为2× = ，它的体积为V= × π•12× = π．故选：C．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目． 13．已知cosα= ，cos（α+β）=�，且α、β∈（0，），则cos（α�β）=（） A． B． C． D．【考点】：两角和与差的余弦函数．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：根据α的范围，求出2α的范围，由cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，又根据α和β的范围，求出α+β的范围，由cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，然后据α�β=2α�（α+β），由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求解．【解答】：解：由2α∈（0，π），及cosα= ，得到cos2α=2cos2α�1=�，且sin2α= = ，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=�，得到sin（α+β）= = ，则cos（α�β）=cos[2α�（α+β）] =cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β） =�×（�）+ × = ．故选：C．【点评】：此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解题的关键是角度的灵活变换即α�β=2α�（α+β），属于中档题． 14．（5分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（�∞，0]（x1≠x2），都有＞0，则（） A． f（�2）＜f（1）＜f（3） B． f （1）＜f（�2）＜f（3） C． f（3）＜f（�2）＜f（1） D． f （3）＜f（1）＜f（�2）【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先根据对任意的x1，x2∈（�∞，0]（x1≠x2），都有（x2�x1）•[f（x2）�f（x1）]＞0，可得函数f（x）在（�∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可推断f（x）在[0，+∞）上单调递减，进而可判断出f（3），f（�2）和f（1）的大小．【解答】：解：∵对任意的x1、x2∈（�∞，0]（x1≠x2），都有＞0，故f（x）在x1，x2∈（�∞，0]（x1≠x2）单调递增．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，且满足n∈N*时，f（�2）=f（2），由3＞2＞1＞0，得f（3）＜f（�2）＜f（1），故选：C．【点评】：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题． 15．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（） A． 7个 B． 8个 C． 9个 D． 10个【考点】：函数的值域．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：由题意知定义域中的数有�1，1，�3，3中选取；从而讨论求解．【解答】：解：y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”即定义域不同，定义域中的数有�1，1，�3，3中选取；定义域中含有两个元素的有2×2=4个；定义域中含有三个元素的有4个，定义域中含有四个元素的有1个，总共有9种，故选C．【点评】：本题考查了学生对新定义的接受能力及集合的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分． 16．（5分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a= �1 ．【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】：解：两条直线的斜率分别为：�，�．∵l1⊥l2，∴ =�1，解得a=�1．故答案为：�1．【点评】：本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，属于基础题． 17．已知a＜0，向量 =（2，a�3）， =（a+2，a�1），若∥ ，则a= �1 ．【考点】：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：平面向量及应用．【分析】：直接由向量共线的坐标表示列式求得a的值．【解答】：解：∵ =（2，a�3）， =（a+2，a�1），由∥ ，得2（a�1）�（a+2）（a�3）=0，解得：a=�1或a=4．∵a＜0，∴a=�1．故答案为：�1．【点评】：平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若 =（a1，a2）， =（b1，b2），则⊥ ⇔a1a2+b1b2=0，∥ ⇔a1b2�a2b1=0，是基础题． 18．（5分）若函数f（x）= ，则f[�f（9）]= 9 ．【考点】：函数的值．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由分段函数的应用知，代入求函数的值．【解答】：解：f （9）=log39=2，故f[�f（9）]=f（�2）= =9；故答案为：9．【点评】：本题考查了分段函数的应用，属于基础题． 19．（5分）直线3x+4y�5=0被圆（x�2）2+（y�1）2=4截得的弦长为．【考点】：直线与圆相交的性质．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：根据直线和圆的位置关系，结合弦长公式进行求解即可．【解答】：解：∵圆（x�2）2+（y�1）2=4，∴圆心（2，1），半径r=2，圆心到直线的距离d= =1，∴直线3x+4y�5=0被圆（x�2）2+（y�1）2=4截得的弦长l=2 = ．故答案为：．【点评】：本题考查直线和圆的位置关系，利用弦长公式是解决本题的关键． 20．若函数f（θ）= ，则f（�）= 2 ．【考点】：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】： f（θ）解析式利用诱导公式化简，约分得到结果，把θ=�代入计算即可求出值．【解答】：解：f（θ）= =�4 sinθ，则f（�）=�4 ×（�）=2 ，故答案为：2 ．【点评】：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 21．（5分）已知函数f（x）=x2�2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[�1，2]都存在x0∈[�1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是（0， ] ．【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：确定函数f（x）、g（x）在[�1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[�1，2]都存在x0∈[�1，2]，使得g （x1）=f（x0），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】：解：∵函数f（x）=x2�2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[�1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=�1，最大值为f（�1）=3，可得f（x1）值域为[�1，3] 又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[�1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（�1），g（2）] 即g（x2）∈[2�a，2a+2] ∵对任意的x1∈[�1，2]都存在x0∈[�1，2]，使得g（x1）=f（x0）∴ ，∴0＜a≤ 故答案为：（0， ]．【点评】：本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．三、解答题：本大题共9小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 22．（12分）已知函数f（x）=ax+ （其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、两点．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f （x）在区间[1，+∞）上单调递增．【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义证明即可．【解答】：解：由已知有，解得，∴ ．…（3分）（1）f（x）是奇函数．…（4分）证明：由题意f（x）的定义域为（�∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）又，…（6分）∴f（x）是奇函数．…（7分）（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），，…（10分）∵x1�x2＜0，x1x2�1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）�f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），…（11分）故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键． 23．（12分）化简求值：（1）；（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．【考点】：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质、lg2+lg5=1即可得出．【解答】：解：（1）原式= ．（2）原式=lg2（lg2+lg50）+2lg5=2lg2+2lg50=2（lg2+lg5）=2lg10=2．【点评】：本题考查了指数幂的运算性质、对数的运算性质、lg2+lg5=1，考查了计算能力，属于基础题． 24．（14分）如图所示，四棱锥P�ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．【解答】：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD 为矩形，∴O为BD中点． E为PB的中点，∴EO∥PD 又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE （2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．【点评】：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题． 25．（2015•广东模拟）已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）依题意知，A=2，由图得T=π．从而可得ω=2；又2× +φ=2kπ+ ，k∈Z，φ∈（0，），可求得φ，于是可得函数f（x）的解析式；（2）易求cosα=�，利用两角和的正弦即可求得f（）=2sin（α+ ）的值．【解答】：解：（1）由函数最大值为2，得A=2．由图可得周期T=4[ �（�）]=π，∴ω= =2．又2× +φ=2kπ+ ，k∈Z，∴φ=2kπ+ ，k∈Z，又φ∈（0，），∴φ= ，∴f（x）=2sin（2x+ ）；（2）∵α∈（，π），且sinα= ，∴cosα=�=�，∴f（）=2sin（2• + ） =2（sinαcos +cosαsin ）=2[ × +（�）× ] = ．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题． 26．（14分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P�ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B�PC�A的正切值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题；数形结合．【分析】：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B�PC�A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．【解答】：解：（1）∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥BD，又PA∩PC=P ∴BD⊥平面PAC （2）设AC与BD交点为O，连OE ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥平面BOE ∴PC⊥BE ∴∠BEO为二面角B�PC�A的平面角∵BD⊥平面PAC ∴BD⊥AC ∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2 ，PC=3 ∴OC= 在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴ ∴二面角B�PC�A的平面角的正切值为3 【点评】：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握 27．如图，甲船以每小时15 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．问乙船每小时航行多少海里？【考点】：解三角形的实际应用．【专题】：应用题；解三角形．【分析】：连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，即可求得乙船的速度．【解答】：解：如图，连结A1B2，由已知，，…（2分）∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°�120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，…（4分）∴ ，由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°�60°=45°，…（6分）在△A1B2B1中，由余弦定理，…（9分）= =200．∴ ．…（12分）因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．…（13分）答：乙船每小时航行海里．…（14分）【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力． 28．（14分）已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．（1）求圆M的方程；（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．【考点】：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．【专题】：综合题．【分析】：（1）解法一：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；解法二：设圆M 的方程为（x�a）2+（y�b）2=r2（r＞0），将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；解法三：求线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点，可求圆心M的坐标，进而可求圆M的半径，从而可求圆M的方程；解法四：可判断△ABC是直角三角形，进而可求圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径，从而可求圆M的方程；（2）连接PM，根据，，利用|PT|=|PO|，可判断点P 总在定直线上．【解答】：解：（1）解法一：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，…（1分）∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），∴ …（4分）解得…（7分）∴圆M的方程为（x�2）2+（y�3）2=1．…（8分）解法二：设圆M的方程为（x�a）2+（y�b）2=r2（r＞0），…（1分）∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C （3，3），∴ …（4分）解得…（7分）∴圆M的方程为（x�2）2+（y�3）2=1．…（8分）解法三：∵A（2，2），B（2，4），∴线段AB的垂直平分线方程为y=3，…（2分）∵A（2，2），C（3，3），∴线段AC的垂直平分线方程为即x+y�5=0，…（4分）由解得圆心M的坐标为（2，3）．…（6分）故圆M的半径．∴圆M的方程为（x�2）2+（y�3）2=1．…（8分）解法四：∵ ，，，…（2分）∴|AC|2+|BC|2=4=|AB|2．∴△ABC是直角三角形．…（4分）∵圆M经过A，B，C三点，∴圆M是Rt△ACB的外接圆．…（6分）∴圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径．∴圆M的方程为（x�2）2+（y�3）2=1．…（8分）（2）连接PM，则，…（10分）∵ ，且|PT|=|PO|，∴ ，…（12分）化简得2a+3b�6=0．∴点P总在定直线2x+3y�6=0上．…（14分）【点评】：本题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力，利用待定系数法，确定圆的方程是解题的关键． 29．已知向量 =（sinx，�1）， =（ cosx，�），函数f（x）= ．（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2=ac，B为锐角，且f（B）=1，求的值．【考点】：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．【分析】：（1）根据向量的数量积运算，先化简f（x）=sin（2x�），再根据三角形函数的图象和性质，问题得以解决；（2）先求出B的大小，再根据正弦定理或余弦定理，即可求出的值．【解答】：解：（1） = = ．故f（x）max=1，此时，得，∴取最大值时x的取值集合为．（2），∵ ，∴ ，∴ ，，（法一）由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC得： = ．（法二）由b2=ac及余弦定理得：ac=a2+c2�ac即a=c，∴△ABC为正三角形，∴ ．【点评】：本题考查向量的数量积的运算以及三角函数的化简和求值，正弦定理和余弦定理，属于中档题 30．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x�a|．（1）当a=2时，求函数y=f （x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）�1的零点个数．【考点】：函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．【专题】：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】：（1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x ＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）=f（x）�1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．【解答】：解：（1）当a=2时，f（x）=x|x�2|，当x≥2时，f（x）=x2�2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=�x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（�∞，1）．（2）令g（x）=f（x）�1=0，即f（x）=1，f（x）= ，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2�ax，对称轴为x= ，当x＜a时，f（x）=�x2+ax，对称轴为x= ，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得， y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）= ，故由图象可得，1°当a=2时，f（）= =1， y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）= ＜1， y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）= ＞1， y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得， y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g （x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．【点评】：本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。
《解析》广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高一上学期期初数学试卷Word版含解析
2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高一（上）期初数学试卷一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}4．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）5．已知y=f（x），x∈（﹣a，a），F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数6．函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A．B．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0C．f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）D．7．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣1），f （π），f（﹣3.14）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣1）B．f（π）＞f（﹣1）＞f（﹣3.14）C．f（π）=f（﹣3.14）＜f（﹣1）D．f（π）＜f（﹣1）＜f（﹣3.14）9．设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣，0]∪（1，+∞）B．[0，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，0]∪（2，+∞）10．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则g（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．311．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f （x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16二．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．13．已知集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＜a}；若A⊆B，求实数a的取值范围．14．设函数f（x）满足＞0 （x1≠x2）且f（m）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是．15．若函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=．16．设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为．三．解答题(共6个小题，共70分）17．已知A⊆M={x|x2﹣px+15=0，x∈R}，B⊆N={x|x2﹣ax﹣b=0，x∈R}，又A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求实数p、a、b的值．18．已知集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|x＜﹣1或x＞16}，根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A⊆（A∩B）．19．已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=0，且f（﹣1﹣x）=f（x），令g（x）=f（x）﹣|x﹣1|．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的最小值．20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．21．已知：f（x）=，x∈（0，+∞）（1）若b≥1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；（2）是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列二个条件：①在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数；②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．3．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩C U M，又C U M={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩C U M={x|1＜x≤2}．故选：C．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题．4．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案【解答】解：由f（x）=x2+ax+，得f′（x）=2x+a﹣=，令g（x）=2x3+ax2﹣1，要使函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．5．已知y=f（x），x∈（﹣a，a），F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由于F（x）的定义域关于原点对称，且满足F（﹣x）=F（x），可得F（x）是偶函数．【解答】解：∵x∈（﹣a，a），F（x）=f（x）+f（﹣x），∴F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F （x），故F（x）是偶函数，故选B．【点评】本题主要考查对数函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．6．函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A．B．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0C．f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解答】解：f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），则当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），此时满足，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，，当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），此时满足，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，，故不正确的是C，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的应用，要求熟练掌握函数单调性的几种等价形式．7．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣1），f （π），f（﹣3.14）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣1）B．f（π）＞f（﹣1）＞f（﹣3.14）C．f（π）=f（﹣3.14）＜f（﹣1）D．f（π）＜f（﹣1）＜f（﹣3.14）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数的单调性以及奇偶性判断求解即可．【解答】解：偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，f（﹣1）=f（1），f（﹣3.14）=f（3.14），所以，f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣1），故选：A．【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．9．设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣，0]∪（1，+∞）B．[0，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，0]∪（2，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】当x＜g（x）时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25，其值域为：[﹣2.25，0]．由此能得到函数值域．【解答】解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，∴其最小值为f（﹣1）=2，其最大值为+∞，因此这个区间的值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25其最小值为f（0.5）=﹣2.25，其最大值为f（2）=0因此这区间的值域为：[﹣2.25，0]．综合得：函数值域为：[﹣2.25，0]U（2，+∞），故选D．【点评】本题考查f（x）的值域的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．10．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则g（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，利用函数的奇偶性可得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，即可得出．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）．∵f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，∴2g（x）=﹣2x3，即g（x）=﹣x3，∴g（﹣1）=1．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】不等式即＞0，即xf（x）＞0，数形结合可得x的范围．【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，故f（x）的图象如图所示：则不等式＞0，即＞0，即xf（x）＞0，∴﹣1＜x＜0，或0＜x＜1，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f （x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16【考点】函数的值域．【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．二．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．13．已知集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＜a}；若A⊆B，求实数a的取值范围{a|a≥2} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】通过画图，要使集合B包含集合A，观察图象即可解得．【解答】解：结合图象可知，∵A⊆B∴a值所对应的点必须要在2的右侧即a≥2故答案为{a|a≥2}【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，也是高考常会考的题型．14．设函数f（x）满足＞0 （x1≠x2）且f（m）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】判断函数的单调性，利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）满足＞0 （x1≠x2），可知函数是增函数，f（m）＞f（2m﹣1），可得m＞2m﹣1，解得m∈（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．15．若函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=﹣15．【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据题意，由f（x）是奇函数，可得g（﹣1）=﹣f（1），计算可得g（﹣1）=﹣3，进而可得f（g（﹣1））=﹣f（3），由x≥0时f（x）的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）=g（x），f（x）为奇函数，g（﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12+2×1）=﹣3，则f（g（﹣1））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32+2×3）=﹣15；故答案为﹣15．【点评】本题考查函奇偶性的运用，解题时不必求出g（x）的解析式，直接由奇函数的性质转化为x＞0时的解析式即可．16．设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为3．【考点】函数最值的应用．【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴的最大值为3，故答案为：3．【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．三．解答题(共6个小题，共70分）17．已知A⊆M={x|x2﹣px+15=0，x∈R}，B⊆N={x|x2﹣ax﹣b=0，x∈R}，又A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求实数p、a、b的值．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a，b，从而解决问题．【解答】解：因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，所以A={3，5}又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，所以B={2，3}．所以方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a=5，b=﹣6综上可知p=8，a=5，b=﹣6．【点评】本题考查学生的等价转化能力，将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答案，正确进行转化是解决该题的关键．18．已知集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|x＜﹣1或x＞16}，根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A⊆（A∩B）．【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）根据A∩B=∅，可得﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16，即可得出结论；（2）分类讨论，建立不等式，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A∩B=∅，∴﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16或2a+1＞3a﹣5∴﹣1≤2a+1，3a﹣5≤16，2a+1≤3a﹣5，或2a+1＞3a﹣5∴a≥﹣1，a≤7，a≥6，或a＜6，∴a≤7．（2）①2a+1≤x≤3a﹣5＜﹣1，∴2a+1≤3a﹣5，且3a﹣5＜﹣1，∴a≥6，且a＜，没有解；②16＜2a+1≤x≤3a﹣5，∴16＜2a+1，且2a+1≤3a﹣5，∴a＞7.5且a≥6，③A=∅时，2a+1＞3a﹣5，即为a＜6也成立，∴a＞7.5或a＜6．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查学生的计算能力，比较基础．19．已知函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=0，且f（﹣1﹣x）=f（x），令g（x）=f（x）﹣|x﹣1|．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用已知条件求出b，c即可推出函数的解析式．（2）g（x）=f（x）﹣|x﹣1|表示为分段函数的形式，然后求解最小值．【解答】（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．…∵对于任意x∈R都有，f（﹣1﹣x）=f（x）∴函数f（x）的对称轴为，即b=1．…∴f（x）=x2+x．﹣﹣﹣﹣（2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x≥1时g（x）=x2+1 函数的最小值为2当x＜1时g（x）=x2+2x﹣1 函数的最小值为1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数的最小值为1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查计算能力．20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x﹣16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f （2）=3解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x﹣2）+3=f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质21．已知：f（x）=，x∈（0，+∞）（1）若b≥1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；（2）是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列二个条件：①在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数；②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）求f′（x），所以只要证明b≥1时，对于x∈（0，1），f′（x）＜0即可；（2）根据条件①知，方程f′（x）=0在（0，+∞）上有解，并且解为x=，所以令b=1，便满足条件①了，再根据x=1时，f（x）取最小值3求出a即可．【解答】解：（1）f′（x）=；x∈（0，1）时，x2∈（0，1）；∴若b≥1，则：f′（x）＜0；∴f（x）在（0，1）上是减函数；（2）令f′（x）=0，若满足第一个条件，则该方程在（0，+∞）上有解；并且解为；∴x时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0；∴f（x）在（0，）上是减函数，在上是增函数；∴令b=1，便得到f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，即满足①；∴此时x=1时f（x）取到最小值，a=1；∴最后得到存在a=1，b=1使f（x）满足条件①②．【点评】考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数在极值点处的导数为0，以及根据导数求函数最值的方法与过程．22．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【考点】二次函数的性质．【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。
2015-2016学年广东省惠州市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2015-2016学年广东省惠州市高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．在ABC ∆中，已知AB a =，AC b =，且点D 是BC 的中点，则AD =（ ） A.a b + B.a b - C.1122a b + D.1122a b - 【答案】C【解析】试题分析：由向量运算的三角形法则可知()11112222AD AB BC AB AC AB a b =+=+-=+ 【考点】向量加减法的三角形法则2．若3sin()25πα-=，则cos 2α=（ ）A.725-B.725C.45-D.2425【答案】A【解析】试题分析：2347sin()cos cos 22cos 125525παααα-=∴=∴=-=- 【考点】三角函数基本公式3．设全集R U =，集合{}062<--=x x x A ，{}22150B x x x =+-≤，则=B C A U （ ）A.)52(，-B.φC.)32(，-D.]32[，- 【答案】B【解析】试题分析：解得(2,3)A =-，[5,3]B =-，则(,5)(3,)R C B =-∞-+∞，得R AC B φ=【考点】集合的交并补运算4．已知函数x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），)(x f 的反函数为)(1x f -，若9)2(1=-f ，则=a ( )A.2B.3C.21D.31【答案】B【解析】试题分析：由1(2)9f-=知(9)2f =，则l o g 92a =，即29a =，且0a >得3a =【考点】对数函数与反函数5．已知(1,0)A 、(0,1)B ，(,1)C x -，若,,A B C 三点共线，则线段AC 的长等于（ ）2【答案】D【解析】试题分析：因,,A B C 三点共线，则AB //AC ，且(1,1)AB =-、(1,1)AC x =--，则1(1)1(1)x -⨯--⨯-=得2x =，则(1,1)AC =-，得1AC =+=【考点】三点共线问题6．已知函数⎩⎨⎧>-≤=1),1(log 1,2)(3x x x x f x ，且1)(0=x f ，则=0x （ ）A.0B.4C.0或4D.1或3 【答案】C【解析】试题分析：当1x ≤时()21x f x ==，得01x =<成立；当1x >时3()log (1)1f x x =-=，得41x =>也成立【考点】函数求值7．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A.1y x -=B.ln y x =C.||y x =D.3y x = 【答案】D【解析】试题分析：A 中函数在区间0,+∞（）上单调递减；B 中函数不是奇函数；C 中函数不是奇偶函数；D 中函数既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数【考点】函数奇偶性单调性8．对于任意向量a 、b ，下列命题中正确的是 ( )A.若a 、b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b >B.a b a b +≤+C.⋅≥a b a bD.a b a b -≤- 【答案】B【解析】试题分析：因向量有方向，无法比较大小，则A 答案错；由 cos a b a b θ⋅=，且cos 1θ≤易知 a b a b ⋅≤，则C 答案错，而 a b a b -≥-则D 答案错 【考点】向量及运算9．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h ，低潮时水深为9m ，高潮时水深为15m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度()y m 关于时间()t h 的函数图像可以近似地看成函数sin()y A t k ωϕ=++的图像，其中024t ≤≤，且3t =时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是 （ ）A.3sin 126y t π=+ B.3sin 126y t π=-+C.3sin 1212y t π=+ D.3cos1212y t π=+【答案】A【解析】试题分析：由两次高潮的时间间隔12h 知12T =，且212(0)T πωω==>得6πω=，又由最高水深和最低水深得3A =，12k =，将3t =代入解析式3s i n ()126y t πϕ=++15=得0ϕ= 【考点】三角函数求解析式10．平面内有三个向量a 、b 、c ，其中a 与b 的夹角为90︒，且1a b ==，22c =，若c a b λμ=+，则22λμ+=（ ）A.12B.4C.2D.8【答案】D【解析】试题分析：由a 与b 的夹角为90︒可建立平面直角坐标系，则(1,0)a =，(0,1)b =，得(,)c a b λμλμ=+=，则2c λ=+=得228λμ+=；【考点】向量模及向量运算11．把函数()sin y x x R =∈的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到图象的函数表达式为 （ ） A.sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ B.sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C.1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D.1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】试题分析：由sin y x =的图像横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变）得到sin 2y x =的图像，再将sin 2y x =的图像向左平移6π得到s i n 2()s i n (2)63y x x ππ=+=+的图像 【考点】三角函数图形变换12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为 （ ）A.14B.16C.18D.20【答案】C【解析】试题分析：由()0g x =得()lg f x x =，即求函数()y f x =与lg y x =图像的交点个数，而()y f x =是偶函数且图像关于直线1x =对称，则周期为2，由题意画出两个函数在0x >的图像如图所示，且两个都是偶函数，可知两函数图像交点个数为2918⨯=个【考点】函数图像；函数零点二、填空题 13．函数()lg(5)=-f x x 的定义域为 ． 【答案】(2,5)【解析】试题分析：由2050x x ->⎧⎨->⎩，得25x <<，故函数定义域为(2,5)【考点】函数定义域14．在直角坐标系中，已知角α的终边经过点34(,)55P ，将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π得到角θ的终边，则cos θ= ． 【答案】35-【解析】试题分析：由三角函数定义知3cos 5α=，则3c o s c o s ()c o s5θαπα=+=-=- 【考点】三角函数定义 15．计算：()20.5350.2582log 25-+-=【答案】2 【解析】试题分析：()20.5350.2582log 25-+-()1223235122log 54-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2242=-=.【考点】指数式运算16．设函数()cos()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>)．若f x ()在区间203π[,]上具有单调性，且2033f f f ππ-==-()()()，则ω= ．【答案】1【解析】试题分析：因()f x 在2[0,]3π内单调，则223T π>，43T π>，由2()(0)()33f f f ππ-==-得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭间有对称轴6x π=-，20,3π⎛⎫⎪⎝⎭间有对称中心(0,)3π，简图如下图所示，则()4362T πππ=--=，得2T π=，所以1ω=.【考点】三角函数求解析式三、解答题17．已知平面向量32a =(,)，12b =-(,)，41c =(,)． （1）求满足c n b m a +=的实数m ，n ； （2）若()()2a kcb a +⊥-，求实数k 的值．【答案】（1）58,99m n ==（2）1118k =- 【解析】试题分析：（1）由题意和向量的坐标运算求出n m +=的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出m 和n 的值；（2）由题意和向量的坐标运算求出a kc +和2b a -的坐标，再由向量共线的条件列出方程．求出k 的值试题解析：（1）∵ (,2)mb m m =-，(4,)nc n n = 得(4,2)mb nc n m m n +=-+ 且(3,2)a mb nc ==+∴ 4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，得58,99m n ==（2） ∵(34,2)a kc k k +=++，2(5,2)b a -=-且()(2)a kc b a +⊥-∴5(34)2(2)0k k -⨯++⨯+= ∴ 1118k =-【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量共线（平行）的坐标表示 18．已知α、β都是锐角，43α=tan，β=sin 2αβ+tan()的值． 【答案】724【解析】试题分析：由sin β可求得cos β的值，进而求得tan β，借助于二倍角公式可得到tan 2β的值，利用两角和的正切公式求解试题解析：∵sin 10β=，且β是锐角得cos 10β==∴ sin tan 3cos βββ==， 则 22tan 3tan 241tan βββ==--， 且4tan 3α=∴ tan tan 2tan(2)1tan tan 2αβαβαβ++=-43()73443241()34+-==-⨯- 【考点】三角函数基本公式 19．已知函数()=+af x bx x(其中a ，b 为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两点． （1）求a ，b 的值，判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）证明：函数()f x在区间)+∞上单调递增． 【答案】（1）2,1a b == 奇函数（2）详见解析【解析】试题分析：将函数过的点代入函数式可得到,a b 的值，判断奇偶性可判断()()f x f x -=，()()f x f x -=-是否成立；（2）证明函数单调性一般采用定义法，在12x x <的前提下证明()()12f x f x <成立试题解析：（1）∵ 函数()f x 的图像经过(1,3)、(2,3)两点∴ 3232a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得2,1a b ==∴ 函数解析式2()f x x x=+ ，定义域(00+-∞∞，）（，） ∵22()()()(x)f x x x f x x-=+-=-+=-- ∴ 函数解析式2()f x x x=+是奇函数（2）设任意的1x 、2x ,)∈+∞，且12x x <12()()f x f x -=121222x x x x +-- 2121122()()x x x x x x -=--21122()(1)x x x x =--1221122()x x x x x x -=-∵12,x x ≥> 12x x <∴ 122x x ⋅>，则1220x x -<，且210x x -> 得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x < ∴ 函数()f x在区间,)+∞上单调递增． 【考点】函数奇偶性单调性 20．已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若函数()f x 在[3π-，23π]上的最大值与最小值之和为1，求实数a 的值. 【答案】(1) 2T π=(2) a =【解析】试题分析：（Ⅰ）把f （x ）的解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）由x 的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出f （x ）的最大值及最小值，让其a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值 试题解析：（1）函数()s in x co sc o s 6666f x x x x x ππππ=++-++2sin coscos 6x x a π=++cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ 2T π=（2）∵ 233x ππ-≤≤∴ 5666x πππ-≤+≤∴ 1sin()126x π-≤+≤∴ 当66x ππ+=-即3x π=-时，min ()1f x a =-当62x ππ+=即3x π=时，max ()2f x a =+则 211a a ++-=，得a =【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法21．已知向量()1,cos2a x =，(sin 2,b x =，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若26235f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求512f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）511[k ,k ],k Z 1212ππππ++∈（2）1425【解析】试题分析：（1）由向量的坐标运算化简得到函数()f x 的解析式，()2sin(2)3f x x π=-，求增区间只需令32k 22k 232x πππππ+≤-≤+，解不等式即可求解；（2）将已知26235f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭代入可求得sin α进而代入可得到512f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值试题解析：（1）由题意得()sin 222sin(2)3f x a b x x x π==-=-因为函数sin y x =的单调递增区间为3[2k ,2k ],k Z 22ππππ++∈∴由32k 22k ,k Z 232x πππππ+≤-≤+∈得 511k k ,k Z 1212x ππππ+≤≤+∈ ∴ 函数()f x 的单调递减区间为511[k ,k ],k Z 1212ππππ++∈ （2） ∵ ()2sin(2)3f x x π=-∴ )sin(2]3)322(2sin[2)322(παππαπα+=-+=+f56sin 2=-=α53sin -=∴α，∴ )22sin(2]3)125(2sin[2)125(παππαπα+=-+=+f α2cos 2=)sin 21(22α-=2514])53(21[22=-⨯-=【考点】1.向量运算；2.三角函数单调性；3.三角函数求值 22．已知R a ∈，函数())f x x x a =-（. （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a ≥时，求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，减区间为(0,)2a （2）502a ≤<时，min 1()42af x =-- 52a ≥时，min ()1f x a =- 【解析】试题分析：（1）将函数()f x 的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在0,0x x ≥<时结合二次函数求解其单调区间；（2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，从而求得函数的最小值试题解析：函数22,0()(),0x ax x f x x x a x ax x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩（1）∵ 0a >，函数()f x 的图像如图所示∴当0x ≥时，222()()24a a f x x ax x =-=--则，函数()f x 在区间(0,)2a 递减，在区间(,)2a+∞递增 当0x <时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+则，函数()f x 在区间(,0)-∞递增∴综上可知，函数()f x 的增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，减区间为(0,)2a（2）0a =时，函数22,0(),0xx f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩在区间1[,1]2-上是单调递增函数则 min 11()()24f x f =-=-0a >时， 当12a≥即2a ≥时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,1]递减 且 11()242af -=--，(1)1f a =-若1()(1)2f f -≥，即52a ≥时，min ()(1)1f x f a ==-若1()(1)2f f -<，即522a ≤<时，min 11()()242a f x f =-=--当12a <即02a <<时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,]2a 递减，在(,1]2a递增，如图所示且11()242a f -=--， 2()24a a f =- 而02a <<时，21424a a --<-，即1()()22a f f -< 所以02a <<时，min 11()()242a f x f =-=-- 且此时对0a =，min 11()()242a f x f =-=--14=-也成立 ∴综上所述，502a ≤<时，min 1()42a f x =-- 52a ≥时， min ()1f x a =- 【考点】1.二次函数单调性与最值；2.分情况讨论。
广东省东莞市21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
广东省东莞市21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、已知集合A ={x|x 2−2x −8<0}，B ={x|x >0}，则A ∩B =（ ）A. {x|x >2}B. {x|0<x <2}C. {x|0<x <4}D. {x|2<x <4}2、已知命题p ：∀α∈(0,π2)，tanα>sinα，则￢p 为（ ）A. ∀α∈(0,π2)，tanα≤sinα B. ∀α∉(0,π2)，tanα≤sinα C. ∃α∈(0,π2)，tanα≤sinαD. ∃α∉(0,π2)，tanα≤sinα3、若x <y <0，z ∈R ，则（ ）A. x 3<y 3B. 1x <1yC. xz 2<yz 2D. x 2<y 24、已知扇形的面积为16，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 85、若函数f(x)=sin(2x +π3)图象上所有点的横坐标向右平移φ(φ>0)个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为（ ）A. 5π6B. 5π12C. π6D. π126、如图，质点M 在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为M 0(12,−√32)，角速度为2，则点M 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）A.B.C.D.7、对于任意的实数x，定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[6.12]=6，[0.12]=0，[−6.12]=−7，那么“|x−y|<1”是“[x]=[y]”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、已知函数f(x)=|ax+1|(a>0)在区间[t,t+4]上的值域为[m,M]，对任意实数t都有M−m≥4，则实数a的取值范围是（）A. 0<a≤1B. a≥1C. 0<a≤2D. a≥2二、多选题（本大题共4小题，共20分）(a∈R)，则其图象可能为（）9、已知函数f(x)=x+axA. B.C. D.10、图中阴影部分的集合表示正确的是（）A. N∩∁U MB. M∩∁U NC. [∁U(M∩N)]∩ND. (∁U M)∩(∁U N)11、已知函数f(x)=sin|x|+|cosx|，则下列结论正确的是（）A. f(x)为偶函数B. f(x)的周期为πC. f(x)在[π2,π]上单调递减 D. y=f(x)−1在[−π2,π2]上有3个零点12、已知正数a，b，c满足2a=3b=6c，则下列结论正确的是（）A. a+b=cB. 1a +1b=1cC. 6c>3b>2aD. a+b>4c三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、tan8π3等于．14、声强级L(单位：dB)由公式L=10lg(I10−12)给出，其中I为声强(单位：W/m2).声强级为60dB 的声强是声强级为30dB的声强的倍．15、若函数f(x)满足以下三个条件：①f(x)定义域为R且函数图象连续不断；②f(x)是偶函数；③f(x)恰有3个零点．请写出一个符合要求的函数f(x)=．16、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点．现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF=θ，则sin(θ+π4)=．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)已知集合A={x|x=kπ2,k∈Z}，B={x|x=π2+nπ,n∈Z}．(1)分别判断元素−2π，2021π2与集合A，B的关系；(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由．18、(本小题12.0分)已知tanα=2，α∈(0,π2). (1)求sinαcosα； (2)若cos(α+β)=−√55，β∈(0,π2)，求cosβ，并计算sin2β+cos(β+π2)1−tanβ． 19、(本小题12.0分)给定函数f(x)=x 2−2x ，g(x)=x −2，∀x ∈R ，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}．(1)求函数y =M(x)的解析式并画出其图象；(2)对于任意的x ∈[2,+∞)，不等式M(x)≥(a −2)x −1恒成立，求实数a 的取值范围．20、(本小题12.0分) 已知函数f(x)=a −22x+1(a >0)的图象在直线y =1的下方且无限接近直线y =1．(1)判断函数的单调性(写出判断说明即可，无需证明)，并求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并用定义证明； (3)求函数f(x)的值域． 21、(本小题12.0分)已知函数f(x)=2cosωx ⋅sinωx +√3cos2ωx ，其中ω>0． (1)若函数f(x)的周期为π，求函数f(x)在[−π3,π6]上的值域； (2)若f(x)在区间[−2π3,π6]上为增函数，求ω的最大值，并探究此时函数y =f(x)−lg(x 2)的零点个数．22、(本小题12.0分)如图，已知直线l1//l2，A是直线l1、l2之间的一定点，并且点A到直线l1、l2的距离分别为1、2，垂足分别为E、D，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C.试选择合适的变量分别表示三角形△ABC的直角边和面积S，并求解下列问题：(1)若△ABC为等腰三角形，求CE和BD的长；(2)求△ABC面积S的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 求出集合A ，利用交集定义能求出A ∩B ．∵集合A ={x|x 2−2x −8<0}={x|−2<x <4}， B ={x|x >0}，∴A ∩B ={x|0<x <4}． 所以选：C ．2.答案：C解析：根据题意，由全称量词命题的否定是存在量词命题，分析可得答案． 本题考查含有量词命题的否定，属于基础题．根据题意，命题p ：∀α∈(0,π2)，tanα>sinα是全称量词命题， 其否定为：∃α∈(0,π2)，tanα≤sinα， 所以选：C ．3.答案：A解析：本题考查了利用不等式的基本性质判断不等关系，属基础题． 根据不等式的性质即可判断． 对于A ，不等式成立，对于B ：若x <y <0，则1x >1y ， 对于C ：当z =0时，则不成立，对于D ：当x =−2，y =−1，则不成立． 所以选：A ．4.答案：B解析：本题考查了基本不等式、弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用扇形面积计算公式、基本不等式即可得出结论． 设扇形的圆心角为θ，半径为r ， 则由题意可得12θr 2=16，∴扇形的周长=2r +θr =2r +32r ≥2×2√2r ⋅32r =32，当且仅当2r =32r 时，即r =4，θ=2时取等号．∴当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值32． 所以选：B ．5.答案：B解析：本题考查三角函数的对称性，函数的图象变换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 平移之后的函数解析式为y =sin(2x −2φ+π3)，再令−2φ+π3=π2+kπ，k ∈Z ，即可得解． 平移之后的函数解析式为y =sin[2(x −φ)+π3]=sin(2x −2φ+π3)， 因为其图象关于y 轴对称，所以−2φ+π3=π2+kπ，k ∈Z ，则φ=−π12−kπ2，k ∈Z ，因为φ>0，所以当k =−1时，φ取得最小值为5π12． 所以选：B ．6.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的单调性和数形结合是解决本题的关键，是基础题． 利用角速度先求出d =0时，t 的值，然后利用单调性进行判断即可． ∵∠xOM 0=π3，∴由2t =π3，得t =π6，此时d =0，排除C ，D ，当0<t<π6时，d越来越小，单调递减，排除B，所以选：A．7.答案：B解析：本题考查充要条件的判断，属于中档题．先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x−y|<1，而取x=1.8，y=2.1，此时满足|x−y|=0.3<1，但[x]≠[y]，再根据充分必要条件的定义进行判定即可．①取x=1.8，y=2.1，此时|x−y|=0.3<1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]，②若[x]=[y]⇒−1<x−y<1，即|x−y|<1，∴|x−y|<1是[x]=[y]的必要不充分条件，所以选：B．8.答案：D解析：由题意利用带有绝对值的函数的性质，分类讨论，求出a的范围．本题主要考查带有绝对值的函数的性质，函数的单调性和值域，属于中档题．函数f(x)=|ax+1|(a>0)在区间[t,t+4]上的值域为[m,M]，对任意实数t都有M−m≥4，显然，m≥0，M≥4，函数f(x)的零点为−1a<0．①当−1a=t+2时，M−m最小，此时，M−m=M−0=M=|a(t+4)+1|=a(−1a+2)+1≥4，求得a≥2．②当区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1a的某一侧时，M−m最大，不妨假设区间[t,t+4]在函数f(x)的零点−1a的右侧，则m=|at+1|，M=|a(t+4)+1|，由M−m=|a(t+4)+1|−|at+1|=a(t+4)+1−(at+1)=4a≥4，∴a≥1．综上，可得实数a的取值范围为[2,+∞)，所以选：D．9.答案：BC解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，分别讨论a的取值是解决本题的关键，是中档题．分别讨论a=0，a>0和a<0时，函数对应图象即可．当a=0时，f(x)=x(x≠0)，当a>0时，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，f(x)=x+ax ≥2√x⋅ax=2√a，当且仅当x=ax，即x=√a时取等号，此时为对勾函数，当x<0时，f(x)=x+ax ≤−2√(−x)⋅a−x=−2√a，当且仅当−x=−ax，即x=−√a时取等号，此时为对勾函数，此时对应图象为B，当a<0时，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，f(x)为增函数，当x<0时，f(x)为增函数，此时对应图象为C，所以选：BC．10.答案：AC解析：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键，属于基础题．分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．由已知中阴影部分在集合N中，而不在集合M中，故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M(属于M的补集)，即可表示为(C U M)∩N或[C U(M∩N)]∩N，所以选：AC．11.答案：AD解析：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于较难题．直接利用函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． ∵函数f(x)=sin|x|+|cosx|，对于A ：f(x)=sin|x|+|cosx|=sin|−x|+|cos(−x)|=f(−x)，故函数为偶函数，故A 正确； 对于B ，f(π4)=sin π4+|cos π4|=√22+√22=√2，f(5π4)=sin5π4+|cos 5π4|=−sin π4+cos π4=0，∵f(π4)≠f(5π4)，∴f(x)的周期不为π，故B 错误； 对于C ，当x ∈[π2,π]时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx ， 则f(x)=sinx +(−cosx)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， x ∈[π2,π]时，x −π4∈[π4,3π4]， 所以f(x)在[π2,π]上不是单调减函数，故C 错误； 对于D ，x ∈[−π2,π2]时，sin|x|={sinx,0≤x ≤π2−sinx,−π2≤x <0，|cosx|=cosx ， ∴当−π2≤x <0时，y =f(x)−1=−sinx +cosx −1=√2sin(x +3π4)−1， 由y =f(x)−1=0，得sin(x +3π4)=√22，由−π2≤x <0，解得x =−π2； 当0≤x ≤π2时，y =f(x)−1=sinx +cosx −1=√2sin(x +π4)−1， 由y =f(x)−1=0，得sin(x +π4)=√22，由0≤x ≤π2，解得x =0或x =π2，综上，y =f(x)−1在[−π2,π2]上有3个零点，故D 正确． 所以选：AD ．12.答案：BD解析：本题考查对数的运算法则的应用，注意对数换底公式，基本不等式的应用，属于中档题． 利用对数的运算法则，对数换底公式，基本不等式求解即可． 设2a =3b =6c =k ，k >1，则a =log 2k ，b =log 3k ，c =log 6k ，对于A ，∵a +b =log 2k +log 3k ≠log 6k =c ，∴A 错误，对于B ，∵1a +1b =1log 2k +1log 3k =log k 2+log k 3=log k 6=1log 6k =1c ，∴B 正确，对于C ，∵a =log 2k ，b =log 3k ，c =log 6k ， ∴2a =2log 2k ，3b =3log 3k ，6c =6log 6k ， ∵2a3b=2log 2k 3log 3k=2lg33lg2=lg9lg8>1，∴2a >3b ，∴C 错误，对于D ，∵(a +b)(1a +1b )=ba +ab +2>4，∴a +b >41a +1b=4c ，∴D 正确，所以选：BD ．13.答案：−√3解析：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题． 利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解． tan 8π3=tan(3π−π3)=−tan π3=−√3． 所以答案为：−√3．14.答案：1000解析：设声强级为60dB 的声强为I 1，声强级为30dB 的声强为I 2，由公式L =10lg(I10−12)分别令L=60，30求出I 1，I 2的值．即可求出结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题． 设声强级为60dB 的声强为I 1，声强级为30dB 的声强为I 2， 则60=10lg(I 110−12)，∴I 110−12=106，∴I 1=10−6， 又30=10lg(I 210−12)，∴I 210−12=103，∴I 2=10−9，∴I1I 2=10−610−9=103=1000，即声强级为60dB 的声强是声强级为30dB 的声强的1000倍，所以答案为：1000．15.答案：x 2−2|x|(答案不唯一)解析：本题考查函数奇偶性和零点分析，注意二次函数的性质以及图象变换，属于基础题． 根据题意，结合二次函数图象的性质，分析可得答案． 根据题意，要求函数f(x)为偶函数且有三个零点，可以考虑为二次函数的变形式，则其中一个符合要求的函数f(x)=x 2−2|x|， 所以答案为：x 2−2|x|(答案不唯一)．16.答案：3√1010解析：本题考查翻折变换及正方形的性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角的正弦以及两角和的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．设DE 为x ，则根据折叠知道DM =1，EM =EA =2−x ，在Rt △DEM 中利用勾股定理可求出x ，继而求出EM 的长，从而可求出sin∠DEM ，利用诱导公式可求得sin2θ，再由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦可得sinθ+cosθ，再利用两角和的正弦公式即可求解． 设DE 为x ，则DM =1，EM =EA =2−x ， 在Rt △DEM 中，∠D =90°， ∴DE 2+DM 2=EM 2， x 2+12=(2−x)2， x =34， ∴EM =54，∴在Rt △DEM 中，sin∠DEM =DM EM=45，则sin2θ=sin(π−∠DEM)=sin∠DEM =45，sinθ+cosθ=√(sinθ+cosθ)2=√1+2sinθcosθ=√1+sin2θ=3√55， ∴sin(θ+π4)=sinθcos π4+cosθsin π4=√22(sinθ+cosθ)=√22×3√55=3√1010．所以答案为：3√1010．17.答案：(1)∵集合A ={x|x =kπ2,k ∈Z}，B ={x|x =π2+nπ,n ∈Z}．∴−2π∈A ，−2π∉B ，2021π2∈A ，2021π2∈B ；(2)∵集合A ={x|x =kπ2,k ∈Z}，B ={x|x =π2+nπ,n ∈Z}={x|x =(2n+1)π2,n ∈Z}，∴A ⫌B ．解析：本题考查集合的运算，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)利用元素与集合的关系直接求解； (2)由集合A ={x|x =kπ2,k ∈Z}，B ={x|x =(2n+1)π2,n ∈Z}，即可判断．18.答案：(1)因为tanα=2，所以sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=25； (2)因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)， 所以0<α+β<π， 因为cos(α+β)=−√55，所以sin(α+β)=2√55，由tanα=2，α∈(0,π2)可得cosα=√55，sinα=2√55，cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√55×√55+2√55×2√55=35， 所以sinβ=45，tanβ=43，sin2β+cos(β+π2)1−tanβ=2sinβcosβ−sinβ1−tanβ=2×45×35−451−43=−1225．解析：本题主要考查了同角商的关系，和差角公式，诱导公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题． (1)由sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α，代入即可求解；(2)结合同角基本关系先求sin(α+β)，cosα，sinα，然后结合cosβ=cos[(α+β)−α]，展开后可求出cosβ，进而可求sinβ，tanβ，结合诱导公式及二倍角公式化简后可求sin2β+cos(β+π2)1−tanβ．19.答案：(1)由f(x)≥g(x)，即x 2−2x ≥x −2，解得x ≤1或x ≥2，由f(x)<g(x)，可得1<x <2，所以y =M(x)={x 2−2x,x ≤1或x ≥2x −2,1<x <2，可得M(x)的图象如图所示：(2)对于任意的x ∈[2,+∞)，不等式M(x)≥(a −2)x −1恒成立， 可得M(x)的图象恒在ℎ(x)=(a −2)x −1的上方， 因为ℎ(x)=(a −2)x −1恒过定点(0,−1)，结合图象可得a −2≤0−(−1)2−0=12， 解得a ≤52，即实数a 的取值范围是(−∞,52]. 解析：(1)由M(x)的定义即可求解M(x)的解析式，从而可得M(x)的图象；(2)由已知可得M(x)的图象恒在ℎ(x)=(a −2)x −1的上方，数形结合即可求解a 的取值范围． 本题主要考查函数解析式的求法，函数图象的作法，不等式恒成立求参数问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．20.答案：因为1+2x >1，所以0<11+2x<1，所以a −2<a −22x +1<a ，因为f(x)=a −22x+1(a >0)的图象在直线y =1的下方且无限接近直线y =1，所以a =1，f(x)=1−22x+1， (1)y =22x+1单调递减， 所以函数在R 上单调递增，f(x)=1−22x+1； (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 因为f(x)=1−22x +1=2x −12x +1，x ∈R ，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 1+2x=−f(x)，所以f(x)为奇函数； (3)因为1+2x >1， 所以0<11+2x<1，所以−1<1−22x+1<1，所以f(x)的值域为(−1,1)．解析：本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，还考查了函数值域的求解，属于基础题． 由已知结合指数函数的性质可先求出a ，(1)结合所求a 的值可求函数解析式，结合指数函数与反比例函数的性质可写出函数的单调性； (2)判断定义域关于原点对称，再检验f(−x)与f(x)的关系即可判断函数的奇偶性； (3)结合指数函数的性质及反比例函数的性质即可求解函数的值域．21.答案：(1)f(x)=2cosωx ⋅sinωx +√3cos2ωx=sin2ωx +√3cos2ωx =2sin(2ωx +π3)， 若函数f(x)的周期为π，则2π2ω=π，可得ω=1，所以f(x)=2sin(2x +π3)，由x ∈[−π3,π6]，可得2x +π3∈[−π3,2π3]，所以sin(2x +π3)∈[−√32,1]，所以2sin(2x +π3)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π3,π6]上的值域为[−√3,2]． (2)因为x ∈[−2π3,π6]， 所以−4ωπ3+π3≤2ωx +π3≤ωπ3+π3， 因为f(x)在区间[−2π3,π6]上为增函数， 所以{−4ωπ3+π3≥2kπ−π2ωπ3+π3≤2kπ+π2(k ∈Z)， 所以{ω≤58−3k2ω≤12+6k(k ∈Z)， 又ω>0，所以取k =0，可得ω≤12， 所以ω的最大值为12， 此时f(x)=2sin(x +π3)，则函数y =f(x)−lg(x 2)的零点个数即为函数f(x)=2sin(x +π3)与y =lg(x 2)图象交点的个数， 作出两函数图象如图所示：由图象可知函数f(x)=2sin(x +π3)与y =lg(x 2)图象有6个交点， 所以函数y =f(x)−lg(x 2)的零点个数为6．解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，函数零点个数的求法，考查转化思想与数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由三角恒等变换化简f(x)，利用周期公式求解ω的值，可得f(x)的解析式，再由正弦函数的性质求得值域；(2)由正弦函数的单调性可求得ω的取值范围，从而可得ω的最大值，求出f(x)的解析式，作出函数f(x)与y =lg(x 2)的图象，即可求解．22.答案：(1)设∠ABD =α，∵AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，AC ⊥AB ，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠CAE +∠BAD =90°， ∴∠CAE =∠ABD =α， ∴AB =2sinα，AC =1cosα，∵△ABC 为等腰三角形，∴AB =AC ，∴2sinα=1cosα，∴tanα=2，∴CE =tanα=2，BD =2tanα=1．(2)∵S △ABC =12AB ⋅AC =1sinα⋅cosα=2sin2α， 当sin2α=1，即α=π4时，(S △ABC )min =2．解析：本题考查了直角三角形中的三角函数关系，三角形的面积计算，属于中档题．(1)设∠ABD =α，求出∠CAE =∠ABD =α，再用α表示出AB ，AC ，求出tanα=2，即可求解． (2)先表示出S △ABC =2sin2α，再利用三角函数求最值即可．。
2019年广东省东莞市高一上册期末数学试卷(A)(有答案)-精编
广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，则A∩∁U B=（）A．{3，6}B．{5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）若直线经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为45°，则m的值为（）A．B．1 C．2 D．3．（5分）函数f（）=3+ln﹣2零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．45．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．（5分）过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．﹣y﹣1=0 B．+y﹣5=0或2﹣3y=0C．+y﹣5=0 D．﹣y﹣1=0或2﹣3y=07．（5分）已知函数f（）=，若对于任意的两个不相等实数1，2都有＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，6） B．（1，+∞）C．（3，6） D．[3，6）8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列说法中正确的个数为（）①C1M∥AC；②BD1⊥AC；③BC1与AC的所成角为60°；④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（）的图象如图所示，则方程f（f（））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．710．（5分）直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A．（0，] B．[2，+∞）C．（0，2]D．（﹣∞，2]11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．8 B．C．D．12．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（+λ）+λf（）=0对任意实数都成立，则称f（）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（）=a为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（）=2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（）=+的定义域为．14．（5分）已知幂函数y=f（）的图象经过点（，），则lg[f（2）]+lg[f（5）]=．15．（5分）若某圆锥的母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为．16．（5分）若直线l1：+y+1=0（∈R）与l2：（m+1）﹣y+1=0（m∈R）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知集合A={|log2＞m}，B={|﹣4＜﹣4＜4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知f（）为定义在R上的奇函数，且当≥0时，f（）=2﹣（a+4）+a．（1）求实数a的值及f（）的解析式；（2）求使得f（）=+6成立的的值．19．（12分）已知两条直线l1：2+y﹣2=0与l2：2﹣my+4=0．（1）若直线l1⊥l2，求直线l1与l2交点P的坐标；（2）若l1，l2以及轴围成三角形的面积为1，求实数m的值．20．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：DE⊥平面ABE；（3）求点A到平面BDE的距离．21．（12分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第天（∈N+）的部分数据如表：型描述Q与的变化关系，只需说明理由，不用证明．①Q=a+b，②Q=﹣2+a+b，③Q=a+b，④Q=b+log a．（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．22．（12分）已知函数f（）=+﹣1（≠0），∈R．（1）当=3时，试判断f（）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意∈R，不等式f（2）＞0恒成立，求实数的取值范围；（3）当∈R时，试讨论f（）的零点个数．广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，则A∩∁U B=（）A．{3，6}B．{5}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6，7}，B={1，2，3，4，6，7}，∴∁U B={5}，则A∩∁U B={5}，故选：B2．（5分）若直线经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为45°，则m的值为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：经过两点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）的直线的斜率为=．又直线的倾斜角为45°，∴=tan45°=1，即m=．故选：A．3．（5分）函数f（）=3+ln﹣2零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵函数f（）=3+ln﹣2，定义域为：＞0；函数是连续函数，∴f（1）=1﹣2＜0，f（2）=6+ln2＞0，∴f（2）•f（1）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：B．4．（5分）一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．4【解答】解：把该梯形的直观图还原为原的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′=（a+b）•hsin45°=2，∴（a+b）•h==4∴该梯形的面积为4．故选：D．5．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4 在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选A．6．（5分）过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．﹣y﹣1=0 B．+y﹣5=0或2﹣3y=0C．+y﹣5=0 D．﹣y﹣1=0或2﹣3y=0【解答】解：当横截距a=0时，纵截距b=a=0，此时直线方程过点P（3，2）和原点（0，0），直线方程为：，整理，得2﹣3y=0；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程为，把P（3，2）代入，得：，解得a=5，∴直线方程为，即+y﹣5=0．∴过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是+y﹣5=0或2﹣3y=0．故选：B．7．（5分）已知函数f（）=，若对于任意的两个不相等实数1，2都有＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，6） B．（1，+∞）C．（3，6） D．[3，6）【解答】解：对于任意的两个不相等实数1，2都有＞0，可知函数是增函数，可得：，解得a∈[3，6）．故选：D．8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，则下列说法中正确的个数为（）①C1M∥AC；②BD1⊥AC；③BC1与AC的所成角为60°；④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为A1D1和AA1的中点，∴A1C1∥AC，C1M与A1C1相交，故①错误；BD⊥AC，DD1⊥AC，故AC⊥平面BDD1，故BD1⊥AC，故②正确；、连接BA1，则△A1BC1为等边三角形，即BC1与A1C1的所成角为60°；由①中A1C1∥AC，可得BC1与AC的所成角为60°，故③正确；④由MN∥AD1∥BC1，可得C1M、BN共面，则C1M、BN必交于一点，且该交点，必在B1A1上，故B1A1、C1M、BN三条直线交于一点，故④正确；故选：C9．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（）的图象如图所示，则方程f（f（））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（）∈[﹣2，1]，函数的零点为：1，0，2，∈（﹣2，﹣1），2∈（1，2），1令t=f（），则f（f（））=0，即f（t）=0可得，t=1，0，2，f（）=1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（1）]=0，此时方程的根有2个．∈（1，2）时，不存在f[f（2）]=0，方根程没有根．2f[f（0）]=f（0）=f（1）=f（2）=0，有3个．所以方程f（f（））=0的实根个数为：5个．故选：C．10．（5分）直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A．（0，] B．[2，+∞）C．（0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：∵直线l过点A（﹣1，﹣2），∴OA=2，又直线l不经过第四象限，∴直线l的斜率的取值范围为[2，+∞），故选：B．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．8 B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V==，故选：C12．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（+λ）+λf（）=0对任意实数都成立，则称f（）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（）=a为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（）=2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（）为“1一半随函数”，则f（+1）+f（）=0，可得f（+1）=﹣f（），可得f（+2）=﹣f（+1）=f（），因此=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（）=a是一个“λ一半随函数”，则a+λ+λa=0对任意实数成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（）=a是“λ一半随函数”，故②正确．③、令=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f（0））2＜0，又因为f（）的函数图象是连续不断，所以f（）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（）=2是一个“λ一半随函数”，则（+λ）2+λ2=0，即（1+λ）2+2λ+λ2=0对任意实数成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（）=2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（）=+的定义域为（0，1）．【解答】解：函数f（）=+有意义，只需2﹣2≥0，ln≠0，＞0，解得≤1，且≠1，＞0，则函数的定义域为（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）已知幂函数y=f（）的图象经过点（，），则lg[f（2）]+lg[f（5）]=．【解答】解：设幂函数f（）=α，把点（，）代入可得=，解得α=；∴f（）=；∴lg[f（2）]+lg[f（5）]=lg+lg=lg=lg10=．故答案为：．15．（5分）若某圆锥的母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为3π．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积为：π•1•2+π•12=3π，故答案为：3π．16．（5分）若直线l1：+y+1=0（∈R）与l2：（m+1）﹣y+1=0（m∈R）相互平行，则这两直线之间距离的最大值为．【解答】解：由题意，直线l1：+y+1=0（∈R）过定点（﹣1，0）l2：（m+1）﹣y+1=0（m∈R）过定点（0，1），∴这两直线之间距离的最大值为=，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知集合A={|log2＞m}，B={|﹣4＜﹣4＜4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，A={|log2＞m}={|＞4}，B={|﹣4＜﹣4＜4}={|0＜＜8}．∴A∪B={|＞0}，A∩B={|4＜＜8}；（2）A={|log2＞m}={|＞2m}，∁R B={|≤0或≥8}若A⊆∁R B，则2m＞8，∴m≥3．18．（12分）已知f（）为定义在R上的奇函数，且当≥0时，f（）=2﹣（a+4）+a．（1）求实数a的值及f（）的解析式；（2）求使得f（）=+6成立的的值．【解答】解：（1）∵f（）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=a=0，由题意≥0时：f（）=2﹣4，设＜0，则﹣＞0，则f（﹣）=2+4=﹣f（），故＜0时，f（）=﹣2﹣4，故f（）=．（2）当≥0时，2﹣4=+6，可得=6；＜0时，f（）=﹣2﹣4=+6，可得=﹣2或﹣3．综上所述，方程的解为6，﹣2或﹣3．19．（12分）已知两条直线l1：2+y﹣2=0与l2：2﹣my+4=0．（1）若直线l1⊥l2，求直线l1与l2交点P的坐标；（2）若l1，l2以及轴围成三角形的面积为1，求实数m的值．【解答】解：（1）∵直线l1⊥l2，∴4﹣m=0，∴m=4，联立两条直线l1：2+y﹣2=0与l2：2﹣4y+4=0可得P（0.4，1.2）；（2）直线l1：2+y﹣2=0与轴的交点坐标为（1，0），l2：2﹣my+4=0与轴的交点坐标为（﹣2，0），∵l1，l2以及轴围成三角形的面积为1，∴三角形的高为，代入直线l1：2+y﹣2=0可得=，（，）代入l2：2﹣my+4=0可得m=8．20．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：DE⊥平面ABE；（3）求点A到平面BDE的距离．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE．（2）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥CD，DE⊥AE，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵DE⊂平面ADE，∴CD⊥DE，∵AB∥CD，∴DE⊥AB，∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE．解：（3）∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，∴AB⊥平面ADE，===，∴三棱锥B﹣ADE的体积V B﹣ADE==，设点A到平面BDE的距离为d，∵V A=V B﹣ADE，∴=，解得d=，﹣BDE∴点A到平面BDE的距离为．21．（12分）春节是旅游消费旺季，某大型商场通过对春节前后20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第天（∈N+）的部分数据如表：型描述Q与的变化关系，只需说明理由，不用证明．①Q=a+b，②Q=﹣2+a+b，③Q=a+b，④Q=b+log a．（2）结合表中的数据，根据你选择的函数模型，求出该函数的解析式，并确定日经济收入最高的是第几天；并求出这个最高值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a+b，Q=b+log a三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当；将（3，154）、（5，180）代入Q=﹣2+a+b，可得，解得a=21，b=100．∴Q=﹣2+21+100，（1≤≤20，∈N*）；（2）Q=﹣2+21+100=﹣（t﹣）2+，∵1≤≤20，∈N*，∴t=10或11时，Q取得最大值210万元．22．（12分）已知函数f（）=+﹣1（≠0），∈R．（1）当=3时，试判断f（）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意∈R，不等式f（2）＞0恒成立，求实数的取值范围；（3）当∈R时，试讨论f（）的零点个数．【解答】解：（1）当=3，∈（﹣∞，0）时，f（）=﹣，＞0，∴f（）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取1，2，令1＜2，f（1）﹣f（2）=（）﹣（）=（1﹣2）（1+），∵1，2∈（﹣∞，0），1＜2，∴，∴f（1）﹣f（2）＜0，∴f（）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2=t，则t＞0，f（t）=t+，①当＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当时，f（）=2﹣1＞0，当0＜≤时，f（）=2﹣1≤0，∴＞时，f（2）＞0成立；0＜≤时，f（2）＞0不成立．②当=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当＜0时，f恒大于0，∵，且f（）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，的取值范围是（，+∞）．（3）由f（）=+﹣1=0，（≠0），∈R．得+﹣1=0，∴=||•（1﹣），≠0，当＞0时，=（1﹣），当＜0时，=﹣（1﹣），∴结合图象得：当＞或≤0时，f（）有1个零点；当=时，f（）有2个零点；当0＜＜时，f（）有3个零点．。
广东省东莞市2015届高三数学上学期期末试卷 理(含解析)
某某省某某市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+i D．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣23．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．485．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值X围是（）A．[﹣2，0] B．[0，+∞] C．[0，2] D．[﹣2，2]6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=a x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3 B．C．3或D．27．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p48．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是10．（5分）设f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．20．（14分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…a n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b n}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，某某数a的取值X围．某某省某某市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+i D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵z===，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线y2=﹣4x的准线方程即可得到．解答：解：由抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线y2=﹣4x的准线方程为x=1．故选B．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．3．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据选项中数据的波动情况，结合方差与标准差的定义，得出正确的结论．解答：解：根据题意，得；对于A，9个数据都是5，∴方差为0；对于B和C，数据的分布比较均匀，B的方差较小些，C的方差较大些；对于D，数据主要分布在2和8处，距离平均数5是最远的一组，∴D的数据方差最大，对应的标准差也最大．故选：D．点评：本题考查了频率分步直方图的应用问题，也考查了数据的方差与标准差的应用问题，是基础题目．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，6，10，则该四面体的体积是V=Sh==8．故选A．点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值X围是（）A．[﹣2，0] B．[0，+∞] C．[0，2] D．[﹣2，2]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化Z=x+2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最小为﹣2；当直线过C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z最大为2．∴目标函数Z=x+2y的取值X围是[﹣2，2]．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=a x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3 B．C．3或D．2考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据=a x，结合题中等式建立关于a的方程：a+=，解之得a=3或．再根据f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可证出y=a x是R上的减函数，得a∈（0，1），由此可得a=．解答：解：∵=a x，∴=a，=，因此+=，即a+．解之得a=3或．设F（x）=，则F'（x）=，∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），∴F'（x）＜0在R上成立，故F（x）是R上的减函数．即y=a x是R上的减函数，故a∈（0，1）．∴实数a的值为．故选：B．点评：本题给出含有指数形式的函数，求解关于字母a的方程，着重考查了指数函数的单调性和导数的运算法则等知识，属于基础题．7．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：与为不共线的单位向量，其夹角θ，可得=1，=cosθ．θ∈（0，π）．p1：|+|＞|﹣|⇔＞0⇔θ∈（0，），即可判断出正误；p2：由命题p1正确即可判断出正误；p4：若A，B，C共线⇔存在实数k使得，即λ+=k（+μ），可得，即可判断出正误；p3：由命题p4正确，即可判断出正误．解答：解：∵与为不共线的单位向量，其夹角θ，∴=1，=cosθ．θ∈（0，π）．对于p1：|+|＞|﹣|⇔⇔＞0⇔θ∈（0，），因此正确；对于p2：由命题p1正确可知：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π），不正确；对于p4：若A，B，C共线⇔存在实数k使得，因此，λ+=k（+μ），∴，⇔λ•μ=1．因此是真命题；对于p3：由命题p4正确，可知命题p3不正确．综上可得：只有命题p1，p4正确．故选：A．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：新定义；平面向量及应用．分析：根据已知条件中，对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”．对于①若⊂，则“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”，||=，||=，不一定有||≤||，故①不正确；对于②，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若⊂，⊂，则有“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，“x2＜x3”或“x2=x3且y2＜y3”．故有“x1＜x3”或“x1=x3且y1＜y3”．故有⊂，故②正确；对于③，若⊂，则对于任意，设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由于“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，则“x+x1＜x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＜y+y2”，即有（+）⊂（+）成立，故③正确；对于④，对于实数λ≥0，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），若⊂，则有“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，即有“λx1≤λx2”或“λx1=λx2且λy1≤λy2”，则λ⊂λ不成立，故④不正确．综上正确的个数为2．故选B．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“⊂”，正确理解新定义“⊂”的实质，是解答的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是24考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=5时，不满足条件n≤4，退出循环，输出s的值为24．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=1满足条件n≤4，s=1，n=2满足条件n≤4，s=2，n=3满足条件n≤4，s=6，n=4满足条件n≤4，s=24，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出s的值为24．故答案为：24．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10．（5分）设f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，可得mx m﹣1+a=2x+1，f（x）=x2+x．再利用微积分基本定理即可得出．解答：解：∵f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，∴mx m﹣1+a=2x+1，解得a=1，m=2．∴f（x）=x2+x．∴f（x）dx=（x2+x）dx===．故答案为：．点评：本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理，属于基础题．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为﹣1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：由（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），到展开式的每一项的系数a r，代入到+++…+求值即可．解答：解：由题意得：a r=C2015r（﹣2）r，∴+++…+=﹣+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=（1﹣1）2015∴+++…+=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+6．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：首先找出三角形数阵的规律，求出前n﹣1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数．解答：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行（n≥3）前共有1+2+3+…+（n﹣1）=个数，所以第n行（n≥3）从左向右的第3个数为2[+3]=n2﹣n+6，故答案为：n2﹣n+6．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是7．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得到交点的个数，即可得到函数零点的个数．解答：解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点7个故函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是7．故答案为：7．点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到×1=﹣1，解得m的值，可得中点A 的直角坐标，再化为极坐标．解答：解：直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0即 x﹣y+2=0，曲线C：ρ=2 即=2，即 x2+y2=4，表示以原点O为圆心，以2为半径的圆．设弦的中点为A（m，m+2），则由OA垂直于直线可得×1=﹣1，解得m=﹣1，故弦的中点为A（﹣1，1），它的极坐标为，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．解答：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期和零点求出ω，φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，∴=π，解得ω=2，则f（x）=2sin（2x﹣φ）…（2分）又是它的一个零点，即2×﹣φ=kπ，…（4分）则φ=﹣kπ，k∈Z，∵0＜φ＜…（5分）∴当k=0时，φ=…（6分）故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣）…（7分）（2）由（1）f（x）=2sin（2x﹣）又∵f（+）=，f（+）=∴sin（α+）=，sinβ=…（9分）∴cosα=，又α，β∈[0，]，∴α=，β=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==…（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：图表型；概率与统计．分析：（I）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值．（II）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A．先算出学生成绩在[50，60）内的和在[60，70）内的人数，根据成绩在[50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件A的概率．（III）根据题意看出变量X的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率．列出分布列和期望值．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得，所以 a=0.03．…（2分）（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，成绩在[50，70）内的学生共有11人．…（4分）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A，…（5分）则．…（7分）所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为．（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3．…（8分）；；．…（10分）所以X的分布列为X 1 2 3P…（11分）．…（13分）点评：此题考查了对频率分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式做出变量对应的概率值．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．解答：解（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B …（3分）∴PC⊥平面ABC，…（4分）又∵PC⊂平面PAC …（5分）∴平面PAC⊥平面ABC …（6分）（2）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）由题意有A（，﹣，0），B（0，2，0）设P（0，0，z），（z＞0），则M（0，1，z），=（﹣，，z），=（0，0，z），由直线AM与直线PC所成的解为60°，得•=||||cos60°，即z2=z，解得：z=1 …（8分）∴=（﹣，，0），=（，，1），设平面MAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（，，），…（10分）平面ABC的法向量取为=（0，0，1）…（11分）设与所成的角为θ，则cosθ=，…（13分）显然，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角余弦值为．…（14分）点评：本题主要考查空间面面垂直的判定依据二面角的求解，根据定义法以及向量法是解决空间二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及P满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，代入椭圆方程，求得|QA|，|QO|，求得λ关于x的关系式，讨论x的符号，运用基本不等式即可得到最大值．解答：解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则=，又a2﹣b2=c2，∴3a2=4c2，c2=3b2，∴椭圆C的方程为：+=1，代入P（，）得c=，a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，则|QO|2=x2+y2，又A（﹣1，0），|QA|2=（x+1）2+y2，λ====1+，点P（x，y）满足+y2=1，即有y2=1﹣，λ=1+=1+，当x≤0时，λ≤1，当x＞0时，x∈（0，2]，λ=1+，因为3x+≥2=4，所以λ≤1+，当且仅当x=时，λ取得最大值1+，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意点满足椭圆方程，同时考成绩基本不等式的运用：求最值，属于中档题．20．（14分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…a n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b n}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．考点：数列的求和；对数函数的图像与性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）a1×a2×a3×…×a n=log23×log34×log45×…×log n+1（n+2）=log2（n+2），从而n=2k﹣2，根据题意，b m＜2015，得2m+1﹣2＜2015，由此能求出区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和．（2）++…+=++…+，当n＞2时，由≤，能证明++…+＜．解答：（1）解：由已知得a1×a2×a3×…×a n=log23×log34×log45×…×log n+1（n+2）=log2（n+2），…（2分）要a1×a2×a3×…×a n为整数，需要log2（n+2）=k，k∈Z，∴n=2k﹣2，…（3分）∵n∈N*，∴k≥2，即=2，=6，…，，根据题意，b m＜2015，得2m+1﹣2＜2015，∴2m+1＜2017，则m≤9．…（4分）∴区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和为：22+23+…+210﹣2×9=4（29﹣1）﹣18=2026．…（7分）（2）证明：++…+=++…+，…（8分）当n=1时，=成立，当n=2时，==成立，…（10分）当n＞2时，由==≤，…（12分）∴++…+≤==．…（13分）又，∴++…+＜．…（14分）点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，某某数a的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）讨论x＞0，x＜0，由g（x）即可得到f（x）；（2）求出函数的导数，求得切点A，B处的切线的斜率，再由两直线垂直的条件，化简整理，由二次函数的值域即可得到最小值；（3）求出f（x）的图象在点A，B处的切线方程，由两切线重合的条件，再由导数求得单调区间，运用单调性即可求得a的X围．解答：解：（1）由题意有，f（x）=，word（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′（x1），点B处的切线斜率为f′（x2），故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有f′（x1）•f′（x2）=﹣1当x＜0时，对函数f（x）求导，得f′（x）=2x+2．因为x1＜x2＜0，所以（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，即4x1x2=﹣4（x1+x2）﹣5，x2﹣x1===，当x1+x2=﹣2，时，x1x2=，此时x1=﹣，x2=﹣，x2﹣x1取得最小值1．（3）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′（x1）≠f′（x 2），故x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）的图象在点（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1），即y=（2x1+2）x﹣x12+a当x2＞0时，函数f（x）的图象在点（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2），即y=•x+lnx2﹣1．两切线重合的充要条件是，由x1＜0＜x2知，﹣1＜x1＜0．a=x12+ln﹣1=x12﹣ln（2x1+2）﹣1．设h（x1）=x12﹣ln（2x1+2）﹣1（﹣1＜x1＜0），则h′（x1）=2x1﹣＜0．所以h（x1）（﹣1＜x1＜0）是减函数．则h（x1）＞h（0）=﹣ln2﹣1，所以a＞﹣ln2﹣1．又当x1∈（﹣1，0）且趋近于﹣1时，h（x1）无限增大，所以a的取值X围是（﹣ln2﹣1，+∞）．故当函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值X围是（﹣ln2﹣1，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件，考查化简运算的能力，属于中档题．- 21 - / 21。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
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2015-2016学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，设集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，则（C U A）∩B=（）A．{2，4} B．{1，3} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，6，7}2．下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是（）A．B．C．D．3．设A={x|x是锐角}，B=（0，1）．从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是（）A．B．C．D．4．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或5．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行②平行于同一直线的两个平面相互平行③垂直于同一平面的两条直线相互平行④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（）A．12 B．13 C．D．27．下列不等关系正确的是（）A．log43＜log34 B．log3＜log 3C．3D．3＜log328．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8π C．D．4π9．已知a，b为异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=m，则直线m（）A．与a，b都相交B．至多与a，b中的一条相交C．与a，b都不相交D．至少与a，b中的一条相交10．如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，则△AOB中最长的边长为（）A．2B．2C．1 D．211．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，则这两个圆的公共弦长为（）A．B．C．D．12．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．[，2）C．（1，）D．（1，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．计算：=．14．一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1）、（m，1），若这条线段被直线x﹣2y=0所平分，则m=．15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知集合A={x|x≤﹣2或x＞1}关于x的不等式2a+x＞22x（a∈R）的解集为B．（1）当a=1时，求解集B；（2）如果A∩B=B，求实数a的取值范围．18．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4，2）．（1）求直线CD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点．（1）证明：AD⊥平面PAC；（2）求三棱锥M﹣ACD的体积．20．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力，x表示授课时间（单位：分），实验结果表明f（x）与x有如下的关系：f（x）=．（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？21．设f（x）=mx2+（m+4）x+3．（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=﹣1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．2015-2016学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，设集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，则（C U A）∩B=（）A．{2，4} B．{1，3} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，6，7}【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴C U A={1，3，6，7}，又B={1，2，3，4}，∴（C U A）∩B={1，3}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是（）A．B．C．D．【分析】由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义．【解答】解：由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，ABD均符合．故选：C【点评】本题考查函数的概念的理解，属基本概念的考查．解答的关键是对函数概念的理解．3．设A={x|x是锐角}，B=（0，1）．从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是（）A．B．C．D．【分析】直接由映射概念结合三角函数的求值得答案．【解答】解：∵A={x|x是锐角}，B=（0，1），且从A到B的映射是“求余弦”，由，可得与A中元素30°相对应的B中的元素是．故选：A．【点评】本题考查映射的概念，考查了三角函数的值，是基础题．4．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可．【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．5．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行②平行于同一直线的两个平面相互平行③垂直于同一平面的两条直线相互平行④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①平行于同一平面的两条直线相互平行，由线线的位置关系判断；②平行于同一直线的两个平面相互平行，由面面的位置关系判断；③垂直于同一平面的两条直线相互平行，由线面垂直的性质判断；④垂直于同一直线的两个平面相互平行，由线面垂直的性质判断．【解答】解：①平行于同一平面的两条直线相互平行，此命题错误，两条直线平行于同一平面，则两者的关系是相交、平行、异面都有可能．②平行于同一直线的两个平面相互平行，此命题错误，平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交；③垂直于同一平面的两条直线相互平行，此命题正确，由线面垂直的性质知，两条直线都垂直于同一个平面，则两线平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行，此命题正确，垂直于同一直线的两个平面一定平行．综上③④正确故选C【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中点线面的位置关系的情况掌握得比较熟练，本题考查了推理论证的能力6．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（）A．12 B．13 C．D．2【分析】利用反射原理可知反射光线经过A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3，﹣5），从而可求得答案．【解答】解：∵A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3，﹣5），由反射原理可知反射光线经过A′（﹣3，﹣5），设入射光线与x轴相交于M，则这束光线从A到B所经过的距离为：|AM|+|MB|=|A′M|+|MB|=|A′B|===13．故选B．【点评】本题考查直线关于点关于直线对称的问题，考查转化思想与推理运算的能力，属于中档题．7．下列不等关系正确的是（）A．log43＜log34 B．log3＜log 3C．3D．3＜log32【分析】直接利用指数式和对数函数的性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵log43＜1，log34＞1，∴log43＜log34，A正确；∵log3=﹣1，log3=﹣log23＜﹣1，∴log3＞log3，B错误；∵，∴，C错误；∵3＞1，log32＜1，∴3＞log32，D错误．故选：A．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数和对数函数的运算性质，是基础题．8．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8π C．D．4π【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．【点评】本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．9．已知a，b为异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=m，则直线m（）A．与a，b都相交B．至多与a，b中的一条相交C．与a，b都不相交D．至少与a，b中的一条相交【分析】a∥m，b∩m=A，满足题意；m与a、b都不相交，则a，b平行，与异面矛盾；m可以与a、b都相交，交点为不同点即可．【解答】解：对于A，a∥m，b∩m=A，满足题意，故A不正确；对于B，m与a、b都不相交，则l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故B不正确；对于C，m可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故C不正确；对于D，由A，B，C的分析，可知D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，则△AOB中最长的边长为（）A．2B．2C．1 D．2【分析】求出O′A′=A′B′=，O′B′=2，从而在△AOB中，OA=2O′A′，OB=O′B′，且OA⊥OB，由此能求出△AOB中最长的边长．【解答】解：如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，∴设O′A′=A′B′=x，则=1，解得O′A′=A′B′=，∴O′B′==2，∴△AOB中，OA=2O′A′=2，OB=O′B′=2，且OA⊥OB，∴OB==2．∴△AOB中最长的边长为2．故选：C．【点评】本题考查三角形中最长边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面图形直观图的性质的合理运用．11．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，则这两个圆的公共弦长为（）A．B．C．D．【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【解答】解：两圆的方程作差得6x﹣8y+12=0，即3x﹣4y+6=0，∵圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2=9，故其圆心为（﹣1，3），r=3圆到弦所在直线的距离为d==弦长的一半是=故弦长为．综上，公共弦所在直线方程为3x﹣4y+6=0，弦长为．故选：A．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长，属于中档题．12．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．[，2）C．（1，）D．（1，]【分析】由＞0可知f（x）在R上是增函数，且f（x）在（﹣∞，0]上的最大值小于f （x）在（0，+∞）上的最小值．列出不等式组解出．【解答】解：∵＞0恒成立，∴f（x）在定义域上是增函数，∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，∴2﹣a＞0，即a＜2．且f（0）=3a﹣4．∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴a＞1，且x→0+时，f（x）→1，∵f（x）在R上是增函数，∴3a﹣4≤1，解得a≤．综上，a的取值范围是（1，]．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的单调性，需要特别注意f（x）在不同定义域上最值的大小关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．计算：=﹣2．【分析】根据对数的运算法则，将式子化简合并，再结合常用对数的性质即可得到原式的值．【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg（4×25）=﹣lg100=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题着重考查了常用对数的定义和对数的运算性质等知识，属于基础题．14．一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1）、（m，1），若这条线段被直线x﹣2y=0所平分，则m=﹣1．【分析】由已知得这条线段的中点（，1）在直线x﹣2y=0上，由此能求出m．【解答】解：∵一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1）、（m，1），这条线段被直线x﹣2y=0所平分，∴这条线段的中点（，1）在直线x﹣2y=0上，∴，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（12+2）π．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，∴在轴截面中圆锥的母线长是，∴圆锥的侧面积是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2=12π∴空间组合体的表面积是，故答案为：【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是（1）（3）（4）．【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．【解答】解：∵在y为[﹣2，﹣1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足∴（1）正确∵f（x）值域在[﹣1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像，∴（2）错误同理可知（3）（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．【点评】本题考查了复合函数的对应问题，做题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接比较．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知集合A={x|x≤﹣2或x＞1}关于x的不等式2a+x＞22x（a∈R）的解集为B．（1）当a=1时，求解集B；（2）如果A∩B=B，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，利用指数函数的单调性，求解集B；（2）如果A∩B=B，B⊆A，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵2a+x＞22x，a=1，∴1+x＞2x，∴x＜1，∴B=（﹣∞，1）；（2）∵2a+x＞22x，∴a+x＞2x，∴x＜a，∴B=（﹣∞，a），∵A∩B=B，∴B⊆A，∴a≤﹣2．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4，2）．（1）求直线CD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程．（2）求出点A（0，0）到直线CD的距离d和|CD|=|AB|，由此能求出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4，2），∴=﹣，∴直线CD的方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），整理，得x+2y﹣8=0．（2）点A（0，0）到直线CD的距离d==，|CD|=|AB|==，∴平行四边形ABCD的面积：S平行四边形ABCD=|CD|•d==8．【点评】本题考查直线方程的求法，考查平行四边形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点．（1）证明：AD⊥平面PAC；（2）求三棱锥M﹣ACD的体积．【分析】（1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC可知△ACD是直角三角形，AC⊥AD．故AD⊥平面PAC；（2）由M为中点可知M到底面的距离为PO，把△ACD看做棱锥的底面，则棱锥的高为，代入体积公式计算．【解答】证明：（1）∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=45°，∴AD⊥AC．∵PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，又∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．（2）∵M是PD的中点，∴M到平面ABCD的距离d=PO=1．S△ACD==．∴三棱锥M﹣ACD的体积V=S△ACD•d==．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．20．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力，x表示授课时间（单位：分），实验结果表明f（x）与x有如下的关系：f（x）=．（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？【分析】（1）根据f（x）在各段上的单调性可判断计算出答案．（2）解不等式求出学生注意力不低于55的持续时间即可．【解答】解：（1）当0＜x≤10时，f（x）是增函数，f max（x）=f（10）=59，当16＜x≤30时，f（x）是减函数，f（x）＜f（16）=59．∴开始授课10分钟后，学生的注意力最集中，能维持6分钟．（2）当0＜x≤10时，令f（x）=5x+9≥55，解得≤x≤10．当10＜x≤16时，f（x）=59＞55．当16＜x≤30时，令f（x）=﹣3x+107≥55，解得16＜x≤．∴学生注意力不低于55的持续时间为﹣=＜10．∴老师能不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题．【点评】本题考查了分段函数的应用，分类讨论思想．属于基础题．21．设f（x）=mx2+（m+4）x+3．（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=﹣1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．【分析】（1）f（x）为二次函数，令△＞0得出m的取值范围，根据根与系数得关系用m表示两根的绝对值，求出新函数的最小值即可．（2）求出f（x）在[0，λ]上的最大值f max（x），则a＜f max（x）．【解答】解：（1）∵f（x）有两个零点，∴，解得m≠0．设f（x）的两个零点为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=﹣+1=16（﹣）2+．∴当m=8时，∴|x1﹣x2|2取得最小值．∴|x1﹣x2|的最小值为．（2）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2+3x+3，f（x）的对称轴为x=．①若0，则f max（x）=f（λ）=﹣λ2+3λ+3，②若，则f max（x）=f（）=．∵在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，∴a＜f max（x）．综上，当0时，a的取值范围是（﹣∞，﹣λ2+3λ+3）；当时，a的取值范围是（﹣∞，）．【点评】本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；（2）通过定义证明函数f（x）在区间[lna，+∞）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可．【解答】解：（1）函数f（x）=（a＞0）是R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），即（e x﹣e﹣x）=a（﹣）=a（e x﹣e﹣x）在R恒成立，∴=a，解得：a=1，（a＞0），（2）在[lna，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣a=（﹣）•，∵y=e x是增函数，lna≤x1＜x2，∴﹣＜0，∴x1+x2＞2lna=lna2，∴＞=a2，∴﹣a2＞0，∵a•＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在[lna，+∞）上是增函数，∴f（x）min=f（lna）=+=2，∴函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题．。